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. nhi ile planHa Martis 1 ri piayfrr’t,’, nit, tv itl ..r^e Xahöai'yijq ita Irgrmlniii viilit A ar. L>. 50. seil. 171G. 2 Kil. Mriliomii I. A xign. 48. p. 292. itr.'oijtxdr Dniekseblcr. 3 ib. sign. 50. 4 A. In Ding. Lnrrlimn Arg. Mrnagii obsrrvationrs rt rmnnlatio- nrs ctr., U'cldic ten zweiten »'eil der ä'toilH'in’fdKii Ausgabe aiifmadifii, p. 212. 5 s. besscn feimmmav über das trfle S?ild bor niflibifchou Elemente am Ifllbc dos btitlcn 2.'adh- i rd. ItasiI. p ga ja aaSruoc ö'l- i!' TaTq y? ;?!>/- *ou q tcrfoii'uiq i!q roo.'o Jniyfi ro ui. Borg!, auflorbCIII otonb. S. 79. 87. 99. 109. Seile 35 cilirt ProtluS bessclbe» Verfassers ßtßXlov cupi 0 S. boffen ssommentar über Ardiimcb's xuxXou /it^rriq in der Einiki luiijj 'S. 77. ber stutenaekersdien Ausgabe. EulokiuS nriint den Titel der Schrift im Singularis. 7 Diog. i, 23. erzählt, daß Thales zuerst Astronomie getrieben nnd So» ncnfinstcrnittc vorhergefagt habe, oq cp^triv EoS^no? f v r7 Tip />3 r aafQo'Ko- bicfc beiden Werke sind nicht bis auf unsere Zeit gekommen, und die Citate bei Diogenes, EutokiuS, ProkluS u. s. w., von denen die des Letzteren meistens die Erfinder einzelner geometrischer Sätze angebe», sind Alles, was wir davon übrig behalte» habe». Dieser Verlust ist tun so mehr jti bedauern, als die Geschichte sowohl Eudcm's als Thcophrast's gerade eine Periode zu ihrem Gegenstände hatte, welche jetzt wohl für uns immer in ein magisches Dunkel gehüllt bleiben wird, nämlich die Zeit vor Euklidcs. Wenn eine Lesart bei Diogenes kaertius richtig ist, so kann man vermuthe», daß auch LcnokratcS, ein Zeitgenosse der beiden vorigen, unsrer einem Werke über Geometrie noch ei» mathematisch-historisches Werk geschrieben hat. Es sindct sich nämlich in dem Katalog seiner Werke eines unter dem Titel etfgl ytwfierQMv ßißXia fifiCnbfin Jitfij bet Silet, wir Diogenes ihn anssprichl, ist wahrscheinlich richtiger, weil die Form desselben nicht so gewöhnlich ist. Idcin cx rjusdcm Eudcmi Astrologie» historia prodidit Tlico 8in rniiens. Der astronoiniscbe Theil seines Werts ist noch nicht gedruckt worden. At J’roclus in IV. primi Euclidis testatur Thaleti hoc ah Endeino trilnii Iv fouc; lyeci. lefqivatq laroii'acq. Potuit idem utroque in opere dixisse, ait Yossius de Historicis Graecis lib. 3, ubi eum vide. Nun besinden sich aber die aisti ProkluS beigebrachten Worte nicht im vierten, sondern, wie in Note 5. gesagt ist, am Ende des drillen Buchs; dazu kommt noch, das, an dieser Stelle so wenig, wie an irgend einer andern de EommentarS von Prokt» von einer Eonnensinsternih die Rede ist. Vielmehr sagt ProklnS, Eude- mu» schreibe in seinen geometrischen Geschichten die Erfindung des Satzes Enkl. Stem. 1 , 26. ecnflnicnj zweier Dreiecke aus Gleichheit zweier Winkel und einer Eetie dem Thales zu. Wir baden hier also ein Beispiel, wie ein falsches Eitat fiel, fottpstanzt, weil Einer dem Andern eS nachcitirt, ohne auf die Quelle znrück- zngeben. — AnatoliuS in dem von FabrieinS milgelheiltett Fragment llibl. gr. Ij. III. p. 277. E " 5liloe lorotit? ir fmv oder fs'tt genannt, als die beiden wkq f/ flei/hrtt/cner , bist. mttlh, vniv. p. 155. schreibt wörtlich aus Blaneanns ab. Bergt. Fnbricii Hil»l. Graocu L. III. p. 08. 10 liami schul. Math. p. 35. Liliros gonmotrioarum onnrraliomim scx consoripserat, » tpiilnis >I*-risfue in locis I’roelns ost adjutus. IIIa n- cani ehr an, Muth. p. 45. Noripsit praotora Iil>. 6. gooinotrioarum onar- rationum. historia t/strnnoniiae Yitomli. 1711. 4to >». 145. Contoxuerat cniin Gominus liltros 'VI. onarrntionuin gouinoteioarum, qiii- bus passim l’rocliis lüit adjutus. Mnnlncla hist. des muthem. I 1 p. V. prif. Kiifin pou avunt löre cliritionne i'niiiius nvoit do nouvoan icrit l’liistoire du la geometrie. Die genaueste Kenntniß von diesem Werke scheint Saverien zu haben; er sagt nämlich lfist. dos progrus do l’osprit bumaiu p. 77. II composa un onvrago divisd on six livres, intitulc' Enarrationes Geometrieac schwerlich, denn stein, war ein striechc, dann le- quel ii expnsa d'une manif're fort c-lairr les döcouvorles los plus importantos. 11 Ich will bicr znr Begründung meiner Zlnsfage alle Stellen des t5vm- mentars den Proklus nennen, in welchen steminns citirl wird, und zwar nacl' Ja eine ©iclie bei ProkluS scheint fi^av geradezu anzudeuten, daß seit dein vierten Jahrhundert v. Chr., d. h. seit Thcophrast'S und Endend Zeiten, keine neue Geschichte der Geometrie mehr erschienen ist. Der genannte Anrtor giebt nämlich in dem vierten Capitel des zweite» Buchs seines Commcntarü eine interessante historische Übersicht über die berühmtesten Mathematiker von Thales bis Euklidcs, und sagt daselbst, bevor er Euklidcs selbst nennt 0 l μίν ovv ά Ιοοο,'α uvay^avf^ μύχοι ούου -χ^οάγονοη υ 7ν, bor Ausgabe dos Originals Hnsilciic 153.! sol. bei fnflib mib nach der laleü Nische» Übersetzung bo »urnciun si'aluvii 1560 161.. VA. ?- 11 I. 3» Bar. p. 22 I. 6 29 - 31 S ; 61 - 14 31 - 3 i - 63 - 34 - — - 2» 61 - 35 32 - 47 S i 67 - 27 49 - 18 S S 100 31 — - 33 i - 101 - 17 51 - 8 ί i 104 - 12 - — - 27 - ; 105 - 5 - S — - 37 5 5 — s 21 - - 52 - 3 - - 106 - 12 > - — - 44 - »*' i 108 - 2 - - — - 48 ' ; ? — - 8 - 53 - 39 i 110 - 18 ^ - 56 - 13 ί i 116 - 8 > 66 - 10 i i 13» - 2 _ - 11 ; 5 — - 4 68 - 4 - . - 143 - 11 _ - 6 S ί — - 15 74 - 38 - s 159 - 12 Ich mbchte vermutsten, daß alle in bor vorigen Rvlc gcnamuon Auctorc» ihre $l "f e tem lgwicl,,,S » rorum, qnl in coolem voll online citafi sunt ^ , ’ 1 o' iiis l’oincr Üborfofetnijj vorausgeschickt, ontnommon staben. Da finden wir nämlich Liltri geometneanom cnarrationum emlm. Es kann tiefe ein iirspriinglichcr Irrthum dos Übersetzers sein, inbom or as bo» häufigen dos llominus und aus bor Analogie bor geomotrischo» Geschichten bos Eubeimis aus oi„ ähnliches Wert bes ersteren geschlossen hat. Die sechs Bücher, in welche das Werk dos Geminus eingetheilt gewesen sein soll, rühren wahrscheinlich von einer zwei. ten Verwechselung her, indem Eulokiu in dem Commentar zu Apollonius Kegel- I »itte» des Geminus sechstes Buch p,»cc,-pti»»im inatlicmaticarni» eitirt ' " des Eutoti'us , Apollonius ist bis setzt nur lateinisch gedruek ,. gebraucht eine alle Übersetzung da schon den Ausdruck cnniTaiiontim s, nirni,»; mirrfi 12 , d. h. „S ic j C11 \ i] c n, Wcldc die Geschichten nämlich der Geometrie geschrieben haben, ba- ben bis hichcr die Entwickelung der Wissenschaft fortgeführt." Der letztgenannte Mathematiker ist ein gewisser Philippus'’, ein Schüler Plato's; bis auf ihn also erstreckten sich die damals vorhandenen Geschichten der Mathematik. Dieselben hörten also da auf, wo für uns, denen die vor-euklidische Zeit immer noch wie eine kaum anbrechende Morgenröthe in mehr als Halbdnnkel gehüllt erscheint, die Geschichte recht eigentlich erst anfängt. Schwerlich aber würden wohl spater lebende Historiographcn, wie Gcminns, der etwa ein halbes Jahrhundert vor Chr. lebte, hier aufgehört und die erst von Euklidcs in eine wissenschaftliche Form gebrachte Geometrie ohne Geschichte gelassen haben; Stoff gaben wohl, um Mchrcr nicht zu gedenken, die noch nach Jahrtausenden angestaunten Arbeiten eines Archimedcs und Apollonins in reichem Maaße her. Also ist wohl von Eudcnms bis zur Zeit des ProkluS im fünften Jahrhundert nach Christo keine neue Geschichte der Geometrie erschienen. Und doch haben wir noch vor Proklus eine Geschichte, und zwar eine pragmatische Geschichte der Mathematik und der Geometrie insbesondre, die aber Proklus, obgleich er den Verfasser derselben mehrmals nennt, nicht als eine solche anzuerkennen scheint. Es ist das allbekannte und nicht genug zu schätzende Werk von PappuS aus dem vierten Jahrhundert. Der berühmte Verfasser giebt in seinen Ma^nyictrtxoct amayioyui in acht Büchern, von denen aber leider die beiden ersten bis auf ein kleines Fragment des zweiten, von welchem weiter unten die Rede sein wird, verloren gegangen sind, eine herrliche Übersicht über die Leistungen seiner Landsleute in der Gco- 12 Ed. Bas. p. 19. Bnr. p. 39. 13 In der Baseler Ausgabe heißt er o Msrouo?. Edens» bei Dcclinlcs cursus matliem. T. 1. p. 8. Barocius giebt l’h. Mcndacus, und s» die Meisten, j, B. Humus I. I. p. 20. ltluncanus p, 44. Dcclinlcs p. 65. U. A. — Fabrieins Bibi. Gr. L. 111. p. 385. 386. und daraus wahrscheinlich Frobesius Histor. et dogmat. in matlicsiu introd. p. 99—101 habe» dieses Capitel abdrucken lassen, und beide lesen 4>. 6 m lö/iaioq. Ebenso hat Montucla T. 1. p. 180. Philippe de Medmde;— Fabricii bibi. Graeca L. 111. p. 85. und von da Weidler bist. astr. p. 111. „Philippus Medmcus, cMcdama Bruttiorum oppido Italus, Platonis discipulus etc. Dc ventis eum scripsisse, Stcphanus de urbibus in SitS/xa testatur.” Also ist diese drille Lesart wohl die richtige. 7 nietric und der Arithmetik; er begnügt sich aber nicht, wie so viele neuere» Historiker, bloße Namen t»id Büchcrtitcl zn nennen, sondern ee gehl ausführlich in die Sache ein, führt die wichtigsten Sätze und Lehren theoretisch vollständig aus, und giebt den Inhalt von vielen jetzt größtcntheils verloren gegangenen Büchern so genau und ausführlich an, daß es neuere» Mathematikern möglich geworden ist, nach diesen Angaben jene Werke wiederherzustellen. Sein Werk ist eine reiche Vorrathskammcr alles dessen, was Griechenland in der Geometrie erzeugt hat, und darum von so tmschätzbarcm Werthe, weil ohne den Fleiß seines Verfassers so vieles Herrliche für uns spurlos untergegangen wäre. Schade, daß gerade der Theil seines Werkes, der uns für unseren nächsten Zweck am meisten intcrcssirt, nicht vollständig bis auf unsere Zeit gekommen ist; die beiden ersten Bücher dieser iwaytoyai sind wahrscheinlich für die Griechische Arithmetik das gewesen, was die folgenden sechs Bücher für die Geometrie waren. Den Nachforschungen des berühmten WalliS ist es gelungen, ein Fragment, wie cö scheint, den Schluß des zweiten Buchs aufzufinden, welches hinreichend ist, den Verlust des übrigen Theils uns schmerzhaft empfinde» zu lasse». WalliS machte seinen Fund im Jahre 1688 im Original bekannt, ein Glück, welches dem geometrischen Theile dieses vorzüglichen Werkes noch nicht zu Theil geworden ijt. Wir haben bis jetzt nur lateinische Übersetzungen davon, die überdies Manches zu wünschen übrig lassen Von hier an aber schweigt die Geschichte der Mathematik bei den Griechen wirklich. Zwar gebe» der Commcnlar deö ProklnS über daS erste Buch der Euklidischen Elemente, und die Connnentare des EtitokinS von Askalon über einige Werke Archimcd'S und über die Kegelschnitte des Apollonins manche willkommene historische Notizen, aber das historische Element tritt bei ihnen doch sehr in den Hintergrund, und die Notizen kommen ziemlich vereinzelt und nur so gelegentlich zum Vorschein. Ganz historischen Inhalts ist nur das schon erwähnte vierte Capitel des ersten Buchs von Prokluö 1S , wel l i l’iipi» Alexandrini mathematicae collectiones, a Kederico mli1ur. Ei» AuSZNg aus Ramuü sonn allerdings nicht mchr viel enthalten. J. H'allin treaihc »f Algebra both historival and pructiral with some addiüonnl Ircatiscs. fol. London. 1685 . Als chic zweite Auflage davon ist zu betrachten Dc Algebra tractatus hisloricus ct practicus, welcher den größer» Theil deS zweiten Bandes feiner Opera matllmnatica. Oxttniao. 16W. lul. ausmacht. Diese Algebra ist in theoretischer Hinsicht ein ausgezeichnetes Werk und gewiß daS beste und vollständigste, was über diesen Gegenstand bis dahin geschrieben worden ist- Indem dem natürlichen systematischen Gange der Wissenschaft folgt, stellt er bei jeder Lehre die verschiedenen älteren und neueren, bessern und schlcchtcrn Methoden in einer Vollständigkeit zusammen, wie wir sie in keinem allen Werke, und selbst wohl nicht einmal in neueren sm- dcn. Außerdem geht dem Werke eine historische Einleitung vorher, welche einzelne recht hübsche Bemerkungen und Ansichten aufstellt. Und doch ist sein Werk gerade von Seiten der Geschichte fast ganz wcrthloS. WalliS hat nicht aus den Quellen geschöpft; ja, wie wir uns späterhin überzeugen werden, wenn wir uns bis auf diese Periode werden durchgearbeitet haben, er hat den größten Theil der Werke, die er nennt, selbst die der berühmtesten classischen Mathematiker, gar nicht gelesen. Die meisten seiner historischen Angaben sind irrig, oft auch noch mchr als daS, sie sind absichtlich entstellt. WalliS besaß mchr Patriotismus, als einem unpartheiischm Historiker gebührt. Sein LandSmann Harriot ist ihm Alles, unter seinen Händen möchte er am liebsten die ganze Algebra entstanden wissen, und es kommt ihm auf eine Hand voll Unwahrheiten nicht an, wen» es gilt, diesen seinen berühmte» LandSmann auf Kosten der Ausländer, namentlich DcScartcs, zu vergrößern, gegen dessen unsterbliche Verdienste er sowohl sich selbst als seine Leser geflissentlich blind zu machen strebt. Historische Unkunde dagegen ist es, wenn er Erfindun- gcn sich selbst zuschreibt, welche hundert Jahre früher Bombclli gemacht hatte, z. B. die Auszichung der Cubikwurzcl aus einem Bi nomium und die Anwendung dieser Theorie auf die Auflösung des sogenannten vasus irmluciUilis der cubischcn Gleichungen. Mit einem Worte, Wallis Werk ist in historischer Beziehung durchaus unbrauchbar; denn man muß vorher die Geschichte kennen, um bei der Lcctürc dieser Algebra zu unterscheiden, ob eine von dein Verfasser beigebrachte historische Notiz richtig oder un- richtig ist. / MiUiet- Dcc/mlc» Cursu» seu Mttmlux tnalhemuliern. 11. Tomt. Jjugduni. 1674. fol. cd. allcra ciirA A. \iimn, ih. 1690. Der erste Band enthält Trncfntus proocmialis do pi-oxrctim, mathescos et illustribus iiiatbcinaticis, p. 1 biS 108. Wer dieses oft gelobte Bnch nicht gelesen hat, hat gar keine Vorstellung davon, mit welcher Gedankenlosigkeit diese vorgebliche Geschichte der Mathematik zusammengestöppelt ist. Abgesehen von unzähligen einzelnen llngcnailigkeitcn und Irrthümern wimmelt das ganze Werk dermaßen von Widersprüchen in sich selbst, daß Jemand, der aus demselben Geschichte der Mathematik lernen wollte, am Ende allen Glauben an historische Wahrheit verlieren müßte. Ich sehe mich genöthigt, dieses strenge Urtheil durch Thatsachen zu belegen. 1 Der griechische Mathematiker Gcminus, von dein wir oben gesprochen haben, wird hier viermal genannt; zuerst S. 8. unter den Mathematikern vor Euklides, dann S. 11. und S. 47. im vierten Jahrhundert n. Ehr. als Lehrer des Proklns Diadochus, und endlich S. 70. als Zeitgenosse Ciccro's und Eulla's. ES werden an diesen drei Stellen nicht etwa drei Mathematiker dieses Namens unterschieden, sondern es ist immer derselbe. 2 Theo» Smvrnäus erscheint E. 12. u. S. 30. im zwölften, S. 61. im zweiten Jahrh. n. Cbr., und an allen drei Stellen wird dasselbe Bnch von ihm genannt. 3 Ni- koltiachus, der Arithmetiker, wird in zwei Personen getrennt; S. 20. Tcrtio urliis coiidilac sacculo also etwa Saec. Y. a. dir. tlorait Nicomaclius Aritlmicticus. S. 60. Saec. V. a. Chr. iNicomachus Aritlmicticus dc musica etiam c^it, ex Zarliuo. Aber S. 61. Saco. II. p. Chr. heißt es INiconiaohus Ccrassc- mis l’ylhaiijoriciis Havmoiiicos inannalo edidit duohns lihris. Nun hat aber Nikomachus schon auf dem Titel der 1538 in Paris erschienenen Ausgabe seiner Arithmetik den Beinamen }vöq / von feinem Geburtsorte Gcrasa in Sorten. Demnach ist Nicomachus Aritlmieticus und Nicomachus Geraseims eine Person, Eben so aber ist das Ilarinonices mauuale S. 61. eben das Werk dc musica, welches S. 60. sechshundert Jahre früher aufgeführt wird. 4 S, 20. heißt es Utriunquc opus Nico- machi exeudehat Yachclus Paris. 1538. also hat DechalcS die Ausgabe gekannt. Euiulcm Ai’ithineticain explieuit commcnla- 13 vio Asclcpius et Trallianus Aimnonii discipulus, et .Iamblichus, cujus ultimi scriptu dicuntur esse in Bibliotheca Begia. 9ip> Ua'iß DcchaleS auf dieser Scite miv als Gerücht, daß das Werk des Iamblichus als Manuskript cristirt. Aus der folgenden Seite ist er schon besser unterrichtet; da sagt er nämlich Constantini temporibus .Iamblichus Chalcidensis ex Coelesyria scripsit Graece introductionem in Nicomacbi arithmeticam l salschrr iitcl . . . quum Kam. Tennulius latinam fecit et notis illustravit. 1660. Dieses ist aber eben der S. 20. erwähnte Commentar. 5>> Mau hat lange den Mathematiker Enklides mit dem gleichnamigen Philosophen von Megara verwechselt. Das mochte hingehen, so lange man über den Mathematiker keine genaneren Nachrichten hatte. Seit man aber wußte, daß der Mathematiker unter den ersten beiden Ptolemäern in Alepandrien gelebt n»d gelehrt hat, war eine solche Verwechselung gedankenlos, da Alerandrien erst beinahe hundert Jahre nach dem Tode des Enklides von Megara 424 erbaut worden ist. Was soll man aber von einem Manne halten, der beide Facta sich vollkomme» deutlich macht, und dann doch nicht weiß, ob beide nicht vielleicht eine und dieselbe Person gewesen sind? DcchaleS raisonnirt S. so Ad Euclidem landein Geometram perveuimus, quem pleriquc eundem putant esse cum Euclide Megarensi, ex Megaris urbe in lstlnno, cujus nomine secta Megarica dicta fuit etc. Euit Socratis auditor, et huic successit Ichtias. Diogenes Laertius ait Platonem se contulisse Megara ad Euclidem. Constat item eundem Platonem Delios ad Euclidem remisisse .... Euclides Ccomet ra, sive idem sit cum Megarensi sive non, longo tempore Alexandrine Geometriam docuit etc. Aber genug bkS llltsninS. Wir seben, daß DcchaleS auf einer Seite nicht gewußt hat, was er auf der vorigen gesagt hatte. Dazu kommt noch, daß er nie die Quellen angiebt. ./. A. Krebs dissertatio de originibus ct untii/uitati- bus mathematicis. Jenae. 1702. 4. M. B. I/ . Marpergcr dissertatio historico - mathematica de falis matheseos. Altdorf 1702. 4. Zwei unbedeutende Dissertationen, die nur schon Gesagtes wiederholen. ^ Ber nardi veterum mathematicorum Graecorum, Kat/uorum ct Arabum synopsis seu scripta t/uae re- 14 prriri potucmnt dirigcnda vohnninibwt XIV. adjccla st Ilnntingtoni cpistolis. hnndon. 1704. S. Ist »vicbcv abgedruckt in J. A. Faliricii liildiolhcca CJraoca Ilamburg. 1716.'4. T. II, p. 564 — 587. Lib. III, c. 23, wo der Titel heißt Votvium inallioinatiooiui» scriptu, qiiac rc- pciiri pofucriint, dirigcnda volnminibus XLV. Quorum Oata- logum ab Fdvardo llcrnhanlo pvidcm composilum Thomas Smi- fhus Vir. Clariss. subjccil ojus Vitae ad calccm Fpistolarum lluidingfoniarum editac Fond. 1704. 8. — Bernhard hatte die Idee, eine Sammlung aller alte» Mathematiker in 14 ungeheuren Bände» herauszugeben. Diese Ricscnausgabe sollte neben einer kritischen Recension dcS Urtcrtcs eine gute lateinische, scrncr, wo möglich, eine oder mehre arabische, persische u. a. Übersetzungen, die alten, griechischen und arabischen und AuSzüge aus den wichtigere» neueren Commentaren n. s. w. enthalten. Jit jedem Bande sollte das Gleichartige zusammengestellt, und an die Hauptwerke von Eu- klides, ApolloniuS, ArchimcdeS, Pappus, Athenäus, Diophantus, Pto- lcmäus sollten die verwandte» kleineren griechischen, römischen und arabische» Schriften angereiht worden. Die vorliegende kleine Schrift enthalt die vollständige Disposition, den dctaillirtcn Plan dieses großartige» Unternehmens, und verdient insofern hier Erwähnung, als sie reichhaltige litcrarische Notizen darbietet rmd eine ausgebreitete Bekanntschaft des Verfassers selbst mit den unbedeutenderen alten Mathematikern verräth. Der sechste Band war für die Arithmetik und Algebra bestimmt, und sollte die Werke von Diophantus, Thcon Snwrnäus, Nikomachus, die Thcologumena, Jamblichns, Asklcpins, BocthiuS, Barlaam, Marimus Planudes, Thabct bcn Korah dc vcritatc propositionuiH algcbricarm» demonstralionibns geo- mclricis adslrucmla, Auszüge aus Scrtus Empiricus, aus Leonard von Pisa, aus Pell's Vorlesungen über Diophant, die Arithmetik von Abraham Kai, Alkhindi, einige anonpmc Werke imb Auszüge aus den ncucrcu Arithmctikcrn und Algcbristcn enthalten. Dieses als Probe. Bernhard giebt meistens auch an, wo die nöthigen Main,scripte zu finden sind. Er scheint sich sehr für die Idee intcrcssirt zu haben. Die Ausführung wäre indeß allch dann wohl unterblieben, wenn der Tod ihn weniger früh überrascht hätte. Bernardino Baldi, cronica dc Mutcmatici ovcro epi- tnmc dell’ Iatoria delle vitc coro. XJrbino. 1707. 4. Ich habe dieses Werk nicht erhalten können. Montucla T. 1. pres. p. V. stellt cs in eine Kategorie mit BlancanuS. Wald Versuch einer Einleitung in die Geschichte »nd Kennlnisse rc. Halle 1784. sagt „ein, BaumgartcnS Urtheil ohncrachtet, fleißiges und mit den nöthigen mathematischen Einsichten abgefaßtes Verzeichnis! von 366 Mathematikern, welches die Grundlage eines weitlänftigern Werkes, das aber der Tod des Verfassers hinderte, werden sollte." C. Wolfii programma de incrementis r/uac reg ma- thematicac intra nnins Saeeuli ambitwn cepere. IJn- lac. 1707. 4. ist mir unbekannt geblieben. Dagegen will ich bei dieser Gelegenheit bemerke», daß desselben Verfassers Klirzcr Unterricht von den vornehmsten mathematischen Schriften, im vierten Band seiner Anfangsgründe aller mathematischen Wissenschaftcit, und noch ausführlicher im fünfte» Bande der Element» Mntlieseos nniver- s»e, obgleich hauptsächlich Bibliographie, doch Manches auf Geschichte der Mathematik Bezügliches enthält. I. N. Fäsch, historische und methodische Einleitung in die gesammten mathematische» Wissenschaften. DreSden. 1716. 4. Sleinhritek, de mag in mathematim s. algebrn eom- mentado, praeler ordnn et progrenum arfis elrgnn- fitssimne mnm t/uoi/ue ejug ex leiben. 1710. 4. I. G. Doppclmaicr, historische Nachricht von den Nürnberger MathcmaticiS und Künstlern, welche von dreyen GcculiS her durch ihre Schriften und Kunst- bcmühunge» die Mathematik und mehre Künste trefflich befördert. 2 Tble. Nürnberg. 1730. fol. Büchner, Entwurf einer Historie der Rechenkunst. Waldenburg. 1730. 8. Diese vier Schriften kenne ich nicht. Eben so wenig habe ich die folgende erhalten können I. C. Hcilbronncr, Versuch einer mathematischen Historie. Ist er Theil, darinnen eine Abhandlung vom Nutzen der Mathematik überhaupt, und die Historie der Rechenkunst enthalten. Frkft. u. Lpzg. 1739. Wahrscheinlich aber ist der Inhalt dieses Werkes in das folgende aufgenommen. f C. Iscilbronner, hizloriu mafbexeo nnieerxae Pfande condifo ad xeculnm p. C. n. XI /. pracoi/nio- 1t> rum mathcmnlicorum vifns, dogmnta, seripln ct ma- mavri/tla romplcxu. Accedit rcccnslo clcmcntorum, enmpcndiorum ct o/terum mntkcmutieorum, ul i s i c g f r, A »1 b s f S fi 7 I! 11 a b 5' h i ri h 19 i'cffcr gcwcsm, wenn Montucla seinem ursprünglichen Plane getreu die angewandte Mathematik ganz van seiner Geschichte ausgeschlossen und sich nur über die Geometrie, Arithmetik, Algebra und höhere Analysis ausgebreitet hatte. Was das Werk jetzt an äußerer Vollständigkeit gewonnen hat, hat es an Tiefe lind Gründlichkeit verloren. Montucla hat die Quellen flüchtig, zum Theil wohl auch gar nicht gelesen, wovon wir im Verlaufe dieses Werkes mehre Beispiele finden werden. Es war aber auch in der That zu viel für einen Mann, eine ganz neue Bahn betretend, eine aus den unmittelbaren Quellen geschöpfte Geschichte der Geometrie, Arithmetik, Algebra, Mechanik, Astronomie, Optik, Schiffahrtskundc, Geographie, Chronologie, Gnomonik, Differential- und Integralrechnung zu schreiben. Dieses Streben nach extensiver Vollendung mußte die intensive ersticken. Dcßungeachtct besitzt die Mathematik in diesem Werke einen großen Schatz, und ich müßte wenig erkenntlich sein, wenn ich verhehle» wollte, daß mir dasselbe, trotz aller Vorsicht, die ich bei dem Gebrauche desselben nöthig fand, eine große Hülfe und oft ein wün- schcnSwcrthcr Wegweiser zu den letzten Quellen gewesen ist. Jedenfalls ungerecht sind die bitteren Urtheile, mit welchen Cossali den Verfasser fast durch sein ganzes Werk verfolgt, und worüber dieser sich mit Recht beklagt. T. II. udditions ct corrcctions p. 714. 715. der zweiten Auch. Einzelne Falsa werde auch ich ihm öfter nachzuweisen haben, aber wir wollen darum nicht ein Werk verdammen, dessen Verfasser so viel geleistet hat, wie Montucla. Sicher aber wiegt ein Fehler, den Wallis und Montucla zugleich begehen, bei dem ersteren unendlich schwerer, eben darum, weil er einen einzelnen Theil der Wissenschaft behandelt, und man deshalb durchgehende Gründlichkeit von ihm zu fordern berechtigt ist. Nach Wrcde Literatur, drittes Heft, S. 5. ist der erste Theil dieses Werkes ins Deutsche übersetzt und mit berichtigenden Anmerkungen und Zusätzen vermehrt von I. I. Berg- haus. Wredc giebt aber weder Ort noch Jahrzahl an. Snverien, histoire des progres de l^esprit humain dans les Sciences exactes ct dans les arts qui cn depen- dent, savoir, V arithmFtique, Falgebre, la gdometrie, l astronomie, la gnomonique, la Chronologie, la navi- gation, l’optique, la mechanique, Fhydranhqae, l’a- coustique et la musiqt/e, la geographic, Varcldtecture 2 ° etc.; avee an abrege de la vi e des aalcars /es /das celebres dans ees seienees. Paris. 1766. 8. Dic Geschichte ist nach den Wissenschaften geordnet. Als Anfang S- 426 — 500 die Biographien berühmter Mathematiker in chronologischer Ordnung. Es ist unbegreiflich, wie acht Jahre nach dem ersten Erscheinen dcS Montucla'schcn Werkes noch solch eine Mißgeburt hat auf die Welt koiniile» können. Ich will mich ein für allemal der Mühe überheben, dieses Buch mit seinem pomphaften Titel wegen einzelner Unrichtigkeiten in der Folge zu citircu; zu dem Ende schreibe ich hier als Probe folgende Stellen aus dem Abschnitt Histoirc de l’algebre i>. 32. folg. ab Malgre los ef- forts dos Mathematiciens pour perfeetionner la Science des Nombres et, iour resoiulre par lc inoyen de cetfe Science los problemos les plus curieux et los plus difficiles, cependant on recoimut, pi’eUe etoit resserree duns des limites I Notis igiiorons ee que cVIoient que ees Symboles, et eil quel eins les Arabes oonuiioucerrnt a los eniplover bitf» UH'iji/ stll'S dem angeführten Grande, überhaupt kein Mensch > seulement uous sitvons u’en suivsini netto ideo, c’est-u-live en so servant d’oxpressions generales et ile sigues universels, ils viiivent iv bont lo ciilculer 11011 soulenient ce qu’ils ne oonnoissoiont p»s eneoi-e was soll brt beiße»? giebt sich den» überhaupt irgend ein Mensch die Muhe etwas anzurechnen, was er schon weiß? aber der Zusatz macht die Sache »och besser, mais u»ssi ce >»'. On ernst que ees Peuples es war bisher immer nur von einem die Rede mit appris tout cela des Indiens. Gest une pretention sehr apodiktisch. Il y a des Krudits, au contraire, qui veulent que ce soient les Grecs qui aient en- seignd netto inveiitiou aux Arabes vorher hieß es ja aber ausdrücklich, daß die Arabische» Mathematiker zuerst auf diese Idee gekommen seien, tjno! qu'il ni seit, eeux-ci Hiiployoient des oaraeleres grecs pour exprinier les quantites eomiues et, les quanfites ineonnues da wissen wir ja auf einmal doch, 00 que n'etoinnt que ees Symboles. 11 s purent par ee moyen de- eoniposer une questiou !, pour comparer ensonible ees quantites, et ils lormerent ainsi une Aritlnnetiqiie sy ' e, on im Art qu’ils appellernnt. A/giitl Wuhnn/kahula soll heißen Algebre w'aimukalmla; vorher sollte ja der Arabische Name Aritli. synibolique rill, deux mots qui signitient repaver, relablir t das würde ein Araber in jenen Worten schwerlich entdeckt habe»; ^crgl. mein zweites Kapitel, et que 110118 avons rendus par le ,Uot Afgehre also das französische Wort Algebre ist eine Über- sttzlmg der beiden Arabischen Algial ^Valmulsinbala. Gns Ou- 22 vrages qu’ils publicrent sur cct, art, ne sont point vcnus jusqu’a nous juni Glücke ist das doch geschehen, lind ich hoffe in meinem zweiten Bande Manches daraus mitzutheilen, et nous igno- rerions la decouvcrtc qu’ils cn out fitilc, si Diophantc, qui vivoit vcrs lc inilicu du quatriomc siecle, ne nous l’cüt appris Diophant hat uns mit den Erfindungen der Araber in der Algebra bekannt gemacht, horribilc dictu! aber es kommt noch besser ou peilt meine regardvr eot Auteur comnic lc premicr Algchriste also hat doch nach Savericns Meinung der erste Algcbrist uns mit den Erfindungen der Späteren bekannt gemacht. Son livre est intitule, Qucstions ArithmJtü/ucs. C’est la qu’on voit les progres que les Arabcs y avoicnt faits jusqu’a cc teins !!! Da lauft dem Leser denn am Ende doch Alles bunt durch einander „Die Araber haben die Algebra crfunbcn; sie habe» sie von den Griechen gelernt und bedienen sich als Symbole Griechischer Buchstaben; wir würden nichts davon wissen, wenn Diophant es uns nicht erzählt hätte; Diophant lebte im vierten Jahrhundert; er war der erste Algcbrist; sein Werk macht uns mit den Fortschritten der Araber bekannt." Und dieses Alles so zu sagen in einem Athemzuge! Da fragt man doch endlich selbst verwirrt War Diophant ein Araber? Wann haben die Araber Algebra getrieben? Über die erste dieser Fragen ist Savcricn gewiß selbst nicht im Klaren gewesen, denn gleich hinterher wundert er sich, daß Diophant sich griechischer Buchstaben bedient, was er oben auch von den Arabern sagte. 11 est fitcheux que Diophantc ne nous ait fait connoitrc ni lern nämlich der Araber marche, ni celle qu’il a suivic dans scs meditations. Das erstere thut er allerdings nicht und zwar aus guten Gründen, das letztere aber immer. 11 sc scrt de ca- racteres grecs pour exprimcr les quantitcs ct les signcs qui les unissent ou qui les separent wenn diese Worte einen Sinn haben, so sagen sie die Unwahrheit; denn wenn hier Verbindung lind Trennung so viel heißen sollen als Addition und Subtraetion, so ist die Sache insofern unrichtig, als Diophant für die Addition, die wir durch -s- ausdrücken, kein Zeichen anwendet; . . . Xilandre, dans le cinquieuic siecle ! die Übersetzung erschieir 1575, also etwa elf Jahrhunderte später ti'aduisit l’Ouvragc de Diophantc du grec cn latin. Et environ vers le huitieme siecle daß es ein Jahrhundert später geschah, wollen wir hier nicht tadeln uu Arabe, noimne Mohammed hen-Musa, composa un traite d’Algebre, 23 dans lequel il donna Ia resolutio» des problemcs du sccoml degre, problemcs qu’o» n’avoit point encore resolus parfaite- '»»uit u. s. U'. — Noch ein Paar einzelne merkwürdige Stellen will ich heraushebe»; p. 41. Duos ces calculs er hatte vorher von Carda» und Bombclli gesprochen les quantites ctoient ecrites; c’est-ii-dii'c qu’on noininoil la cliose inconuue, la Cosa. Ou appelloit Censo , le produit ou lc quarre de la quantitc clier- cliee; Cuho ou le Cubc la troisieme puissance de cette quan- lite. On ohangea bien e» disterens lenis cette muniere d’ex- primer les quantites, mais on les eerivoit toujours. A l’cgard des signes, on se servoit des prenderes leüres de l’alphabet. Les Nombrcs enlroient aussi dans les equalions, et. tont. cela embarrassoit bcaucoup et ne donnoit gueres que des Solutions paitieulieres. Die größte Verwirrung aber scheine» diese Sachen in des Verfassers Kopf angerichtet zu haben. Den» S. 43. heißt es schon wieder Ce^ ’ on eerivoit toujours les quantites, conmie je viens de le dire. Cela fonnoit uu gründ cinbarras dans la resolution des equalions. M. Viele est le preniier qui s’est. servi des lettres de Talpliabet, pour designer les quantites commes. Die bekannten Größen aber hatte man nie durch Worte ausgedrückt das soll das ccrirc heißen, sondern immer durch Zahlen. — Was soll man aber mit solchen Sätzen machen, wie die folgenden Ce geometre Jacques Gregori deeou- vrit uue propriete des polygoncs inscrits et circonscrits aux seetions eoniques p. 100.; — Mr. de lieaune proposa a Descartes un probiern» qui est devenu tres celebre sous le nom de Probleme de M. de IJeaune, lequel consistoit a construi rc uue courbe, nvcc des conditions qui rendoient cette constmction extremement difficile p. 103.. — Quaul a Snellius, il cnrichit la Geometrie de deux tlicoremes, par lesquels il determina les limites du ccrclc, on lui inscrivant et circonscrivant des polygoncs avec unc exactitude presque aussi grande que cellc que lnuloph Vaneculcn sie! avoit eue pour l'extraclion de ses meines p. 80.. Aber ich will den Leser nicht weiter ermüden. Jedenfalls wird man es nicht übertrieben finden, weint ich sage, der Verfasser weiß nicht, wovon er spricht. ^Bei dem Lehrbuch der Mathematik durch B. F. Möuuich 2 Theile, jeder in 2 Abtheilungen Berlin 1781—07. 8. zweite 24 Aufi. 1800—1801 bcsiiidtt sich als Anhang zur zweiten Abthci- lrutg des ersten Theils eine Kurze Geschichte der theoretischen Mathematik nach der Ordnung der Hauptstückc im Lehrbuche. Da die kleine Schrift auf Originalität und Quellenstudium keine Ansprüche macht, so kann man es ihr nicht verargen, daß sie die Fehler ihrer Vorgänger rcproducirt. Sie steht zu anspruchslos da, als daß man an ihr sollte zum Splittcrrichtcr werden wollen. Sie ist immer eine angenehme und schätzcnswerthc Zugabe zu einem Lehrbuche der Mathematik, und es wäre zu wünschen, daß mehre Bücher der Art solche kurze historische Übersichten über ihre Wissenschaft lieferten. Hollenberg, Nachrichten von dem Leben und den Er. findungcn der Mathematiker. Münstcr. 1788. 8. Gemeine, traite elemcnluirc des mathematif/ues, au prmeipcs dAritkmrtiijue, de Geometrie et d’'Algebra, arec les sections conit/ues etc. etc., Vhistoirc des Dlu- t/iematir/ues pures et dc Georn'etres les plus celebres. Paris. 1789. 8. auch 1790. 1793. Beide Werke sind mir unbekannt geblieben. Von dem letzteren sagt Rogg sHandb. d. math. Liter. S. 223 „Bei der Geschichte der Mathematik, welche durch alle Jahrhunderte bis zum Ende des 18ten Jahrh, durchgeführt ist, sind auch, in besonderen Noten, die Biographien der berühmtesten Mathematiker angegeben." Ab. Passat, Quadro dei Progrcssi dellc Mathematiche tradotto dul Franc. Milano. 1793 . 8 . Über dieses Werk stehe unter 6. livssuk, cssai sur Hiistoirc generale des liiathcnmtiques. 1802. I. G. Prändcl, Algebra nebst ihrer litcrarischcn Geschickte. München. 1795. 8. J' IF Gilbert, de natura, constitutionc et historia mathcscos pritnae vel universalis, seu mctapkysices mathemnt.. commentatia. Halle. 1795 . 8 . Beide Werke habe ich nicht gesehen. A. G. Kastner, Geschichte der Mathcmatik seit der Wiederherstellung der Wissenschaften bis an das Ende des achtzehnten Jahrhunderts. Vier Bande. Göt- tingcn. 1796 — 1800. 8. Ein sonderbares Buch. Im Grunde thut Kastner hierbei nicht viel nichr, als daß er »nS feilte übrigen recht schaue matbcmatische Bibliothek beschreibt, lange Titel abschreibt, Stücke aus Vorreden und is1ulis mmciijvatui’iis eopirt, durch scchszcbn Seiten hindurch ei» fades Spiel beschreibt, bei welchem durchaus nichts mathematisch ist ;m;rgtou IhxvuynttrüSov tou FojiStAa oto r/j~a. 3. 8. „Eine sebr deutliche, mit einer zweckmäßige» Geschichte der Ana- lvsis versebcnc Anleitung zur Algebra, die H. v. Gobdcla eigentlich für seine Landsleutc in Griechenland bestinnnt hat, wo mait bisher bloß die Lehrbücher der alten griechischen Mtthematikcr kannte." Wredc a. a. £>. S. 34. 35. Ich selbst habe das Buch nicht gesehen. Jiclatnhrr, Ariltntirlii/He d DaS sechszchntc Jahrhundert, kubische Tartaglia und bi- qnadratische Ferrari Gleichungen. 4. Von Victa und Nvlandcr 1575, Allgemeine Cocffieicnten, /^iNobra Ssu-oiosa, Einfluß Diophant's bis zur Erfindung der Differentialrechnung Newton, Leibnitz. 5. Das achtzehnte lind neunzehnte Jahrhundert. Diesem oberflächlich dargestellten Plane werde ich in meiner Geschichte der Algebra folge» rmd jeder der vier ersten Periode» einen Band widmen, welcher einen in sich abgeschlossenen Zeitraum behandeln wird, so daß jeder derselben als ein für sich bestehendes Ganze angesehen werden kann. Mit dem Ende dcS siebzehnten Jahrhunderts gedenke ich aber auch meine Arbeit zu beschließe» und die historische Behandlung der Algebra in der fünften Periode, von Leibnitz und Newton bis auf unsere Zeit, einem Anderen zu überlassen. Ich habe in der oben gegebenen Übersicht und Recension meinet Vorarbeiten manches strenge, vielleicht manches zu strenge Urtheil gefällt. Es wird mir und meinein Werke vielleicht künftig nicht besser »g a- ge- r- er; zu >ev, ' 01 ach Ab geS >0 » bi- tett, ung Ge- inen M- anzc rrts jschc und !i»er > c,c- esscr gehen; ja ich weiß mit Gewißheit, daß ich bei dem besten Willen nicht int Stande bin, ein vollkommen tadelfteies Werk zu liefern. ES sei mir aber erlaubt, bevor ich meinen Gegenstand selbst angreife, hier auf einige Fehler aufmerksam zu machen, die ich in so vielen der oben reeensirten Werke gefunden habe, nnd die ich nun desto ge- ßissentlicher zu vermeiden mich bemühen will, je grausamer sie bei meinen Vorstudien in freutden Werken mich oft gequält haben, und je geeigneter sie sind, deut Zwecke einer wissenschaftlich historischen Arbeit störend entgegeilzntreten. Meine erste Bemerkung betrifft die Citate. Die Regel, daß ein historischer Schriftsteller, was seine Belege und Auetoritäten an- langt, erstens dieselben richtig nnd genau, zweitens aber nur das ci- tirt, was er gesehen hat, scheint so natürlich zu sein, daß man es leicht für überflüssig halten kann, über einen so trivialen Gegenstand noch Worte zu machen. Und doch, wie oft und wie vielfach wird gegen beide Regeln gefehlt! Was soll matt z. B. bei der Unzahl von Werken, welche Regioniotttanns theils selbst verfaßt, theils mit Vorreden und Atimerktutgen herausgegeben hat, mit einem solchen Citat machen, wie es Buchet in der Gpistola tul Vcctorem vor feiner Ausgabe Diophant'S giebt .Joannes tarnen Regioinontanus, tredeeim Dioplianti libros sc alieubi vidisse asseverut? Nun suche, wenn Du wissen willst, ob das wahr ist. Genauer ist Vos- sius scheinlich im Sinne gehabt hat, mit klaren Worten seinen Gcwahrs- rc> mann; wie konnte also Monttiela sagen, j’ignore sur quel fünde- ab ment? Daß auch Cardan falsch citirt, und daß bei Leonard von ich Pjsa sich eine solche Stelle nicht findet 17 , ist eine Sache für sich. A> Und solcher Beispiele könnte ich unzählige beibringen. Beispiele von str dem zweiten Fehler, daß Schriftsteller fremde Citate abschreiben, ohne lici von deren Richtigkeit sich selbst überzeugt zu haben, haben wir schon gli in unserer 7. und 11. Note vor Auge» gehabt, und sie sind über- da Haupt nicht weniger häufig, als die der ersten Art. Wallis z. B. vc> sagt in seiner Algebra Op. I. II. p. 2. Analyseos inventio- lies nem Platoni adscribit Theo, saltem si Theonis ca sint, qune sub initium libri 13. Euclidis habentur huc spectantia. Von ob hier ist dieser Aussprnch in die oben genannte Dissertation von Krebs jcd De originibus et antiq. matli. 1702 übergegangen, wo es S. 28 tu, so heißt Theo, vetus quidum scholiasta, Platoni, referente ftd Wallisio, analyseos inventionem adscribit. Das bättk nun der Ri lid sie 17 S. Cossnli Orig. etc. T. I. p. 183. Verfasser nicht abschreibe» solle»; den» was wäre leichter gewesen, als einen Euklid aufzuschlagen, lind sich zu überzeugen, daß an der eitirtcn Stelle Plaw'S mit keiner Sylbe gedacht wird? Durch diese Methode des Citircus fremder Citate sind unglaubliche Verwirrungen in die Geschichte der Mathematik gekommen, indem Irrthümer und Unrichtigkeiten oft Jahrhunderte lang anS einem Buche in das andere übergegangen sind, weil Niemand sich bic Milbe genommen hat, auf die letzte Quelle zurückzugehen. Am bequemsten aber ist es, wenn man gar nichts citirt und sich selbst für historische Auctorität genug bält. Da hört dann freilich alle kritische Prüfung auf. Und doch hat diese Schreibart eine große Auctorität für sich, nämlich alle Griechische» Historiker. Aus deni Gesagten folgen für den Geschichtschreiber zwei unerläßliche Regeln. Erstens, er muß nicht nur mit genauer Angabe der Stelle citircn, sondern auch solche Stellen, auf welche er Hypothesen bauen und aus denen er wichtige Schlußfolgcn ziehen will, zumal wenn sie aus Büchmr entnommen sind, die sich nicht iil Jedermanns Händen befinden, wörtlich und in der Sprache des Originals abschreiben. Diese Regel werde ich im Verlauf meiner Geschichte sogar bei den Citaten aus orientalischen Alictorcn befolgen, zum Besten der Mehrzahl der Leser aber in dem Falle eine treue Übersetzung hinzufügen. Zweitens, man muß nur Bücher citircn, die man selbst gelesen hat, und ungeprüft kein fremdes Citat abschreiben. Und so können meine Leser sich darauf verlassen, daß ich, weit entfernt durch unnöthig angehäufte Citate mir den äußern Anschein großer Belcscnhcit geben zu wollen, auch diese zweite Regel strenge befolgen werde. Ist mir aber die letzte Quelle nicht zugänglich gewesen, »md bin ich genöthigt worden, mich auf ein Zwischenglied zu stützen, was ich leider nicht immer habe vermeiden können, da ich nach manchen, für meinen Zweck wichtigen Werke bis jetzt vergebens gestrebt habe, so werde ich nie unterlassen, dieses ausdrücklich zu bemerken. Die zweite Bemerkung, die ich zu machen habe, luid die schon oben gelegentlich berührt worden ist, betrifft die treue und dem Geizte jedes einzelnen Schriftstellers angemessene Darstellung fremder Lehren und Vortrage. Jedes Jahrhundert erweitert den mc>,schlichen Gesichtskreis und steht in wissenschaftlicher Beziehung über dem vorigen. Nichts ist also bei der Lectüre alter Werke gewöhnlicher lind natürlicher, als daß wir unsern eigenen Standpunct dem alten Schrist- stellcr, den wir lesen, substituircn. Namentlich hat die Mathematik in »fliestet Zeit sich zu einem erstaunenswerthen Grade von Allge- nieinheit der Anschauung erhebe», und weiui innuerhi» der Keil» der heutige» Universalität i der vorhergehenden Stufe bereits ausgesäet liegt, weil jene sich nicht hätte entwickeln können, wen» die Vorstellung der Alten nicht dieser Verallgenieiueruug und Abstraetion von dem Partiellen fähig gewesen wäre, so wäre es doch sehr unrecht, wenn wir den Alten darum auch schon saetisch diese Universalität der Vorstellung beilegen wollten. Es ist zum Beispiel, waö die subjective Vorstellting anbelangt, ein gewaltiger Unterschied, ob ein heutiger Mathematiker einen Satz oder eine Formel von vorne berein in ihrer ganzen Allgemeinheit dedueirt und auSspricht, oder ob ein Älterer die Sache durch Jnduetion an einigen Fällen dar- thttt, und dann sagt, vt 8I0 in inlinitum. Was dort in seinem Gesammteindruck dem Geiste auf einmal klar vor Augen gestellt wird, ist hier erst als sich stufenweise entwickelnd gedacht. Es gehört daher mit zli den schwierigsten Geschäften des Historikers, die Vorstel- lungSweise nicht nur jedes Auetors, sondern auch jeder Zeitperiode in ihrem individuellen Charakter aufzufassen und wiederzugeben, und den Standpunct der Gegenwart im Auge zu behalten, ohne den früheren Schriftsteller aus seiner eigenthümlichen Sphäre in diese heraufzuziehen. Gegen diese Grundregel ist sehr oft gefehlt worden, und man ist bald nach einer, bald nach der andern Seite davon abgewichen; man hat entweder das aus dem beschränkteren Gesichtskreise Hervor- gegangene in eiteler Selbstgefälligkeit als völlig unbeachtenswerth verworfen, oder man hat im Gegentheil, und das ist fast noch öfter geschehen, das den Keim der Verallgemeinerung in sich Tragende schon für das wirklich Universelle gehalten. Hier die Mittelstrasse zu treffen ist nicht leicht, und ich weiß nicht, ob es mir immer gelingen wird. Wo es mir nicht gelingen sollte, da hoffe ich wenigstens in der Anerkennung meiner redlichen Absicht einen Ersatz für gerechten Tadel zu finde». Ich brauche wohl kaum zu bemerken, daß man sich täusche» würde, wenn man in diesem Werke eine vollständige Aufzählung algebraischer Werke und ihrer Verfasser suchte. Die älteren Historio- graphen haben, wie schon aus der gegebenen Übersicht erhellt, drei verschiedene Dinge in der Regel mit einander verwechselt, Biographien der Mathematiker, mathematische Bibliographie und Geschichte der Mathematik als Wissenschaft. Eine Geschichte des Entstehet^ und der allmähligen Fortbildung uild Entwickelung der Algebra ab' .19 st- ll» ts- bic Oll 111 - sa- mS ob mc bcr ar- cni irb, da- 'tcl- i» dcn reu gic- »an >cu; eor- ver- >ftcr mdc assc gc- »ig- für Wissenschaft zu liefern, eine treue Darstellung zu geben von dcn verschiedenen Stufen der Vervollkonimiiung, welche dieselbe durchlaufen musste, um von ihren ersten Keimen bis zu ihrem jetzigen Stand- puncte zu gelangen, das ist die Absicht, in welcher ich dieses Buch schreibe. Darum erwarte man hier nicht Namen, sondern Sachen, nicht vollständige Register von Büchertiteln, sondern Darlegung des Inhalts der wenigen Bücher, welche wesentlich auf die Forderung der Wissenschaft eingewirkt habe». Der Erste, der diesen Unterschied rein aufgefaßt hat, ohne ihn indeß innncr faktisch durchzufiihren, ist Montucla, der schon sehr richtig tcnicrft lj’histoirc d’utic science n’ost pas edle ile tous lcs aufciirs, qui cn ont ccrit, limis seulemeut de ceux, qui out contrilme pur leurs tmvaux ii cn reculer lcs ' os I cuumcration exactc des premicrs cst l’ou- vragc du liildiogruphe ct nou de rhistoiien. llist. des malli. T. 1. p. 648. ..iiif i- I, & 1 che» al- -rio- drei .gra-, nchü he»^ a>^ i l - Iwciles Kapitel. Ueber die verschiedene» Namen der Algebra. Vic Griechen unterscheiden ziemlich genau zwei verschiedene Theile derjenigen Wissenschaft, welche wir Arithmetik nennen. Bei ihnen ist ’Αοί'^αηπχη kcincswegcs die Rechenkunst, sondern es ist die Zahlen- wiffcnschast, deren Gegenstand die Einthcilung der Zahlen nach ihren besonderen Eigenschaften und Eigenthümlichkeiten, z. B. grade mib ungrade, Primzahlen und zusammengesetzte u. s. w. ist. Arithmetik ist also bei ihnen eilte ganz theoretische Wissenschaft, und man würde vergebens in den Werken von Nikomachus und den übrigen sogenannten Arithmetikcrn irgend eine Anleitung, oder auch nur eine Erwähnung der praktischen Rechenkunst suchen. Diese letztere führt dagegen bei ihnen den Namen Λογιική, vielleicht auch Λογιμ . Dieser Unterschied wurde schon von Plato gemacht 1 2 3 , ja er war vielleicht schon zu seiner Zeit gebräuchlich. Deutlicher noch als Plato setzt Proklus^ den Unterschied zwischen den theoretischen Wissenschaften, der Geometrie und Arithmetik auf der einen, und den praktischen, der Gcodesie lind Logistik auf der andern Seite, atis einander, indem er sagt die ersteren betrachten die Figuren und Zahlen an und für sich, die zweiten aber behandeln Figuren und Zahlen nur insofern, als sie gestaltete und gezählte sinnliche Gegenstände sind. Die Stelle, die Einthcilung der Mathematik im Sinne des Gcmi- nus darstellend, lautet so καΓα άλλον 6' αν TQoitov ον μαθημαικν 4 εμνειν ινε αζιαΰιν ο'περ καί Γε^ΰί’ο " καί οιονι ην μεν ιεοι α νοηά μνον, ην δε κερ, α αϊθηα καί ον- ιον εφαζομενην νοηά δέ πον καλοννε α καθ’ εανην η 1 -\-oyiafioq H ’KoyiOTi*^ Tt%vv r Suidas, 2 Oorgiiis c. 13. 3 Ed. Bas. p. 11. 12. Baroc. p. 22. Lib. 1. c. 13. i Soll wohl rfv heißen, wie Ich übersetzt habe. 41 ψυχή θεάμαα άναχίνει 'χρίονα ν εννλν ειχνήν ειδών. Καί ή μ\ν rettn rot, νοηά πραγμαενομέιη, δυο tu ποιια 5 ΜΧί χνριιοιχα ,» gedruckten TeN offenbar eine Lücke. Barocius stillt sie so aus neque intellectibilibus id assequitur rectis lineis, sed sensibilibus, inter- 42 ο λογκί ικο αύα κα^’ ανα, θερεί - 7 είννμίαν οΐ *° λο ν μερούμενν ίθεαι μι^.ία ° καλών Tivut; και ψιαλία die. D. h. „Auf gleiche Weise wird die Arithmetik eingetheilt in die Theorie der linearen, in die der ebenen und in die der körperliche» Zahlen» sie betrachtet nämlich die Gestaltungen der Zahl an und für sich als aus der Einheit hervorgehend, ferner die Entstchlmgsart der ebenen, sowohl ähnlichen als unähnliche», Zahle», ebenso die Fortschritte zur dritten Dimension. Die diesen analogen Wissenschaften dagegen, die Geodesie und die Logistik, beschäftigen sich nicht mit intclligibeln Zahlen oder Figliren, sondern mit sensibeln. Denn es ist nicht das Geschäft der Geodesie einen Cylinder oder Kegel zu messe», sondern kegelförmige Haufen und cylindcrförmige Brunnen.. s. Note 9.... Auf der andern Seite betrachtet der Logistikcr die Eigenschaften der Zahlen nicht an lind für sich, sondern mit Bezug auf sinnliche Gegenstände; daher giebt er ihnen auch die Benennung von dem Gemessenen, indem er sie μηλία und ψιαλία nennt." Mit einem Worte, Arithmetik ist eine theoretische, Logistik eine praktische Wissenschaft. Diesen Unterschied haben auch die Araber und die von ihnen wissenschaftlich abhängigen späteren Perser richtig aufgcfastt. So finde ich in der Persischen Paraphrase des ILIiilüsnt-rtl-Hisst» Essenz der Rechenkunst von Mohammed Bcha-cddin n auö dem sechzehnte» Jahrhundert die Paraphrase ist aber wohl jünger folgende Distinction „Die Zahlenkunde ist doppelter Art; die eine ist spcculativ, und das ist die Wissenschaft, in welcher man über die an der Zahl wesentlich hastende» Eigcn- ujm-ood-deen Lloc Khan, lieud Ua/.ce, to tlie Sudr Dccwanee and Ni- , zamut Udalut etc. Calcutta. 1812. 8. Das Buch ist nicht für Europa be- stimmt; sonst wäre» Ausgabe» Arabischer und persischer Mathematiter ohne Über- \ setzutig in einer Europäische» Sprache nicht zu billige». schaftcn nachforscht; diese Wissenschaft heißt in der Griechischen Sprache Arithmetik; die zweite ist praktisch, und das ist die Wissenschaft, aus welcher man lernt, wie man unbekannte Zahlen aus bekannten Zahlen ableitet. Der Anctor giebt eine Unterweisung in der zweiten Art"." Indeß haben die Araber für die Arithmetik, im Griechischen Sinne des Worts, keinen eigenen Ausdruck, sondern sie behalten den Griechischen Namen dg/^irp-ocrj, bei; eben so die Perser, wie aus der eben beigebrachten Stelle hervorgeht. Um eine echt Arabische Auctorität anzuführen, nenne ich nur den Titel, welchen Lhabct-bcn-Korah seiner Bearbeitung der Arithmetik des Nikomachns giebt j, „Auszug aus dem Werke des Nikomachlls über Arithmetik, zwei Bücher »." Griechische Arithmctikcr sind in nicht geringer Anzahl stuf uns gekommen; ich nenne nur die Werke des eben erwähnten Nikomachns, dann des Thron von Smyrna, Jamblichns, Ploti- nus, Pscllus, und die lateinisch geschriebene, aber ganz im Griechischen Sinne nach Nikomachns gearbeitete Arithmetik von BocihinS, vieler späterer nicht zu gedenken; ja selbst das stcbciitc bis zehnte Buch der Elemente Euklid's bilden ein Lehrbuch der Arithmetik. Dagegen haben wir keine einzige alte Logistik von den Griechen übcr- 12 p. 5. ^ s» ^*^ OiXc y> tjrLc j OyZ ^ ^ o'-S ^ \j tS oolj y \ 5 Ä öj> > OjJ Hub »och aus derselben Seite zu den Worte» des Textes 5 „tuib ihr der Rechenkunst Gegenstand ist die Zahl" sagt er „Der Gegenstand der Rechenkunst, derjenigen nämlich, deren Regeln Gegenstand der Unter, snchung in der zweiten Art der Zahlenknndc sind, ist die Zahl, in dem Sinne, wie man aus einer bekannten Zahl eine unbekannte finde» kann, nicht die Zahl an und für sich UiLw oOji w, nämlich in dem Sinne, welcher, wie erwähnt, Gegenstand der Arithmetik ist." 13 Casiri bibl. arab. hisp. Escur. T. 1. p 390., wo ci " Druckfehler zu sein scheint, woran dieses schöne Werk zumal in seinen schähcnS- wcrihc» AttSzügen auS Arabischen Manuskripte» leider nur zu reich ist. 44 kommen; das älteste Buch, welches ganz diesem Gegenstände gewidmet ist, ist die Logistik des Mönchs Barlaam aus dem vicrzchntc» Jahrhundert. Die Commcntarc von Theo» Alcrandrinns und von Entokius enthalten nur Einzelnes, >vas hicher gehört. Für die Algebra, wir sie in dem Werke von DiophantnS er- stbcint, haben die Griechen keinen eigenen Namen erfunden. Es fragt sich also, welcher der beiden genannten Namen dem Gegenstände dieses Werks angemessener ist. Diophant lehrt praktisch die Anflösnng der Glcichinrgcn, insofern wäre Logistik der Inhalt seines Buchs. Aber auf einer Seite betrachtet er in seinen Aufgaben immer nur Zahlen an und für sich, ohne Hindentuug auf praktische Anwendung was bei Thcon von Alerandricn geschieht, dessen Zahlen Theile des Halbmessers, Kreissehnen u. s. w. sind; auf der andern Seite lehrt er namentlich die Atiflösung der nnbcstinnntcn Gleichungen, welche sowohl auf einer gri'mdlichcn Kenntniß der Zahlen- theorie sich basirt, als auch in ihren Resultaten auf Zahlcnthcorie und Zahlcncigcnschaftcn zurückführt; insofern ist sein Werk reine Arithmetik, wie er es bekanntlich selbst genannt hat, ’AQi^ninxu ucutr. pl.. Bei den Indern heißt die Algebra int engern Sinne vija-gaaifa, vl ja - kriyä, " „UrsprungSrcchnnng, Ursprungsoperati o II, Causalrcchiinng," insofern als die algebraische Operation, entgegengesetzt der gewöhnlichen Zahlciirechnniig, zugleich die Gründe des Verfahrens an den Tag legt; auch kommt vlja allein in derselben Bedeutung vor; ferner heißt die Wissenschaft avyakla - ganita, avyakta-kriyd, „Rechnung oder Operation mit der Unbekannten" avyakla, im Gegensatze der gemeinen Arithmetik, welche unter andern auch vyakta-ganita, „Rechnung mit bekannten Größen" heißt. Alle diese Namen sind, wie die meisten Kunstausdrückc der Art bei den Indern, zugleich Desniitionen, und bedürfen keiner weitcrn Erklärung. Über die besonderen Namen knltaka und rarga-piakiiti für die Theorie der unbestimmten Glci- 14 Ich drucke hier, wie lm Folgende» immer, durch j einen Buchstaben sowohl des Jüdischen als des Arabische» Alphabets aus, den wir im Deiuschen nicht haben; er lautet etwa wie unser tlseli, oder wie das j bei den Engländern, denen diese Schreibart entlehnt ist. Ich ziehe es vor j, und nicht tisch zu schreiben, weil es indccent erscheint und auch zu Mißverständnissen Bcranlaffnng gebe» taun, wenn man ei» fremdes Zeichen durch vier deutsche wicdergiebl. Daher ist zu sprechen Vulsolia, Usdicbr, D schabet', Hedselua u. s. w. chnngcn, jener für die dcs ersten, dieser für die des zweiten Grades, werden mir geborgen Orts sprechen. Mehr historische Bedeutung hat, wegen ihres Einflusses auf Europa, die Benennung unserer Wissenschaft bei den Arabern, wo sie vollständig Aljabr oder Aljebr wii’lnnik;\lmlult f beißt, nie aber, wie eS bei uns jetzt gebräuchlich ist, Aljebr allein. Vielfach find beide Namen, besonders aber der erstere, gedeutet worden. Rafael Canacei, ein Florentiner, welcher im vierzehnten oder fünfzehnten Jahrhundert eine Algebra unter dem Titel Riu*io- immenlo ,u- main gewesen. Bevor ich die richtige Erklärung der fraglichen Namen gebe, erwähne ich noch einige falsche Dcuttuigcu, welche alle darin ihren Grtmd haben, daß »icistcus den Orientalisten Sachkcnut- niß und den Mathematikern Sprachkcnntniß abgeht. Unklar ist Go- lius" und scheint selbst nicht recht zu wissen, was er sagen will llinc ct vulgatum illud nomcn Algebra Analysin inathcinati- cam notat, utpote cujns praccipuum munus sit comparatioiiis terminos rcducerc ad optatam acquationis formam, ct specia- tim corundem partes ad integros redigere. In dem letzten Sinne, von der Wcgschaffung der Brüche, versteht es auch Casiri 20 , indem er den Ausdruck Aljebr durch regtikutio numerorum fra- ctorinii in intcgnim erklärt. Zwar könnte, wie wir sogleich sehen werden, dem Lcricon zufolge das Verbum jaltara diese Bedeutung haben; die Erklärung ist aber factisch unwahr; denn die 18 Ich habe die Stelle aus Kastner's Ecsch. der Math. Th. I. S. 1-i7. 118. abgeschrieben. Käflncr sägt hinzu „Helmrcich war auch IVotariu I'ublicus. Ich hoffe bei diesem Stinte wird er besser protocollirt haben." 19 illuliammeili Kü. Ketiri Ferganeiisis, qui vulgo Alfraganus dici- tur, clcmenta Astronoinira, Arabioe rt Latiae, cum aotis etc. opera Ja- cobi Galii. Amstcl. 1669. 8. Natae p. 11. 20 Ifibl. Arab. hisp. Escur. T. I. p. 370. 47 Arabischen Mathematiker brauche» für diese Operation nie das Verbum jiibara, saubern entweder kammala Coiij. II. von , oder akmala Coiij. IV. oj. oder tamnuuna Conj. II. von ^Y' Hören wir nach diesen beiden gelehrten Orientalisten nun noch die Ansicht eines eben so bcrichiutcu Mathematikers. Willis^ folgert so! Arabibus licitur Alg'ja’br VV alinukAbula .... lA quidem Lucas de Ilurgo Restitutionis ct Oppositiouis rogulnin iiiterprelalur. Aut etiain si gja.]>ara interprclenmr compo- iicre, et kabala appoiiere scu contrariari, nun male exponas w’almukaliala per conipositionem ejusque con- Irarium, boc est Syuthcsis ct Aualysis. Diese Deduktion ist geistreich, aber willkichrlich, und entspricht weder den Worten, noch der Sache. Über diese falschen Erklärungen des in Rede stehende» Namens unserer Wissenschaft muß man sich tun so mehr wtindern, als schon die ältesten Europäische» Algcbristcn die richtigen Deutungen gegeben haben 23 . Wir wollen der genaueren Erklärung wegen ei» wenig in die Sache eingehe». Die Araber hatten eben so wenig, wie ihre nächsten Schüler, die alten Italiener, den allgemeinen Begriff aufgefaßt, den wir mit dem Worte Gleichung verbinden. Die Einen, wie die Andern saunten nur, wie wir künftig sehen werden, Gleichheiten zweier absolut positiven Großen, und eine Formel, wie .r 5 ! ~>- r - j- 6 == o war in ihren Augen ein wahres Monstrum, ein algebraischer Unsinn 54 . Da nun die allgemeine Form 21 Bergt, lioscu tu The Algebra of Moli. b. Musn. London. 1831. 8. 186. 22 Opern T. II. p. 2. 23 Z. B. ifonarb von fijVi imb Lucas bt Bürge. S. Cossuli T. I. p. 23. 24 Darum vernachlässigt z. B. Cardau, der alle möglichen Combinationen der kubische» Gleichungen burcharbcitet, bie brci Fälle x' -j- px + q = »t x' - f- n x* - f- / Für diese drei Formeln geben sowohl die Arabischen, als auch die alten Italienischen Algcbristen besondere Regeln. Sind sie nun durch den Ansatz auf irgend eine Gleichung geführt worden, so ist es ihr erstes Geschäft, die negativen Glieder durch Transposition aus derselben zu entfernen, und diese Operation eben ist es, welche sie mit dem Namen jcbr oder !>I,>!' bezeichnen. Herstellung, I08titu1ic>, Iv 8 taniat >0 svon .ji'ilmrn, restituit, auch von chirurgischen Operationen gebraucht, zumal von der Heilung dcr Knochenbrüchc, woher auch in dcr Spanischen Sprache, welche so viele Wörter aus dem Arabischen anfgenom- mc» hat, noch jetzt ein Wundarzt algebrista heißt nennen die Araber diese Operation darum, weil die Gleichung erst nach dcr AuStil- gnng dcr negativen Glieder die für die fernere Behandlung brauchbare Form erhält. Dem Jcbr folgt nun die zweite Operation mokilbalah, Vergleich»ng von dem Verbum kiibala, in dcr dritten Conjugation oppc>8itu8 fuit; auch transitiv opposait, com- paravit, welche darin besteht, daß die gleichnamigen Glieder auf beiden Seiten dcr Gleichung mit einander verglichen, und, soweit es sich thun laßt, gegen einander aufgehoben werden. Nach Anwendung beider Operationen ist die Gleichung des ersten Grades aufgelöst in der Form x — a, die Gleichungen des zwcitcit Grades aber erst auf eine dcr drei kanonischen Formen x- - f- px — q, oder x~ - j- q ~ px, oder px - f- q ~ . t 5 rcducirt, und es kommt also bei den letzteren noch eine dritte Operation, die Auflösung hinzu. Dieses ist die übrigens nicht neue Erklärung der so oft gcmißdctttctcn Namen. Der älteste Arabische Algebrisi, Mohammed bcn Musa Alkharczmi, gebraucht die beiden Namen, ohne sie zu erklären; also waren sie wohl schon vor seiner Zeit, das heißt, vor dem Anfange des neunten Jahrhunderts, im Gebrauch. Bcha-eddin in seinem schon erwähnten Khiklsat-al-HisAb giebt die Erklärung in folgenden einfachen Worten .3 49 iüuliut iaiUi b. h. „Die Seite, welche mit einer Negation behaftet ist, wird ergänzt, und etwas dieser Gleiches auf der andern Seite addirt; das ist Al-jßW. Die homogenen und gleichen Glieder auf beiden Seiten werden ausgeworfen, und das ist Al-inokAlmluh." Mehr Stelle» der Art stellt Rosen in seinen Erläuterungen ju Mohammcd's bcn Musa Algebra zusammen 26 , welche alle in andern Worten dasselbe sagen. Ich fi'ge hier nur 25 p. 334. 335. Der Persische P-raphrast dehnt die Bedeutung des ullerdingS weiter aus, indem er sagt-. L ^ ^ _r ' '*++**& jl '-3^ ^ I»Uj iws j Lj ^ cj ,j] b j! jiCjj Jj jioüw q'u?j . J^Lsj r.— iJwi ._ l\.äL jj! lj 0*^5 i\äj\^ s! jjoO v_jyL3j q! Oo_oCj vXs*l_j 0^=»!, \j Lj, JvolS 'j *S*a .— e-Xa?- Lj wii _J q! UÜtyaj o»»wl Ij sXwXvi ^äjw y^ 2e? L'?» d. h. „ Wenn auf einer oder auf beiden Seilen der Gleichung eine Negation sich befindet, so ergänzt man die mit der Negation behaftete Seite, das heißt, man entfernt die Negation aus ihr, damit das snbtractiv an ihr hastende vollständig und ganz werde; zugleich addirt man den Werth der Negation auf der andern Seite der Gleichung. Aber auch, wenn auf einer Seile ein Bruch ist, so entfernt man den Bruch, indem mau an seinem Platze die Einheit ergänzt, und das Entsprechende auf der andern Seite addirt. Also eine Negation oder einen Bruch entfernen, »nd das Subtractive zu etwas Additivem, und den Bruch zur ganzen Einheit ergänzen, und das Entsprechende auf der anderen Seite addircn, ist Iebr, wie auch in der Sprache der Sinn von jahara ist, etwas Zerbrochenes zusammenfügen." Was sich der Paraphrast hier bei der Wegschaffung der Brüche gedacht hat, ist nicht ganz klar; von einer Weg- schaffung des Nenners durch Multiplication ist nicht die Rede, sondern er meint, wenn auf einer Seile der Gleichung z. B. \x steht, so muß man auf beiden Seiten \x addiren, damit wir auf der ersten Seite ei» ganzes x erhalten. Dadurch ist aber wenig gewonnen, weil nun der Bruch %x auf der andern Seite steht. Der Fehler scheint darin feinen Grund zu haben, daß der Paraphrast den Ausdruck £ welcher ganz allgemein eine Ausnahme von der gewöhnlichen Ordnung, im mathematischen Sinne aber die Negation, Siibtraciivilät bedeutet in einer zu weilen Bedeutung genommen hat. 26 S. 1^0 — 185. l. 4 50 noch folgende zierlichen Verse aus der Algebra des Persers i\ejm- rtlilin Kltstn hinzu, welche in gereimten Distichen geschrieben »nd zugleich mit dem IvliilA^al-ul-IlisAb in Calculta 1812 gedruckt ist. Sie befinden sich in dieser Ausgabe S. 447 Vers 11 —15, und bei Rosen a. a. O. S. 185. *8 ^5 sS j, \j jfr* Jjl er 3 " ÜiJ* ß'* ji j^ jO Ls /*0 ^ 4—1 aJ O hAä ijmu ^ jSl s\Xst ^ jaO 1 —P Lj oo y> Le J 27 Moli. ben Musa ed. Kosen, p. 181. 182. iyi Ufc_jü _5 gjiü XLläll* “oJLrtll „Die Wissenschaft wird von diesen beiden Operationen die Wissenschaft des Jcbr und Mnkabalah genannt, wegen des häufigen Gebrauchs, den sie von ihnen macht." Übrigens braucht nicht erwähnt zu werden, daß nicht nothwendig bei jeder Aufgabe beide Operationen angewandt werden muffen. Die Inder, welche bei ihrer vollständigen algebraischen Bezeichnung und ihrem weiteren Gesichtskreise nicht nöthig haben, die Gleichung auf die specielle Form zweier positiven Gleichheiten zurückzuführen, haben für die Operation, welche die Araber Aljebr nennen, deshalb auch keinen eigenen Namen; eben so wenig hat Rosen» in Fcizi's Persischer Bearbeitung der Lilavati von Bhaskaras, welche sich den Indern anschließt, den Namen Jcbr angetroffen. Die viel wesentlichere Operation der Mukabalah dagegen kennen die Inder unter dem Namen sama-;6dliunum oder tulya-ro de Algebra en aritlunetiea y geometriu. Dagegen führt G 0 ssclin' s 1577 herausgckommene Algebra wieder de» Titel He arte inagna seu de oeculta purte nuineroruin, epiae et Algebra et Almucalmla vulg-o dicitur. Eine spätere Auctorität für Almukabalah weiß ich jetzt nicht anzuführen. Jedenfalls aber beweisen diese Angaben, daß es nicht ganz genau ist, wenn Rosen sagt, der Nanie Almukabalah erscheine seit dem Anfange des scchszchnten Jahrhunderts nicht mehr aus den Bnchcrtiteln ^. Gosselin beweist aus einer Seite, daß der Name noch später erscheint, auf der andern Seite aber hatte man auch schon sehr viel früher angefangen, ihn wegzulassen, so daß der Anfang des scchszchnten Jahrhunderts hier gar keinen Haltpunct gewährt. Reben diesem aus Asien herübcrgrpflanzten Namen entwickelten sich aber schon frühzeitig andere mehr einheimische, die indeß alle über lang oder kurz von dem jetzt gebräuchlichen verdrängt worden sittd. Schon bei den ältesten Italienern standen dem cbcit besprochenen Namen andere zur Seite, deren Ursprung aber, zum Theil wenigstens und mittelbar, ebenfalls in Arabien zu suche» ist. Wir finden hier für unsere Wissenschaft die Bcnemumgcn der Ar inagna, der Practicu speculativa und der Ars rei oder Ars rei et Census, zu deren Erklärung Folgendes dienen möge. Die Algebra erschien Anfangs mir als ein höherer Theil der Arithmetik; so bei Bonacci, Pacioli, Stifel, Cardan und vielen An- d>e wunderbarliche und gantz Philosophische Kunst dess rechnen-, nennet Die Coss also nicht Algebra, in deutsche sprach durch den Druck gebracht u. s. w. 37 Arithmcticae practicne incthodus fucilis, per Gemmum Frisium. Antw. 1540. 8. Ich habe die Au-g. Cotoniae 1571. 8. in Handen gehabt, wo man vergl. p. 71. 81. 110. u. f. w. 38 a. a. O. S. 186, Since the commenecment of tlic sixtentli reu- tury, llie word mokälmlah docs no longcr appear in the title of Alge- braic Works. bereit, unb erhielt so als Gegensatz der niedern ober gemeinen und praktischen, znmal anf kaufmännische Verhältnisse angewandten Arithmetik den Namen der Ars inagna, ober Italienisch Arte inaggiore, indeß jene btc'Ars iiiinoi hieß. Wie es scheint braucht diesen Namen schon Leonard Donacci; sicher aber ist er vor Luca Paeioli im Gebrauch gewesen; denn dieser zahlt ihn unter den gebräuchlichen Namen der Algebra mit mtf 39 . Diese Benennung scheint indeß nur sehr vereinzelt die Grenzen Italiens überschritten, und mit Cardan's Ars magna, die zuerst 1545 erschien, daheim ihre Existenz beendigt zu haben. Außer Italien ist mir der Name bis jetzt erst einmal vorgekommen, und zwar anf dem Titel der schon angeführten Algebra von Gosselin, Dc arte inagna etc. Paris. 1577. Ob der Name der Ars inagna oder vielmehr die Unterscheidung der Ars inagna voll der Ars minor vielleicht schon im Arabischen begründet ist, läßt sich nicht eher mit völliger Gewißheit bestimmen, als bis die Arabischen Mathematiker uns etwas vollständiger als bis jetzt vorliegen werden. Bei Casiri kommt der Titel der Ars inagna zweimal vor, aber in anderem Sinne; es bedeutet daselbst nämlich eine encyklopädische auf eine eigenthümliche Weise dargestellte Bearbeitung verschiedener Wissenschaften, als deren Erfinder oder wenigstens Verbesseret- Mohammed ben Ahmed Almarakschi genannt wird 40 . Den alten Italiener» war lange Zeit die Algebra weiter nichts, als ein Hilfsmittel arithmetische Räthsel aufzulösen; man verstand, wie es scheint, noch nicht sie auf praktische Lebensverhältnisse anzuwenden. Dieses Letztere, die Anwendung der verschiedene» Rechnungsarten auf das gesellige Bedürfniß, machte einen wesentlichen Theil der Ars minor aus, die Practica nicrcautilis. In diesem Gegensatz erhielt die Algebra als eine ganz theoretische Wissenschaft den Namen der Practica speculutivu, ein Titel, der hier nur kurz 39 Cossali T. l. p. 1t. 25. 40 Bibi. Arab. Hisp. Escur. T. I. p. 380. nennt bet Berf. ein encyklopädisches Werk von Sclia’yä ben Ferigdn unter dem Titel ^IOi »ubi scientiarum ferme omnium regulae luctis quibusdani lineis atque circulis, mira brevique arte traduntur. Id scribendi genus Arabum Scriptores Artem Magnam appellant.” T. II. p. 90. Moli, ben Abmcd, vulgo Almarakschi .... Artem quam vocant Maguum vel invenit vel saltem adornavit. Also hat die Arabische Ars magna mit der Italienischen wohl nichts gemein. angeführt werde» darf, weil er weiter keine historische Bedeutung erlangt hat. Weiter verbreitete und länger behauptete sich der letzte der angeführten Namen in verschiedene» Sprache»; um denselben zu erklären, ist es nöthig auf das Arabische zurückzugehen. Die Arabischen Mathematiker nennen die unbekannte Große sc/mi , ves, ali- jiiitl vielleicht dem Sinne nach entlehnt von dem Indischen yftvat- tAvat, quantum tuntiiin, d. i. qmmtiimcunque sit und dein Quadrat i»ül, zinssussio, Hiervon bildete Leonard Bonacci, der unmittelbar von ihnen schöpfte, die wirklichen Lateinischen Übersetzungen, und nannte die Unbekannte ros und deren Quadrat von», in der Bedeutung, nach welcher dieses Wort im spätern Latinismus dem Arabischen null entspricht 41 . Wie nun im Arabischen voit zwei Operationen, so erhielt in Europa die Wissenschaft ihren Namen von den beiden ersten Potenzen der Unbekannte», und wurde Ars rei et eensus, oder auch blos Ars m genannt. Diese Benennung erhielt sich längere Zeit auch außerhalb Italien. Ich führe hier folgendes Beispiel von Regiomontanns* 2 an, weil cS 41 ES ist mir nicht überzeugend, was Cossuli T. I. p. 12. 13. sagt Non tu gia invenzio» di Leonard ciiiuiuarc il quadrato censo; per l’opposto dal suo scrivere quadratus 6. ii. A. Und in Deutschland erscheint seit Christoph Rudolff 1524 und Michael Etifcl >555 die Coß". Selbst die unbekannte Große erhielt den barbarischen Namen mimend cossicns, cossischc Zahl, und behielt denselben ziemlich lange". Der Name der Coß scheint sich noch in, siebzehnten und am Anfange des achtzehnten Jahrhunderts neben den gebräuchlicheren erhalten zu haben. Beispiele sind >'io. Ucimari, msi Ditluuavsi avitlimetica analytica vulgo Coss oder Algebra. Franks, a. .. 1501. 4. — P. Rothe, 44 Arillim. pract. methodus facili. Coloniae 1571. p. 81. 105. HO. 112. etc. 45 Die 6off Simfloff Rudolffs, mit schonen Exempeln der Coss durch D!i- chael Slisel gebessert und scbr gemebrt. Zu Königspcrg in Preussen. 1550. 4. Nergl. Note 06. Daselbst kol. 62. beißt es „Die alten unser oorfar» . . . s'abenn »ach ernstlichem vlchss erfunden die »off, das ist die rcch- nung von einem ding" u s. >v. Und fol. 140 „Da mit aber betaut werde der Ursprung, von weichem geflossen ist der Nahm discr libung, das es dir Coss gcnrnnet wirk, verstehe, das die alten diss werck ge- ncunet baden ein Kunst von dingen, darumb das durch sve verbor- genhcvt der fragen, so von dingen, das ist, von zale» und Masse» geschehen, anssgeloset werden. Das bezeugen alte bücher nicht vor wenig jarcn von der Coss gcschribcn. Zu welchen die quantitet, Dragma, Res, substantia ;c. nicht durch Character, sondern durch gantz gcschribene Wort, bargegebeu sind. Nnn sonderlich in pracli- cirung eines heben Exempels, wird die Frage gesetzt, Ein ding, mit sollichen Worten. Ponatur »na Res. Diewcvl nu dise Kunst von den Graeci zu den latinischen kommen, von jhncn mit sampt aller Philosophi aussgenommcn, haben spc die wähle», dem latin nach zu welsch gencnnct Regule de lc Cosse. Denn Cossa bedeut ein ding, von bannen kompt das es von den Teutschen Dic Coss genent Wirt. Derselbe Versager gebraucht indeß in seiner eben erwähnten Arithmetica integra immer die Namen Algebra, ars Algebra, ars lebri. 46 So noch immer in seinem Cursus s. mundus mathematicus, dessen theoretische Abhandlungen, beiläufig gesagt, bedeutend besser sind, als der historische tractatus proemiulis. Dergl. T. I. p. 571 ist- Algebra. Da f'riljt es j. B. p, 572. prop. II. Denominatio numerorum cossicorum . . . 1’roptcrca dicuntur numeri denominati, cossici item vocantur, quia Itali quadratum rosam dixerunt falsch ! et consequenter numeros cossicos quasi numeros radicis ct quadrati. 58 Aritlimetica pliilosophica oder schrie neue und wohlgegründete künstliche Rechnung der Coß und Algebra. Nürub. 1607. fok — J. H. Krasser, Regula Cos of Algebra, zynde de allerkonst- ryksten Regel om het onbekemlc bekent tc maken etc. Amsterd. 1663. 4. — Neu vermehrter arithmetischer Raritäten - Kasten, in welchem die curicuse» regida falsi, cacci und coss oder Algebra rc. Lcipz. 1716. Aus den classischen Werken ist indeß dieser Titel seit dem Ende des scchszchnten Jahrhunderts verschwunden. Ganz ohne historische Bedeutung ist das Erscheinen dieses Namens auf Büchcrtiteln in dem gegenwärtigen Jahrhundert, weil da diese Erscheinung nicht mehr natürlich und aus dem Geiste der Zeit hervorgegangen, sondern willkührlich herbeigezogen ist. So in Cbrist- inaun, ars cosac promota. Francof. 1813. und desselben Cardanus suevus sive de functionibus cosac resolventibus tractalio. Htuttg. 1815. Solche Titel sind Anachronismen. Seit dem letzten Viertel des sechszchntcn Jahrhunderts erhielt die Algebra durch Victa eine andere Gestalt und einen ander» Namen. Victa that den ungeheuer» Schritt, für die Zahlencoesßcieu- tcu, an denen bis dahin die ganze Theorie der Gleichungen haftete, allgemeine oder Buchstabcncocfficientcii zu substituircu, und dadurch die Wissenschaft über den bisherigen Standpunct der Auflösung arithmetischer Kunststückchc» zu erheben. Diese allgemeinen Cocssicicntcn nannte er spccies, und daher die Algebra selbst logistica oder aritlimetica speciosa, im Gegensatze zu der gemeinen Arithmetik oder aritlimetica mimerosa. Dieser Name, aritlimetica speciosa, erscheint nach Victa abwechselnd mit dem der aritlimetica „niver- salis. So groß indeß die Verdienste Vieta's UM die Wissenschaft waren, so hat sich doch weder die Form, noch der Name, de» er derselben gab, lauge erhalten; denn er hatte das Unglück, und die Wissenschaft das Glück, daß mit ihm eine neue Periode begann, in welcher eine Ersindung die andere fast gewaltsam drängte; es ist genug, die Namen Harriot, Oughtred, Deseartes, Watlis, Leibnitz, Newton zu nennen, um es begreiflich zu machen, daß die wichtigen Theorien und Formen Vietas verdrängt werden kounteu, bevor sie so recht eigentlich in das Leben der Wissenschaft eingedrungen waren. Daher erscheint auch der Name der Aritlnuctica speciosa sehr vereinzelt auf den Titeln algebraischer Werke, wenngleich der Ausdruck spccics, so wie die Unterscheidung der beiden Formen der Algebra in eine mimerosa und eine speciosa noch lange tut Gebrauch blieb. 50 So sagt Dcchalcs Algcbram communiter bis temporibus in duas partimur, in numerosam scilicet, seu vulgarem et antiquum, et in speciosam, utramque iisdem nixam principiis . . . Prima Diopbantum autliorcm agnoscit, liacc \ ictam . . . *' Hub Newton's allbekannte Aritbmetica universalis beginnt mit den Worten Computatio vel fit per numeros, ut in vulgari Arithmetica, vel per species, ut Analystis mos est. J„ djcsn Stelle werden wir zugleich auf einen andere» Namen geführt, der sich meines Wissens gleichfalls bei Victa zuerst vorfindet, und sich bedeutend länger als der vorerwähnte, bis weit in das vorige Jahrhundert, ja wohl noch bis in das gegenwärtige hinein, gehalten hat. Es ist der der ars analytica, aritbmetica analytica, analysis. Schon dasjenige Werk Victa's, welches die Gestalt, die er der Algebra zu geben gedachte, auseinandersetzt, fuhrt den Titel I» altem unalyticum isagoge. Darauf erschienen lleimari ursi Dithnmrsi aritbmetica analytica. Francs. 1601. — tlarrioti artis analyticae praxis. London. 1631. — Renaldini opus algebraicum in quo . . . Ars analytica quam obscure Fr. Yieta litteris inundavit, traditur. Anconae. 1644. — Dcss. Ars analytica mathematm». Florent. 1655. — dc la Iliro, la con- struction des equations analytiques. Paris. 1679, und mizäh- ligc andere. Als nach den großen Erfindungen der letzten Hälfte des siebzehnten Jahrhlindcrts die Infinitesimalrechnung den Namen der analysis infinitorum erhielt, behauptete sich die Algebra als analysis finitorum, und noch Käsiner's Anfangsgründc der Analysis endlicher Großen ist jedem Mathematiker bekannt. I» der neuen und neuesten Zeit haben einige Zeloten für das Studium der Griechen gegen diesen vermeintlichen Mißbrauch des Worts Analysis geeifert, und gemeint, dasselbe gehöre allein der Geometrie an. Aber diese Ansicht ist offenbar falsch, und selbst diejenigen Worte, mit welche» Euklidcs, oder wenn man will, sein Scholiast und Überarbeitet Theon von Alcrandricn, den Begriff der Analysis dcfinirt, schließt die Auwendtmg dieses Namens auf den Caleul auf keine Weise aus. Er sagt nämlich nach dem erste» Satze des dreizehnten Buchs AvuAucfic; sifTi Aipjvg 7ü v ^r~ovtiivov , diu, 7 ; consentaneum est, ut sit Zcteticc quA invenitur aequalitas proportiove magnitudinis, de qua quaeritur, cum iis quae data sunt. Poristice, qua de aequalitate vel proportione ordinati Theorematis veritas examinatur. Exegetice, qua ex ordinata aequalitate vel proportione ipsa de qua quaeritur exhibetur magnitudo. Atque adeo tota ars Analytice triplex illud sibi vendicans officium definiatur, Doctrina hene inveniendi in Mathematicis. Demnach ist die Algebra wirkliche Analysis, auch im Sinne der allen Griechen, und es sind diejenigen, welche 48 Cursu* T. I, p. 29. 61 dieser Wissenschaft zurrst den Namen AnalysiS beilcgtm, deshalb nicht zu tadeln, gleich als hätten sie Fremdartiges mit einander vermengt, sondern vielmehr zu loben, weil ihr Scharfblick scheinbar Getrenntes unter einem gemeinschaftlichen hoher» Gesichtspunkte zusammenfaßte. Jedenfalls aber ist der Name Analysis für unsre Wissenschaft bezeichnender, als der gebräuchliche Name Algebra. Denn gerade das, was dieses Arabische Wort bezeichnet, ist uns fremde geworden, wie aus den, oben über diesen Ausdruck Gesagten sattsam erhellt. Ich habe oben schon etwas von der Benennung der Unbekannten und ihres Quadrats erwähnen müssen. Die vollständige Entwickelung dieses Gegenstandes spare ich mir für eine andere Gelegenheit auf, wo dieselbe mehr an ihrem Platze sein dürste; ich erwähne nur vorläufig, daß diese Benennungen sowohl als die dafür gebrauchten Zeichen in verschiedenen Zeiten und bei verschiedenen Volker» fast noch mehr variirt haben, als die Namen der Wissenschaft, der sie angehören, und daß eine historische Kenntniß der einen wie der andern zum Verständnisse älterer Schriften durchaus nothwendig ist. Die Algebra ist Rechnung emd führt demnach, wie jede Betrachtung von Menge und Grüße, in ihren letzten Elementen auf deit Begriff der Zahl zurück. Von ihrer Geschichte kann daher die Geschichte der elementaren Zahlcnkundc, der Arithmetik, nicht ganz getrennt werden. Ich muß also, bevor ich auf die Algebra selbst komme, zunächst mich etwas ausführlicher über die Geschichte der Zahlen lind der Zahlenkundc im Allgemeinen, und der Griechischen insbesondre ausbreiten, und das soll der Gegenstand der nächsten Capitel werden. Drittes Kapitel. Ueber Zahlensysteme und Zahlzeichen. -Vcr Begriff der Zahl ist ei» einfacher und den Meiste ursprünglich gegebener; deshalb sind alle Versuche, denselben wissenschaftlich zu dc- sinircn, ebenso wohl gescheitert, wie die Bemühungen die Euklidischen Grundsätze zu beweisen. Zu dieser Ursprünglichkeit des Begriffs an und für sich gesellt sich die frühe Nothwendigkeit, Zahlen zu gebrauchen, so daß die Erfindung einer elementaren Rechenkunst sich in die Zeiten der allerersten Entwickelung des gesellschaftlichen Lebens verliert und der historischen Nachforschung sich entzieht; und es heißt nur auf die nächste Quelle hinweisen, wenn z. B. von den Griechen die Phönizier als Erfinder dieser Kunst genannt werden. Weniger noch, als irgend eine andre Wissenschaft, hat die Kunst zu zählen und Zahlen ju addircn und zu subtrahircn einen sichtbaren Ursprung gehabt; das früheste Bedürfniß hat dieselbe mit sich gebracht, die Natürlichkeit und Ursprünglichkeit des Begriffs hat das Vorhandensein der Kunst vor dem ungebildeten Verstände, der gerade das Einfache, Nächstliegende am wenigsten bemerkt, versteckt gehalten, und gewiß Jahrtausende lang sind die einzelnen Regeln des Rechnens nicht nur vorhanden, sonder» sogar allgemein im Gebrauche gewesen, bevor eine Arithmetik oder Logistik als Wissenschaft sich herausbilden konnte. Mit Recht sagt Plato in Bezug auf die Sage, daß Pala- mcdcs der Erfinder der Zahlcnkunde sei Wie, hat denn etwa Aga- memnon ohne Palamcdes nicht gewußt, wie viele Füße er habe *? Die vergeblichen Bemühungen, den Ursprung der Rechenkunst auf irgend einen historischen Namen zurückzuführen, haben ihre Veranlassung in der Anerkennung der allgemeinen Wahrheit, daß jegliches Ding seine» Grund haben müsse. Das ist allerdings auch ganz richtig, nur liegt dieser Grund hier tiefer als in irgend einer äußeren 1 Pluto dc republica, Ed. Stephan. Frnncos. 1602. fol. p. 697. 63 Veranlassung, er liegt in der innersten Natur des menschlichen Geistes. Ebenso wenig, als es der Nilüberschwcnmumgcn und der in Folge derselben nothwendig gewordene» Wasserbauten und Landcrcin- thrilungen in Ägvptcn bedurfte, um der Geometrie ihren ersten Ursprung zu geben, ebenso wenig bedurfte es eines Palamcdes oder gar eines Phöuizischcn Welthandels, um eine dem menschlichen Geiste und Bedürfnisse so verwandte und nahe liegende Kunst, wie die Kunst zu zahlen und j» rechnen, ins Leben zu rufen. Wie sich nun frühe die Nothwendigkeit, mit Zahlen umzugehen, einstellte, so bildete sich gewiß auch vcrhältnißmäßig frühzeitig daS Bedürfniß heraus, deut Gedächtnisse durch Notirung und Aufzeichnung gewisser Zahlen und Summen zu Hilfe zu kommen. Für eine gewisse Anzahl von Einheiten ebenso viele Striche in ein Brett zll schneiden oder in einen Stein zu kratzen, liegt dem Bedürfnisse des geselligen Verkehrs so nahe, und ist so sehr viel einfacher, als die Zergliederung und graphische Darstellung der articulirtcn Laute der menschlichen Rede, daß gar nicht daran zu zweifeln ist, daß die Zahlcnschrift lange vor der Buchstaben- und Wortschrift vorhanden gewesen. Dieses beweist auf einer Seite noch heutzutage der gemeine Mann, der des Schreibens unkundig, dennoch an seiner Stubcnthür gewisse willkührlichc, nur ihm verständliche Zahlzeichen als Gcdächt- nißstützcn ankreidet, wie ich selbst öfters zu beobachten Gelegenheit gehabt habe; auf der andern Seite liefern den historischen Beweis für diese Hypothese mehre Amerikanische Völker, z. B. die Ayteken in Mcrico, die Muyska's in den Hochebenen von Cundinamarra und Andere, welche bekanntlich, wie alle Völker Amcrika's, mit der schriftlichen Darstellung der Rede bis zur Ankunft der Europäer in Amerika unbekannt geblieben waren, bei denen sich aber nichts desto weniger graphische Systeme von Zahlzeichen vorßndcn *. Zum mo- Gebrauche im Verkehr sind indeß geschriebene Zahlen gewiß viel spater verwendet worden. Man bediente sich ursprünglich einer Stcinchcn daher calculare, Samenkörner, Kügel- cfycit, welche späterhin, bei weiterer Fortbildnng ju konstante» Zahlensystemen, auf Schnüre gezogen, lind diese wiederum i» feste Rahmen gespannt zu Rechenbrettern abacus, Suanpan umgestaltet wurden, 2 T. Alexander v. Humboldt Über die bei verschiedenen Bsl, crn üblichen Svsteme von Zahlzeichen, in Lrelle's Journal für Malhe- matik, Bd. IV. T. 205-231 an mehre» Sielle». von denen wir bci einer späteren Gelegenheit weitläufiger reden wollen. Die erste und natürlichste Art, Zahlensummen zu bezeichnen, war unstreitig die, daß man so viele Striche zeichnete oder cinschnitt, als man Einheiten andeuten wollte. Daher ist noch iir den meisten bekannten Systemen von Zahlzeichen, welche nicht dadurch, daß sie die Buchstaben des Alphabets als Zahlen gebrauchen, ihren späteren Ursprung verrathen, ein einfacher Strich das Zeichen für die Einheit geblieben; und es beruht auf einem übel angebrachten späteren Witze, wenn dieses Zeichen wegen einer zufälligen äußeren Ähnlichkeit all- mählig mit irgend einem Buchstaben des Alphabets vermengt, oder einem solchen wie im Lateinischen der I, im Arabischen dem Elif, l. Bci Bezeichnung größerer Stimmen mußte indessen diese Aneinanderreihung von Einheiten beschwerlich, ja unmöglich werden, und das Bedürfniß führte so auf die Einführung des Gebrauchs gewisser Perioden in der Zahlenreihe, bci denen mau wieder von vorne anfing, d. h. man bediente sich eines einfachen Zeichens für fünf, zehn oder zwanzig Einheiten. Es lag nahe, sich grade dieser drei Zahlen als Pcriodenabtheiler zu bedienen, welche durch die Anzahl der Finger und Zehen an Händen und Füßen der unmittelbaren Anschauung dargeboten wurden, und man wählte die eine oder die andere der genannten Zahlen als Haltpunct, je nachdem man eine Hand, oder beide Hände, oder Hände und Füße zusammen durchzählte, bevor man zu einer neuen Einheit höherer Ordnung seine Zuflucht nahm. Diese Begriffe von Hand und Fuß sind sogar in die Sprache übergegangen, indem in mrhrern Amerikanischen Sprachen fünf eine Hand, zehn zwei Hände, zwanzig Hände und Füße, oder auch ein Mensch genannt werden 3 . Diese Perioden nun, so wie wiederum die Art der Zusamnicnfassung derselben zu neuen Perioden der zweiten, dritten und höheren Ordnungen haben bei den verschiedenen Völkern nnd in verschiedenen Zeiten sehr mannigfache Arten der Darstellung veranlaßt, und der menschliche Geist hat in mancherlei Mo- disicationen, durch sehr abweichende Zwischenglieder die Stufenleiter von 3 Ebend. J 5 * 68 zahl in zehntaltscnd Myriaden oder fwQica [ivqiü8^ mnltiplicircn, u, ; V u. f. w- bis dann folg! bicfcli’c Zahlclirkihc mit sechs Puncte» für die dritte Potenz der Monaden und so weiter fort. Dieses Svsieni ist übrigens ganz der Griechische» Denkweise angemessen, indem es das diesem Volke eigenthümliche Fortschreiten von vier zu vier Stellen um in unserer VorstellungSweisc zu sprechen scbarf ausprägt. Sehr interessant ist die Bemerkung von A- v. Humboldt, daß, wenn die Griechen, anstatt die Wiederholung der Poth- mcnes erst bei tausend anzufangen, sich derselben schon bei zehn u. s. w. statt der Buchstaben - u. s. w. bedient, und nachträglich, mit Andeutung der leer gebliebenen Stellen, die ApiccS weggelassen hätten, sie auf die Erfindung des Indisch-Arabischen Systems mit Stcl- lcnwcrth der Ziffern gerathen wären °. Noch mehr aber gilt das von dem System der Ghobar-Ziffern. Eine eigenthümliche Anwendung dieser Bezcichnnngsincthodc finden wir noch in dem von Ptolemätls und allen späteren Astronomen gebrauchten Scragcsiinalsostcin, wcl- ches nach Potenzen von 60 abwärts steigt; die Ganzen ?io7oi, Grade, d. h. die in die nullte Potenz von T V multiplicirtcn Zahlen, werden im Griechischen gar nicht, wenigstens nicht anders als jede Zahl, nämlich durch einen darüber gesetzten Horizontalstrich, bei den Späteren dagegen durch den Erponenten o angedeutet; die in die erste Potenz von multiplicirtcn Zahlen, ttqmtu, Minuten erhalten oben einen senkrechten Strich, die Secunden xoffTu Siürsga zwei solcher Striche und so fort'. Dieses sind die drei wesentlichste» Methode», welche in der Zab- lenbczcichnung und Zahlcnbildung verschiedener Völker sichtbar sind. Es finden sich zwar, namentlich bei den Griechen, noch andere Methoden, zumal bei der Bildung höherer Zahlen; dieselben sind aber ganz vereinzelt und meistens nur von einem Auctor zu einem bestimmten Zwecke angewendet worden, so daß sie in da§ Zahlcnsvstem im strengen Sinne des Worts nicht eingreifen. Ich übergehe sie dcsbalb hier und ziehe es vor, sie gehörigen Orts als Einzclnhcit darzustellen. 6 A. a. O. S. 222. 7 Humboldt a. a. O. S. 225. macht aus dieser Abtheilung von Zablschich- tcn »ach geometrischer Progression eine eigene Methode; ich finde aber zwischen dieser und der eben bcschrlcbcnc» keinen wesentlichen Unterschied. Auch scheint mir die Methode der Myriaden bei Eutokius besser in die zweite als in die dritte Klasse, wohin Humboldt sie zieln, zu gehören. Welche Deiche» nun ein Volk zum Ausdruck feines Zahlensystems gcwäblt hat, ist für die Sache selbst ganz unwesentlich. Indeß lassen sich auch hier drei Klassen deutlich unterscheiden. Erstens, will- kührlichc, von der Buchstabenschrift unabhängige Zeichen mit oder ohne Hiudcutung auf die darzustellende Zahl; zu der ersten Art gehören die Römischen, zu der zweiten die Indisch-Arabischen Ziffern, obgleich bei den letzteren srlbst noch in der Arabische» Gestalt die Zeichen für 2 und 3 noch ziemlich deutlich als aus zwei und drei Strichen zusannnrngewachse» erscheinen, \\ "r- Zweitens, die Buchstaben des Alphabets in ihrer gcwöbnlicheu Reihenfolge, für die Einheiten und die Vielfachen der Pcriodcnzahl gebraucht; dieser Art ist das Sciiiitifch-Griechischc Zablensystcm. Beide Klassen von Zahlzeichen sind unabhängig von den Zahlwortcu. Darum llntcrschcidcii wir von ihnen drittens, Anfangsbuchstaben oder Abbreviaturen der Zahlwortc; hiehcr gehört das alt-griechische System des Hcrodian, und die Arabischen sogenannten Diwani-Zahlen der Mehrzahl nach. Ganz unabhängig von dieser graphischen Bezeichnung der Zahlen sind die Zablensosteme, welche die Sprache darbietet, und auffallender Weise hat die Sprache meistens ei» vollkommncrcs Svstcm als das dtirch Ziffer» dargestellte. Die große Mehrzahl der bekannten Sprachen bekennt sich zll einem conscguentcn Decimalspstem, selbst bei solchen Völkern, welche in der graphischen Bczcichnling der Zahlen von demselben abweichen; ein nahe liegendes Beispiel davon ist die Lateinische Sprache, während die Römische Zahlengraphik das dekadische System mit dem pcutadischcn untermischt, und zwischen die Zeichen für 1, 10, 100, 1000 noch eigene Zeichen für 5, 50, 500 cinschicbt. Wie wenig indeß die Sprache auf die Zahlengraphik eingewirkt hat, erhellt daraus, daß selbst gebildete Völker, wie Semiten, Griechen und andere, den Wink, welchen ihnen die Sprache über den Zusammenhang zwischen den Zahlen drei, dreißig, dreihundert giebt, nicht verstanden, und daher diesen innern Zusammenhang in ihren Zahlensystemen nicht dargestellt haben *. Eben darauf führt der 8 Es ist eine auffallende Erscheinung, daß das Zahlwort für 20 in so viele» Sprachen an irgend einer Unregelmäßigkeit ladorirt. Regelmägig gebildet ist c» im Teutschen zwanzig für zwei zig, von der Form zween und im Lithauischen Ivvi-dcKsimts; das Lateinische vij-inti und Sanskrit vinzniti ^persisch Mut, habe» vor» das d verloren; ebenso wahrscheinlich das Griechische ilxoai, wenn 70 Umstand, daß eine Erscheinung in der Sprache und die entsprechende in der Zahlenschrift hinsichtlich der Stelle nicht übereinstimme», ferner, daß die Sprache eines Volks eine Bildung darbietet, welche sich in der Zahlengraphik eines ander» Volks wiedersindet. So entsprechen den Römischen Zeichen IV, IX u. s. w. dem Geiste und der Methode nach die Zahlworte umleviginti, nmletri^intii; diese Zahlen selbst aber werden in der Graphik nicht so gebildet; man schreibt nicht IXX sondern XIX, das ist X plus IX. Diese nämlichen Farmen IV, IX, XLi keimen die Griechische und die Sanskrit- Sprache, indem sie sagen können tmi 3 . Eine Spur davon ist noch i» dem Französische» t,uatrv-vi»gt geblieben, wovon ljiultl'6- viiitzt-ckix ebenso gebildet wird, wie juativ-vingt- Unux, das heisst, das ungrade Vielfache von zehn, hier neunzig, wird als Pcriodcnabthciler übersprungen und die Zahlen werden ohne neue Abtheilung von achtzig bis htindert sortgczahlt. Dasselbe geschieht, aber schon mit einem eigenen Zahlworte für sechzig, bei siebzig durch den Ausdruck soixante-dix; das Zahlwort eoixante aber, als Ableitung von ix, gehört dem Dccimalsvstcmc an, wogegen juMrv- vingt, und ebenso die seltneren Formen quinze-viiigl, six-vingt, sept-vingt, lmit-vingt treu ausgeprägte Formen des Digesimal- syftems sind; und der Ccltische Dialekt in der Bretagne kennt, dein jiurtre-vingt analog, auch duon-ngent d,zig allein als Periodcnabthcilcr gebrauchen, und conscguent alle ungradcn Vielfachen von zehn, analog den übrigen zwischen je zwei Zwanzigern liegenden Zahlen, durch Addition von zehn bilde», z. B- 20 -j- lO, 40 -j- 10 u. s. w. Ja diese Völker sind darin so conscguent, das; sie selbst bei hundert keinen Abschnitt machen, sondern, regelrecht genug, erst für vicrhrmdcrt, als Quadrat von zwanzig, ein neues Wort gebrauchen, mit dem stc dann wieder bis achttausend, dem Cubus von zwanzig, die Reihe fortbilde» '. Bei den Azteken in Merico ist das Vigesimalsystein der Sprache auch in die Zahlengraphik übcrgc- H Huet ilcmoustv. ovmigel. p. 295. Amciicimi 'I'opiin»»!'» millos Miira [uinquc numeros norunt^ inricum scilicet mauiiin iniinolundo ad- luliere soliti. Bcrgl. Humboldt a. a. O. S. 20!» Note. 12 Ikoin. ttvic bei den Römern das dekadische von dem pentadischcn. Nach diesen allgcineincn Betrachtungen wollen wir auf die wirklich vorhandenen Zahlzcichcnsvstcmc derjenigen Völker, welche uns zunächst intcrcssircn, einige specielle Aufmerksamkeit verwenden, und zwar vor Allen auf die der Semiten, Griechen und Römer. Die Semiten gebrauchen bekanntlich zur Bezeichnung der Zahlen die Buchstaben ihres Alphabets in der ursprünglichen alten Reihenfolge, in welcher das Alphabet der Hebräer, Svrcr und Samaritancr sich bis auf diesen Tag erhalten hat. Die Araber haben späterhin diese Reihenfolge geändert, ohne aber den Zahlenwcrth der einzelnen Buchstaben zugleich zu verändern, was für sie die Unbequemlichkeit mit sich führt, daß sie ihr Alphabet in zwei Reihenfolgen lcrncit müssen. Die Vcr- theilung der Buchstaben an die Zahlen geschieht nun in der Art, daß ?ic Bnchstabcn von d- bis 12 die Einheiten von 1 bis 0, die folgenden neun Buchstaben von 1 bis die jenen entsprechenden Vielfachen von zehn, also von 10 bis 00 bezeichnen. Nun bleiben aber in dem alten aus zwei und zwanzig Buchstaben bestehenden Alphabet nur noch vier Btlchstabcn für die Zahlen von 100 bis 400 übrig, p, 1, r\- Bis hichcr stimmen alle jene Alphabete genau mit einander übcrcin; in der Bildung der Zahlen von 500 bis 000 aber haben namentlich Hebräer und Araber verschiedene Ausflüchte gesucht. Die Hebräer helfen sich auf zwiefache Weise, entweder unvollkommner dadurch, daß sie die Buchstaben p, "V W, N additiv zusammen stellen, so daß z. B. NN 400 -f 200 — 600 bedeutet, so daß sie 000 nicht anders als durch drei Zeichen ausdrücken könnten; oder sie verwenden zur Bezeichnung der noch übrigen fünf Zahlen die fünf Finalzüge der Buchstaben 3 D 2 3 ST, nämlich *] CD f * \; doch geschah dieses wohl erst späterhin. Das erstgenannte Hilfsmittel, die additive Zlisammcnsicllung der vier letzten Buchstaben, haben auch die Araber angewandt; späterhin aber haben sie, gleich wie die Hebräer, dieser tuivollkommenen Methode eine vollkommucre substituirt, die aber von der Hebräischen ganz abweicht. Die Araber haben nämlich die verschiedene Modisication der Aussprache cinigcr Buchstaben des alten Semitischen Alphabets, von der sich schon im Hebräischen Spllrcn zeigen, bereits in die Schrift aufgenommen, indem sie die beiden Aussprachen eines Zeichens durch einen oder mehrere über oder unter dem Buchstabe» angebrachte Puncte andeuten, und dieser pnnctirtcn Buchstabe», weiche sie ziemlich nneigrntiich ausländische nennen, bedienen sie sich zu dem vorliegenden Zwecke, so daß die Zeichen a 5 u» -k Reihe nach die Zah- lcnwcrthc von 500, 600, 700 ,^ 800 , OOO erhalten, und sie behalten dann noch das Zeichen * für die Zahl 1000 übrig. Die zwischen diesen Grenzen liegende,, zusammengesetzten Zahlen werden durch additive Zusammenstellung gebildet, indem man, nach Semitischer Weise, von der großer» Zahl zu der kleinern von der rechte» nach der linken Seite fortschreitet; so bedeutet z. B. der Ausdruck ypr\ oder die Zahl 473, als Summa von H, o ~ 400, V f ^ 0 und S/ _ = 3 , um nun die auf solche Weise ausgedruckten Zahlen im Contcrtc von den Worten gehörig zu unterscheiden, ziehe n die Araber über den ganzen Zahlcnausdruck einen Horizontalstrich, gju, oder s chreiben auch jede» einzelne» Buchstaben in seiner Finalform die Hebräer dagegen machen zwei kleine Häkchen über dcu letzten Zahlbuchstabcu, "jyn oder auch zwischen dicsclbc» Um die Tausender auszudrücken, fangen die Hebräer wieder von X an, ruid unterscheiden diesen tausendfachen Werth des Buchstabens durch zwei darüber gesetzte Püuctchen, x. Bei zusammengesetzten Zahlen fallen jedoch diese Pünctchen oft weg, weil die von der Rechten zur Linken mit abnehmendem Werthe geordnete Reihenfolge der Zeichen über die Bedeutung keinen Zweifel gestattet; dagegen wird bei vierstelligen Zahlen das Ziffcrzeichcn “ öfter wiederholt. So lesen wir z. B. in der Masora die Zahlen 1534, 10 ''“^ 4209 und andere. Bei den Arabern, welche überhaupt die Zahlen gern mit Zahlwortcn ausschreiben, besinne ich mich Nicht Zahle» über das erste Tausend hinaus nach diesem System bezeichnet gefunden zu haben; für eintausend ^abcr haben sie, wie bemerkt, das Zeichen £, z. B. 1542, 1043. Kleinere Zahlen dagegen bieten uns unter Andern Abulfrda's verschiedene geographische Tafeln dar, welche, beiläusig gesagt, in allen bisherigen Ausgaben durch eine Unzahl von Druckfehlern entstellt sind, so daß Länder, die man nach diesen Angabe» der Lage einzelner Städte in Graden und Minuten construiren wollte, oft eine ziemlich befremdende Gestalt annchnicn würden. Diese Methode der Zahlenbezeichmmg war durch alle Semitischen Stämme verbreitet, und hat sich selbst bei den Arabern »och 74 neben dcm von Indien oder Persicn her cingedrtmgcncn vollkommene» Svstcm mit Stellenwerth erhalten. Daß die Äthiopier i» Abyssmien nebst einem völlig unscmitischen Schriftcharaktcr auch ein eigenes System von Zahlzeichen haben, ist hier von keinem Belange; denn einerseits ist dieses Volk, wie in allgemein historischer Hinsicht, so namentlich in Bezug auf Geschichte der Wissenschaften zn unbedeutend, andrerseits sind die Zahlzeichen desselben so sichtbare Entstellungen der Griechischen Buchstaben, daß über den historischen Ursprung derselben kein Zweifel obwalten kann, und wahrscheinlich sind sie erst mit dcm Christenthum und der ncutcstamcntlichcn Literatur dorthin eingewandert. Der sicherste Beweis für das hohe Alter des ZahlcnwcrthS der Semitischen Buchstaben ist der, daß die Griechen diesen Zahlcn- wcrth schon zugleich mit den Buchstaben von den Phönizier» erhielten. Auf einen Phönizischen Ursprung des Griechischen Alphabets deuten einerseits alle alten Traditionen, andererseits trägt da§ Griechische Alphabet noch so unvcrholcn die Wahrzeichen Semitischer Herkunft zur Schau, daß nicht nur die Reihenfolge und die Namen der Buchstaben noch ganz Semitisch sind, und zwar letztere in der Aramäischen Form in dcm von den Grammatikern sogenannten sla- fus cmpluiticus oder dcmonstrativns , mit dcm AuSgange auf ii itl, sondern auch die Figuren zum Theil noch jetzt, noch mehr aber in alten Inschriften, mit den alten Phönizischen und den diesen ähnlichen Samaritanischcn ziemlich übereinstimmend sind, nur daß sie in der Regel, angcincsscn der von der Semitischen abweichenden Gewohnheit der Griechen, von der Linken zur Rechten zu schreiben, umgekehrt stehen. So ist z. B. das Griechische v das umgekehrte Samarita- nischc, welches den Kopf zur Linken, also auch vorwärts, kehrt, c; eben so sind B, r, E, K, L fast nicht weiter verändert, als daß sie sich umgewandt haben. Die dcm Semitischen Organ eigenthümlichen Gntturalbuchstaben d- N N V sind im Griechischen Munde in die entsprechenden Vocale e, rj, o, zum Theil aber mit Beibehaltung der Namen, übergegangen. Das Semitische samek, D, Aramäisch semkath erscheint int Griechischen verhärtet als 4 mit eigenthümlichem Namen, wenn nicht vielleicht der Name selbst aus dem Semitischen in oder sein» mit Abwcrfung des n hcrzulcitcit ist; dann wäre weiter nichts geschehen, als daß die beiden Buchstaben 8in und samek ihre Stellen vertauscht hätten. Denn daß der Name des samek, durch eine leichte Transposition in r!y ft u umgewandelt, an der Stelle des Semitischen slu wieder erscheint, ist Thatsache u . I„ Hinsicht des Zeichens sind in dem Griechischen 2'Vsi beide Semitische Buchstaben vermischt, indem c, a aus dem Semitischen s;imek, 0, dagegen 2, aus deut sin, W, alt-Phbni- stsch VV einstanden sind. Nur drei Buchstaben des Semitischen Alphabets, nämlich väv oder vau 1, zadc X uttb kopli p sindcn wir iui Griechischen Alphabete nicht wieder. Indeß stellt sich hier die interessante Thatsache heraus, daß wenigstens zwei dieser Buchstaben, nämlich vAv und koph, welche in Folge des abweichenden Sprachcharaktcrs in die Wortschrift der Griechen nicht übergegangen oder doch als unnothig frühe daraus verschwunden sind, sich nichtsdestoweniger als Zahlzeichen an ihrem Platze und mit ihren echt Semitischen Namen erhalten haben. Beide Zeichen, so wie noch ein drittes, von dem wir unten sprechen werden, führen den Titel kV μον, Stellvertreter, und wir finden das vilv wieder zwischen ε und ζ als επίημον ßav für die Zahl sechs, das kvpll als 'επίημον χππα oder κψη " zwischen dem π und q für die Zahl neunzig. Nur das als Buchstabe ebenfalls verlorene Zadc ist wenigstens an seiner Stelle durch kein επίημον ersetzt worden, sondern sein Platz ist ganz leer geblieben. Dieses Ausfallen eines Zeichens aus der 15 Bäckh, die Staatsbaushaltung der Athener, Berlin, 1817. Th. 2. S. 386. nimmt an, daß alle Zischlaute ibre Plätze vertausch, haben. Senn m ist das Xi 3; das Tsade X Zeta z 5 Samech D 2, wie schon die Namen beweisen; dasSchln nichts anderes als der rohe. >,„r im Vorisch-AeoUsche» D gedliebene Zischlaut, der wahrscheinlich wie Sch klang d Sän genannt wurde." Was der gelehrte Verfasser hier über . 8 ^ ' ganz gewiß nicht richtig; der Übergang des Namens zailb, ^ 3 » v ita natürlich und ohne Analogie; dagegen sind die Namen Zrj;'“ und Sain, so verschieden ste auch aussehen, sicher identisch; denn zip» ist nichts anderes, als die Aramäische Feniininalforni Von sain, mit occultirtem n vor t; ganz wie ^A^^eO Medinto gesprochen wird Mcdito, so ist ^Ai»l 8a,»w, wo das o statt a späterer Spriasmns ist Salto gesprochen worden. das Semitische Sain sowohl an seinem Platze, als auch mit 6 >u - ^ das Griechische vertreten > es entspricht also wedc,f,'"' , 1,1 ’ ? dem Zijra das Zade; gegenthclls ist das letztere roahrs 1"» s > Griechischen Alphabete verschwunden. , , 1b Es führt auch den von der Gestalt hergenoimnenen Namen^^- S. die Tadelte bei Montfaucon l’alueogr. Gvacca p. 122, und die blaute & dazu p. 132, Reibe bcr Zahlbuchstabcn hat für das Zahlensystem dic Folge gehabt, daß von neunzig an, welche Zahl eben an dem Semitischen Zndv haftet, die Griechischen und Semitischen Zahlen nicht mehr mit einander übereinstimmen; während nämlich die Semite» die Hunderte mit p, Kopli, beginnen, fange» die Griechen dieselben mit s> an, weil ihr xü-r-r die Stelle des verloren gegangenen Zacle, it, als neunzig ersetzt. Diese Darstellung scheint mir dem Wesen angemessen und natürlich zu sein, und sich auf historische Wahrscheinlichkeit zu stutze». Ganz sonderbar nimmt die Sache sich bei Montuela aus, dessen Worte fast so klingen, als hätten dic Griechen mit selbstthätigem Bewußtsein sich bestrebt, durch Einschaltung der rä/o-ryia ihr Zahlensystem dem Semitischen gleichförmig zu machen, sie hätten sich aber nach der Einschaltung des Ax-xa überzeugt, daß das doch nicht gehe» würde, und darum das Unternehmen für dic folgenden Zahlen einfgegeben, um nicht, wie Moinncla sich ausdrückt, zu viel cinliarias zu verursachen I 7 j. Anders freilich verhält es sich mit dem dritten i-xi'vrrjiov. Als nämlich die Griechen zu dem von Osten her l8 erhaltenen Alphabete, um dem Genius ihrer Sprache zu genügen, noch fünf Buchstaben, v, cp, %, ij>, hinzugefügt 19 , und auch diese als 17 IILst. des Math. T. I. p. 46. Eben bisse komische Darstellung wiederholt Monuich, Lehrt. b. Mathcm. Th. 1. Abtb. 2. S. 465. 1S I» der Sage, daß KadmuS die Schrift »ach griechcnlaud gebracht habe, scheint nichts weiter ZU liegen, als das; die Schrift orientalischen Ursprungs ist. Denn auffallcnb ist das Zusammentreffen, baß im Semitischen 21p, kddem, in bcr Flcriou kadmo Osten bebrütet. Also heißt wohl in dieser Sage bcr Ausdruck „von KadmoS" nichts anderes, als „von Osten her." IN AuS dem ererbten Zablenwerthe der griechische» Buchstaben scheint deutlich zu erhellen, in welcher gestalt die griechen ihr Alphabet von den Eeinite» erhalten habe», und es werden dadurch die Sagen, als hätte Kadmos zuerst nur sechSzchn Buchstaben nach griechenland gebracht, und spälcrhin °>palamedcS vier und SimonideS abermals vier hinzugefügt, als ganz grundlos niedergeschlagen. Bergt. I’liniiis bist. mit. VII, 56. Suidas in d. Art. „WaS dic Allen von ciiicm Kadinischcn, Palamedischc» und Simonidei- schen Alphabet erzählen, widerspricht den gesunden Ansichten schnurstracks," sagt Böckb a. a. O. S. 387. Der an den Buchstaben haftende Semitische Zahlenwcrth stellt dic Buchstaben von A bis T als alt und ursprünglich dar; dagegen sind u, no*l t,cf ü rrl-kureOcee xdvru iq » ouio r/qciaaot , j-o AotutES fiXv 3 - h tfCtJ/tlOJ» Dritte Klasse. Hunderter. 100. p — ,v — q 200. n _ ^ - o 300. » — ufc — r 400. n — o — v 500 . “ — — q> 600. a — ~ — x 700. ^ _ 5 — a[ 800. ^ — u» — ö 900. X — Ja —^ t/u'ijjtioi’ ita-iKii 1000 . I Ähnlich, wie die Araber, unterscheiden die Griechen diese Buchstaben, wenn sie Zahlcnausdrückc sind, durch einen über dieselben gezogenen Horizontalstrich, jf, ^s, "'^6 wie oft fälschlich bemerkt worden ist, durch einen Acutus . Indeß finden sich Zahlcit in alten Inschriften, welche durch kein Abzeichen von dem Contertc unterschieden werden. Wie die Griechen die Zahlen von tausend aufwärts bezeichneten, habe ich oben schon im Vorbeigehen berührt. Die Buchstaben von bis mit einem unten angebrachten kleinen Striche, wie a, y s. w., dienten zur Bezeichnung der Zahlen von tausend bis neuntausend, nicht aber höher hinauf, wie ebenfalls oft fälschlich angeführt wird, als hätte man 10000 durch j, 20000 durch x, 100000 durch o u. s. w. ausgedrückt Ich 2^0 hkiltzronncr zi. 7M führt zwar von der letzteren BezcichnungsMtlhodc Beispiele au Gcminus kle-m. n^tron. o. XV a»; da ich aber das letztere Werk nickt z»r Hand habe, mag ich über die Zuverlässigkeit der deigetzrachtc» Beispiele so muß hier eine Bemerkung machen, welche wichtig ist, weil sie in die ganze Vorstcllungswcisc der Griechen eingreift, die nämlich, daß die Griechen bei der Abtheilung größerer Zahlen nicht, wie wir, von Tausenden zu Tausenden, oder nach unserer Art zu sprechen, von drei zu drei Stellen, sondern von Myriaden zu Myriaden, also von vier zu vier Stellen fortschreiten, so daß sie z. D. die Zahl 531789643 nicht, wie wir, so abtheilen 531,789,643, sondern so 5,3178,9643. Die Art der Abtheilung ist in ihre Vorstcllungswcisc wesentlich übergegangen. Demgemäß nennen sie die niedrigste Abtheilung oder die vier untersten Stellen Einheiten, μονάδε, die vier folgende» Myriaden, μνιάδε, die vier nächstfolgende» μνοιαι μυριάδε, dann μυριάκι μνοιαι μι^ιάδε II. s. w. s. Dieser Vorstcllungsweise analog ist ihre Zahlcubczcichnung. Bei H, 9000, hört die Reihe der Einheiten auf, und die größte Zahl dieser Reihe ist ^ £ d. h. 9999 Einheiten. Nun beginnt die zweite Klaffe oder die Reihe der Myriaden mit einer neuen Bezeichnung; sie bedienen sich nämlich des ersten oder der beiden ersten Buchstaben des Wortes Miwoii,, also M oder Mu, welchen Zeichen die bisher betrachteten Einhcits- zahlen als Faktoren entweder vorgestellt, oder übergeschrieben, oder auch wohl hinten angehängt werden. Wirkliches Zahlzeichen ist dieses m indeß nur in dem zweiten Falle, in welchem die multiplici- rende Einhcitszahl über dasselbe geschrieben wird, wie immer bei Eu- tokius zu Archimcd'S Krcismcffung; im erste» und dritten Falle ist es eigentlich nur Abbreviatur der Worte Μυρίά oder Μυριάδε und diese Worte werden daher auch oft ganz ausgeschrieben. So drückt z. B. Pappus Fragmente des zweiten Buchs, Satz 23 die Zahl 18000 so aus μνοιάδε Z. μονάδε Ich erwähnte oben schon, daß das Myriadcnzcichcn auch oft gau; wegfällt und durch eine» bloßen Punct, der die Myriaden von den Monaden scheidet, ersetzt wird. So schreibt Diophant IV, 29. die Zahlen für 1507984, rS.^Quß für 262144, und V, 11. für 19915214, und so oft. Diese Auslassung des Mvriadcnzcichcns ist ein Schritt zur Erfindung des Systems mit Stcllcnwcrth. Auf ähnliche von den Gricchcn gemachte Schritte werden wir bald öfters stoßen. Aber es war ihnen nicht zugedacht, diese große mächtig _ in niditi einschritt». Bei Jirifiarch, Archimedes, Pappus, Diophanlus, bntokins it. A. findet sich keine Spur davon. 8 t in bic Wissenschaft und in daS Seien eingreifenbc Erfindung zu lu'ilcnbcit. Es wirb noch eine anbere Methode, bic Myriaden tmb höheren Zahlen zu bezeichnen, erwähnt, welche ich auch oben schon berührte, die ich aber durch keine Aucloritätcn Griechischer Schriftsteller belegen kann. Camerarins " 4 nämlich, nachdem er die Zahlbuchstabm für die Einer, Zehner, Hlmberter und Tansenber in der gewöhnliche» Weise dargestellt hat, sagt, die Myriade» und folgenden Zahlen würben so bezeichnet u P y 6 E 5 4 n s l •K λ l 1 V 4 o % h Q a ß δ £ t 4 t P V p so daß also eine Myriade, ϊ zehn, ss hundert, ä tausend Myriaden oder zehn Millionen bezeichnet. Dem vorigen analog wird nun die ganze Zahlenreihe noch einmal mit vier Puncten oben, und dann »och mit sechs Puncten durchgemacht; demnach bedeutet, wenn wir nur das erste Glied jeder Zeile betrachten, ei μχψαι μνοιάδε — 100 Millionen '/ δεκάκι μΰζίαι μυριάδε = 1000 Millionen q έκαοιάκι μΰ^ιαι μυριάδε — 10000 Millionen ä χιλιάκι μι'ψαι μ'οιάδε — 100000 Millionen 24 Re Graecis Latinisquc »umerorum notis, et praeterea Surnccnicis seu Indicis cum indicio elementorum ejus, quam Logisticcn Graeci nominant quae est methodus conficiendarum Rationum et vocabulorum artis interpretatione et aliis quibusdam ad hanc pertinentibus. Accesserunt explicutiunculac Arithmetices doctrinae Nicomachi et alia quaedam, ad contemplationem scientiae istius pertinentia studio Joacliimi Camerarii 1 apeberg 8. Ohne £rt und Jahr tmb ohne Seitenzahlen. Unter der ersten Dedikation an Scbastianus Theodoricus Vincsimus steht das Datum Lipsiac 1. XXV. M. Sextilis Anno Christi Jesu AI. II. LX1X. Unter der zweiten an Johannes Ulrichus Zasius V. Calcnd. Decembris. Auno Christi M. D. L\I. Die hieher gehörige Stelle steht in dem Tractatus Cogistices. Trima part. ^foixua, quibus numeri designantur. — Dieselbe Methode berilhrt Samuel TennitliuS in seinen ^otae in librum quartum Jamldichi Chalcid, de arithmetica Nicomachi introductione. Daventr. 1667. 4. p. 157—159. Be- finbft sich auch unter besonderetn Titel bei Tennulins Ausgabe des Iamblichus, Arnhcm. 1668. 4. Vergi, shumbotbt a. a. D. S. 221. 1 . 6 82 und die folgende Klasse ä fivoa'/.yji, fiVQtui inoiüöei; — 1 Million ü. s. w. Camerarius fuhrt nicht die Quelle an, aus welcher er diese Be- zcichnuugsart entnommen hat. Es laßt sich indeß nicht annehmen, daß die Sache ganz aus der Luft gegriffen wäre; dazu kommt noch, daß die Methode au und für sich in ihrem eonsegucntcn Fortschreite'» von Myriaden zu Mvriadcu einen ganz Griechischen Charakter zeigt. Indeß ist dieselbe gewiß wenig, vielleicht erst sehr spat, in den Gebrauch gekommen. Montsaucon hat in einem Manuscript der Pariser Bibliothek vom zwölften Jahrhundert diese Methode, aber nicht weiter als für die einfachen Myriaden, also von ü bis £ angewandt gefunden. Ich will seine Worte hichcr setzen Nola numerales sive litorae numeris designandis constitutae, a Grammaticis ct Lexicariis adferuntur; ita ut a unum significet, ß' dun, y tria etc. »t vel tirones norunt. Pro denario autem numero, / decem, tu' undecim etc., pro centenario q centum, cr' ducenti etc. Uber d statt Hist. matl,. p. 735 — 737. 6 * 84 Einer r r l Y 1 1' I 1 l J 8 P 1 2 3 4 5 6 7 ;> Zehner n 1 'l N '1 '1 *1 L l f \ 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Hunderte L l- u k 1. l. 1. h h 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Tausende J 4 >1 A .1 ,1 l! rl d 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Nun besteht das Eigenthümliche dieser Methode darin, das, bei zusammengesetzten Zahlen der Verticalstrich nur einmal geschrieben und an diesen alle charakteristischen Merkmale der einzelnen Ziffern angehängt werden. Hcilbronncr giebt folgende bei ihm zum Theil sehr verstümmelte Beispiele bedeutet die Zahl 5548 bedeutet die Zahl 2454 bedeutet die Zahl 3970 bedeutet die Zahl 1586. Da jede Potenz von zehn ihr charakteristisches Merkmal an einer anderen Stelle hat, so können sich in der zusammengesetzten Zahl diese Merkmale niemals gegenseitig stören. Für zehntausend giebt Heilbronner die Wiederholung des Zeichens für tausend, also _J_J, wie man das in den Zusammenhang gebracht hat, weiß ich nicht. Die Erfindung ist geistreich, aber wahrscheinlich ist sie Erfindung geblieben. Heilbronner selbst drückt sich ganz unbestimmt darüber aus, und beruft sich nur Noviomngus und auf Ilostus p. 561, ohne die Werke beider Auctorcn zu nennen, auf die er sich bezicht. Ich habe in den hier vorhandenen Werken beider Schriftsteller nichts darüber finde» können, und auch sonst über den Gebrauch und den Ursprung dieser Methode nichts erfahren. Dagegen ist uns von dem Grammatiker Hcrodian"' ein anderes, wie es scheint, altes Griechisches Zahlensystem aufbewahrt worden, insofern analog dem Römischen^ als es sich vcrhältnißmäßig 27 Siebe in Steplmni tliosaurus lingaae Graecae. weniger Zeichen bedient, nm alle Zahle» zusammenzusetzen. Dieses Sostcni hat nämlich mir sechs einfache Zeichen, i, π. Δ, Η, X, M, welche der Reihe nach die Zahlen l, 5, 10, 100, 1000, 10000 vorstellen; diese Zeichen sind mit Ausnahme des ersten, welches der bekannte einfache EinhcitSstrich ist, die Anfangsbuchstaben der entsprechenden Zahlwörter bei u πένε, Δ δέκα, X %!λιοι und Μ μν- qioi liegt das am Tage; dagegen erwartet malt E croi> für H. Aber schon WalliShat hier daö Richtige gesehen, und seine Bemerkung, daß daS Zeichen H, welches dtirch die Stellung im Alphabet und durch seinen Namen dem Semitischen l'lwt, Pl, entspricht, ursprünglich das Zeichen für bcu Spiritus aspcr gewesen sei, als welches es sich auch im Lateinischeil Alphabet wiederfindet, und daß man in alten Zeiten nicht r/ Exa?ov, sondern Ηεκαον geschrieben habe, it durch mehre von Montfancon beigebrachte Beispiele von alten Inschriften bestätigt worden M . Die Methode der Zahlcnbildung mit diese» Zeiche» ist additive Ncbciicinanderstcllnng bis zur viermaligen Wiederholung desselben Zeichens. Dann aber tritt eine multiplicative Methode ein, indem statt der fünfinaligcn Wiederholung das einfache Zeichen in den Buchstabe» ii — 5 hineingcsetzt wird. Der Anschaulichkeit wegen gebe ich hier die Tabelle der Zahlen. 1. I 11. ΔΙ 21. ΔΔΙ U. s. W. 2. π 12. ΔΙΙ 30. ΔΔΔ 3. ni 13. ΔΙΙΙ 40. ΔΔΔΔ 4. mi 14. ΔΙΙΠ 50. IÄ1 5. π 15. Δ1Ι 00. ΗΔ . III 10. ΔΙΙΙ 70. Ι51ΔΔ 7. iui 17. Δ1ΙΙ1 80. ΙΙ1ΔΔΔ 8. mu 18. A11UI 90. ΙδΙΔΔΔΔ 0. 1ΙΙΙΙΙ 19. ΔΠΙΙΙΙ 100. Η 10. Δ 20. ΔΔ 28 Opera T. 1. p. 44. Db abtr dic Gcflalt ter btiben l und U, dic sich in LiunusiripUn und ncch tu attrn Auvgndcn f>»dt z. B- >>' " Basclcr Aueg. von Pielcmaus eine Zcrthcitung dcs alic» „e c; in zwci Haisicn ist, wic WnttiS vcrwuihct, nius; »vehi dahingcsirltt b c> ci. 29 I*a[aeogr. p. 129. Olim vero, ut videas intra, P r aspiiatione tantum usu veniet»»!; atque 8 tnm correptum quam extensum, pei E ex pressum observatur in .Ionicis inscriptionibus. i rl j ,cl1 P J iioiAe flir oiist, ito snr 8, 11 OAOI fur vSv, hepOAO l»»r tiqmSoo, uoi. siir o», ». f. w. 86 200. 1111 1000. X 300. HHM 2000. XX 11. s. w. 400. HIHI II 5000. ra 500. P 6000. IxX u. s. w. 000. Ph 10000. 1^1 700. Phii 20000. Ä1M. U. s. W. 800. iaiiiim 50000. Fil 000. fITIlLIsllJt 60000. füM u. s. w. Diese Methode findet sich übrigens originulitcr n vor, und die Nachricht bei Hcrodiaii ist die einzige, die wir davon haben. Ob die Romcr ihre Schrift von den Griechen, oder nnmittelbar aus dem Orient erhalten haben, mag zweifelhaft scheinen. Daö Vorhandensein der Buchstaben 11 = Pt nicht H, Y und F = 1, U = p 3U / von denen der erste bei den Griechen Vocal geworden ist, die beiden andern sich aber nur als nunicrischc Episcma erhalten haben, scheint für das letztere zu sprechen. Oder die Übertragung des Griechischen 20 Was Wallis T. 1. p. 45 sagt, das; das Zeichen 4 aus Cv zusammengeschmolzen fei, worauf die in manchen Drucken sich vorfindende Form ^hinzudeuten scheint, gleichwie K aus JA , ist gewiß historisch unwahr. Der sprechendste Beweis gegen diese Entstehung des 4 ist der, daß das die dem lvoph p einsprechende rauhe Aussprache desselben andeutende u immcr dahinter gesetzt wird, also doppelt da sein würde, wen» es schon einmal in dem Zeichen 4 selbst steckte. X dagegen ist gar kein echt lateinischer Buchstabe, sondern der wahre Stellvertreter des Semitischen Xapli und des Griechischen dir* ist das Zeichen 6 , durch welches die Römer nicht, wie Wallis a. a. O. p. 42 bchauplet, das Griechische ya,n,un ausdrückten. Pro nonugintu vero poiiitur /j Cj umlc figura latiiiorum Cj vcl G dediicta est ?, untiquis latiiiis ignotii ? qui Graecormn y per G exprimebant. Die Reihenfolge des Römischen Alphabets kann hier, glaube ich, nichts entscheiden; denn sonst müßte auch g dem Semitischen T, Griechisch 4 i. s. w. entsprechen. K hat sich ebenso wie V erst spater durch Bekanntschaft mit den Griechen in die Reibe der Lateinischen Buchstaben eingcschlichen, und Schreibarten wie Klemlas für Calcmlas, Krtlmgo für Carthago beweisen nichts für ein in dem X verstecktes a; was wollte man sonst daraus für Schlüsse »M chcn, daß die Worte xut>t 050 ?£o?’lcrga^ in dem von Montfaucon I'nl. p. 224 mitgetheilten Fragmente so aussehen kc o ©c IHa- Etwas mehr hat die Hypothese für sich daß X eine Berschlingung von 08 sei; aber auch diese Annahme ist unnöthig; X kann ebensowohl, wie das Griechische 8 eine nnmittclbare Bcr- härlung des einfachen Semilischcn Zischlauts sein; wie es sich umgekehrt im Italienische» wieder zu 8 erweicht. Bergl. über X und 4, Prisciani do partibus nratioais I, 3. Alphabets »ach Itaiien muß zu einer Zeit geschehe» sei», als die Griechen selbst es noch ganz unverändert i„ seiner Semitischen Ur- gcstalt bewahrt, und es noch nicht ihrcni Sprachcharakter durch Verwandlung lnid Vernachlässigung einiger, und Hinzufügung anderer Buchstaben anbequemt hatten; nur so wäre das Vorhandensein des I>, v, f, q, und das Fehlen von , ™ im Lateinische» erklärbar 31 . Wie dem auch sei, so viel ist als Thatsache gewiß, daß das Semitisch-Griechische Alphabet aus seilten, Übergänge nach Italien die numerische Bedeutung seiner Buchstaben verloren hat. Es findet sich bei den Römern keine Spur von der Semitisch-Griechischen Zahlcnbczcichnung vor, wogegen sie sich eines eigenthümlichen, wahrscheinlich in Italien ursprünglich heimischen, aber in vieleu Stücken iinvollkouiinciicn Spsteuls bcdicncn, eines Svstcms, das trotz seiner ungeheuren Mangel uttb seiner ekelhaften Weitschweifigkeit tind Unbequemlichkeit, zumal wen» es gilt größere Zahlen zu bezeichne», sich doch bis auf den heutigen Tag ztl gewissen Zwecken in ganz Eiiropa erhalten hat. Es kommt von allen bekannten Zahlensysteme» der Methvdc der ganz rohen additiven Nebeneinanderstellung am nächste», und ist dem von Hcrodian überlieferten altgricchischcn Systeme nahe verwandt, wenn gleich in inanchcn Stücken noch unvollkommener. Mit ursprünglich vier, später sieben Zeichen, iudcm man in das dekadische System zur Vermeidung neunmaliger Wiederholung desselben Zeichens das pcntadische einschob, setzt es alle Zahlen durch Addition und Subtraction zusammen. ES ist unnöthig, daß ich mich in eine wcitläuftigc Erörterung dieses uns Allen bekannten und geläufigen Systems einlasse. Ich will statt dessen versnchcn eine Erklärung der Zeichen zu geben, in denen dieses Svstcm sich darstclll, oder vielmehr eine schon oft berührte in voller Conscquenz durchführe». Die Zeichen 0 für hundert, cciitm», lind M für tausend, inille, haben oft zu der Vermuthung veranlaßt, als ob die Zeichen dicscv Systems, deren jedes in dem gewöhnlichen Schriftzugc einem Buchstabe» des Römischen Alphabets entspricht, bedeutsame AnsaugS- ät w, 12 ist vielleicht i» b erhalte», wenn dieses nicht gleich dem Griechj- sche» t P eine Modifikation des ,,, 2 ist, welches ja auch im Semitischen beide Aussprache» zuläßt. Auf Feinen Fall aber verdankt das V' dem cp feinen Ursprung; ttmi da»» würde» die Römer nicht letzteres so konsequent durch pl> übertrage». l5'cr ist t> »ebc» V ei» Überbleibsel des Scmiiischc» VAv, y wofür feine Siel- lunil im Alphabete zu spreche» scheiut. buchstabcn wären, uub cS sind manche wunderbare Hvpothcscu über die Bedeutung derjenigen Buchstaben, welche sich nicht so unmittelbar wie die beide» angeführten mit dem entsprechenden Zahlworte in Verbindung setzen, ersonnen worden. So sollten z. B. die Zeichen V — 5 und X — 10 daher ihren Ursprung haben, weil V oder II der fünfte Vocal des Lateinischen und X oder E der zehnte Con- sonant des Griechische» Alphabets ist; oder auch X folgt in der Reihe der Zahlen nach V, weil es auch in der Reihe der Buchstaben diesem folgt. D — 500 sollte der Anfangsbuchstabe von Ii- „lidium sein, um anzuzeigen, daß die Zahl I die Hälfte der Zahl M fei, da doch diese Ableitung vernünftiger Weise bloß sagen könnte, daß 500 die Hälfte von irgend etwas sei, also danach das Zeichen I für jede beliebige Zahl ebenso gut wie für 500 passen würde; oder I soll auch deshalb gewählt worden sein, weil es auf C folgt. L, 50 sollte seinen Ursprung daher leiten, daß X im Griechischen Zahlensystem 50 bedeutet, und daß dieser Buchstabe in einigen aus dem Griechischen ins Lateinische herübcrgcnonimcncn Worten ? in der letzter» Sprache in L übergeht, z. B. νύμφη, limfa. Ja selbst dem einfachen Striche I der Einheit hat man diese Einfachheit nicht gegönnt; er mußte das i des seines Anfangsbuchstaben beraubten Griechischen Worts μία, uiia, fei». Uiia per i scribitur antiquo more Attioormn, qui solebaiil, principalcin noniinis nuincri litternm ponore, ct si^nificare numcruin; cr^o m pro μία clicentes i scribcbant 32 . Ich würde vorschlagen, das Zeichen I lieber aus dem Arabischen abzuleiten, wo eins heißt, in welchem Worte doch wenigstens der erste Buchstabe Ähnlichkeit mit I hat. Ich glaube, es geht dem Leser an dieser Stelle, wie oben bei dem Er- ccrpte, welches ich auö der Ilistvire ile Pesprit liunmin par Sa- v^rien mittheilte; titsl» schlägt zuletzt der Sicherheit wegen Man- nert's Geographie auf, tun nachzuschcit, in welchem Griechischen Staate vor Zeiten die Stadt Rom gelegen hat. Andere haben die Figuren von der Gestalt der Fittger und Hände herleiten wollen. Aber wir wollen alle diese Künsteleien verlassen. Die einfache und naturgemäße Erklärung hat meines Wissens zuerst Ramus 33 , und 32 I’risciiinus dc ponderibus ct incusuris am Anfange. Ucrgl. Hup.» de prima scribendi origine cd. frotr. Trajecti 1738 p. 301. 33 Scholae mathemat. p. 117, etwas vollständiger Vossius berührt; Namus macht sich die Bedeutung und Eutstehuug des Zeichens M nicht klar, leitet aber das 11 richtig aus 51 ab; Vossius dagegen verläßt schon bei l> das System, und vermengt das pcntadische Zeichen als ein ursprüngliches mit dem dekadischen. Raums ist, >vic in andern Stücken, so auch hierin, unbeachtet geblieben; Vossius Erklärung ist dagegen bald mit mehr, bald mit weniger Conscgucnz in spätere Werke übergegangen". Die Sache stellt sich ganz einfach so heraus. Man legte das reu, dekadische System zuni Grunde, und bezeichnete eins mit einem Striche, i, zehn mit zweien im Kreuz, X, hundert mit dreien, so 6, denen man für die folgende Potenz von zehn, für tausend, noch in der Mitte einen parallelen Strich hinzufügte, und dann das Zeichen, vielleicht später, halb umwandte, M. Die Zeichen für eins lind zehn haben sich in ihrer llrsprünglichcn Gestalt erhalten, weil sie einfach und leicht zn schreiben sind, wogegen man die beiden ander» der Bequemlichkeit wegen, vielleicht erst allmählig, abrundete, so daß aus £ das Zeichen 6 und aus m theils die runderen Formen CD, CD , 6l0, entstanden, theils durch Verwechselung, nachdem das Bewußtsein der Entftchung der Zeichen verloren gegangen war, der äußern Ähnlichkeit wegen für dasselbe der Buchstabe ,», 51 sub- stituirt ward. Da man aber späterhin bei häufiger werdendem Gebrauche der Zahlzeichen die Rechnung mit vier Zeichen unbcguem fand, so kam man auf den Gedanken, in der Mitte zwischen je zwei dieser dekadischen Zeichen ein pcntadischcs cinzuschicbcn, und um die Gelttnig eines jeden derselben auch schon durch die Form anzndculen, nahm man von den Zeichen X, L, N1 oder 610 die Hälften, so daß V ober bei den Tuskcrn A fünf, d. h. halb X, L fünfzig oder halb £ und 10 fünfhundert oder halb 610 bedeutete. Diese letzten Zeichen sind dann mit den ähnlichen Buchstaben V, L, 1> aus Unkundc verwechselt worden, und das gewiß schon frühe/da, wie wir gesehen haben, zu Priscian's Zeit das Bewußtsein derselben schon aus dem Volke, selbst aus den Köpfen der Gelehrten verschwunden war. Demnach ist die Römische Zahlenreihe eine doppelte, dekadisch I X q 6 610 dazwischen pentadisch V L 10 34 lc universae mathes. natura ct constit. Anist. 1650. Cim. ' > 11 . H. /,. ' 3a 5 V. Dechalcs Cursus T. 1. I'. 28. i0 Diese Deutung ist so ungeheuer einfach uttb ungezwungen und mit einer solchen Consegncnz in sich abgeschlossen, daß man kaum begreift, wie irgend eine andere sich bat herausbilden können. Das aber ist eben das Schicksal des Einfachen, daß es gewöhnlich am spatesten gefunden wird. Der verbildete, vom Wege der Natur abgeirrte Geist hat kein Wohlgefallen ait dem, waS sich als natürlich lind einfach von selbst darbietet; er will den Gegenstand seines Wohlgefallens durch spitzfindiges Grübeln sich erkaufen, und je ferner derselbe liegt, je mühsamer der Weg dahin ist, desto willkommener ist ibm das Resultat. — Späterhin bildete man den Zeichen CIO und 13 analog die Formen 60133, 6661333 u. s. w. für 10000, 100000, und deren Hälften 133, 1333 u. s. w. für 5000, 50000. Doch sind diese Zeichen wenig in den Gebrauch gekommen. Man bildete die höher» Potenzen von zehn, gleichwie die übrigen Vielfachen von tausend lieber durch multiplicative Cocfsicicntcn, die man dem Zeiche» 613 oder AI vorsetzte, so das? V3I 5000, XM tOOOO, LM 50000, 631 100000 bedeutete, wobei freilich immer die Zweideutigkeit obwaltete, daß das vor 31 stehende Zeichen auch vielleicht subtractiven Werth haben konnte. 3131 aber und 313131 u. s. w. bedeuten immer 2000, 3000, so daß also die Wiederholung desselben Zeichens seine ursprüngliche additive Bedeutung bcibchält. Mehre Beispiele dieser multiplicative» Methode sindcn wir bei Plinius, der z. B. für 63000, 92000, 110000 schreibt 36 . Wenn die Stellen der Hunderte und Einer allch aus- gefüllt sind, so wird bei den Römern, ähnlich wie bei Diophant, das Zeichen 31 auch wohl ausgelassen, und ein Punct zwischen den Tausenden und den folgenden niedrigeren Zahlen vertritt seine Stelle. So lesen wir bei Plinius 166. XX VII für 700027 3T , dagegen habe ich das Beispiel, welches Heilbronner aus demselben Capitel citirt, und in »vclchcm durch einen doppelten Proceß der Art die Zahl 1620829 durch ausgedrückt sein ferst, nicht finden können 33 . Auch wird der tausendfache Werth einer Zahl 36 I’linius liist. nat. YI, 26. XXXIII, 3. IV, praef. 37 il>. XXXIII, 3. In dem Tczic der Ausgabe Sigisinmuli Feycriilieiiii. Franeof. aositi für alle Zahle», die weder %iu »och articuli oder limitcs fiiib 42 , •40 De numerorum, quos Arabicos vocant, vera origine Pythagorica. Noriinb. 1801. 8. 41 tycschichtt dcr 'jceincirir, iibcrs. v. Sohncke. S. 526 — 540. 42 Enlsetzlich »liliverstaildtN ist ticfc Clclle vo» Huct Dcmnnstr. evang. prop. IV. p. 295. Aliam quoque per manus et digitos et digitorum !! articulos numerandi rationem a Graecis acceptam Romani usurparunt. !3 erklärt hat, fährt er so fort 4,1 „l'itagoriei vero, ne in mulli- plicalionibus ct participationibus cl in podismis aliizuando fallerentur, ut in onmilms erunt ingeniosissimi cl subtilissimi, descripserunt sibi quandam formulam, quam ob honorem sui praecepi oris, mensam l*itngoream nominabant, quia hoc, quod depinxerant, magistro praemonstrante cognoverant. A posterioribus appellabatur abacus, ut, quod alta mente conceperant, melius, si quasi videndo ostenderent, in notitiam omnium transfundere possent, camquc subterius habita sat mira descriptione formabant.” Es folgt feie Figur des Abacus. „Nuperius vero digestae descriptionis formula hoc modo utebantur. Habebant enim diverse formatos apices vel caracteres. Quidam enim hujuscemodi apicum notas sibi conscripserant, ut haec notula responderet unitati, 1. Jsta autem binario, 2. Tertia vero tribus, 3. Quarta vero quaternario, 4. Haec autem quinque asscriberetur, 5. Jsta autem senario, 6. Septima autem septenario conveniret, 7. Haec vero ocio, 8. Jsta autem novenario jungeretur, Ü 44 . Quidam vero in Imjus formae descriptione literas alfubeti sibi assumebant hoc pacto, ut litem, quae esset prima, unitati, secunda binario, tertia ternario, caeteraeque in ordine naturali numero responderent naturali. Alii autem in hujusmodi opus apices naturali numero insignitos et inscriptos tantummodo sortiti sunt. Hos enim apices ita varie ceu pulverem dispergere in multiplicando et in dividendo consuerunt, ut si sub unitate naturalis numeri ordinem jam dictos caracteres adjungendo locarent, non alii quam digiti nascerentur.” Hier bricht Maniicrt ab; ich gebe die Fortsetzung nach Chaslcs S. 534 der dclitschcn Übersetzung „Wenn man die erste Zahl, d. h. zwei denn die Einheit ist, wie in der Arithmetik gesagt wurde, nicht selbst eine Zahl, sondern der Ursprung und das Fundament der Zahlen, wenn man also zwei unter die Linie, die mit der Zehn bezeichnet war, stellte, so kam man darin übcrcin, daß sie zwanzig bedeutete; die Drei dreißig, die Vier vierzig; und den andern folgenden Zahlen gab man die Bedeutung, welche aus ihrer eigenthümlichen Benennung folgte. — Wenn man dieselben apices 43 Mumiert I. I. p. 8 — 10. bbasles S. 530—537. 4 '* Ich habe hier unsere Ziffern gebraucht; die Zeiche», die sich bei Voetlnus ffnden, werde ich „nie» in il'rer wabreii Gestalt gebe». unter die Linie, welche mit Hundert bezeichnet war, stellte, so setzte man fest, das; 2 zweihundert bedeutete, 3 drcihtmdcrt, 4 vierhundert, und daß die andern den andern Benennungen entsprächen. Und so weiter fort in dcit folgenden Columncn. Dieses System war keinem Irrthnnt unterworfen **." Zunächst einiges zur Literatur dieser Stelle. In den gedrtlckten Ausgaben von Bocthins Geometrie ist die Stelle dadurch entstellt, daß anstatt der von Boethins beschriebenen Tabelle sich die gewöhnliche Mnltiplirationstafel befindet, welche auf Anctorität dieser Stelle sehr mit Unrecht den Namen des Abacus Pythagoricus erhalten hat. Die wahre Darstellung der von Boethitts beschriebenen Tafel ist aus zwei, wie es scheint, aus dem elften Jahrhundert herrührenden Mannscripten entnommen, deren eines auf der Bibliothek zu Altdorf 4li , das andere zu Chartrcs 47 befindlich ist. Die erste Andeutung auf ein richtiges Verständniß dieser Stelle scheint sich in Theodor Tzwivel's Arithmetice opuscula iluo. 4. unter der Dedikation Monasterii, am Ende des Buchs 1507 ;u finden; es heißt darin charactcrcs sive nuinerorum apices a divo Severino Hoethio mmeupuntur. Und auf dem Titel steht Jo utilitate liujus lifjclli Tetrastichou ioannis Murmellii Iturc- limmlcnsis. Si quis aritlimetices optat cognosccrc praxin, Pythagove numeros discerc si quis mimt, Scire lnatlieniaticen si vult. Si ilenique quiequam Dc sophia, Iiunc modicutn comparct crc lihnim 48 . Deutlicher und bestimmter hat die vorliegende auf unser Ziffer- 45 Desselben Inhalts ist eine Stelle am Ende des zweite» Buchs dieser Geometrie, welche bei Ehaslcs S. 537 so lautet „Bei der Bildung des obige» Tablcau's bediente» sie die Alten sich Eharactere von verschiedener Art und verschiedener Form. Wir aber bediene» uns in jedem Werte dieser Gattung nicht anderer, als derer, welche wir bei der Eonstruction des Abacus bezeichnet haben. Wir haben die erste Linie dieses Tablcau's den Einern zuerthcilt, die zweite den Zehnern, die dritte den Hunderten, die vierte den Tausende» und endlich die anderen Linien den limites der andern Zahle». Wenn man agieo» in die erste Linie setzt, so werden sie Einer darstellen, in der zweiten Zehner, in der dritten Hunderte, in der vierten Tausende u. s. w. f. in den andern." 46 5Iunnert I. I. p. 6. 47 Ehaslcs S. 531. . 48 Ich habe das Buch nicht gesehen, sondern theile diese Data aus Käsiner'S Gesch. d. Mathen,. Th. 1. s; infimo tantum semicirculo, qui sinistrorsum patebat, dextrorsum converso. ’ Exifri.iov 3av y quod ita notabatur, T, rotundato ventre, pede detracto, peperit to 6. Ex Z basi sua multato, ortum est ro 7. Si II inflexis introrsum apicibus in rotundiorem et commodiorem formam mutaveris, exurget to 8. At 9 ipsissimum est £r. Zero, punctum primo videtur fuisse, ad dccuplicem praecedentis notae valorem designandum apponi solitum quod ut magis appareret, insigniusque fieret et crassius, circumducto in circulum calamo spatium inane, properantia primum, deinde consuetudine relictum est. Hinc Arabes et Persae notam lianc, non circuli tantum figura, sed puncto etiam crassiore exprimunt; quam et appellant; unde vocabulum Cifra, quod vulgus ab Ebraica radice "1DO derivat. Ad Lanc notarum similitudinem si advertetur animus, dubium omne tolletur. Sententiam nostram unice confirmat, quod scripsit eruditissimus Vossius in Melum, sc notas illas vulgares deprehendisse in Codice manuscripto Geometricorum Boetii, et in Notis Senecae et Tyronis. Unde recte concludit, vetustiores esse ac vulgo creditur. Ergo Arabicae non sunt nisi quis putet Senecae et Boetii temporibus Arabicas literas Romae fuisse usitatas. At nos non bac solum aetate vetustiores esse dicimus vulgares numerandi notas, sed plane ipsa esse elementa Graecorum quae Senecae et Boetii aetate ita jam a nativa forma degeneraverant frequenti calculorum Pythagoricorum usu, ut nec a Boetio agnita sint. Putavit enim conficta fuisse a Pythagoricis, quae ab iis fuerant corrupta. Subjicit deinde literas quoque Alphabeti ab iisdem fuisse in numerando ascitas. uod de literis Romanis dici non potuit, quippe quae ad operationes arithmeticas ineptae sint. Ergo Pythagorici literas easdem, vel integras nativa forma calculis suis adhibebant, vel adulteratas et corruptas. Neque notas solum, sed et decuplum progressionem numerorum Arabes a Graecis mutuat i sunt i>7 sunt. Non enim putandum est peculiare quippiam inessc progressioni liuic, quamobrem alia .ascisci non potuerit; vel ita pervulgatam fuisse, ut nullam aliam usurpare potuerint. Duodecupla progressio longe utilior est decupla; nam plures recipit partitiones duodenarius numerus, quam denarius. Cum ipsa ergo numerandi scientia, aliisque doctrinis, arithmeticus quoque notas a Graecis acceperant Arabes, et ut Graecanicae scripturae insueti erant, deformarunt quas cum ita vitiatas sparsissent per orbem, earum auctores a plerisque habiti sunt, qui corruptores erant. Quidam acceptas retulerunt Indis, qui eas perinde ut occidentis incolae ab Arabibus habuerunt. In ea sunt opinione ipsi quoque Arabes; ultro agnoscentes sibi non deberi notarum illarum inventione, sed falsi in vera carum assignanda origine .... Et mirum sane est notarum illarum inventionem tribui Arabibus, quam exoticam esse Arabes ipsi fatentur. Viderunt quidem suas non esse; at cujates essent, pervidere non potuerunt, Indicasque putarunt esse, quae Graecae erant. Descriptionem Abaci Pythagorici ex veteri codice Geometricorum lioetii misit ad me doctissimus Gracvius, elegandorum Musarum pater; cujus- modi codice usum se ait Yossius in Melam. Multum vero ab editione typis impressa discrepat ista descriptio non solum quoad formam notarum arithmeticarum, quae nostrarum vulgarium persimiles sunt, sed etiam quoad collocationem illarum atque situm nam a dextra progrediuntur ad sinistram; cmn e contrario in libro typis descripto a sinistra procedant ad dextram. Nec id factum putes, quod literae Arabicae sint, et Arabico more collocatae; sed quod minoris valoris numeri collocari soleant ad dextram, majoris ad sinistram. Itaque vulgarem numerorum collocandorum morem retinuit librarius ille; cum libri Boetii editi vulgarem nostram scribendi rationem secuti sint. Praeterea iu codice illo manu scripto ad notas arithmeticas apposita sunt vocabula quaedam» quorum nonnulla originem Ebraicam praeferunt puta quaternarius appellatur Arbas , quod est yDItf quinarius Quimus, i, INdd, der andere. Solche Verstümmelungen aber, zusammengehalten mit den abweichenden Lcscartcii, dürfe» uns nie befremden, wem, sie unverständliche Worte betreffe». Wie sind nicht manche aus dem Arabischen hergenommene astronomische Bcncu- »nngen entstellt worden! Aus senil-al-rAs Sc- genb des Kopfes oder Scheitels, ist zcnitli geworden, indem unter Andern schon Mazimus Planudes ausspricht, wenn er sagt T^-saai δε j-t Χημα, ο καλοΰι ξ'φαν, war’ ^Ινδού ημαίνον ονδίν. xal ά ίννεα δε χημαϊα xal ütTjra 1 Ινδίχά ε’ίν. ι] δ\ ϊζίφα, γζοίφείαι ου?α ο. Wallis , I. ρ. 48. . II. ρ. 10. Mit Unrecht sagt v. Bohlen das alte Indien 2. Th. S. 222 „Maximus wlanttdes begeht einen doppelten Irrthum, daß nur die Null i -ξ'φα geheißen und diese ou ^ ß\ jA LiU -δ II. f. w. ιΛ— ow ^ 1=* d. h. „Wenn an irgend einer Stelle keine Zahl vorhanden ist, so schreibt man der Deutlichkeit wegen an der Stelle das Finalzeichen deö Buchstaben Ha, nämlich , welches das Zeichen Sifr, in dem Einne von Etwas Leerem, ist." Weiter unten sagt der Verfasser „Gegenwärtig ist die Beränderung eingetreten, daß das Finalzei- ehen Ha die Fünf bedeutet, und für das Zeichen Sifr ein ^itnct geblieben ist." Die Englische Sprache hat das Wort ciplier in dieser ursprünglichen Bedeutung aufbewahrt; in allen übrigen Europäischen Sprachen bedeutet gegenwärtig Ziffer, ciplira, so viel als Zahlzeichen im Allgemeinen. Dagegen finden wir im späteren Latinismus und in mehrern Romanischen Sprachen für die Null den Ausdruck /.er, der wahrscheinlich auch Arabischen Ursprungs ist; salirü, heißt das Feld, auch die Wüste, daher der Plural! sululrü, zur Bezeichnung der großen Afrieanischen Wüste; demnach würde suliiü sifr, das leere Feld, die leete Stelle bedeuten, woraus leicht, mit Übergehung des charakteristische» Adjectivs sifr das Lateinische zno entstanden sein kann. man ni statt m las, und den folgenden Genitiv ganz wegwarf. Das Sternbild des Adlers heißt im Arabischen nnsr at-küii-, der fliegende Adler; dafür finde» wir die Namen Atliuir, Altuir, Athuis, Alcar u. f. w. Mit den drei übrigen Zahlwortcn, ormls foii»iu8, calvtis f alt is, ealois und celentis weiß ich nichts anzufangen; wo indeß sieben Namen ihre Deutung finden, da werden auch wohl die drei übrigen ihren Ursprung haben. Aber gesetzt auch, künftige Forschungen stellten die Echtheit der Stelle bei Bocthins und die Bekanntschaft der Pythagoraer mit dem Indisch-Arabischen Ziffcrnsystcm außer Zweifel, so würde doch dieses Resultat für die Geschichte der Wissenschaft erst bei der Untersuchung über die Verbreitung dieses Systems in Europa zur Zeit des sogenannten Mittelalters Interesse gewinnen. Auf die Fortbildung der Griechen hat diese problematische Kenntniß keinen Einfluß gehabt, und für die Griechischen Mathematiker, mit denen wir hier zu thun haben, ist sie nicht da gewesen. Und daß selbst BoethiuS, wenn die obige Stelle von ihm herrührt, weiter nichts thut, als daß er etwas ihm selbst nicht weniger als Geläufiges, vielleicht etwas eben erst Gelerntes wiedererzählt, geht aus seinen Worten gar zu deutlich hervor. Was er über den praktischen Nutzen und den Gebrauch des von ihm beschriebenen Systems sage» will, zeigt klar, daß er diesen Nutzen und den Gebrauch des Systems gar nicht verstanden und gekannt hat. Darum breche ich hier diesen Gegenstand ab, um erst bei spateren Untersuchungen wieder darauf zurückzukommen. Mau wird mir es um so weniger verargen, daß ich die gründliche Erörterung dieser Stelle auf eine künftige Gelegenheit hinausschiebe, als ich, wie schon erwähnt, das Werk von Bocthius selbst noch gar nicht gesehen habe. Ich gehe von diesem problematischen Sujet auf ein reelleres, die praktische Rechenkunst der Griechen über. Viertes Kapitel. Die Logistik der Grieche». Gin Zahlensystem ist an und für sich todt, wenn es nicht auf einen praktischen Gebrauch bezogen wird, und gerade das praktische Bedürfniß des geselligen Lebens hat die Menschen auf die eonventio- „ellc Fcststcllrmg gewisser Systeme von Zahlzeichen hingeführt. Dieses Bedürfniß war aber zwiefacher Natur. Man wollte'entweder bloß eine Zahl aufnotiren, um so dem Gedächtnisse zu Hilfe zu kommen, zu diesem Zwecke war, so lange er Privatangelegcnheit blieb, jedes beliebige und willkührlichc System von Zeiche» ausreichend, und selbst für den öffentlichen Gebrauch bedurfte es nur eines, zwar allgemein anerkannten, aber keincsweges auf große Bequemlichkeit berechneten Systems, wie denn wir uns noch gewöhnlich bei Inschriften llnd selbst auf Büchcrtitcln des sehr unbequemen Römischen Zahlensystems bedienen, weil die Züge desselben vernehmlicher in die Augen fallen, als die modernen Ziffern. Die ältesten Römer schlugen Nagel in den Jupitertempel, tun die verflossenen Jahre anzudeuten; ebenso die Volsinicr in den Tempel der Nortia Lex vetusta cst, priscis literis verbisque scripta, ut, qui praetor maximus sit, Idibus Septembribus clavum pangat. Fixus foder fixa, sc. lex fuit dextro lateri aedis Jovis optimi maximi, ex qua parte Minervae templum est. Eum clavum, quia rarae per ea tempora literac erant, notam numeri annorum fuisse ferunt; coque Minervae templo dicatam legem, quia numerus Minervae inventum sit. Volsiniis quoque clavos, indices numeri annorum, fixos in templo Nortiae, Etruscae l>eac, comparere, diligens talium monumentorum auctor Cincius affirmat. M. Horatius consul ex lege templum Jovis optimi maximi dedicavit mino post reges exactos a consulibus postea ad dictatores, qnia majus imperium erat, solcmno clavi figendi translatum est. Intermisso deinde more, digna etiam per se visa res. 106 proptcr quam dictator crearctur ' — Das zweite Bedürfniß, welches die Entstehung von Zahlensystemen verursachen mußte, war die Nothwendigkeit, Rechnungen auszuführen, welche das Leben und späterhin die Wissenschaft mit sich führte. Zu diesem Zwecke ist der Gebrauch schriftlicher Zahlzeichen gewiß erst später entstanden, und Geschichte und Sprache weisen darauf hin, daß man in älteren Zeiten sich zunächst der Finger daher das durchgängig conscqucutc Erscheinen des Dccimalsystcms und dessen Abarten, des pentadischen und Vigesiinalsystems, daher die Begriffe von Hand und Fuß zur Bezeichnung der Zahlen in Amerikanischen Sprache», daher das Griechische xspxtxfriv, Dinge, über die ich oben wcitläuftigcr gesprochen habe, dann aber kleiner Strinchcn, Kügelchcn oder Fruchtkörner und dergleichen zur Vcranschaulichung und Erleichterung der Rechnung bediente. Die Griechische Sprache bildet von dem Worte ^cpog, Stcinchen, Muschel, das Verbum ipriyifrtv, rechnen, das Nomen tf>i]cpo9ogta, Rcchcnkunst u. a. nebe» Xoyiica^ai, die Lateinische von calvulus, Steinchcu, ihr calcularc, rechnen, culcu- Ium ponerc, calculum subduccre, z Us a NINie» rechnen U. s. lv. Hcrodot erzählt, daß die Ägypter mit Stcinchen rs>siονϊ rijv , ΑΙγύχίΊ .οι Ö6 απ ί αν öt\iav ini rd α>ιn»8 etiam abacus dicebatur oliav. Quant voccni putat Lueus de Ilurg» corrupte dici pro Arabien, quod ab Arabibus et rein et nnmen babueri- rimus.” Wullis T. II. p. 11. 108 ward er dagegen bei den Römern, die bei ihrer unbchilflichcn Zah- lcnschrift einer solchen sinnlichen Unterstützung weit mehr bedurften; der Gebrauch desselben reicht bei ihnen bis tief in die Zeiten des Mittclalters hinein und wurde wohl erst durch die allgemeinere Einführung der Indisch-Arabischen Ziffern verdrängt. Inwiefern eine graphische Übertragung der auf diesem Rechcnbrctte gewonnenen Resultate auf das Papier zu einer Erschcintmg, wie die besprochene Tafel bei Bocthius, und ju der Erfindung der Ziffern mit Stellcn- werth führen konnte, ist eine Untersuchung, die ich mir für eine andere Stelle dieses Werkes vorbehalte. Die Griechen, welche von den Phöniziern zugleich mit dem Alphabete ein zwar nicht sehr conscqucntcs, aber doch nicht unbequemes Zahlensystem erhielten, scheinen, wie gesagt, schon frühe von der sinnlichen Rechenkunst mit den 5» der graphischen übergegangen zu sein; es ist uns aber von ihrer praktischen Rechenkunst und den zllr Erleichterung ihrer Rechnungen angewandten Kunstgriffen im Ganzen wenig aufbehalten worden, und gerade in dieser Hinsicht ist der Verlust der beiden ersten Bücher der mathematischen Sammlung von Pappus zu bedauern, da dieselben diesem Gegenstände gewidmet gewesen zu sein scheinen, wie alls dem von Wallis aufgefundenen und bekannt gemachten Fragmente erhellt. Das älteste bis auf unsere Zeiten gekommene Griechische Werk, welches auf Zahlcnrechnun- gcn basirt ist, ist die KuxAou ^itTQrjon, von Archimcdcs. Leider aber begnügt der Verfasser sich überall damit, von dem Ansätze der Rechnung einen Sprung auf das Resultat zu machen, so daß wir aus seiner Schrift von der Art der Ausführung keine Anschauung erlange». Diese Ausführungen aber sind uns in dem noch in mancher andern Beziehung interessanten Commcntar des Eutokius von Askalo» über das genannte Werk, wenigstens zum Theil, erhalten worden; er giebt uns Beispiele von Addition, Subtrartion und Multi- plication in ganzen und gebrochenen Zahlen, aber keine Division und keine Wurzelauszichung, obgleich gerade auf der letztgenannte» Operation Archimcd's Rechnung hailptsächlich beruht, indem er, die wirklichen Quadrate nicht mitgezählt, der Reihe nach die Quadratwurzeln aus folgenden Zahlen 349450, 1373943-f, 5472132^, 9082321, 3380929, 1018405, 4069284^ hat ausziehe» müssen. Archimcdcs setzt die Wurzeln der genannten siebe» Zahlen in derselben Reihenfolge 594, 1172z, 2339z, 3013z, 1838-^, 100'4 10 ! 2017^ ebne weitere Rechnung; er verfährt z. B. bei der erstgenannten Wurzel so ^ EH οο ΗΓ ιί'άμει μείξονα λγον ΐ' /ji , η οι> /jß——. ß - , \ t\ —— t . - M^uv ρα JVlyu?', μι\χει gsit μει^οϊ a η ον φΛ η ρο Qvy d. h. „EH zu ΗΓ hat im Quadrat sd. i. eh* irr 2 ein größeres Verhältniß, als 340450 zu 23400, j„ der Länge also d. i. ΕΗ nr ein größeres als 50, r zu 153." Auffallend ist es an diesem Beispiele, daß 504 nicht die nächsikleiiiere Wurzel ist, welche sich durch einen so kleinen Bruch ausdrücke» läßt; 5014 ist bedeutend näher und auch noch kleiner als der wahre Werth, was hier erfordert wird; es ist nämlick 504 2 = 340428H, dagegen 50I4 2 = 34944Ö&. Ebenso ist für die zweite Zahl 11724 näher als die angenommene Wurzel 1172j. Die dritte Wurzel ist ziemlich nahe, wenigstens läßt sich mit einem kleinen Bruche keine nähere angebe». Von der vierten Zahl an werden die Wurzeln, dem Gange des Räsounemenis zufolge, zu groß verlangt; aber gleich die vierte, 3013£ ist bedeutend zu groß, indem hier £ für den Decimalbruch 0,6880 substituirt ist, da doch erst 0,75 - f ist; und das Quadrat von 3013^ ist um 3684 größer als die Zahl, deren Wurzel eS vorstellen soll. Die folgende Wurzel 1838-4 ist wieder bedeutend }» groß; es bietet sich uuS hier die merkwürdige Erscheinung dar, daß die Methode der Kettenbrüche der Reihe nach folgende Werthe giebt 1 , 4 it. s. w.; nun ist 4 zunächst zu klein; eS hat also fast den Anschein, als sei deshalb von Archimedes T 5 T gewählt worden. Die sechste und siebente Wurzel sind ziemlich nahe. Es iväre interessant, wenn Eutokius uns einige Aufklärung gegeben hätte über die Methode der Alte», die irralioiialen Wurzel» »äheruugsweise zu siudeu; das thut er aber nicht, sondern er begnügt sich zu sagen die Wurzel von 340450 ist nahe 504, denn das Quadrat von 504 ist ungefähr um 21 -s- £ + T \ kleiner als das wirkliche, — ούν πλενοά εραγνική φ /j η έγγια ελ?,ειπει yotQ ο πο ου ιρ Ιγ α ι{ εράγνο ει ά,χριβ'ει; Μ° κιχ, - 1 ιε έγγια. Dann fügt er mit den Worten 0, öl ΐολλιχπλακ/.μοί νπκεη'αι als Probe das Schema der Qua- draterhebuug der in Rede stehenden Wurzel hinzu, und nachdem er da j„ dem angeführten Beispiel das Quadrat — 340428 ± ' 4 gefunden, sagt er ελλείπει 4" Tü ^ xg/3 bicftllt ©α gC Wird U11 s b ΐ- ständlg aufgegeben, von einer gegebenen Zahl bie Quadratwurzel zu finden. Diese aber bei einer Zahl, die kein Quadrat ist, genau zu finden, ist unmöglich. Denn eine Zahl mit sich selbst multiplicirt giebt eine Quadratzahl; aber eine Zahl und ein Bruch in sich selbst multiplicirt geben keine ganze Zahl, sondern auch einen Bruch. Wie man aber eine Wurzel findet, deren Quadrat einer gegebenen Zahl sehr nahe gleich kommt, ist von Hcro in den Με?ρ/κοί, und von Pappus, Theo» und Andern, welche die Μεγάλη Ivvra^iq von Klaudius PtolemänS commentirt habe», gelehrt worden. Daher haben wir nicht nöthig Untersuchungen hierüber anzustellen, da Freunde der Wissenschaft bei Jenen nachsehen können. Hier scheint also Eutokius offenbar zu sagen, daß er die Ansziehnng der Quadratwurzeln darum nicht mittheile, weil er sie aus den Werken von Hero, Pappus, Thron und Anderen als bekannt voraussetzen dürfe. Aber, fragen wir, warum führt er denn so sorgfältig alle vorkommenden Multiplicationcn aus, die doch gewiß nicht weniger bekannt waren? Ich glaube, die angeführte Stelle anders verstehen zu müssen. Eutokius sagt nur, er wolle das Princip, auf welchem, rein wissenschaftlich betrachtet, die Auszichung der Quadratwurzel beruhe, nicht auseinandersetzen, weil Andere vor ihm, die Jedermann nachlesen könne, das hinlänglich gethan haben. Er spricht aber hier nicht von der praktischen Anwendung dieses Princips. Allerdings war durch die von Thcou auseinandergesetzte Methode die Werke von Hero lind Pappus sind nicht mehr vorhanden, welche wir unten darstellen wollen, wissenschaftlich die Möglichkeit gegeben, die Operation von den in Scragesimaltheilcn ausgedrückten Zahlen auf Zahlen in dem Dccimalsvstcme zu übertragen. Eine andere Frage ist aber die, ob diese Übertragung der Methode auf größere Zahlen im Decimalsvstem in der Praris sich auch als anwendbar bewährte. Daß das aber nicht der Fall war, beweist Eutokius selbst durchweg, indem er immer das umgekehrte Verfahren wählt, und wultiplicirt, anstatt durch eine auf das Princip gegründete Operation die Wurzel analytisch herzuleiten. So besitzen wir, um ein Analogon anzuführen, feit beinahe drei Jahrhunderten Methoden, um auf di- rectent Wege die Wurzeln einer biqnadratische» Gleichung zu bestimmen; ich glaube aber nicht, daß sich schon irgend Jemand bei einer wirklich vorliegenden Gleichung der Methoden von Ferrari, Bombelli, Descarles n. s. w. bedient hat, so richtig dieselben auch in theoretischer Hinsicht sind; sondern Jeder wird die weniger wissenschaftlichen, aber unendlich leichter zum Ziele führende» Näherungsmethoden in der Praxis anwenden. Eben so wenig bietet uns die ganze Griechische Literatur ein Beispiel von einer ausgeführten Divisioit in gewöhnlichen Zahlen dar. Eutokius, der einzige Schriftsteller, der uns überhaupt ausgeführte Rechnungen in dem gewöhnlichen Griechischen Deeiinalsysieni aufbewahrt hat, hat in seinem Commentar keine Gelegenheit gefunden, eine Division zu verrichten. Thron in seinem Commentar über Ptolemäus giebt uns auch von der Division Beispiele, aber gleichfalls im Sexagesimalsvstem; das von ihm gebrauchte Verfahren läßt sich allerdings auch auf das Dceimalsysiem übertragen, wie De- lambre ° gezeigt hat, nur wird dann die Operation ebenfalls weit- läuftiger, als bei den Ptolemäischen Brüchen, wenn sie auch nicht so große Schwierigkeiten darbietet, wie die Wurzelausziehung. Bevor wir weiter gehen, müssen wir erst etwas über die bei den Griechen übliche Bezeichnung der Brüche sagen. Die einfachsten Brüche, deren Zähler die Einheit ist, und mit denen die Alten sich am liebsten beschäftigten, bezeichneten sie auf die Art, daß sie bloß den Zahlbuchstaben des Nenners hinschrieben und denselben oben mit einem Apex gleich dem Acutus bezeichneten; so bedeutet y 4 , & e r., 40' u. s. w. '". Nttr der erste aller Brüche, 4, macht davon in der Regel eine Ausnahme und wurde durch ein eigenes Zeichen ^ f/, angedeutet, welches nicht, wie in manchen uncorreeten Druk- 8 Nist. so l'astron. ane. T. II. p. 26. Arithm. d. Kriech. S. 33. 10 Eine ähnliche Bezeichnung habe ich noch in der rateinischen Ausgabe des Euklid von Zambcrlus Paris. 1516 gefunden, wo fol, 248 ad Eurl. XIV. 8 die Brüche, deren Zähler die Einheit ist, durch eine» horizontalen Strich über dem Nenner angedeutet werden T, T, T, T, T, Tä, iä, äs, 73, 55, i, iää für i, z. u. s. w. Auch ßndcn sich daselbst eigene Zeiche» für die angeführte» Brüche von bis deren erstes mit dem Griechische» Zeichen für £ übereinstimmt. Die übrigen will ich nicht hiehcrsetzen. Andere Abbreviaturen für Brüche giebt Momfaucon l'alavoxr. p. 361 aus einem pariser Eodcx. Drucken geschieht, mit dem Buchstaben K zu verwechseln ist n . Da die Rechnung mit bicscn Brüchen bedeutend leichter ist als mit solchen, deren Zähler die Einheit überschreitet, so lösen die Griechen die letztere», wo es sich thun läßt, gern in mehre Brüche der ersten Art auf. So schreibt Eutokius für 41 lieber 4 eV» und 4 ^ für T ff , 4 i für 4 , ganz ähnlich wie die wo möglich alle Zahlen durch Worte ausdrückenden Araber für drei Achtel sagen ein Viertel und die Hälfte cines Viertels Ja, Eutokius geht so weit, daß er den Bruch 4f sogar in drei andere, 4 - \ auflöst. Ein merkwürdiges Beispiel von einer nähcrungswcisc vollzogenen Zerlegung eines Bruchs in zwei kleinere mit dem Zähler 1, welches Eutokius Commcntar uns darbietet, will ich gleich an dieser Stelle mitnehmen; ich meine die oben schon berührte Zerlegung des Bruchs 44 in die Summe von £ und ". Nun ist 4 — T l T = ^, also die Summe beider erst — demnach um s-KTj zu klein. Es fragt sich, auf welchem Wege Eutokius zu dieser einfachen Zerlegung gelangt ist. Vielleicht machte er folgende Bc- trachtnng; da in dem Bruche 4 der Zähler nahe ein Viertel des Nenners ist, so wird der Werth des Bruchs nicht bedeutend verändert, wenn man von dem Zähler 1 und von dem Nenner 4 wegnimmt, so daß 44 beinahe gleich 4 z = & = ^ + & = 4 -f* tt wird. Vielleicht gefallt auch Einern oder dem Andern die Ableitung von Delambre'^ besser, welcher den Übergang so darstellt I 5 _ 45 _ 32+13 _ 1 , 13 _ 1 , 1 _ 1 1 64 — 192 ~ 192 6" "3" 192 _ Ö" 14fs ~ 6 ' 15 Mir scheint die Darstellung, die ich gegeben habe, einfacher zu sein. Wir kehren indeß zu unserm Gegenstände zurück. Die eben dargestellte Bezeichnung der Brüche war aber einerseits nicht allgemein angenommen, wie wir aus Diophant ersehen, der auch die einfachen Brüche mit dem Zähler 1 so schreibt, wie alle übrigen, andrcr- 11 In Hoffinann's Übersetzung von Dclambre's Schrift Über die Arithmetik der Griechen S. 25 stehen die sonderbaren Worte „Das Zeichen K, welche unserm k gleicht, bedeutet Das erste Zeichen ist ganz deutlich ein grolle, das zwcile ein kleines k. An der zweiten Ausgabe des Originals Delambrc Hist. lle l'astron. mir. T. II. habe ich eine ähnliche Stelle nicht gefunden; die erste Ausgabe in Pej’rard Oeuvres cl'AreliimMe habe ich nicht znr Hand. 12 Ausg. v. Eutcnäcker S. 88 und 134. 13 Arithm. der Griechen S. 25,. Hisf. de I'ustr. nun. T. II. p. 21. I. 8 114 seits war diese Methode nicht ausreichend für Brüche, deren Zähler nicht die Einheit ist. Diese letzteren Brüche nun, und oft auch die ersteren bezeichnen die Griechen so, daß sie in die ordentliche Zeile der Zahlen und Worte den Zähler stellen, und den Nenner ihm als __/ srt Erponcutcn oben ansetzen, so daß z. B. oder ^ bei Archimedes und Entokins ^ bedeutet, und ebenso sehr oft bei Diophant, selbst bei großen Zahlen, nur mit dem Unterschiede, daß wenigstens in den gedruckten Allsgabcn statt des Acutus ein Circumßcrus oben a» den _ Nenner gesetzt wird ; z. B. Diopli. 1\, 17. y. = _. toiT 1709R9 äfü4 5 1V ’ 18 lim- 2" bc>" letzten Beispiele ist bei dem des Nenners außer dem Mvriadcnpunctc f. oben noch einmal das Zeichen ~ gesetzt, um, wie es scheint, davor zu warnen, daß man es für — 1000 halte, da in der Zahl die Stelle der Tailseuder leer geblieben ist. Sonst drückt Diophant auch, zumal bei größeren Zahlen, das Bruchvcrhältniß zuweilen so aus, daß er zwischen die Zahl des Zählers und des Nenners die Worte /togtw oder fiooiov setzt, j. B. IV, 29. gv . ^^7rö ,„o g/ou das heißt 1 ; 0 ;^ 8 4 4 Es sei mir erlaubt, hier eine interessante Stelle aus Diophant I V, 45 abzuschreiben. Der Vcr- fasscr hat für drei gesuchte Zahlen die Werthe .£' = __otjjy __C"r und *4 — gefunden. Nun verlangt aber die Aufgabe, daß die Summe von je zweien dieser Zahlen eine Quadratzahl sei; da fährt der Auctor so fort x! en ?o aöo/or 70 ow l'ortv rergdjMtn’oq, txrov St urttv avrov, luv ?.ußo>/iev gxa, ü to7i rfrouyojvac, Ttarnov ovv ?o txrov xal bfioitoc; euvai -— 8 _p~ , x _ qxu _ p~ 6 fltV ’JtOoyfog ixioXö . o Öt ösiVegoi; lyTr- . u 6 6t 7 QiTog Qxot _{ 3 , , v , >, , , ,, „ \ \ t/ iö . x cn tav sv oAoxXi;goiI Pappum II, 18 Licet hinc et ex sequentibus Apollonium qucndnm Pcrgaeum puto tractatum scripsisse qui periit aoi^uwv fix'otu; fivQiäSa i,, d. h. Ulan kann auf diese Weise bis zu den tausend- millionsten Zahlen fortschreiten. Ja, sagt er, man kann iwck weiter gehen; mau nenne die bis jetzt behandelten Zahlen Zahlen der ersten Periode, die letzte Zahl der ersten Periode, oder die juiiiuÖsi; der zehntansendniillionsten Zahlen, also 800000000 nenne man eine Einheit der ersten Zahlen der zweiten Periode. Diese zweite Periode wird dann wieder in zweite, dritte, vierte u. s. w. bis zu den tausendmillionstcn ^vgiajai^iijgioa'j-oi Zahlen eingetheilt; die letzte Zahl dieser ^zweiten Periode, oder zehntausend Myriaden der tausendmillionsien Zahlen der zweiten Periode, heiße dann eine Einheit der ersten Zahlen der dritten Periode, und so weiter fort. Dieses auf den einfache» Begriff der geometrischen Progression gebaute System hat neben dem Vortheil der Ausdehnbarkeit bis zu jeder beliebige» Grenze noch den der klaren und leichten Übersichtlichkeit und macht seinem Urheber um so mehr Ehre, je einfacher es ist. ES ist aber zu viel gesagt, wenn man in diesem System ei» Bewußtsein des Zndischcn Decimalsystmis mit Stellcinvcrch entdecke» will, wie es wohl zuweilen geschieht. Denn das progressive Fortschreiten der Zahlen »ach den Potenzen von zehn lag ja von jeher in der Griechischen Sprache begründet, und Archimcdcs hat weiter nichts gethan, als daß er die Sprache, welche im gewöhnlichen Leben nicht über /ivQiuKiq ^vqigu . uwaÄft, hinausrcichtc, mit Gewandtheit bis ins Unendliche hin bereicherte; sein System erstreckt sich demnach nur auf die Zahlwortc, nicht auf die Zahlzeichen; es hat also mit dem Indischen Positionssystcm nichts gemein, als die von jeher in Griechenland bekannte Progression von zehn zu zehn, und die unendliche Ausdehnbarkeit. Die einfache Regel, welche Archimcdcs für den Gebrauch dieses Systems giebt, ist folgender Satz Wenn mehre Zahlen von der Einheit an in geometrischer Progression stehen, so wird jedes Prodnct von irgend zwei Gliedern dieser Progression derselben Progression angehören, indem es so weit von dem größeren Factor entfernt ist, als der kleinere Factor von der Einheit; und der Abstand des Products von der Einheit wird um eins kleiner sein, als die Summe der Abstände der beiden Factorcn von der Einheit'^. Es ist bei diesem Satze nur zu bedenken, daß die 16 Wtillis Opera T, 111. p. 521 ’Ayi p-fitöv dtb sag fiovatiog dvd Gricchcn bei Angaben von Abständen beide Grenzen mitzählen; das heißt, wenn sie die Progression haben Ina" n 3 4 5 ° n n H ri a'° wo ,0 z. B. das Product von 4 in ' ist, so ficht nach Griechischer Vorstcllungswcisc n* um 5, 6 um 7 von der Einheit ab, also a 10 um 5 von 6 lind um 5 + 7 — 1 — 11 von der Einheit. Wir würden nach unserer Vorstellung alle diese Zahlen um 1 vermindern müssen, oder wir müßten uns der Ordinalzahlen als Stel- lcnzahlen bedienen. Eben so sagt der Grieche „nach drei Tagen," wo wir „nach Zwei Tagen" oder „am dritten Tage" sagen, weil wir das Anfangsglicd nicht mitzählen. Ein Beispiel möge zeigen, auf welche einfache Weise ArchimcdcS auSmittclt, welcher Rubrik ein erhaltenes Resultat angehört. Er hatte vorher berechnet, daß eine Kugel, deren Durchmesser 100 ö. xruAoi beträgt, weniger Sandkörner in sich faßt, als 1000 Myriaden der zweiten Zahlen. Dann fährt er so fort 17 „Ferner ist eine Kugel, welche 10000 StixrvXoi zum Durchmesser hat, das 1000000 fache s7ioAA7rAar?7vtl o?ro jUoi'sxio? ot rtoXXaifXaatdfavftS kVau^oo?, 17 lb. p. 523. aus dem zweite» Buche der mathcniatischc» Sammlungen von Pappus, welches Wallis in der Orforder Bibliothek aufgefunden und zuerst 1688 Griechisch und Lateinisch mit Anmerkungen herausgegeben hat. Es ist nachher im dritten Bande seiner Werke, Oxford 1699, fol. p. 595 — 614 wieder abgedruckt worden. Das Fragment enthält die Sätze 15 bis 27 des genannte» Buchs, und giebt Regeln, die Multiplication der Vielfachen von zehn und dessen Potenzen auf die Multiplication der entsprechenden Einheiten zurückzuführen, Regeln, die uns, denen das Bild unserer Zahlzeichen in Gedanken vorschwebt, ziemlich unnöthig scheinen, die aber für die Griechen von wesentlicherem Nutzen waren, als eS scheint. Pappus beruft sich in diesen Sätzen, deren Anfang leider fehlt denn der fünfzehnte, mit dem das Fragment beginnt, ist weder der erste einer neuen Abhandlung, noch selbst an und für sich vollständig öfters auf Apollonius 18 , ohne denselben nach der den Griechen doch so gebräuchlichen Weise durch einen Zusatz näher zn bestimmen, n»d ohne den Titel des Werkes zu nennen, aus welchem er seine Aus- züge entnommen hat. Vielleicht oder wahrscheinlich befanden sich diese fehlenden Nachrichten in dem verloren gegangenen Anfange dieses Abschnitts. Mit ziemlicher Gewißheit läßt sich indeß annehmen, daß hier der berühmte Mathematiker Apollonius von Pcrga, 6 mg- ya~o . Ich sage, daß das Product von A B r A E z H 0 so vielen der Zahl X gleichnamigen Mvriaden gleich ist, als in der Zahl >i> Einheiten stecken. Dieses hat Apollonius an der Figur gezeigt. Wenn aber die Suniiile der doppelten Anzahl von A B und der einfache» Anzahl von 1' A E nicht durch 4 Heilbar ist, so wird dieselbe 1, 2 oder 3 als Rest lassen. Wenn sie 1 als Rest läßt, so enthält das Product der Zahl n p 2 T T zehn Myriaden, welche dem Quotienten x gleichnamig sind; wenn 2, hundert Myriaden, gleichnamig der Zahl X; wenn drei, tausend Myriaden gleichnamig der Zahl x. Und aus dem vorigen ist klar, daß das Product der Zahlen A B r A E z H c-i so viele dem K gleichnamige Myriaden enthalten wird, als das Zehnfache, oder das Hundertfache, oder das Tausendfache der Zahl beträgt. S. 27. Dieser Saß enthält zwei Anwcndtmgcn der vorigen Sätze, indem Apollonius sich die Aufgabe stellt, die Producte der Zahlen, welche durch die Buchstaben zweier Verse vorgestellt werden, zu finden. Die Verse sind Άρέμιδο^ χλείε κράο ’έξοχον εννέα κυνοαι Ulld Μ ηνιν ιίειδε £εά Δημήεοο αγλαοχάρΛον. Apollonius verfährt hier ganz, systematisch, indem er sich zuerst diejenige» Buchstaben, welche Hunderter bedeuten, dann die Zehner und zuletzt die Einer znsannncnstcllt, sodann von den ersten beiden Klasse» die Pythmcncs nimmt, diese sammt den ursprüngliche» Einern in ei» Product verbindet, und dann nach der im 26. Satze gegebenen Regel untersucht, mit wie vielen Myriaden dieses Product wegen der vernachlässigten Hliuderter und Zehner noch zu vervielfältigen ist. Die Ausführnng ist etwas langweilig, zumal da der Verfasser gewissenhaft immer auch mit 1 an gehöriger Stelle multiplicirt. DaS Product der Pythmcncs und Einer des ersten Verses ist Μδ. /$ και My. ίλί κα\ M3. ijuit d. h. 19 vierfache, 6036 dreifache und 8480 doppelte Myriaden oder die Zahl 196036848000000000. Nun enthält der erste VcrS zehn Buchstabe», welche Hnndcrter, und siebzehn, welche Zehner bedeute»; also ist die doppelte Anzahl der ersten, 20, plus der einfachen Anzahl der zweiten, 17, zusammen 37, welches durch 4 dividirt den Quotienten 9 und den Rest 1 giebt. Demnach enthalt das Product sämmtlicher Zahlen so viele neunfache Myriaden, als das zehnfache Product der Pythmcncs tmd Einer Einheiten enthält, das heißt, das Gcsammtproduct beträgt 196 dreizehn- sachc, 368 zwölffachc und 4800 clffache Myriaden, oder die Zahl 196036848 mit sechs und vierzig angehängten Nullen. Ganz ähnlich ist das Verfahren bei dem zweiten Verse. Das Product der Pythmcncs und Einer giebt nämlich 2 vierfache, 1849 dreifache, 4402 doppelte und 5600 einfache Myriaden. Nun enthalt der Vers fünf Buchstaben, welche Hunderter, und zwölf, welche Zehner bedeute»; es ist also die Summe der doppelten Anzahl der ersteren und der einfachen Anzahl der letzteren gleich 22, welches durch 4 dividirt den Quotienten 5 und den Nest 2 giebt; daher enthält das Product sämmtlicher Zahlen so viele fünffache Myriaden, als das hundertfache Product der Pythmcncs und Einer Einheiten enthält, das heißt, das ^esamnitproducl beträgt 218 neunfache, 4944 achtfache, und 256 siebenfache Myriaden, oder die Zahl 21849440256 mit acht und 9va»zjg Ntillcn. Was nun die Art, wie dieser letzte Satz bei Pappus ansge- 132 sprochm ist, anbetrifft, so klingt der Ausdruck desselben ganz eigen- gcnthümlich und scheint einiges Licht auf den verlorenen Anfang und den Zweck vorliegender Schrift zu werfen. Der Satz lautet tut Original nämlich also ούον öl Ρερήμαο προεκεξειμενον, πρδηλν ει 7ον δο^ενα, ίγγ>ν πολλαπλαιάαικαί ειπεΐν ον αριθμν εκ, 7ου ον λομγοι» ν άρφμών οι» εϊληφε πρώον ν γραμμάν, επί ον δεύερον άρφμδν ο?> εϊληφε δεύερον ν γραμμάν πολλαπλαοΊαοφηναι' επε\ ίο γενμενον επι ον ρίον αρφμν ου εϊληφε ο ρίον γράμμα' και καά, ο έξη παραίνεοφαι μάγοι ίου διεξοδεύε^αι ον ίχ,ον επεν 'δπολλώνιο, εν άρΧη, καά ον ίχον, ν ' Άρεμιδο etc. d. h. „Nachdem dieser Satz vorher festgestellt ist nämlich der 2s>., ist es thunlich den gegebenen Vers zu multipliciren, und das Produkt anzugeben, welches entsteht, wenn man die erste Zahl, welche der erste Buchstabe ausdrückt, mit der zweiten Zahl, welche der zweite Buchstabe ausdrückt, nniltiplicirt; dann das Resultat mit der dritten Zahl, welche der dritte Buchstabe darstellt; und so nach der Reihe fort zu verfahren, bis man durch den ganzen Vers gekommen ist; wie Apollonius am Anfange sagt" n. s. w. Und am Schlüsse der Entwickelung der Multiplication des ersten Verses, als Pappns das Gcsammtrcsultat angegeben hat, fügt er hinzu νμφν ο νπο ’ Απολλώνιου καά ην μέθοδον έν άρχί] ου βιβλίου προγεγραμ- μίνην, d. H. „ fti' cr ei n ft tmiiiciib NI it der Angabe des Apollonius nach der am Anfange des Buchs vorgeschriebenen Methode." Darnach scheint cS erstens, daß diese Schrift, ähnlich wie die eben besprochene von Archimedes, eine gelegentliche Spielerei zu ihrer Veranlassung gcbabt, und mit dem Okvtoboos, der sich mit der genauern Berechnung der Krcispcriphcric beschäftigte, durchaus nichts gemein hat. Wie aus dem Ausdruck dieses letzten Satzes hervorgeht, bat Apollonius am Anfange der Schrift sich die successive Mul- tiplication der Zahlbuchstabcn der angeführten Verse als Aufgabe gestellt, und um das Verfahren zu erleichtern unb zugleich diese Erleichterung wissenschaftlich zu begründen, der Ausführung selbst eint Reihe von Sätzen vorausgeschickt. Diese Säße selbst, soweit sie erhalten sind, stehen, wenn meine Conjcctur in Betreff des 25. Satzes richtig ist, in völlig svftcmalischer Anordnung da, und lassen sich m jUH'i Hauptabtheilungen bringen, bereit eiste unvollständig ist, und mit den Säße» 15 und 16 schließt; die zweite aber in den Säßen 17. bis 26 vollständig vorliegt. Der erste Abschnitt enthält Regeln für die Multiplieation gleichartiger Zahlen, als mehrer Zehner, oder mehrer Hunderter unter einander; die Analogie des zweiten Abschnitts läßt schließen, daß Apollonius auch hier mit zwei Zehnern, mit drei Zehnern, und ebenso mit zwei und drei Hundertern angefangen hat, bevor er zu dem allgemeinen Ausdruck der Regel für beliebig viele Zehner und Hunderter im 15. und 16. Satze fortgeschritten ist. Der zweite Abschnitt enthält sodann Regel» für die Multiplieation verschiedenartiger Zahlen, als Hunderter mit Zehnern sS. 17, 18, Zehner mit Einern sS. 19 — 22, Hunderter mit Einern sS. 23, 24 und Hunderter mit Zehnern und Einern sS. 25 nach der Wiederherstellung, und E. 26. Diese Sätze waren aber, wie gesagt, nicht Zweck, sondern Mittel, wenigstens der Form der Darstellung nach, welche die Multiplieation der Verse als alleinigen Zweck der Schrift, nicht etwa als beiläufig gegebene Anwendung erscheinen läßt. Zweitens aber erhellt aus den zuletzt angeführten Worten, daß Apollonius außer der in diesen Sätzen vorgetragenen Methode noch einer anderen sich bedient hat, um die vorgesetzte Multiplieation auszuführen. Vielleicht hatte er am Anfange der Schrift die Multiplieation der Zahlwerthe der Buchstaben der Reihe nach, ohne vorher die Pvthmenes abzusondern, ausgeführt, um durch den Augenschein zu lehren, wie viel beschwerlicher und weitläuftiger dieser Weg sei, als die von ihm erfundene und in vorliegenden Sätzen vorgetragene Abkürzuugsmethode. Dann stehen die Worte crvncpoimq m,, vko ’AjtoAAcor/ou ii. s. w. als ei» Beweis vermittels des Augenscheins da, als wollte der Verfasser sagen Das übereinstimmende Resultat lehrt also, daß diese abgekürzte Methode eben so sicher zum Ziele führt als jene weitläuftige. Nun noch einige Worte über einen Zusatz, den Pappus bei einigen der vorliegenden Aufgaben macht. Pappus giebt uns, wie schon erwähnt, nicht die vollständigen Beweise für diese Sätze, dagegen verweist er bei mehren derselben auf den Beweis des Apollonius und zwar auf einen geometrischen Beweis; z. B. am Ende des 19. Satzes; To 8\ y^uftfuxov tu! rou ’ArtoAÄümoti 8t8kix7cu 20 . 20 Ähnlich bei teil Sätzen 20, 22, 2,1, 21, 26. 134 Es erscheint lins ein wenig wunderbar, wenn wir hören, daß Jemand reine Zahlcnsätze geometrisch beweisen will. Wir müssen hier aber bedenken, daß Geometrie tmd Calcul bei den Griechen in einem Verhältnisse zu einander standen, welches gerade das umgekehrte ist von dem, in welchem beide Methoden bei unsju einander stehen. Wollen wir einen schwierigen geometrischen Satz oder eine solche Aufgabe schnell und möglichst klar ausführen, so berechnen wir dieselben. Bei uns ist der Calcul die höhere Wissenschaft, und die Geometrie eine derselben untergeordnete Methode und einer der unzähligen Nahrungsstoffe für jenen. Die Griechen dagegen, bei denen der Calcul aus Mangel an ordentlichen Rcchnungszcichc» innncr in seiner Kindheit geblieben ist, waren durchaus Geometcr, tmd eine Rechnung oder ein arithmetischer Satz gewann für sie erst dann völlig überzeugende Kraft, wenn seine Wahrheit an einer Figur durch geometrische Construction dargcthan war. Die Formel {a- j-A* = a 2 - f- 'iah - j- war gleich allen ähnlichen Sätzen im zweiten Buch Euklid's bei den Griechen ein rein geometrischer Satz, und sobald sie denselben auf die Rechnung anwenden, zeichnen sie die Figur daneben, um die Zulässigkcit einer solchen Übertragung, die in ihren Augen immer etwas Frenidartiges tmd Gewagtes an sich zu haben schien, zu beweisen. So trägt Euklidcs in dem zehnten Buche seiner Elemente die Lehre von den Irrationalzahlen als eine Lehre von den Jrrationallinicn vor; Diophant beweist die Sätze seiner Lehre von den figmirten Zahlen an der Figur, und ebenso, wie wir sogleich sehen werde», Theo» seine Methode für die Auszichung der Quadratwurzel, ja selbst für dir Multiplication und Division. Eben so scheint also auch Apollonius die hier vorgetragenen Sätze geometrisch bewiese» zu haben. Dieser Standpunct ist bei der Beurtheilung der Griechischen Mathematiker durchaus im Auge zu behalten, weil nur er so manche Erscheinung zu erklären vermag, über welche seit Jahrhunderte» Conjccturcn über Conjcckurcn gehäuft worden sind, welche alle unnöthig gewesen wären, wenn man an das hier erwähnte Verhältniß der Griechische» Geometrie Zinn Calcul gedacht uub nicht die Griechen immer auf unsern Standpunct gestellt hätte. Ich beschließe diesen Gegenstand mit folgender Stelle aus Dc- lambrc's Arillnnoligue des Grecs 21 Cello iilec d’Apollonius, •21 llist. lc l’astron. ane. T. II. p. 30. 31. In Hvffiiiaim's Übersetzung de suhstituer »laus lcs calculs les simples unitcs nux dixaines, centaincs etc., ahregeait coiisiderahlement les calculs; et c’dtait u» pas risse? mnrquc vers le Systeme imliemie; il semhle qu’apres avoir mluit les octades d’Archimede en trunches qui n’avaioiit que quatre chiffres au Heu de 8, il aurait dit essaycr les tranclies de trois chiffres ep,i lui au- raient perinis dc supprimer los lettres particulieres et pointees pour les mille. 11 aurait Irouve »» avantage encore plus sensible eu reduisant les tranclies a deux chiffres, qui lui auraicnt epargne lcs lettres qui designent les centaines; enliii en reduisant les tranclies ii un chiffre, il epargnait les lettres des dixames et urrivait neeessairement a l'Arithmetique in- dienne, nrabc et moderne. 11 parait au contraire n’avoir rc- duit les tranclies dc 8 chiffres d’Archimcde ä des tranclies de 4, que pour rentrer dans les limites de l'Arithmetique des »rccs, et pour epie chacune de ses tranclies ne contint que les chiffres communemcnt admis. On est humilie et. chagriu de voir iine idee aussi simple et, aussi feconde eehapper k deux hommes comine Arcliimede et Apollomus, qui cepeu- dant out travaille l’un ä Studier, l’autre ii dimimiev les in- conveniens de l’Arithinetique retpie. Mais ces grands genies meprisaient trop Ja pratique, ils ne se complaisaient qu’aux speculations difficiles. En reduisant cliaque tranche a un chiffre et dounant la plus gründe etemlue au principe de ht valeur de position, il aurait scnli le hesoin d’un dixieme caractere pour supprimer les points entre les tranclies et rempln les places vides etc. etc. Fassen wir für} zusammen, was diese Stelle sagt, so reducirt sich ihr Inhalt auf folgende zwei Wahrheiten 1 Wenn Apollonius noch das und das gethan hätte, so hätte er noch das und das erfunden. 2 Apollonius und Arche mcdcs hassen das Zahlensystem mit Etellenwerth nicht erfunden. Hinterher ist leicht zu dcdueirc», wie eine grosse Erfindung hätte gemacht werden können; historisch asser ist sie denn doch in der Regel auf ganz andern! Wege erfunden worden. Dieses nun ist es etwa, was von dc» praktischen Rechnungen der Griechen mit gewöhnlichen Dccimalzahlcu uns aufbehalten ist. S. 40 steht die gleite bedeutend liirzer, und ebenso wahrscheintich i» der rrsten Andgeibe des Originale. 136 Nun bleibt uns aber noch eine grosse Klasse von Rechnungen zu erläutern übrig, die Rechnung mit dem, wie es scheint, von Ptolc- inäns eingeführten Scragesinialsystem, welche für lins doppelt wichtig ist, einerseits wegen ihrer allgemeinen Verbreitung in Europa während eines Zeitraums von etwa vierzehn Jahrhunderten, andrerseits weil in diesem System uns Rechnungen der Griechen aufbewahrt sind, welche sich in den Büchern, die dem Dccimalsystcm folgen, nicht mehr vorfinden, namentlich Divisionen und WnrzelauSzichungcn. PtolcmauS trägt nämlich in dem ersten Buche seiner Mtyähi ivv. die zu den astronomischen Berechnungen nothwendigen trigonometrischen Vorarbeiten vor, und lehrt die Schncntafcl welche erst von den Arabern mit der Sinustafcl vertauscht war berechnen. Hier nun standen ihm, wenn er bei einiger Genauigkeit die immerwährende Rechnung mit Brüchen, die im Griechischen Zahlensysteme manche Unbequemlichkeit mit sich führte, vermeiden wollte, zwei Wege offen. Entweder konnte er, wie es z. B. in unsern logarithmisch- trigonvnictrischen Tafeln der Fall ist tmd wie auch die Astronomen des fünfzehnten und scchszchntcn Jahrhunderts thaten, für den Durchmesser des Kreises eine sehr grosse Zahl annehmen, so dass er mit Vernachlässigung der Brüche auch die Sehnen kleiner Bogen mit hinlänglicher Genauigkeit in ganzen Zahlen ansdrückcn konnte; oder er konnte sich einer kleinern Zahl mit gruppenweise geordneten Unter- abtheilungen bedielten. PtolcniäuS wählte das Letztere, weil auch die Rechnung mit grossen Zahlen den Griechen, deren einfache Zahlzeichen bei zchntausciid aufhören, nicht bequem war; und zwar theilt er den Durchmesser in 120 Theile, jede /no /§ in 60 gleiche Theile, xQtZra inilHitii prima, jede von diesen abermals in 22 Die allgemeine Verbreitung und die Bewunderung, weiche diesem Werke zu Theil ward und welche es durch einen so langen Zeitraum genossen hat, mögen den Titel allniahlig in den Superlativ verwandelt haben, so daß aus der diycfcvij ffui'rait? eine / o\n’ya2,ii6g, Alexamlrinus. Er war der Vater der berühmten Hvpatia, und ist nicht zu verwechseln mit einem älteren Mathematiker Thron, den Ptolcinäus selbst cilirt, und von welchem wir im folgenden Capitel sprechen werden; dieser Letztere hat den Beinamen toq f,\- 7a. a-vnl uxo/ ßißX, m- liasileac tipuil J. Waideruin. 1538. toi. Die Shntaris nimmt 327 Seiten ein. Dann folgt mit besonderem Titel Theo»'» Cominentar, indem die Seitenzahlen wieder von 1 beginnen. Dieser Comnientar ist meines Wissens »och nicht aus dem Griechischen übersetzt worden. Zwar sagt Montucla T. 1. p. 332 lc cominentairc sur l’Alinagestc n’a jamais sts trmliiit, le premier fivre, es ist mir aber bis setzt nicht gelungen, diese letzte gar zu allgemein gehaltene Beschränknng zu vcrificiren. 27 ltasil. p. 40 7 'sji; /covdöog IX'Lf XixT,-ou ouGijg VUL t 5 xoxov xett 5 /lol>X kgy O X 1 ' ttSog XoXXaxXuGuio^r rj, uuü 7o udog iptiXarm, Wir werden aus diese mertwiirdige Stelle noch citimal in einer andern Beziehung zurückkommen. 140 gebeten sind, mit einander mnltiplicirt lind durch einander dividirt; und zwar stellt er sich zunächst die Aufgabe, die Seite des in den Kreis beschriebenen regelmäßigen Zchnccks aufs Quadrat zu erheben. Die Ausführung will ich wörtlich übersetzen 28 „Es sei uns vorgeschrieben die Seite des Zchnccks, welche, wie gezeigt werde» wird, gleich 370 4' 55" ve ist, mit sich selbst zu multiplicircn. Ich schreibe sie hin, und dieselbe noch einmal darunter, wie im Schema ci, tf ttt tut o*3o yx-fi oder in unsern Ziffern ausgedrückt 37° 4' 55" 37» 4' 55" 1369° 148' 2035" 148' 16" 220'" 2035" 220'" 3025"" 28 Ed. Bug. p. 42. Der Kürze wegen habe ich für erste, zwcile, dritte, vierte Scchzigcheilc die jetzt gewöhnliche» Ausdrücke Minuten, Secunde», Tertien, Quarten gebraucht. 141 Theo» fährt fort „Dieses fassen wir so zusammen wenn wir zunächst die 3025 Quarten durch 60 dividircn, so erhalten wir 50 Tertien und 25 Quarten; eben so geben die Tertien, welche mit den aus der Division der Quarten hcrvorgcgangcncn 50 zusammen 490 betragen, 8 Secunden und 10 Tertien; ferner die Secunden, zusammen 4094, geben 68 Minuten und 14 Secunden; und endlich die Minuten, zusammen 364, machen 6 Grade und 4 Minuten; und das Resultat ist 1375" 4' 14" 10'" 25""; da Ptolcmäus in der Folge, wo er dieses vorträgt, nur noch die Secunden berücksichtigt, so nimmt er 1375" 4' 14" beinahe an, und vernachlässigt die Tertien und Quarten. Ebenso, wenn die Multiplikatoren verschiedene Zahlen sind." Diese Multiplication mit scchzigthciligen Brüchen ist also der von ElltokinS auf Dccimalzahlcn angewandten Methode vollkommen analog; ein unwesentlicher Unterschied besteht darin, daß EutokiuS die einzelnen Resultate schon rcducirt hinschreibt, was indeß in der Art der Griechischen Zahlenbczcichnnng seinen Grund hat, da der Grieche nicht in derselben Art, wie er mehr als 59 Scchzigthcilc bezeichnet, auch mehr als 999 Hunderter u. s. w. in Zeichen ausdrücke» kann. Von besonderem Interesse aber sind für uns die Beispiele von Division und von Wurzclauszichung bei Theo», weil sie überhaupt die einzigen Beispiele sind, welche die Griechische Literatur für diese Operationen uns darbietet. Darum ist es aber auch um so nothwendiger, gerade hierin Thcon'S Verfahren ganz treu wiederzugeben, und nicht, wie Dclambrc namentlich in den, Beispiel von der Wur- zclauszichuug thut, zu zeigen, wie Theo» es hätte machen können 59 . Da die Ausgabe des Originals nichts weniger als eine typographische Rarität ist, so begnüge ich mich auch hier mit einer möglichst treuen Übersetzung „ES sei ferner," sagt Thron 30 , „die Aufgabe gestellt, 29 Dclamlire llist. dc l’Astr. ane. T. II. p. 27. Arilhm. bet Griechen S. 35. Dclambrc gesteht stillt Abweichung von. Original sclbst tin, und sucht dicsclbc durch folgende Worte zu rcchifcrligcu J’ai sait quelques cliangeuicns au ealciil de Tlidon, mais saus rien supposcr qui ne siit bien comm des irccs. Warum abcr uberhanpl Abweichungen ! Dcr angeführte Grund kaun dicsclbcu schwcrlich entschuldigen, gcschwcigc tcuu molivirc», da es sich um ciuc bisiorischc Kenntniß haudclt. Was köuulc mau mit einem solchen Grundsätze aus frcmdcn Werken nicht Alles machen I 30 Ed. llas. p. 42. eine gegebene Zahl durch Grade, Minuten luid Secunden zu dividi- rcn. Die gegebene Zahl sei 1515° 20' 15" άφίε % if", nnd man solle sie dioidircn durch 25° 12' 10" μεοή hu αυν είί α iß' /', das ist, man soll sinde», wie oft die Zahl 25° 12' 10" in der Zahl 1515° 20' 15" enthalten ist. Wir nehmen zuerst den Quotienten 60 μεοίξομεν αίνον οον αοα ον ”4, weil 61 zu groß ist, nnd wir subtrahircn scchzigmal die 25° rmd die 12' nnd die 10", und zwar zuerst die 25°; es werden 1500°; dann lose» wir die rcstircndcn 15 Grade in 900 Minuten auf, nnd addircn diese zu den 20 Minlitcn; von der Slnnme, 920 Minuten, snbtra- biren wir scchzigmal 12 Minuten, d. i. 720'; und endlich von den rcstircnden 200 Minute» und 15 Secunden subtrahiren wir scchzigmal 10, das ist 600 Secunden, oder 10 Minuten; cS bleiben 190' 15" übrig. Indem wir nun wieder von vorne anfangen, dividircn wir diese durch 15°; der Quotient ist 7 γίνεαι b με. ρ/ιηο Tff QI ον ξ , denn 8 ist Zll groß νπε^πίχει γαο ίΐψ ον η; und die aus der Multiplikation hcrvorgcgangencn 175 Mi- nutcn subtrahircn wir von den 190 Minuten; dann lösen wir die 31 An Original heißt Ci χαϊ α γινμενα κ η χα^αβολΐ ; i Γ- νοα, α t. ί. Xξα %οε' άψαιοΰμιν etc. ΙΙααβάΧΧιιν, χαοαβοΧι'ι sind Ausdrücke, die bet den Griechischen Mathematikern einige Schwierigkeit ba- be». Ιΐααβά/Λειν heißt zunächst hcranwcrfe», heran lege»; daher wird das Verbum gebraucht z. B. in der Aufgabe, einen gegebenen Raum in ei» Rechteck mit gegebener Seite zu verwandeln; Eucl. EI. I, 44 liagii ην δο^ιΐαν sü- ριΐαν φ δοΡινι sniyrßvcp ίον χα[> y> αι tue ι' ΧααβαΧπν. Weil man NUN durch Rechnung die zweite Seite des Rechtecks findet, wenn man den gegebenen Raum durch die gegebene Seite dividirt, so hat xaqaßaXXuv die Bedeutung von Dividiren, χααβοΧή Division erhalten. An unserer Stelle aber muffe» wir wieder auf die Grundbedeutung zurückgehen; um den Rest zu erhalten, legt man das Produkt des Quotienten in den Divisor an den Dividendus; das ist die χααβολη. Ich habe dem Sinne nach Mnltiplication übersetzt. Weil in dem von Archimcdes sogenannten rechtwinkligen Kegelschnitte das Quadrat der Ordinate, an den Parameter angelegt, d. h. in ein Rechteck verwandelt, dessen eine Seite der Parameter ist, zur andern Seite die Abscissc erhalt, also gewissermaßen an die Abscissc herangeworfen dieselbe deckt, so nennt Apol- lonius diesen Kegelschnitt xaqaßoXy, Parabel. In der Ellipse ist das Quadrat der Ordinate kleiner als das Rechteck aus dem Parameter In die Abscissc; daher wird bei jener Anlegung nicht die ganze Absciffe gedeckt, es fehlt noch etwas, ixXi'xu, daher diese Curve ’ίλλιιψι I» der Hyperbel ist jenes Quadrat großer als das genannte Rechteck, es fallt also bei der Anlegung über die Absciffe 14 J übrig bleibenden 15 Minuten in 900 Secunden auf und addircn dazu die 15»", von der Sunmic subtrahircu wir siebenmal 12 Minuten, das ist 84 Secunden, weil auch die 7, Miiintcn sind; und es bleiben 831 Secunde» Rest; endlich subtrahircu wir davon gleichfalls siebenmal 10 Secunden, nämlich 70 Tertien, oder eine Secunde und 10 Tertien, und cS bleiben 829 Secnndcn 50 Tertien übrig. Diese dividirc» wir abermals durch 25°, und der Quotient wird 33; die Multiplication agaßo \ri, wie oben giebt 825", es bleiben 4" 50'" Rest, oder 290'"; dann subtrahircu wir wiederum drciunddrcißigmal 12 Minuten, welches 396'" sind, so daß das Resultat der Division der 1515° 20' 15" durch 25° 12' 10" nahe 60° 7' 33" wird. Demi wenn wir umgekehrt diese letzteren multi- pliciren mit 25° 12' 10", so erhalten wir nahe 1515° 20' 15"." Diese Methode ist also ganz einfach, und läßt sich ebenso aus Decimalzahlcn anwenden, indem man die scchzigthciligen ei'St] durch Einer, Zehner, Hunderter u. s. w., aber in aufsteigender Ordnung ersetzt; Delambre führt nach der von Thcon gegebenen Theorie eilte solche Division in gewöhnlichen Zahlen aus; die Operation wird aber weitlänftig uitd beschwerlich, wen» die Zahlen groß sind, rmd somit die Anzahl der Species anwächst. Thcon giebt kein Schema der Rechnung, wie er es bei der Multiplication thut; es läßt sich auch nicht gut einfach und verständlich hinschreiben, und ist überdies nicht nöthig, da die Operation auch ohne dasselbe ganz klar ist. Indeß will ich der Vollständigkeit halber das Schema, wie Delambre 35 es anordnet, h ich er setzen hinweg, &xiqßdxxt?cu, daher ixtqßo'/Jt. In abgeleiteter Bedeutung heißt *aqaßo/J, da»» auch Bergleichung, die ja eben durch Aueinanderhallkii geschieht. 32 Hist. de l’Astr. ane. T. H, p. 25. Arilhm. d. Griechen S. 33. 144 Dividendus 1515° 20' 15" 25» 12' 10" Divisor 25» X 60° 1500° 60° erster Quotient Rest 15° — 900' Summa 920' 12' X 60° 720' Rest 200' 10" X 60» 10' Rest 190' 15" 25» 12' 10" 25° X 7' 175' 7' zweiter Quotient Rest 15' II CD o o Summa 915" 12' X 7' 84" Rest 831" 10" X 7' 1" 10"' Rest 829" 50"' 25» 12' 10" 25° X 33" 825" 33" dritter Quotient Rest 4" 50"' II fcD CD © 12' X 33" 396'" zu groß 10b'" Der Fehler, den Thcon durch die Annahme von 33" macht, ist nicht ganz unbeträchtlich; denn die Multiplication des Divisors in den angenommenen Quotienten giebt das Resultat 1515° 20' 16" 51'" 30"", welches fast um 2 Secunden großer ist als der Dividendus. Indeß kam es ihm hier nur auf die Theorie an, und zudem hätten 32" ein viel zu kleines Resultat gegeben. Bei der Auszichung der Quadratwurzel nimmt Theon wieder seine Zuflucht zur Betrachtung der Figur, worauf Dclambrc in seiner Darstellung am angeführten Orte gar keine Rücksicht nimmt. Um ein treues Bild nicht nur von der Sache, sondern auch von Thcon's Vorstellung zu geben, will ich die auf diesen Gegenstand bezügliche Stelle in ihrer ganzen Wcitläuftigkcit hersetzen»» „Hierauf dürfte es 33 Ed. Bas. p. 44. 45. es an der Reihe sein zn bemerken, wie wir, wenn ein quadratische Rann, gegeben ist, der keine in der Länge rationale Seite /1,1 χει 2ψι\ν hat, die Seite desselben durch Annäherung berechnen können. Die Sache ist für ein Quadrat, welches eine rationale Seite hat, aus den, vierten Satze des zweiten Buchs der Elemente klar, der so lautet Wenn eine gerade Linie beliebig geschnit- tc» wird so ist das Quadrat der ganzen Linie gleich den Quadraten der beiden Abschnitte und dem doppelten Rechtecke, welches von den Abschnitten gebildet wird. Denn wenn wir eine gegebene Quadratzahl, z. B. 144 haben, welche eine rationale Wurzel im Or. πλευρά, Seite, wie oben und immer v ß hat, etwa die Linie .", und wir nehmen - - ein Quadrat, welches kleiner ist als jenes, etwa 100, dessen Seite 10 ist, tmd nehmen a y gleich 10 an, und verdoppeln es, weil das Rechteck der Abschnitte doppelt sein soll, nnd dividiren mit den so entstandenen 20 in den Rest 44, so wird der Rest 4 das Quadrat von βγ, dieses selbst aber in der Lange 2 sein. Es war aber αγ = 10, also wird die ganze Linie aß gleich 12 stiu, was bewiesen werden sollte. Damit uns aber an einer in der Syntaris vorkommende» Zahl das Wesen dieses thcilwcisen Wcgnch- mcnS vor Augen geführt werde, so wollen wir die Darstellung an der Zahl 4500 durchführen, deren Wurzel dort gleich 07" 4' 55" gesetzt wurde. Es liege ein quadratischer Raum αβγδ vor, allein im Quadrat rational δννάμη μνον , dessen Inhalt 4500 Grade μοιοαί sein soll, und es werde verlangt, die Quadratwurzel desselben durch Annäherung zu berechnen. Da nun das der Zahl 4500 Nächstliegende Quadrat mit rationaler Wurzel gleich 4489 ganzen Graden rmd dessen Seite gleich 7 ^μιαν, μονάδα μεν εράγνοι προθεΐα, ποιεί ην υποείνουαν, μονάδα δε άψελοΰα " rod εράγνον , ποιεί ην εεραν ν περί ην ρΡην οϊον ον εαρα λαβούα, καί ούου ον ημι- υν 12 ον ~β εραγνίαα. καί ποιηο'αα αυν δ, άψελονα μεν μονάδα ποιεί ον γ, προθεΐα δε ποιεί ον ε, καί εχει αυ γινμενον ρίγνον, ο καί εκ η έερα άπεελεΐο μεθδου. d. h. „Es werden auch einige Methode» mitgetheilt, solche Dreiecke zu siudcn, deren eine man auf Platou, die andere, welche von ungeraden Zahlen anfängt, auf Pythagoras zurückfuhrt. Man nimmt nämlich die gegebene ungerade Zahl als kleinere Kathete an. Von dem Quadrate derselben die Einheit snbtrahirt, und der Rest halbirt, giebt die größere Kathete; zu dieser die Einheit addirt, giebt die Hypotenuse. Man nimmt z. B. 3 an, von dem Quadrate 9 nimmt man die Einheit weg, und halbirt den Rest 8, d. i. 4; dazu addirt man wiederum die Einheit, daS macht 5, und es wird das rechtwinklige Dreieck von den Seiten 3, 4, 5 gefunden u . Die 6 Ed. προίθηι. 7 Ed. ρΡγώνιον. 8 öl fehlt in der Ausg. 9 Ed. αυών. 10 Ed. εραγν'α. 11 Ed. άφιλν, offenbar falsch, weil überall μίροδο als Subject gedacht wirb. 12 Ed. ημιυ, f. N. 5. 13 Dieses Dreieck aus den Seite» 3, 4, 5 beißt auch zuweilen vorzugsweise das Pythagorlsche. Bitruvius IX, 2. sagt, Pythagoras habe mit Hilfe dieses Dreiecks gelehrt, praktisch eine» rechten Winkel zu cvnstruircn, indem er drei Lineale, deren Längen sich wie die Zahlen 3, 4, 5 z» einander verhielten, zusammenstellte. In den Theolog»™» Arithmeticae Ed. I’aris. p. 39. 40. Ed. Ast. p. 38. 39. *tq\ εάδο heißt ts Καί νυν öl, εφ’ ον εξάδι ποψ niv, οώ οαίέον *αί’ *tiÖQo öevtsqo nZv atoi- %£ttZv dTtoSeixpivrav, und die von Coiirad DasypodinS zugleich mit dem zweite» Buche Euklid'S herausgegeben worden ist ". Die Art der Beweise in dieser Bearbeitung ist ganz dieselbe, wie in dem siebenten und den folgenden Büchern Euklid's. Als Probe wähle ich 15 Εύχλείδου ίον ενίε χαϊ δίχα ctoi%uav Ιχ ίν io'u ©ενοϊ υνουίαν ίο διΰίε>ον Βαλάαμ, μονάχου άι>ι^μηϊιχ\ άκδει^ ίν 7Q“W- tJ 5s ίν ί δευϊεφ ίν arocxeiav άχοδειχ'μίνϊαν. l’cr Cunni dum Dnsvpodiwn. 8. Am E»dc fctr praefatio stcht dic Iahr- zahl 156 i. de» vierten bet genannten Sätze aus, welcher bei Euklide» so lautet Εαν tv'puoi γραμμή μηΡη ευ%ε, ο αϊ η λη ε ραγ >νον ΐον εαι οΐ ε απο ν μημάν εραγνοι και δι ΰπδ ν μημάν περιεχομεν ρ Ρογνίφ. BarlaaM Übersetzt den Satz so Έάν άριΡμο δχιρερ Ij ει δύο άριΡμον, δ απ 7 οϋ λου εράγνο ίο ει οΐ 7 ε απ ν μερών εραγνοι καί ΐ εκ άν μερών ίπιπάδφ. Die Ausführung ist folgende Άρι^-μο γάρ 6 aß διαιρηρ ει δυο άριΡμού ού αγ γβ. λέγ οι ο απ ου αβ ε- οάγνο ίο ει οΐ ε άπυ ν αγ γβ εραγ- νοι και ;> δι εκ ν αγ γβ ίπιπεδ. ’Ε γάρ άπο μεν οϋ αβ εράγνο 6 δ, απ δε 7ου αγ ο εξ , απο δε ου γβ 6 ηΡ , εκ δε ν αγ γβ εκάερο ν ξη, Ρκ. ’ Επεί οίνυν ο αγ εαυν πολλαπλα- ΰιάα εποίηε ον εξ, ο άρα αγ μερεΐ ον εξ καά, ά εν εαυφ μονάδα ’ πάλιν επει δ γβ ον γα πολ- λαπλαιάα εποίηε ον ξη, μερεΐ άρα ον η αγ καά ά εν γβ μονάδα’ εμερει δε καί ον εξ καά ά εν εαυοί’ ολον άρα ον εη μερεΐ ο αγ καά ά εν αβ μονάδα. ' 0 άρα αβ πολλαπλα- ιάα ον αγ εποίηε ον εη. Ομοί δε δείξομεν οι και ο ηκ επίπεδ ειν ο εκ ν αβ βγ καί ειν απ ου αβ εράγνο ο δ’ εαν δε αριθμ διαιρερ^ ει δυο άριΡμού, ο άπο ού λου εράγνο ίο ει δυι οΐ εκ ον ολον και εκαίρον ν μερών ίπιπεδοι’ ίο άρα δ ds εκ' αλλά μην δ εκ υγκείμεν ειν εκ ε ν άπο ν αγ γβ εραγνοι και οϋ δι εκ ν αγ γβ επίπεδου' δ δε δ υπάρχει δ άπο οϋ αβ εράγνο άρα άπο ου αβ εράγνο Ιο ει οΐ ε άπο ν αγ γβ εραγνοι και δί ίκ ν γβ ίπιπεδ. Eine arithmetische Anwendung dieses nämlichen Satzes haben wir schon im vorigen Kapitel betrachtet, bei Gelegenheit der Theonschen Methode der Wnrzelansziehung. Aber der Satz ward da noch geometrisch ausgesprochen, sowie Lheon's ganze Darstellttttgsweise noch geometrisch war. Bei Barlaam erscheint der Satz rein arithmetisch, und ähnlich sind die nenn übrigen Sätze behandelt. Von dc» sonstige» arithmetische» Arbeite» Bar- laam's werde» wir i» Zukunft gehörige» Orts niehr sage». Wir kehre» jetzt zu Euklidcs zurück. Das siebente, achte und neunte Buch der Elcnientc enthalt die eigentliche Arithmetik, nämlich die der Rationalzahlcn, welche auch von dem Verfasser als solche vorgetragen wird, und sowohl der Gegenstand als die Behandlungsart unterscheidet diese Bücher wesentlich von dem zehnten. Da diese Bücher das älteste Werk sind, in welcher die theoretische Zahlcnlchre behandelt wird, und da dieselben also als die Grundlage aller späteren Untersuchungen der Art angesehen werden können, so sei mir hier eine etwas wcitläuftigcrc Analyse und eine Aufzählung wenigstens der wichtigeren und für den späteren Stand der Wissenschaft cinflussrcichcrcu Sätze erlaubt, nachdem ich einige Worte über Euklid's Methode vorausgeschickt habe. Die Euklidische Arithmetik unterscheidet sich von den sämmtlichen späteren sehr zahlreichen Werken der Art durch die wissenschaftliche Strenge und Gründlichkeit der Beweise. Aber seine Beweise für Zahlcn- wahrhcitc» haften insofern an geometrischen Vorstellungen, als er, in Ermangelung passender Symbole, deren Einführung späteren Jahrhunderten vorbehalten blieb, zur sinnlichen Darstellung allgemeiner, aller zufälligen acccfforischcn Specialitäten cntäußcrtcr Zahlen sich der geraden Linie» bedient. Cossali " nennt eine ähnliche Erscheinung in dem Werke des Leonard Bonacci nicht unpassend eine Ana- lisi speciosa lineare, zum Unterschicdc dcr neueren Anulisi spc- ciosa letterale. Daß in manchen Handschriften neben diesen die allgemeinen Zahlen darstellenden Linien bestimmte Zahlcnwcrthe, welche für den speciellen Fall passen, sich bcsindcn, wie Hornsby aus einem Manuskript dcr Bodlcyanischcn Bibliothek mittheilt , , thut der Sache weiter keinen Abbruch. Es sind dieselben blos als erläuternde Beispiele, vielleicht von dcr Hand eines späteren Abschreibers, anzusehen. Um Euklid's lineare Methode zu veranschaulichen, wähle ich hier einen seiner einfachsten Beweise, nämlich den des 37. Satzes des siebenten Buchs aus, welcher so lalltet Wenn zwei Zahle» eine andere Zahl messen, so 16 Orig. dcll Alg. T. I. l>. 37. 17 Sut'lib'ö Clcmciue lil'crs. von Lorcnz tt. Mollwkidc. 1. A„sg. Hallc u. Vcrli». 1S18. iiorrctc S. XIX. 157 wird auch die kleinste Zahl, welche von jenen gemessen wird, dieselbe Zahl messen. Beweis. Zwei Zahlen, , st, sollen eine Zahl yS S messen; die kleinste, welche von ihn en gemessen wird, sei e; so sage ich, daß auch L die yS mißt. Dcnnwenn e p die nicht^niißt, so wird e, wenn es die 04 niißt, - einen Rest 4y kleiner als s lassen. Da nun und st die s, s aber die 04 mißt, so werden auch und st 7 die H nicsscn. Aber und st messen auch die ganze Zahl yö, folglich auch den Rest y4, welcher kleiner ist als s, was unmöglich ist weil s schon die kleinste Zahl war, die von a und st gemessen wird. ES ist also nicht möglich, daß s die yö nicht mißt; daher mißt sie dieselbe; was 51t beweisen war 1S . Die Baseler Ausgabe der Elemente von 1533, welche ich zur Hand habe, setzt ebenfalls nebe» die Linien überall entsprechende Zah- lenbeispiclc. Bei dem vorliegende» Satze ist = 2, st — 3, f also — 6 gesetzt, Jy unbestimmt durch ein Kretizchen -f- bezeichnet, und äj wahrscheinlich durch einen Druckfehler gleich 8 statt 6 gesetzt, wie Loren; cS bezeichnet. Loren; hat nämlich mit mehren andern HcrallSgcbcrn und Übersetzern diese bcigcschricbcncn Zahlen in der Art ausgedruckt, daß rr statt der Linien eine Reihe von Puncten in der angegebenen Anzahl setzt, was mir nicht passend scheint, da cS der ursprünglichen und beabsichtigten Darstellung der Allgemeinheit schadet. Nach dieser allgemeinen Benierkung gehe ich zur Darstellung 18 Weil die Kurze des Griechischen Originals sich in kciucr Übersetzung erreichen läßt, so stelle ich diesen Satz, der ja einmal als Probe der Darstellung dienen soll, in seiner Originalgcstalt Pieper ’Euk δύο άζιΡμο\ ilqiPfiöv tiva μίίαι, ouxl ο Ϊλάχιύϊο ύ’ avTcov με ο'ύ/ιενο ον kL'ü/ov Δύο 7^? 0 laß αη^,αον Ttvcx, rov 76 μεί>εΙ£}ϊαν, ελά- % Λ ον ε* λε7' ’λειΧεα εαυού Ιχάονα ον 7^, ε*ει οι α β νε μεοοιν, ο 6ε ε ον 6ζ μ ETQth oc α β α>Γ& ον μεφ\οο?ίν' με j'Qoijö't -καί ολυ?' ον y6* at λοί,ιΓοι.' αα ον y% λί^ονα ονα ου ε* υιίε Ιο\ν αδύναον * ουκ uqm ού με^εΐ ο ε ον 7^» αα οΛε tfiit 6ε7^5. bcv Euklidischen Arithmetik selbst über. Wenn ich im Folgenden mich werde veranlaßt sehen, einen oder den andern Euklidischen Bc- >veiS mitzutheilen, werde ich nur seine» BcwciSgang angeben, ohne mich strenge an seine Worte zu halten. Siebentes Buch. ' Dieses Buch beginnt mit den Dcstnitioncn für die drei arithmetischen Bücher. Euklides desinirt die Einheit, die Zahl, den Theil μέρο, d. i. -i-, den Bruch Lormz's Übersetzung von u/otj, ", das Vielfache, die gerade, ungerade, gcra- dcmal gerade άρηάκι άριο, gcrademal ungerade ag- ιάχι περι, ungeradcmal ungerade Zahl πεοιάκι περι, die Primzahl *gcSm,', Primzahlen zu einander und deren Gegensätze, die zusammengesetzte Zahl und zusammengesetzte Zahlen zu einander, die Multiplication, die Flächcnzahl επίπεδο, die Körpcrzahl ερε, die Quadrat- und Kubikzahl^", endlich die proportionirten, ähnlichen und vollständigen έλειο Zahlen. Die Gegensätze der letztgenannten, die übcrvollständigc ύπερελί und die mangelhafte Zahl welche bei den späteren Arithmctikern vorkommen, betrachtet Euklides noch nicht. - Satz 1. Wenn von zwei ungleichen gegebenen Zahlen immer abwechselnd die kleinere von der größer» weggenommen wird, und der Rest den nächst vorhergehenden nie genau mißt, bis endlich die Einheit übrig bleibt, so sind die gegebenen Zahlen Primzahlen zu einander. Beweis apagogisch. S. 2. 3. Für zwei und mehre Zahlen das größte gemeinschaftliche Maaß zu finden. 19 IVIktzc,? lc'r\v άρεΡμ άιΡμοχι, ίλάν ου μείζονο, αν πααμερ^ ον μείζονα. Μ ερ'η , αν , ιή κααμερά. 20 Ich muß hier bemerken, baß bic Griechische» Malhemaiiker die Name» der figurirtcn Jahlcn immer als Masculina, die Namen der entsprechenden geometrischen Figuren dagegen immer als Neutra gebrauchen. So beißt ρίγνον das Dreieck, ρίγνο die dreieckige Zahl, εράγνον das Quadrat, εράγνο die Luadratzabl, επίπεδον die Ebene, επίπεδο die ebene oder Flächenzabl, ii. s. w. Alle diese Namen sind Adjectiva, und es ist in dem einen Falle άρ& μά , in dem andern οχ^μα zu ergänzen. Nur ν,Ζβο ist immer Masculinum. 159 φ- μ 0 1 ρ = & = ^ = ßy± = 6, so verhält sich, wenn wir für , p y , S^ihre^cntsprechcndcn * Stücke auf eg sudstitrürcn ?£r & ^ x — & . also ilividemlo Px. = ^ ; ^ = £2, Ae und componendo ^ ^ £ _ j_ ^ -j— ^A £*-{- ? cA - As und nun wieder die ursprünglichen Grüßen substituirt und die Proportion rückwärts gelesen kA" -j- ßy - j- 6 — ßi\ n d. i. — a - j- ßy S = ßj, — ata q. c. d. Es ist zugleich leicht einzusehen, wie der hier nur für vier Großen bewiesene Satz mtf mehre sich ausdehne» läßt. S. 36. Nimmt man so viele von der Einheit an stetig verdoppelte Zahlen, bis deren Summe eine Primzahl wird, so ist das Product aus dieser Summe in die letzte jener Zahlen eine vollständige Zahl smiinvrus perfcctus, d. h. eine Zahl, welche der Summe aller ihrer Theiler, 1 mitgerechnet, gleich ist. Nimmt man die nach den ganzen Potenzen von 2 fortschreitende Reihe 1, 2, 4, 8 .... 2", deren Summe 2" +1 — 1 ist, so ist, nach Euklid's Satz, die Zahl 2" 2"+ * 1 — 1 eine vollständige Zahl, so oft 2'-+* — 1 eine Primzahl ist °°. Euklid's Beweis dieses Satzes ist in seiner linearen Manier 22 Der Beweis läßt sich sehr leicht so führen. Sei 2 + i — 1 — p, „nd die Summe der Factoren der Zahl 2» 2» + i — l t. h. 2 »p sei S, so ist S = 1 + 2 + 4 +- 2» + />* + 2 + 4 +-2-i = 1 + P 1 + 2 * + 4 2 '' _1 + 2 " Aber 1 + 2 + 4_2»-t — 2» — 1, 1 + p — 2 + i — 2 > 2», demnach S = 2 2 2" —1 + 2» = 2 [2 2" — 1 + 1] = 2» 2 + l — 1 = 2 "p dlus diesem Beweise leuchtet zugleich ein, daß der Satz nicht gilt, wenn p Faktoren hat. 11 » 164 rtwas weitläuftig, weshalb ich ihn hier nicht mittheile. Er beweist zuerst, daß die gefundene Zahl, deren Vollständigkeit bewiesen werden soll, sich zu der Summe der zum Grunde gelegten Reihe verhalte, wie das letzte Glied dieser Reihe zur Einheit, ein Resultat, welches wir durch unsere Formeln sogleich vor Augen haben, indem wir die i» Rede stehende Zahl durch 2» 2 ,, + * 1 2 3 — 1 ausdrücken. Nun ist offenbar, daß diese Zabl durch alle Glieder der beiden Reihen 1, 2 ... 2 und 2» + ' —1, 2 2»+ — 1 . . . 2"~ 1 2'' + 1 — 1 theilbar ist. Euklid beweist nun zweitens, daß 2 2 ,,+1 — 1 die Summe sämmtlicher Glieder beider Reihen ist, und drittens, daß dieselbe Zahl keine anderen Faktoren habe, als die genannten, wobei sich die Bedingung crgiebt, daß 2"+*—1 Primzahl sein muß ". 23 S'ic Untersuchung, ob eine Zahl von der Form 2-4-1 — 1 Primzahl fei ober nicht, isi nicht ganz leicht, wen» die Fahle» »fangen groß zu werden. Fermat hat in einem Briese an Mersenne Varia oporu matliein. l'e-tri do Fermat. Tolosac. 167l>. fol. ]i. 177 drei hübsche Sätze gegeben, welche die Untersuchung sehr abkürzen. Schreibt man sich nämlich in eine Reihe die um t verminberlen Potenzen von 2, welches eben jene Smnmenglieber sind, und darüber die Exponenten der um 1 größeren Zahlen für die Wurzel 2, etwa so 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 3 7 15 31 63 127 253 511 1023 2047.... 2 _ 1 so finden zwischen den Erponenten und de» darunierstebende» Hauplgrößen fol- gente Beziehungen statt 1. Wenn der Exponent keine Primzahl ist, ist auch die Hanplgröße keine Primzahl, weil ul't — 1 immer sowohl durch nP — 1, als durch nl — 1 theilbar ist. 2. Wenn der Exponent eine Primzahl ist, so ist die um 1 verminderte Haupt- 2» —r 2 » — 2 große durch de» doppelten Erponenten theilbar. demnach ist dieser Satz ein specieller Fall des bekannten Satzes, daß, wenn p Primzahl ist und i» a nicht aufgeht, allemal />— 1 — 1 durch p aufgeht. 3. Wenn der Exponent n eine Primzahl ist, so kann die Hauptgröße nur theilbar sein durch Zahlen von der Form 2 »,n - j- 1. Hat nun die Haupt- größe keinen Theiler dieser Form, was sich leicht versuchen läßt, so hat sie überhallpt keinen Theiler. Für den vorliegenden Zweck dienen namentlich der erste und dritte dieser Sätze. Wie gewöhnlich, so theilt auch hier Fermat seinen Beweis nicht sondern begnügt sich, den ausgesprochenen Sätzen die Worte hinzuzufügen V>la Irois fort belles propositious que j’ay trouvees et prouvies nou saus So wie Euklid dcu Satz ausgesprochen hat, hat er ihn scbarf unb genügend bewiese»; aber wir vermissen bei dem Satze etwa», dessen EuklideS nicht Erwähnung thut, nämlich die Behauptung und den Beweis, daß es außer den hier angegebenen keine anderen Zahlen giebt, welche die erwähnte Eigenschaft haben. Übrigens ist die Materie dieses an und für sich allerdings merkwürdigen Satzes, den darum EuklideS auch als Schlußstein seiner rationalen Arithmetik benutzt, ziemlich unfruchtbar, und auch in der Folgezeit nicht viel weiter fortgebildet. Auch ähnliche Probleme und Sätze, welche Fcrmat anregte, haben zu ihrer Zeit keinen Anklang gefunden, eben weil ihr Einfluß auf die Wissenschaft zu gering ist im Verhältniß zu der Schwierigkeit, mit welcher ihre Behandlung verbunden ist. So weit nun erstreckt sich die rationale Arithmetik Ettklid's, die Manches enthält, dessen Wichtigkeit die späteren Griechischen Arith- mctikcr nicht erkannt rmd das sie daher in ihre Abhandlungen nicht aufgenommen haben, und was erst in neueren Zeiten als clc- mcutarc Grundlage einer wissenschaftlichen Zahlcntheoric wieder geltend gemacht ist. Ganz gewiß rühren die hier von Euklidcs vorgetragenen Sätze ebenso wenig alle von ihm selbst her, als seine geometrischen Bücher; nur sind die Nachrichten über seine Vorarbeiten in der Arithmetik noch spärlicher, als die Winke über geometrische Arbeiten und Erfindungen, die er benutzt hat. Von den bis hichcr vorgetragenen Sachen in Form und Wesen verschieden ist der Gegenstand, welchem EuklideS sein Zehntes Buch gewidmet hat. Dieses Buch, an Umfang das grüßte, an Inhalt das schwierigste der Euklidischen Elemente, handelt iit eigenthümlicher Weise von den Jrrationalgroßcn, indem alle uns als algebraische Formeln bekannte irrationale Zahlcnausdrückc hier in ganz geometrischer Vorstcllnngswcisc als Jrrationallinim betrachtet werden. Das Buch beginnt mit folgenden Definitionen Commensurablc und incommensurable Grüßen, o- dffvfinETQa Grüßen sind commcnsurabcl, wenn sie von vei„. ,j e j es p U j s appeller i es fcmdemcnts de l'iuvrntion des nombrcs purfaits. 166 einem und demselben Maaße gemessen werden, oder wie hieraus im S. 5 gefolgert wird, wenn sie sich zu einander verhalten wie eine Zahl zu einer Zahl. Im entgegengesetzte» Falle sind sie incommcnsnrabel. Z. B. n und \b sind, wenn b kein Quadrat ist, incoiinneiisurable Größen. In Potenz commcnsurabel Swüpti avy/uerQoi sind zwei Linien, wenn ihre Quadrate von demselben Flachenraum gemessen werden, im entgegengesetzten Falle sind sie i» Potenz in commcnsurabel. Z. B. und \b sind immer in Potenz commensurabel, dagegen a und \b, wenn n > 2, oder a und b - j- y'c in Potenz incommcnsurabel. Dieses vorausgesetzt, wird gezeigt, daß einer angenommenen geraden Linie unzählige andere gerade Linien commcnsurabel und in- commensurabcl sind, theils in Länge und Potenz, theils in Potenz allein. Diese angenommene gerade Linie heiße rational National heißen ferner alle Linic», die dieser entweder in Länge und Potenz, oder bloß in Potenz commensurabel sind. Irrational ukoyoi abcr, die ihr incommcnsurabel sind. Es ist zu bemerken, daß Euklidcs den Begriff der rationalen und irrationalen Größe anders nimmt, als wir und Diophant, indem wir das irrational nennen, was Euklidcs incommcnsura- bcl nennt. Der Unterschied rührt daher, daß Euklidcs die Rationalität auch auf die bloß in Potenz commcnsnrabicn Größen ausdehnt. Daher ist ihm das Verhältniß a \b rational, weil die Quadrate beider Ausdrucke commcnsurabel werden. Auch das Quadrat der angenommenen geraden Linie heiße rational, und was demselben commensurabel ist, heiße ebenfalls rational. Was abcr jenem Quadrate incommcnsurabel ist, heiße irrational, und ebenso heißen die Linien, welche irrationale Räume potcnzircn, irrational; wenn der Raum ein Quadrat ist, so sind es die Seite» selbst, wenn er abcr eine andere geradlinige Figur ist, so sind es die Seiten der diesen gleichen Quadrate ui iCa avrou; 7 £Toüya>va . Ich habe den Ausdruck, eine Linic potcnzirt einen Raum, aus Lorcnz's Übersetzung beibehalten, welcher dadurch recht glücklich den Griechischen Ausdruck, eipeia Svrüfiei. 70 %uiqIov wiedcrgicbt; 107 y öi 'VJA I fcV’ij to y^io/ol’ i't lUltltllct bic ©CltC bcö iUlU! breite', UH'ldH" bcm Raume gleich ist. Eine Menge specieller Dcsinitioncn sinbc» sich nun noch im Laufe des Vertrages zerstreut, weil sie sich nicht füglich vor bcr Kenntniß bcr Sache geben lassen. Der Inhalt bicscs Buchs nun laßt sich ganz ungezwungen i» folgcubc vier Abschnitte theilen L Allgemeine Satze über Conuncnsurabilität, S. 1 — 21. II. Über bic Mcbiallinic, S. 22 — 36 III. Jrrationallinicn, bic burch Zusammensetzung entstehen, unb zwar S. 36 — 72 burch Abbition, S. 73 — 111 burch Subtraktion. IY. Fünf Ergänzungssätze, S. 112 bis zum Enbe. Nach bicscr Übersicht will ich nun, so kurz cS sich thun läßt, ohne etwas Wesentliches zu übergehen, bcu Inhalt bicscs mcrkwürbi- gcn Buches barstcllcn, unb bcr mobcrncn Vorstcllungswcise baburch zu Hilfe kommen, baß ich bic Resultate uub Formeln mit bcu uns geläufigen Zeichen ausbrückc. Erster Abschnitt. S. I. Der berühmte Satz, aus bcm bic Methode der Erhau- stion beruht Wenn zwei ungleiche Großen gegeben sind, und man nimmt vou der größeren mehr als die Hälfte, von dem Reste wieder mehr als die Hälfte, lind so fort, so bleibt endlich eine Große übrig, welche kleiner ist, als die kleinere der beiden gegebenen Großen. Ebenso, wenn immer nur bic Hälfte wcggcnonimeu wirb. S. 2. Wenn zwei ungleiche Großen gegeben sind, unb man nimmt immer bic kleinere von bcr größeren weg, so sind, wenn nie ein Rest den nächst vorhergehende» genau mißt, bic beiden Größen inkommensurabel. Vcrgl. YII, 1. S. 3. 4. Für commcnsnrablc Größen das größte gemeinschaftliche Maaß zu finden. S. 5 — }. Commcnsnrablc Größen verhalten sich wie Zahlen zu einander, inkommensurable nicht; Quadrate commcnsurablcr 24 Von S. 31 an stimme» bic Ausgabe» in be» Juble» nicht über ein, in trm so auch Lore»; in seiner Übersetzung, be» S. 30 bcr Baseler Aus gäbe, »ach eer ich citive, in zwei zerlegen. 168 Größen verhalten sich wie Quadratzahlcn. Umkchrung aller dieser Sätze. S. 10. Aufgabe a5 3 einer gegebenen geraden Linie zwei andere zn finden, deren eine ihr bloß in Lange, die andere aber in Länge und Potenz incommensurabel ist. S. 11. Satz des Theätetus. Wenn vier Größen in Proportion stehen, und die erste der zweiten commensnrabcl ist, so ist auch die dritte der vierten commensnrabcl; ist aber die erste der zweiten incommensurabel, so ist auch die dritte der vierten incom- mcnsnrabel. S. 12 — 14. Folgen, wenn zwei Größen sich in Bezug auf Connncnsurabilität zu einer dritten gleich oder ungleich verhalten. S. 15. Wenn vier Linien in Proportion stehen, und es po- tcnzirt die erste über die zweite uni das Quadrat einer der ersten in Länge commensurablcu oder incommcnsurablcn Linie, so potcnzirt die dritte über die vierte in derselben Weise. AvvaTCXi rj ito CüTrj rrji, öevreocaj /ua^ov t und V — b S. 32 33. Zwei mediale bloß in Potenz kommensurable Linien zu finden, deren Rechteck medial ist, und von denen die größere über die kleinere um das Quadrat einer jener und ] h a* — c° yv* 2 V/y und \l> a — c» \~ÖJ> 3 V b\a lind V hya ß 1 V a\b unb V a\h 2 fai mit V±EZ3 V/, 3 S- 33 34. Zwei in Potenz incommcnsttrablc Linien zu finden, so daß die Summe ihrer Quadrate rational, ihr Rechteck aber medial sei. 1 2 V V -y a y h 2 n V ah 2 tmd und — a y /, 2 — V ah 2 S. 34 35. Zwei in Potenz incommensurablc Linien zu finden, so daß die Summe ihrer Quadrate medial, ihr Rechteck aber rational sei. 1 2 V V a + \'h V — h 2 {\a !, a — / , 2 und tuid y—y/> y S. 35 36. Zwei in Potenz inrommcnsurablc Linien zu finden, so daß sowohl die Slunine ihrer Quadrate als ihr Rechteck medial, beide Mediale aber einander inconnnensurabcl seien. 174 1 und j / — Vc \b 2 Ύ V+ V'c V/, und Y V"- Vc V'> 3 Y 1> V + Vc und Y /, V - Vc Dri ttcr Abschnitt. Αρχή ν καά υν^ειν εξάδν, die sechs Abschnitte über die durch Addition gebildeten Linien S. 36 — 72. Diesem Abschnitte Satz für Satz analog ist der folgende unter der Überschrift Δεύερα ά£ι εέρν λγν , ν καά άψαίρεαΊν, über die durch Subtraction gebildeten Linien S. 73 — 110, und weil die Behandlung beider durchaus nicht verschieden ist, so habe ich aus beiden bei Euklidcs getrennten Abschnitten einen gebildet, indem ich immer die corrcspondircnden Sätze beider Abschnitte zusammenfasse. Die deutschen Benennungen der einzelnen Jrrationallinicn habe ich nach Loren; beibehalten. Beide correspondircnde Abschnitte sind bei Euklidcs in Unterabtheilungcn getheilt, welche er, weil die meisten derselben aus sechs Sätze» bestehen, Hcradcn nennt. Erste Hex ade. Bildung der zusammengesetzten Irrational- linicn. S. 36. 73 37. 74. Wen» zwei rationale bloß in Potenz kommensurable Linien zusammengesetzt werden, so ist die ganze irrational, und heißt die Binomiale ή εκ δύο ονομάν. Die Differenz zweier solcher Linie» heißt die Apotomc ποο,αή \a + \b, a + \b , für die Apotomc noch \a — b. Der Ausdruck Binomium hat sich bei uns in viel weiterer Bedeutung für jede algebraische Slnnmc und Differenz erhalten, so daß wir alle von Euklidcs unterschiedenen Jrrationalformcltt Binomien nennen würde». Der Ausdruck Apotomc und der von den Italienern dafür substituirtc rccisum, reciso, ist gegenwärtig ganz verschwunden. S. 37. 74 38. 75. Wenn zwei bloß in Potenz commcnsu- rable Mediallinicn, deren Rechteck rational ist vergl. S. 28. 31., verbunden werden, so ist sowohl ihre Summe als ihre Differenz irrational, und die erstere heißt die erste Bimcdialc ή εκ δύο μέν πρώη, die andere heißt die erste Medialapotomc 'I μέη αποομη πρώη. Ich will hier und bei den folgenden Linien die im vorigen Abschnitte gegebenen Formel» nicht wiederholen, sondern verweise nur auf die Nummer des Satzes, welcher zwei solche Linien finden lehrt, wie sie hier verlangt und verbunden werden. Aus S. 31. lassen sich zwei Fälle unterscheiden, je nachdem der größere Theil über den kleineren um das Quadrat einer dem größeren Theil commcnsurablen oder incommensurablcn Linie potcnzirt. Da aber Enklidcs diesen Unterschied bei der Definition der zusammengesetzten Jrrationallinien nicht macht, so will ich auch bloß darauf hinweisen. S. 38. 75 s39. 76. Wenn zwei bloß in Potenz kommensurable Mcdiallinicn, deren Rechteck medial ist S. 29. 32., verbunden werden, so ist sowohl die Summe als die Differenz dieser Linien irrational, und die erstere heißt die zweite Bimedialc η ίχ δύο μέν δεύερα, die andere die zweite Medialapotomc ή με. η άχοομη δεύερα. S. 39. 76 40. 77. Wenn zwei in Potenz incommensurable Linien, deren Summe der Quadrate rational, deren Rechteck aber medial ist S. 33., verbunden werden, so ist sowohl die Summe- als die Differenz dieser Linien irrational, nnd jene heißt die größere Irrationale ή μείξν, diese die kleinere Irrationale 1η ελαύν. S. 40. 77 41. 78. Wenn zwei in Potenz incommensurable Linien, deren Quadratsnmme medial, deren Rechteck aber rational ist S. 34., verbunden werden, so ist sowohl die Stmnne als die Differenz dieser Linien irrational, nnd jene heißt die ein Rationales lllld Mediales' Potcnzirende η ρην xa\ μέον δνναμέιη], diese die mit einem Nationalen ein mediales Ganze Gebende η μεά ρηού μ ίον ο λου πο/οΰο'α. S. 41. 78 42. 79. Wenn zwei in Potenz incommensurable Linien, deren Quadratsnmme und Rechteck medial, aber einander in- commcnsnrabcl find S. 35., verbunden werden, so ist sowohl die Eunnnc als die Differenz dieser Linien irrational, und jene heißt die zwei Mediale Potcnzirende η δύο μέα δυναμενη diese die ntit einem Medialen ein mediales Ganze Gebende η μεά μέου μέον ο λου πο/ουνα. Hier nun noch Einiges über die von Enklidcs gewählten oder 176 vielleicht schon vor ihm gebrauchten Namen der verschiedenen Ir- rationallinien. Die Name» der ersten sechs Linien sind klar, weil sie von der äußeren Form des Ausdrucks hergenommen sind,- bei den sechs folgenden aber beruht die Dcncnnung auf abgeleiteten Eigenschaften des Ausdrucks. Der Name der großer» und kleinern Irrationale scheint willkührlich gewählt zu sein, indem Namen, welche mit demselben Rechte, dem reinen Wortvcrstandc gemäß, auf alle anderen Arten von Jrrationalgrößcn hätten angewandt werden können, durch den mathematischen Sprachgebrauch einer speciellen Art derselben zugetheilt wurden, ebenso wie jede dieser Jrrationallinicn mit demselben Rechte wie die erste η L δύο ονομάν genannt werden könnte, zumal da Euklides in den Sätzen der zweiten Hcpadc wirklich die beiden Bestandtheile sämmtlicher Jrrationallinicn ονμαα nennt. Jedenfalls ist die von Lorcnz nach S. 40. gegebene Erklärung des Namens unpassend. Lorcnz sagt, diese Linie habe ihren Namen daher erhalten, weil die rationale Summe der Quadrate der beiden Theile größer ist als das irrationale oder mediale Rechteck derselben. Daraus ist erstens der Name der größer» Irrationale noch ganz und gar nicht motivirt, indem mau nach wie vor fragt, warum heißt die Linie denn nun die größere Irrationales zweitens aber gilt ganz dasselbe von der kleinern Irrationale. Die noch übrigen vier Namen aber haben ihren guten Grund. Die ein Rationales und ein Mediales Potcnzircnde, welche nach S. 34. gebildet wird, hat die Form V yVi -j- ]//> a — b + Das Quadrat dieses Ausdrucks ist V 'a 1 — ab - f- » — b, es besteht also alls einem rationalen und einem medialen Rechteck ss. S. 25., wodurch nach der bekannten Bedeutung des Verbums 6v- vaa^-ai der Name völlig motivirt ist. Die zwei Mediale Po- tcnzircndc, die aus S. 35. abgeleitet wird, hat die Form V + Y'c Vb 2 + V — y'c y b 2 t und ihr Quadrat ist y fab + V — c b, also die Summe zweier medialen Rechtecke. Die Namen der diesen beiden entsprechenden Diffcrenzcnliiiicn sind ebenfalls nicht von der Form der Linie» selbst, sondern von der Form ihrer Quadrate hergcitommcn. Das Quadrat der ber erstem von ihnen ist V 2 — ah — — //; wenn man zu diesem Quadrate das rationale Rechteck a — b addirt, so wird die Summe ein mediales Rechteck, — ah, daher der Name die mit einem Rationalen ein Mediales Ganze Gebende. Das Quadrat der letzter,, dagegen wird jah — V — r h, welches, wenn man daö mediale Rechteck V — c b hinzu addirt, die mediale Summe iah giebt; daher heißt die Linie die mit einem Medialen ein Mediales Ganze Gebende. Zweite Hexade. S. 42— 47 43 — 48 und S. 79 — 84 80 — 35. Jede durch Addition oder Subtraetion zusammengesetzte Jrrationallinie kann nur in einem Puncte in ihre beiden Bestandtheile aufgelöst werden. Dieser Satz wird für jede der zwölf zusammengesetzten Linien besonders bewiesen. Drücken wir den Satz arithmetisch aus, so sagt er z. B. für den Fall der Binomiale, daß y -J- \h nicht gleich \.v —— y’y sein könne, wenn a, b und x, y von einander verschiedene rationale Zahlen sind; es kann also z. B. ]’x -j- \y nicht anders = 2 -j- y'3 werden, als wenn x — 2 und y = 3 ist. Dritte Hexade. Unterscheidung der sechs Arte» von Bino- mialen lnid Apotomen, und Regeln, jede derselben 31 t eonstruiren. S. 48 — 53 49 — 54 und S. 85 — 90 86 — 9l. Der allgemeine Ausdruck der Binomiale und Apotome ist \a + \b. Je nachdem nun oder b oder keines von beiden in unserm Sinne des Worts rational ist, und in jedem der drei Falle die größere über die kleinere um das Quadrat einer der ersteren kommensurablen oder ineommensurablen Linie polenzirt, unterscheidet Eu- klides sechs Arten beider Linien, die sich nach dem letztgenannten Ein- theilungsgrunde in zwei Klassen theilen lassen. I. Der größere Theil potenzirt über den kleinern um das Quadrat einer der größer,, in Länge eo,„mensurablen Linie. 1 Der größere Theil ist einer angenommenen Rationallinie kommensurabel, oder kürzer ausgedrückt, ist rational. Erste Binomiale und Apotome. a + isr? — oder a + i^ f 4 1 . 12 178 2 Der kleinere Theil ist rational. Zweite Binomialc und Apotome. .1 Keiner beider Theile ist rational. Dritte Binomiale und Apotom c. y ± V ^- - Cl cbcr V' ± V — ntP II. Der größere Theil potenzirt über den kleineren UNI das Quadrat einer dem größeren in Länge incommensurablen Linie. 1 Der größere Theil ist rational. Vierte Binom iale und A p o t o m c. n + y' — d 2 Der kleinere Theil ist rational. Fünfte Binom iale und Apotom e. }j f - j- d - f- n 3 Beide Theile sind irrational. Sechste Binom ialc und Apotome. V dt V a — r/ Diese scheinbar willkuhrlichc Einthcilung wird motivirt durch die Resultate der beiden folgenden Heradcn, in denen der auffallende Zusammenhang, in welchem die sechs Binomialcn und Apotomcn mit den in der ersten Herade erklärten sechs additiven lind sechs subtrarti- vcn Jrrationallinicn stehen, nachgewiesen wird. Vierte Her ade. Quadratwurzeln aus Binomien und Apotomcn. S. 34 — 39 55 — 60 und S. 9k — 96 92 — 97. Bei seiner geometrischen Darstellung kann Euklides nicht geradezu aus einer Binomialc oder Apotome die Wurzel ziehen, weil diese Ausdrucke ihn, durchaus Linien vorstellen. Darum bildet er erst ein Recbteck aus der Binomialc in irgend eine Nationallinic. Ein rationaler Factor ändert aber offenbar die Natur des irrationalen Ausdrucks nicht, und da derselbe überdies beliebig ist, so könne» wir, wenn wir die irrationalen Größe» als Zahlcnausdrückc behandeln, denselben gleich 1 setzen, wodurch wir die Euklidische Operation in eine wirkliche Quadratwurzelanszichung aus dem reinen vorgelegten Binomium verwandeln. Das intercffantc Resultat dieser beiden correspondircndcn Hcradcn ist, daß die Quadratwurzeln dcr sechs Bi- nomiale» dcr Reihe nach durch die sechs in der ersten Hcradc erklärten additiven, die Quadratwurzeln dcr sechs Apotomcn durch die sechs subtractivcn Irrationallinicn rcpräscntirt werden. Demgemäß ist die Wurzel aus dcr ersten Binomiale eine Binomiale, die Wurzel aus dcr zweiten Binomiale die erste Bimcdialc u. s. w. Fünfte Hex ade. Quadrate dcr zusammcngcsctztcn Jrratio- nallinien. S. 60 — 65 61 — 66 und S. 07 — 102 OK — 103. Diese Sätze enthalten die Umkchrung dcr in dcr vorigen Hcradc bewiesenen, und die Resultate sind die, daß die Quadrate dcr sechs additiven Jrrationalgrbßen dcr Reihe nach die sechs Binomialcn, die Quadrate dcr sechs subtractivcn Jrrationalgrößcn dcr Reihe nach die sechs Apotomcn hergeben. Demgemäß ist z. B. das Quadrat jeder der sechs Binomialcu ohne Unterschied eine erste Binomiale, das Quadrat dcr ersten Bimcdialc eine zweite Binomiale n. s. w. Weil aber wiederum geometrisch betrachtet das Quadrat einer Linie nicht eine Linie sein kann, so stellt Enklideö die Sache so dar, daß er an eine Rationallinie ein Rechteck anlegt, welches dem Quadrate irgend einer dcr Irrationallinicn gleich ist, und nun die Breite, d. h. die andere Seite dieses Rechtecks bestimmt. Wir erhalten hier wiederum das einfache Zahlenrcsultat, wenn wir die angenommene Rational- linic 1 setzen. Sechste Hcradc. Jede einer zusammcngcsctztcn Irrational- linic in Länge commcnsurablc Linie ist eine Irrationallinie derselben Art. S. 66 — 70 67 — 71 und S. 103 — 107 104 — 108. Dieser Satz wird in S. 66 und S. 103 von allen Binomia- lc» und Apotomcn und in S. 67 und in S. 104 von beiden Bi- mcdialen und Mcdialapotomcn bewiesen. Daher enthält diese dcr Analogie wegen sogenannte Hcxadc nur fünf Sätze in jedem der beiden corrcspondirenden Abschnitte. Es folgen nun in dem ersten Abschnitte zwei, in dem zweiten brci einzelne Sätze, welche auf eine gefällige Weise Mittel an die Hand geben, die zwölf zusammengesetzten Irrationallinicn zu bilden. Wir wollen sie einzeln durchgehen. S. 71 72. Wenn mau einen rationalen und einen medialen 12 * 180 Raum zusammenstellt, so cntftcbcu sals den Summenraum potcnzi- rend vier Irrationallinicn, und zwar cniti'sbn die Binomialc, oder die erste Bimedialc, oder die größere Irrationale, oder endlich die ein Rationales und Mediales Potcnzirende. Beweis. Die beiden Räume seicit AB, der rationale und CD, der mediale. Erster Fall. Ali > CD- Lege an eine beliebige Rationallinic EF bis beiden Rccht- 4 r ecke EG - Ali, III CD, so wird EH rational und in Länge commcnsurabcl der EV, ©. 21 , dagegen I/K rational aber nur in Potenz der EE com- _ mensurabel ©. daber ist auch IIK der EH bloß n " in Potenz commcnsurabel, also EK eine Binomiale, und zwar, da Eis > IIK, entweder eine erste oder eine k ii k vierte Binomiale, je nachdem EH über 11 K um das Onadrat einer der Elf in Länge commcnsurablcn oder incommcnsurablen Linie potcuzirt. Ist nun EK eine erste Binomiale, so ist nach S. 54. die den Raum Ei potenzirende Linie eine Binomiale. Ist dagegen EK eine y r vierte Binomialc, so ist nach S. 5>7. die den Raum EI potenzirende Linie die größere Irrationale. Zweiter Fall. AU kann nie = .*’ -f- \y werden. Leinma. Die Apotome und die auf sie folgenden Jrrational- linicn sind weder mit der Mediale, noch unter einander einerlei. Vierter Abschnitt. Es folgen nun noch als Beschluß dieses Buchs fünf einzelne Sätze, welche wir noch kürzlich betrachten wollen. S. 112 113. Das dem Quadrate einer Rationallinie gleiche an einer Binomialc entworfene Rechteck giebt zur Breite eine Apo- tomc, deren Bestandtheile den Theilen der Binomialc commeiisurabel und proportionirt sind, und die von derselben Ordnung wie die Bi- nomiale ist. Das heißt, eine Ouadratzahl c 2 , dividirt durch eine Binomialc > >t -f- giebt zum Quotienten eine Apotome, die der Binomialc ähnlich ist; es ist nämlich c 2 _ c s ]/, i — \'b \'u - j- \h a — b oder wenn wir für c 1 gleich von vorne herein 1 subftituiren Vvri-yi » “T "- 4 = * + >* > .113 114., Das dcm Quadrate einer Rationallinie gleiche an einer Apotome entworfene Rechteck giebt zur Breite eine Bino- mialc, deren Theile den Theilen der Apotome connncnsurabcl und proportionirt sind, und die mit der Apotome von derselben Ordnung ist. Das heißt 1 _ V + V* y — y/> a — l S. 114 113. Wenn ein Raum enthalten ist unter einer Apotome und einer Binomialc, deren Theile den Theile» jener commcnsurabel und proportionirt sind, so wird der Raum von einer Rationallinie potenzirt. m \a — m\~b — 'jm n — b, und der Raum selbst ist m a — b. Porisma. Daraus leuchtet ein, daß es möglich ist, daß ein rationaler Raum unter irrarionalcn Linien enthalten sei. S. 115 116. Aus einer Mcdiallinie entstehen unzählige Ir- rationallinieir, und keine derselben ist mit irgend einer der vorher behandelten einerlei. Euklidcs sucht die mittlere Proportionale zwischen einer Ratio- nallinic a und einer Mediale }b r welche ^a}b ist, und die sich von alten bisher betrachteten Irrationallinicn dadurch lnitcrschcidct, daß ein ihrem Quadrate gleiches an einer Rationallinie entworfenes Rechteck eine mediale Breite giebt, oder, wie Lorcnz dcm Sinne nach richtig, aber ganz »geometrisch sagt, daß ihr Quadrat eine Medial- linie giebt. Ferner nimmt er die mittlere Proportionale zwischen a und V \/j und so weiter fort. S. 118 26 117. In jedem Quadrate ist die Diagonale der Seite in Lange incommcnsurabcl. Die Einführung dieses Satzes, wie er im Original ausgesprochen ist, ist ganz von Euklid's Manier abweichend, indem der Text sich der Einlcitnngssormcl bedient προκ^/ο^ ? ,ι δεΐ^οα Ζι ii. s. w. Es ist auch auffallend, daß dem natürlichen und ganz kurzen Bc- 26 Als S. t 16. 117 hat die Naseler Ausgabe zwei Sätze, die schon oben als S. 105. 106 da gewesen sind. Am Rande steht Nou Laljct altcrum grac- cum cxcmplar. Sie gehören auch gar nicht hieher. U'cifc dieses Satzes, dem nämlich, das? das Quadrat der Diagonale sich zum Quadrat der Seile wie 2 zn J, also nicht wie eine Quadratzahl zu einer Quadratzahl S. 0 verhält, ein anderer ziemlich langer Beweis vorausgeschickt wird, der zwar richtig ist, aber eben wegen seiner entbehrlichen Weitläuftigkcit gar nicht Euklidisch aussieht. Vielleicht gehört dieser Satz, der hier als ein bloßer Anhang zu der Lehre vo» den Irrationallinic» erscheint, so wie gewiß die binter ihm folgende Anmerknng, welche lehrt, daß die Irrationalität nicht auf Linien beschränkt ist, sonder» auch aus Fläche» und Körper ausgedehnt werden kann, zu den Zusätzen eines späteren Bearbeiters der Elemente, vielleicht Theon's. Aber es sei hierüber genug. Ich bin gerade bei diesem Euklidischen Bliche etwas attsführlich gewesen, weil wir dem hier behandelten Gegenstände nicht sobald wieder begegnen. Oft tind vielfach ist die rationale Arithmetik der Griechen behandelt worden und die Erweiterungen, welche die Euklidische Lehre des siebenten, achten und neunten Buchs erfahren hat, sind sehr wesentlich. Aber sein zehntes Buch ist das einzige Überbleibsel aus dem Alterthume, welches von der irrationalen Arithmetik der Griechen uns einen Begriff giebt, und wir haben auch keine Nachricht, daß irgend ein späterer Mathematiker dieser Nation die Euklidische Lehre weiter fortgebildet oder sich auch nur damit beschäftigt hätte 27 . Der Grund dieser Erschci- nling mag allerdings darin seine Erklärung finden, daß Euklidcs die irrationale Arithmetik bedeutend vollständiger behandelt hat, als die rationale, welche, wie sie in seinen drei genannten Bücher» uns vorliegt, in der That noch vieles zu wünschen übrig läßt. Der Erste meines Wissens, der sich der Fortbildung der Theorie der Irrational- große» wieder angenommen hat, ist LueaS Pacioli de Burgo gegen das Ende des fünfzehnten Iahrhlliidcrts, nachdem die Lehre beinahe achtzehn Jahrhunderte brach gelegen. Kaum habe ich nöthig, den Leser auf den hohen Grad der Abstraktion, welchen die Behandlung dieses Gegenstandes als einer geometrischen Theorie bei den der algebraischen Formclnsprachc entbehrenden Griechen voraussetzt imb verräth, aufmerksam zu machen. 27 Dagegen berichtet Diogenes Lacrlins I. IX- S K bchi vor Eutlioes Dcniokrinis ei» Werk aKuyw yga/vitSr *al vuoftSv versaht höbe. iWiii bai letzte Wort hier bcbeulc» soll, weiß ich »icht. Mehr als irgend eine von den Griechen bearbeitete Methode zeugt eben die Tbcoric der Jrrationalgrößcn für das ungeheure Übergewicht, welches in ihrer VorstellungSweisc die Geometrie über die Arithmetik behauptete. Diese Formeln, welche wir meistens aus sehr complicirtcn und in einander geschobenen Quadratwurzeln gebildet in der eben gegebenen Darstellung vor Augen gestellt haben, behandelt Euklid, auf den einfachen und einzigen Begriff der Commcnsurabili- tät gestützt, ohne auch nur einer Quadratwurzel zu erwähnen. Er sieht nur gerade Linien vor sich, die mit unsern Formeln nicht den unschätzbaren Vorzug gemein haben, daß ihre mannigfachen Eigenschaften und Eigenthümlichkeiten sich gleich in ihrer äußeren Form verrathen; die algebraische Formel trägt für das geübte Auge alle, auch die verborgensten Eigenschaften, die ihr anhaften, sogleich zur Schau; aber eine gerade Linie sieht auf ein Haar der andern ähnlich, und ihr einziges unterscheidendes Merkmal, das aber eben auf ihre sonstige Beschaffenheit keinen dirccten Einfluß hat, ist ihre Lange. Es ist allein der abstractc Gedanke, der diesen Linien ihre tiefen Geheimnisse entlockt, welche unsre Formeln uns fast unaufgefordert aus- plandcrn. Und somit glaube ich nicht zu viel zu sagen, wenn ich behaupte, daß dieses in seiner geometrischen Gestalt jetzt freilich we- nig brauchbare und darum wenig beachtete Buch gerade dasjenige ist, welches uns den alten Mathematiker tu seiner höchsten Glorie erkennen lehrt, Das Säculum, welches Euklidcs eröffnet, war das goldene Zeitalter der Griechischen Mathematik. Die von den ersten Ptolemäcrn in Alcrandricn gestiftete Schule, verbunden mit der weltberühmten Bibliothek, trug sehr bald herrliche Früchte, und die Wissenschaften fanden hier gleichsam in einem großen gemeinschaftlichen Centrunl Vertreter, welche nicht nur selbst ihrer Zeit und ihrer Schule alle Ehre machten, sondern auch anderwärts schlummernde Talente weckten und zur Nachciserung anregten. EnklidcS selbst gehörte zu den Ersten, welche Ptolemäus Lagt zu einem Lehramtc an der neu gegründeten Schule berief. Dieser Umstand ist aber auch fast das Einzige, was wir von den äußern Lcbcnsvcrhältnjsscu des berühmte» Mannes wissen s8 . Seine College» waren die von Ptolemäus, dem 28 S. Prokius Comment. zum Euklid. Ed. Bas. p, '20. Bar. I. c. 4. Ausführlichere Nachrichten theilen uns Arabische Historiker i'ibcr ih» mit, die aber, Verfasser der Ms^-aAtj 2vvTs/4^, oft citirtcn Astronomen Tiniocha- ris und Aristillus. Es folgt nun eine Reihe von Mathematikern emd Astronomen, welche entweder in Alerandricn seihst lebten, oder doch der dortigen Schule ihre Ausbildung verdankten, und deren Werke die Bewunderung, welche die Nachwelt ihnen gezollt hat und noch bis auf den heutigen Tag zollt, in vollem Maaße verdienen. Es ist hinreichend, in einem Zeiträume von wenig mehr als einem Jahrhundert die Name» Aristarchus, Archimedcs, Eratosthe- iies, ApolloninS, Ktefibins, Hcron, Hipparchus zu nennen, durch welche die Geometrie und Astronomie der Grieche» auf den hohen Gipfel erhoben wurde, auf dem diese Disciplinen allen späteren Nationen als Muster vorlcuchtctcn. Auch der praktische Calcul blieb nicht vernachlässigt, unb wir haben oben von den dahin sobald sie sich ins Ausland wagen, wenig zuverlässig sind, Der anonvmc Verfasser der gegen das Ende des zwölften Jahrhunderts geschriebene» Gel ehrt en- Ehronik, i ij', aus welcher Easiri i» seiner liibl. Aruli. Hisji, Ksciir. so schätzenswerte Auszüge über Mathematiker mittheilt, sagt 1'. I. >>. 311 des angeführten Werkes „Euklidcs, der Sohn des Naukrates, des Sohns des Zenarchus so corriglrt Easiri den dlrablschcn Tert, in welchem die beiden Namen Nanftares und Zcnikus lauten, bekannt unter dem Namen des Geomctcrs wörtlich des Besitzers der Geometrie, Ls ein Gelehrter der alten Zeit, seinem Stamme nach ein Grieche, seinem AnsenthaUc nach ein Svrer, seinem Geburtsorte nach ein Tvricr, besaß eine große Geschicklich- krik in der Geometrie u. s. w." Zu einem Tvricr macht ihn auch Abulfaraj Hist. dyn. cd. l’ococke p. 34. Blcrkwürdig ist, daß beide Autoren, ersterer auf Jakob bcn Jsaak Alkindi sich berufend, unsern Euklides jünger als Apollonius machen. Alkindi nämlich sagt, Euklides habe zwei Bücher des Apollonius über die Kegelschnitte vervollständigt, sodann eine Einleitung zum Verständniß der fünf Körper geschrieben, und daraus seien dje ihm zugeschriebenen dreizehn Bücher entstanden. Abulfaraj a. a. O. sagt, Apollonjus Werk über die Kegelschnitte ,lebst einem andern Buch, das Apollonius verfaßt habe, seien die Veranlassung gewesen, daß Euklidcs lange Zeit nachher sein Werk geschrieben habe. Bauer in feiner Übersetzung des Abulfaraj S. 58 hat es nicht für gut befunden, dieser Stelle eine berichtigende Anmerkung beizufügen. Daß die ältere» Occidentale», selbst noch bis ins siebzehnte Jahrhundert hinein, den Mathematiker Euklidcs mit dem gleichnamigen Philosophen von Megara, dem Zeitgenossen Plalon's verwechselten, habe ich oben S. 15 bereits erwähnt. Den doppelten Fehler, den ich dort bei Dcchales gerügt habe, begebt auch Blancanus, daß er nämlich den Mcgaren- sischcn Philosophen, welcher e. 424 starb, unter Ptolcmäus dem Ersten, welcher seit 323 das im Jahre 332 erbaute Alexandria in Besitz nahm, in diese Stadt ziehen läßt. S. llirvnol. mall,. >>. 45, 186 gehörige» Arbeiten Archimcd's lind Apollonius gesprochen. Weniger Nahrung fand in dieser geometrischen Periode die theoretische Arithmetik, und es ist unter den genannten Männern nur ein einziger, dem wir eine überdies nicht sehr erhebliche Erwcitcrluig dieses Zweiges der Wissenschaft verdanken. Es ist EratosthcneS. Er hat eine Methode zur Auffindung der Primzahlen erfunden, welche unter dein Namen des Siebes des EratosthencS {χκιν&ν bekannt ist J9 . Den Namen hat diese Methode daher, dass EratosthcneS nicht die Primzahlen geradezu finden lehrte, sondern vielmehr aus der fortlaufenden Zahlenreihe allmahlig alle diejenigen ausschied, welche nicht Primzahlen sind, so dass zuletzt nur die Primzahlen übrig blieben. Er siebte also gcwisscrmassen die Zahlen durch, so dass die unbrauchbaren durchfallcn mussten und nur die verlangten zurüctblicbcn. Geradezu als lmbrauchbar schied EratosthcneS zur Vereinfachung der Arbeit alle gerade» Zahlen aus, und schrieb nur die ungeraden von 3 ab in einer möglichst langen Reihe hin ώ δννααν μάλι. ίπι μήκιον ίχον, sagt NikomachtlS. Er untersuchte nun zu- nachst, welche Zahlen durch 3 thcilbar waren, und fand, dass von 3 an jede dritte als zlisammcngcsctztc Zahl wegzustreichen sei. Ebenso konnte er von 5 an jede fünfte, von 7 an jede siebente u. s. w. wegstreichen. Wenn er nun diese Operation durch die ganze Reihe durchgeführt halte wobei noch der Vortheil j» berücksichtigen war, daß er, wen» er die Reihe bis zur -ttcn ungeraden Zahl, also bis jiir Zahl 2 n — 1 hingeschrieben hatte, den Versuch nur mit den Zahlen von 3 bis zur ^2/r — 1 anstellen durfte, so standen zuletzt als undurchstrichc» nur noch die Primzahlen da. So hatte er von den vorher durch einander gemengten Zahlen die unbrauchbaren ausgesiebt und nur die brauchbaren behalten. Übrigens fällt in die Augen, dass diese Methode unüberwindliche Hindernisse in der Ausführung darbietet, sobald man der Tabelle der Primzahlen eine auch nur einigermassen bedeutende Ausdehnung geben will, lind Possut hätte diese Methode schwerlich un hiojoii faeile et rot/t- moilc de trouver les nombres prembn-s 3 " genannt, wenn er der Probe halber versucht hätte, mit Hilfe dieses leichten lind 29 Die Nachricht davon findet sich i» der Arithmetik des Niwmachus, l. l. t!. 13. p. 84. 85. Ast. — p. 17. 18. l’aris. 30 Hist. des matli. T. 1. p. 6. bequemen Mittels die Primzahlen etwa bis zu einer Million auszusieben. Diesen kleinen Zuwachs abgerechnet, scheint die Arithmetik, wie sie in den Elementen Euklid's enthalten ist, säst vierhundert Jahre hindurch einzige Norm geblieben zu sein. Wenigstens wird uns in diesem langen Zeitraume von etwa 300 v. Chr. bis ungefähr lOO n. Chr. kein einziger Mathematiker geuaimt, der eine wissenschaftliche Zahlentheorie, d. i. geschrieben hätte. Die Geometrie und Astronomie scheint alle Kräfte der Mathematiker in Anspruch genommen, und das Beispiel der großen Geometer ArchimedeS und ApolloniuS alle mathematischen Talente nach dieser einseitigen Richtung mit sich fortgerissen zu haben. Diese Erscheinung darf UNS aber nicht Wunder nehmen; sie liegt vielmehr ganz in der Natur des menschlichen Geistes begründet, und die Geschichte der Wissenschaft bietet uns ähnliche Erscheinungen mehr als einmal dar. Als am Ende des ersten oder am Anfange des zweiten christlichen Jahrhunderts Nikomachus seine Arithmetik geschrieben hatte, da nahm die ganze mathematische Literatur der Griechen bis auf die spätesten Zeiten des Griechenthnms hin eine ganz arithmetische Richtung, und das Publienm wurde vorn zweiten bis zum vierzehnten Jahrhundert mit arithmetischen Werken überschwemmt. Als Leonardo Bonaeei die Algebra aus Arabien nach Europa gepflanzt hatte, arbeitete» die Mathematiker fast vierhundert Jahre hindurch nur in der Algebra, und während diese Diseiplin reißende Fortschritte machte, blieben die übrigen auf ihrem alten Standpunete stehen. Da erschien die erste Übersetzung und bald darauf die Originalausgabe von Diophant. Alsbald ward die Algebra der bestimmten Gleichungen verlassen, und die größten Genies, Dachet, Fermat, Pell, Freniele, löstet Diophantische Aufgaben und führten dessen Theorien fort. Dieses Streben ward unterbrochen durch die Erflndung der Differentialrechnung, und kam so ganz und gar in Vergessenheit, daß nun wieder über hundert Jahre lang nichts für Diophant und dessen Anawsis gethan ward., bis Euler den Gegenstand wieder aufnahm; seitdem ist nun die tmbestimmte Analytik Diophant'S und seine Zahlentheorie wieder Lieblingsstudium der größten Mathematiker geworden, unter denen besonders Lagrange, Legendre, Gauß und Jaeobi genannt zu werden verdienen. Und a»aloge Erscheinungen bietet die Geschichte fast jeder Wissenschaft dar. So war z. B. gegen das Ende des vorigen Jahrhunderts, seit der großartigen Arbeit Kenni- 188 cott's, in alle Theologen chic wahre Manie gefahren, Varianten-', sammlnngen zum Bibeltert anzulegen, eine Richtung, deren Hcnnnnng nicht das kleinste Verdienst ist, welches Eichhorn um die Theologie sich erworben hat. Ader wir kehren zur Sache zurück. Es scheint, als habe Asien seine Ansprüche an die Arithmetik, auch im Griechischen Sinne des Worts, frühzeitig geltend mache» wollen. Die drei berühmteste» Griechische» Arithnietiker, Nikoma- chus, Theo» und JamblichuS waren Asiaten von Geburt. Vo» den beide» erstgenannten mag es zweifelhaft scheinen, wem vor dem andern der Vorzug der Priorität gebühre, da das Alter des Nikoma- chus nicht ganz bestimmt angegeben werden kann. Indeß hat die Annahme, daß er am Ende des ersten bis in den Ansang des zweiten Jahrhunderts hinein, also vor Theo» gelebt habe, manches für sich. Jedenfalls will ich mit ihm als dem bei weitem wichtigeren hier beginnen. Obgleich Nikomachus bei den Griechen sich in bleibendem Ansehen erhalten bat und von fast unzählige» Schriftstellern genannt und citirt wird, so wissen wir doch sehr wenig, fast gar nichts, über feine äußern Lcbcnsvcrhältnisse. Die Annahme, daß er etwa um das Jahr 100 n. Chr. gelebt habe, gründet sich auf die beiden Data, daß er auf einer Seite in seiner Schrift über die Musik den unter TiberiuS Regierung lebenden ThrasvlluS nennt'"l, 31 Encllir. hurmon. I. p. ~'l κ r/ ' κχι ο ' f χ κ,; I s i i a ' >; £ Χν ll upayoqtx o'u καννα xafalof ιίΐ-χριβ fo βούλψια ίου Μακάλου υνπι- λί,α ούχ ’ Χαρρχ αυίν -!/ Θιάυλλο, άλλ’ δ λοχρ etc. — Bcrgl, Fabricii bibi, graeca et/. 1/arles. T. V. p. 630. not. e. Equidem Thrasylli eujusdam musici ac poetae antiqui patria Phliasii mentio apud Plutarchum de musica p. 1137. atque hunc a INicomacho laudari putabat doctissimus Jonsius p. 221, Sed scripsisse illum minus constat; itaque verisimilius est, intclligi Thrasyllum Mendesium, multarum artium scientiam professum et Platonicae sectae addictum, quem Tiberius in contubernium adseivit, ustrologici* ejus divinationibus usus cte.’Ev ri~. xtf/i ϊνν citatur Thrasyllus a Porphyrio in Ptolemaei musio, p. 2t>6. — Icdcufalls tinlcrgeschobt» i st das bitat M Ploletiiaus in Nitomachus Enchir. Imrm. II. p. 3>, wcil Nitomachus immoglich Ptolenicius citircn und zuglcich voti Ilpulcjiis uvrrsctzt scin kan», u»d d i st jedensalls dee bonjcctnr Mcibom's, dcs Hrrausgcbcrs dcs mie bisbcr Ilicht zuqaiiqlichen Enchiridio» harmonices, wclchc Fabricius I. I. p. 30 aiifiibrb beijtistitnnicii qui» libro altero memorat Claudium Ptolemaeum, clarum Antonini Pii temporibus, nisi cum Marco Meibomio adtirmare velis, verba illa de Ptolemaeo esse a rccentiorc manu, praesertim cum enchiridion und daß auf der andern Scite Apulejus von Madaura, unter der Regierung der Autoninen, feine Arithmetik ins Lateinische übersetzt bat. Er gehörte der Pvthagoräischen Schule an »', und war anS der Stadt Gerasa, wahrscheinlich in Arabien -I, gebürtig, woher er den Beinamen yeoaonvk oder lVg™-» führt. Nicht leicht sind über einen alten Auctor so viele Irrthümer verbreitet worden, wie über NikomachuS. Einige sogenannte Historiographe» der Mathematik erweisen ihm die Ehre, ihn inS sechste Jahrhundert vor Christo zu versetzen ". Solche Anachronismen beweisen nur, daß die Erzähler das Werk des AuctorS nicht gelesen haben und nicht wissen, daß, um anderer Data nicht zu erwähnen, gerade die Nachricht über das Sieb des EratosthcncS, die ich so eben mitgetheilt habe, sich bei NikomachuS findet, so daß er wenigstens nicht Jahrhunderte vor EratosthcncS gelebt haben kann. Diese Irrthümer haben wahrscheinlich darin ihre» Grund, daß man irgendwo einen NikomachuS fund deren gab eS unter den Griechen unzählige fand, der um die cr- liarmonieum integrum libro primo absolvatur, et quae, libri secundi vico subjunguntur, tantum excerptu sint ex majore, ut videtur, opere musico, quod pluribus libris Nicomachus post enchiridion concinnarat. Ceterum Claudio Ptolemaeo suppar fuit Apulejus Madaurensis, qui Nicomuchi Arithmeticen lutiiie converterat, teste Cassiodoro de Arithmct. p. 555, ex quo idem tradunt Isidorus llisp. I. 111. originum cap. 2. et lleda libro de computo, aliiqne. ibcrql. cilifjttbtni TennvHi. notae in Jamblichi avithm. p. 54. 05. Itrvcker liist. philos. T. 11. p. ICO. 101. 32 Pappus III prop. 16. p. 19. ter AuSg. v. 1060. Mchrc Citate s. in llnieber bist. phil. T. II. p. 100. not. y. 33 Fabr. bibi, grnecn T. V. p. 029. Nicomachus e Cerasa Arabiae urbe. iTiiju dic Olete a Sed fuit et altera ,'erasu Syriae coeles, cujus meminere Stephaniis %/.. et Ptolemaeus, quamque Nicomachi nostri fuisse patriam omnes unanimiter adsevernre adfirmat Abr. llerkelins ad Stephanum p. 290. Sed neminem certe veterum lioc adfirmare video. Itaque malo adsentire antiquo scriptori, non .Iamblicho, in eujus commentario per Tenniilium edito nihil tale legitur, sed .lobanni Pbilopono vel Asclepio Tralliano, qui patrium Nicomachi scribit Cerasum finitimam in Arabia. FrpkLCqvva o- arto 71 oi’ 0 aa r,'-' QucTa. I'-ir i . VIII. ep. 3. Apotlonii Pytlmgorici vitam, non nt Nivomachns senior c Philostrati, seil ut, Thuscius Vicloriantts e Ni- eomachi schcdio exscripsit, t/uia jusseras, mist etc. 3S , womit er den Arithmetikcr ins dritte Jahrhundert nach Christo, also hinter einige seiner Commcntatorcn zurückschiebt, ohne zu bedenken, ob in der angeführten Stelle nicht vielleicht ein anderer Nikomachns gemeint sein könne. Von mehr Bcdcutling aber, als diese vagen Anachronismen, sind die verkehrten Urtheile über den Inhalt der Arithmetik des Nikomachns. Fast einstimmig heißt es, Nikomachus habe sich in seinem Werke mit den Pythagoräischen Zahlcngehcimnisscn beschäftigt 36 . Man verwechselte seine sehr wcrthvollc Arithmetik 35 iVatav in Jnmbl. aritlim. p. 65. Das hindert tiefen infclix editor aber nicht, auf der folgenden Seite die Arithmetik schon im zweiten Jahrhundert von Apulejus, qui vixit temporc Marci Antonini, ins Lateinische übersetzen zu lassen. 36 Mas Montucla T. 1. p. 318. 19. über Nikomachns sagt, beweist mir, daß er weder dessen Arithmetik, noch die fälschlich ihm beigelegten Thevlogu- niena gelesen hat. — Dasselbe gilt von Kästner Gesell, d. Math. Th. I. S. 43. 4i.j nachdem er oon der Euklidischen Arithmetik als einziger Quelle, aus der wir die Griechische Arithmetik kennen, gesprochen, fährt er so fort „Von dem Sichern in diesen Kenntnissen machle man Anwendungen, die aus Geheimnisse führe» sollte», und jetzo höchstens für Spielwerke erkannt werde», viele gar für Unsinn, und wer strenge von ihnen urtheilt, strafbare» Aberglanben. Dergleichen finden sich in diicnmaelii Aritiimotica I'nr. 1538. T] μανάδν ο’νο'ημοο r\ ποοΊι-ο^ χνμα Ix. μονάδν νγχίμενον. ES svlgt svdailN die Eintheilung der Zahlen in gerade und ungerade. 37 S. Kabricii graoea T. V. p. C3S. cd. Hades. 38 Ich muß hier Reimer, tni Übersetzer der Vossnl'schen Geschichte der Mathematik, ausnehmen, der in, ersten Theil seiner Übersetzung S. d2. Rikoma- chu wenigstens insoweit Gerechtigkeit wiberfahren läßt, baß er ihn nennt und über die übrigen Griechischen Ariihmetiker erhebt, wenngleich er ihn darin wieder zu tief herabsetzt, das, er sagt, sein Werk enthalte keinen besonder merkwürdigen Satz, " fctm B'> bie ntigernd-gerade πίοιάριο und die gcrad - ungeradc άφιο- αεοια. Dieser Gegenstand macht den Inhalt des achten bis zehnten Kapitels aus, und Nikomachus weicht hier von Enklidcs ab, dessen Dcsinitioncn insofern nicht genau sind, als sie sich nicht gegenseitig ausschließen. Bet Enklidcs, unter den Desinitionen des siebenten DnchS, heißt es nämlich „Eine gcradcmal gerade Zahl ist eine solche, welche durch eine gerade Zahl dividirt eine gerade Zahl zum Quotienteit giebt, eine geradcinal tnigcradc, welche durch eine gerade Zahl dividirt eine ungerade Zahl zum Quotienten giebt." Er selbst sagt aber IX, 34 „ Wenn eine gerade Zahl weder durch fortgesetzte Verdoppelung der 2 entstanden ist, noch durch 2 dividirt einen ungeraden Quotienten giebt, so ist sie sowohl gcradcmal gerade als auch geradcinal ungerade." Diese Jnconvcnicnz wird von Jambli- chus in seinem Commentar über NikomachllS mehrmals heftig gcta- dcl 39 , nur scheint Jamblichus manchmal ztt verlangen, daß Euklidcs sich hätte nach des Nikomachus Desinitionen richten sollen. Nach Nikomachus sind gcrademal gerade nur die Potenzen von 2, d. h. diejenigen Zahlen, bei denen man durch fortgesetztes Halbircn nicht eher als bei der Einheit auf einen ungeraden Quotienten kommt; dieselbe» Zahlen nennt EllklidcS IX, 32. ag-,ux^' gnour aber hat Ast gemacht, indem er die elliptischen, aber ganz klaren Worte Tb 7 ,xy ύίά ίον Ttp dxb . . . η φ vxb ergänzt 1111b rcspeclivc ror- tlllliv rt in ο γάρ bxb ν ανρν ’ /ον φ »wo ! μέοι, , . η φ '* ' 13 m Kap. 11 — 13. Wie die geraden, so lassen sich auch die nngeradcn Zahlen in drei Klassen theilen. Diese drei Klassen st-Äist sind die Primzahl bei Nikomachus und Theo» von Snwrna immer nqiZroq difvvpsroi; , t'Cl EuklldeS l'lofj ooVcx,, die J tt- sammengesctztc Zahl ÄivTfgot, xal avv^Efoq, bei Euklides bloß und in der Mitte zwischen beiden diejenige Klasse, deren Zahlen an und für sich zusammengesetzte, in Bczng auf eine andere Zahl aber Primzahlen sind. Diese Eintheilung leidet an wesentlichen Mangeln, weil erstens die dritte Klasse sämmtliche Zahlen der zweiten Klasse mit in sich begreift, zweitens, weil nicht abzusehen ist, warum die Zahlen der zweiten und dritten Klasse durchaus nn- ύ*ο ν μέν. Der Ausdruck v — Ist das Produkt zweier Zahlen, » -ivu ου — Ist das Quadrat einer Zahl, aber 6 νχδ μέον hat gar keine» Sinn. Für diesen strenge geschiedenen Gebrauch des £ao und dxo Beispiele anzuführen, ist unnütz; Euklides und DiophantuS liefern deren auf jeder Seite. Aber auch dafür giebt eS Beispiele, das; beide Präpositionen mit dem Artikel absolut für Probitet und Quadrat gesetzt werden, wenn die bezügliche» Zahle» sich von selbst derstehen. So heißt es bei Diophant ΙΙΓ, 17. EugsiV -gell,- αζίΡμον ο δ ο δύο δχοινονν Χξαλαβών νναμφηι>ον »ocjj itiqdycovov. xdvfcov δ\ δνο αακγώνν ν,αιϊ io Ιί u u ο xqo λα- cr gor crotij α^άγνον d. h. Nkan foü drei Zahlen der dlrt stii- den, daß das Produkt von je zweie» zur Summe derselbe» beiden addirt, ein Quadrat wird; und ferner von je zweie» dieser Quadrate das Produci sammt der Summe ein Quadrat werde. Eben so IV, 6 Ιχίρεμα,ι δύο οιηρμού , c.'r δ utc δ ία μ° ° Γ. Desgleichen IV, I i. 17. Und ganz in derselben Berbindung, wie an unserer Stelle haben wir die Formel noch einmal bei Nikomachus II, 1?, wo eS ebenfalls von der continuirlichcn Proportion beißt ro -inro Ίον ico dio, und wo Ast eben so ungeschickt, wie an dieser Stelle, corrigirt δ um redv axQciv Ίον ico vio !! io v μέον. Jedenfalls balle Ast der Umstand, daß an beiden Stellen sämmtliche Handschriften libereinsiimniten, vorsichtig machen sollen. Camerarius In seiner Lxplicati» >» >'!com. bei Tennu- liuS AuSg. des Iamblichus ρ. 35 hat diese zweite Stelle gar nicht verstanden. Er sagt Ijuoü »»ton ait uutor nii χαών δ iror υζυγιών δ νχδ Ίον ien der νπερελεΐ und ελλιπεί. 17. „Nachdem ich bisher die Vorkcnntnisse in Betreff 13 * 196 bcr Größe an und für sich gegeben habe, gehe ich jetzt zu der Größe in ihrer Beziehung zu ander» über. Die Beziehung einer Größe auf eine andere ist im Allgemeinen ursprünglich zwiefach, Gleichheit und Ungleichheit. Über die Gleichheit laßt sich weiter nichts sagen, weil von zwei gleichen Größen nicht die eine so, die andere anders beschaffen sein kann. Das Ungleiche aber ist zwiefach, es hat ein Größeres und ein Kleineres. Nach der verschiedenen Art der Abhängigkeit von einander hat nun sowohl die größere als die kleinere zweier Größen andere Namen. Und zwar werden bei jeder von beiden fünf Arten von Beziehungen unterschieden." Diese fünf Beziehungen oder Verhältnisse Nikomachus braucht nicht das Wort Ao- yoq, sondern lt>oQ sind der Gegenstand der folgendeit sechs Kapitel. Kap. 18. Von zwei Zahlen, deren eine die andere mehr als einmal genau ganz in sich enthält, heißt die größere yo,.a^lälux suxguiultur 2 4' 4 f>i7ij/.tyit'x'i7Qi7oq,y duplox Svxguit!liu^i " + -y öiTtÄacTifitirtVujjrüi,', duplcx scxipiiipuu’lus 198 3 -f- t rom/aaiEcprifucvi;, triplex ecxquialter 3 —f— triplex sexcjuitertius 3 —f- -j 7qi%XaaiE-xnira^foq, triplex sexquiquartus U. f. w. Kap. 23. Wenn eine Zahl eine andere mehr als einmal ganz und außerdem noch mehre Theile derselbe» in sich enthält, so heißt das Verhältniß der größer» zur kleinern 16 1 199 t und so fort; ma» erhält also durch Anwendung des vorgeschriebenen Satzes aus dem Verhältniß der Gleichheit successive alle Verhältnisse der verschiedenen Vielfachen. Schreiben wir uns nun irgend eine Reihe der Vielfachen umgekehrt hin, und bringen das allgemeine Gesetz in Anwendung, so erhalten wir das entsprechende Verhältniß auS der Reihe der Z. B. 4 2 1, die Reihe der Doppelten, giebt 4 6 9, die Reihe der ^/.uiXiot, in welcher jedes Glied des vorigen ist, aus der Reihe der Dreifachen 9 3 1 erhalten wir 9 12 16, die htlronoi, in denen jedes Glied U des vorigen ist u. s. w. Gehen wir ferner von irgend einer Reihe der im^og/o/, umgekehrt hingeschrieben, aus, so erhalten wir die entsprechenden Z. B. 9 6 4 9 15 25, wo jedes Glied des vorigen ist, und ebenso, wenn man irgend eine andere Reihe der t^iog/oi zu Grunde legt. Gehen wir dagegen von irgend einer Reihe der t^iogiot in gerader Ordnung aus, so erhalten wir die noXXa.' So wird aus 4 6 9 4 10 25 nach dem Verhältnisse 2j, aus 9 12 16 wird 9 21 49 nach dem Verhältnisse 2^. Und endlich aus den in gerader Ordnung erhalte» Wir die no/.Xa’xXavtEsa^ igsu;, z. B. aus 9 15 25 wird 9 24 64 nach dem Verhältniß von 2-§-, und ebenso die übrigen. So sind denn alle diese verschiedenen Verhältnisse aus dem ursprünglichen Verhältnisse der Gleichheit entwickelt worden. Nikomachus macht über diese Schemata noch die Bemerkung, daß immer die beiden ätißern Glieder Quadratzahlcn sind und daß das mittlere das Product ihrer Wurzeln ist; ferner daß in den beiden aus derselben Reihe in gerader und umgekehrter Ordnung abgeleiteten Reihen das letzte größte Glied dasselbe ist. Dieses ist der Inhalt des ersten Buchs dieser Arithmetik, welches im Ganzen wenig wissenschaftlich Interessantes darbietet. 200 Zweites Buch. Wie Nikomachils am Ende des ersten Buchs gezeigt hatte, daß alle fünf von ihm aufgestellte» Verhältnisse aus drei gleichen Ter- minis sich herleiten lassen, so lehrt er in den ersten fünf Kapiteln dieses Buchs, daß umgekehrt alle gegebenen Verhältnisse sich auf das Verhältniß der Gleichheit als ursprüngliches Element zurückführen lassen. „Da ein Element dasjenige ist, aus welchem als Erstem etwas zusammengesetzt und in welches als Letztes ein Ding aufgelöst wird, so will ich zeigen, daß auch die Gleichheit ei» Element der relativen Größe ist rou n ^ oo-oü. Nun haben wir gezeigt, wie alle Verhältnisse aus der Gleichheit zusammengesetzt werden; es ist also nur noch übrig darzuthun, daß auch die Auflösung derselben zuletzt immer auf die Gleichheit zurückführt." Kap. 3. lehrt uns aus jeder Reihe der Vielfachen alle Zahlen zu finden, die in dem gleichnamigen Verhältnisse der tm/iöoiot stehen. Die Sache ist einfach die. Man schreibt in eine Reihe irgend eine von 1 beginnende geometrische Progression, darunter schreibt man die Reihe der Stimmen von je zwei aus einander folgenden Gliedern, unter diese die zweite Summcnrcihe und so fort, so erhält man eine Tabelle, welche alle Zahlen enthält, die zu ciuander in demjenigen epimorischen Verhältnisse stehen, welches dem Erponcntcn der ursprünglichen geometrischen Progression gleichnamig ist. Gehen wir z. B. von den Potenzen von 2 aus, so erhalten wir sämmtliche Zahlen, die gegen einander riimhoi 1 sind. Das Schema gestaltet sich so 12 4 8 16 32 3 6 12 24 48 9 18 36 72 27 54 108 81 162 243 Hier ist jede Zahl gleich drei Halben der zunächst über ihr stehenden; und ganz analog ist es bei den übrigen Verhältnissen. Kap. 4. Wenn man so das Schema nach den fortlaufenden Potenzen irgend einer Zahl bildet, so bildcit die Anfangsglicdcr der Summcnreihen allemal die successive Potcnzcnrcihc der um 1 größeren Zahl. 201 1 n n n* n * + 1 n- - f- n » 3 +» a 3 4-2»+l » 3 + 2» s +» n* n* - f- n 3 n 4 +2/i*+' w 4 +4 3 +6 2 +4/*+ 1 Wir wollen uns aber bei diesem Gegenstände nicht länger aufhalte», sondern zu dem folgenden viel interessanteren Sujet übergehen, nämlich zu der Theorie der Polygonalzahlen, welche sich in der Arithmetik des Nikomachlls Kap. 6—20 zuerst behandelt findet, und zwar in einer überraschenden Vollständigkeit. Da die Pythagoräer Alles an Zahlen zu erläutern und zu veranschaulichen pficgtcn 4 ', so sind die Anhänger dieser Schule gewiß lauge vor Ni- komachus auf die Idee gekommen, die in ihre Einheiten zerlegte» Zahlen in der Form verschiedener geometrischer Figuren anzuordnen, und ganz gewiß tritt bei Nikomachlls die schon so weit ausgebildete Lehre der Polygonalzahlen nicht als eine neue Wissenschaft auf. Aber wir haben Gründe zu glauben, daß Nikomachus wirklich zuerst über diesen Gegenstand, so wie überhaupt über die Pythagoräische Zahlcnlchre, geschrieben hat. Tcnnulius und Fabricius bringen mehre Stellen aus alten Autoren bei, in welchen Nikomachlls als derjenige bezeichnet wird, der die arithmetischen Lehren des Pythagoras zuerst systematisch geordnet »tib zu Papier gebracht hat 4S . Diese Abhandlung über die Polygonalzahlen ist aber nicht bloß deshalb wichtig, weil sie hier zum erstenmal erscheint, sondern vornehmlich auch darlim, weil wir dieselbe als eine, sei es nun mittelbare, sei es unmittelbare, Vorarbeit und Quelle Diophant's anzuschen haben, der nicht bloß i» seiner Schrift über die Polygonalzahlen diesen Gegenstand berührt, sondern denselben durch sein ganzes größeres Werk wie einen Goldfaden durchwcbt. Ich will daher den Inhalt dieser Kapitel so vollständig wie möglich angeben. 41 Vcrgl. darüber Tcnnulius, Notae in Jambl. x. 74. 42 Edendas. Auctor Altercationis Synagogae et Ecclesiae cap. 1. Arithmeticum Samius Pythagoras invenit, Ntcomachus scripsit, Isidorus orig. lib. 3. cap. 2. Numeri disciplinam primum apud Graecos Pythagoram autumant conscripsisse ?; ac deinde a Nico- icAo diffusius esse compositam. — Bcrgl. Fabricii Libi. Graeca T V V. 635. 636. Ed. Hades.. t- 202 Kap. 6. Einleitung „Zunächst muß man anerkennen, daß jeder Buchstabe, mit dem wir eine Zahl bezeichnen, z. B. * für zehn, x für zwanzig, A für dreißig, durch menschliche Einrichtung und Übereinkunft, nicht von Natur ein Zeichen dieser Zahl ist; die natürliche und ungekünstelte und eben deswegen einfachste Bezeichnung der Zahlen würde die Nebeneinanderstelliing der in jeder enthaltenen Einheiten sein. So würde die Bezeichnung einer Einheit durch ein a das Zeichen für eins, die Hinstcllung zweier Monaden, das ist zweier Alpha, neben einander, das Zeichen für zwei sein, und so fort Denn nur durch eine solche Schrift und Bezeichnung könnte die Darstellung der sogenannten ebenen und körperlichen Zahlen erläutert und deutlich gemacht werden. Demnach wird die Einheit in das Verhältniß und in die Stelle des Puncts eintreten, indem sie der Anfang der Dimensionen und Zahlen, aber weder Dimension noch Zahl selbst ist, gleichwie der Punct der Anfang der Linie und Entfernung, nicht aber Linie und Entfernung." Es folgen nun noch einige Analogien und Vcrglcichungcn zwischen Arithmetik und Geometrie, und darauf fährt der Verfasser im Kap. 7. also fort „Jede Zahl von 2 ab kann als lincäre Zahl gi^oy yga/ijUixo betrachtet werden j die erste ebene Zahl ijrnr5oi, dagegen ist die drei und darauf alle folgenden. Kap. 8. Eine dreieckige Zahl rgtywvos ist eine solche, welche in Einheiten anfgcldst sich in der Gestalt eines gleichseitigen Dreiecks darstellen läßt. Die Einheit ist eine dreieckige Zahl 8wv xurd tvn ü-vm^uiTM’. Die Seite des Dreiecks ist gleich der Anzahl der addirten Zahlen. Kap. 9. Hierauf folgt zunächst die viereckige Quadrat- Zahl εράγνο , die fiel in gestalt eines Quadrats darstellen läßt. Auch diese Zahlen entstehen durch Addition, aber nicht der natürlichen um 1 fortschreitenden, wie die dreieckigen, sondern der eine um die andere gesetzten, da§ heißt der ungeraden Zahlen r,_ vutüu δε και ουο άπο οϋ οιχηδν ίκερ εν φυα’/κοΠ άοε- $μυν, Tjj μονάδι ίπιευ^ένν ούκέι ν εφεξή οΐ εφεξή, ώ δ ε'δεικαι hu ν οιγώνν, αλλά ν παο ένα κειμένν πάνν, ονέι, ι ν ζζεοιίι,ν . Kap. 10. Die fünfeckige Zahl πενάγνο. Sie entsteht durch Addition der von 1 anfangenden und dann immer zwei Überspringenden Zahlenreihe επιρεύοναι άλληλοί εί πενάγνου γένειν οι απο μονάδο δνο διαλείχανε έφ δυνοΰν, ου- έιν, οΐ οιάδι άλληλν ΰπεζέχονε. Kap. 11. Die sechseckigen, siebeneckigen und folgenden Zahlen gehen auf ähnliche Weise hervor aus der Reihe der natürlichen Zahlen, indem man 5 dem Abstände derselben immer 1 hinzufügt. — Dic arithmetische Reihe, deren Snmmcnglieder irgend eine Klasse der Polygonalzahlcn hergeben, heißt die Reihe der yi^fiovag dieser Polygone, ein AllSdrnck, der, wie diese ganze Theorie, bildlich von der Geometrie hergenommen ist, indem Nikomachus und ebenso alle folgenden Arithmctikcr dic Euklidische Dcsinjtion II, 2 vermöge einer einfach sich darbietenden Analogie von dem Parallelogramm auf alle geradlinigen Figuren ausdehnen ". Demnach giebt unser Autor folgende allgemeine Regel zur Bildung der Polygonal- 41 Nik 0 machus braucht das Wert γνώμαν , γνά,αονι In dem anqc- teutelkn Sinne, ohne^cs zu defiiiiren. IamblichuS p. 82. erklärt ti so tl'ur ίαι δε γναμαν, o ανξηιχο εχάαου είδου ν πολύγνν , παά Ztioapiaiv ο αυ είδο διαφυλ άαν. — Theo» von Smprna Kap. 23 Χα,νε ύ\ οι. εφεξή α ιΡμο\ αχογεννώνε ιγώνου λ ε^αγιο ΓΟ'υ χοΧυγνου γνάμονι χαΧουναι. Undeutlicher ist Aklcpius bei Kulli- •Udu n v SväSi IXarrovcoq ij xutüL rrj v h 7 oro /itari ctoco- irjra rtov ywviwv, „die Gnomones eines jeden Polygons stehen von einander um 2 weniger ab, als die Anzahl der im Namen ausgcdrüekten Winkel beträgt," d. h. die constante Differenz der Gnomonreihe der »eckigen Zahlen beträgt n — 2. Merkwürdig ist, daß Diophant" diesen Satz dem Hyp- sikl cs zuschreibt, da doch Hypsiklcs nach der scit Fabricius allgemein angenommenen Meinung worüber im folgenden Kapitel ein Meh- rcrcs erst gegen das Ende des zweiten Jahrhunderts gelebt hat. Indeß ist diese scheinbar von der Wahrheit abweichende Angabe daraus zu erklären, daß Diophant den Satz dc§ Nikomachus etwas erweitert ausspricht, und daß vielleicht diese Erweiterung desselben von Hypsiklcs herrührt. Kap. 12. Nach diesen allgemeinen Regeln, die Bildung der Polygonalzahlcn betreffend, folgen nun einige besondere Eigcnthi'nn- lichkeitcn derselbe». Wie jede viereckige Figllr durch die Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt wird, so läßt sich jede viereckige Zahl in zwei, aber auf einander folgende dreieckige auflösen, und umgekehrt, je zwei auf einander folgende dreieckige Zahlen geben zur Summe eine Quadratzahl, z. B. 1 + 3 = 4, 3 -f- 6 = 9, 6 -f- 10 = 16 n. s. w. Aus einer viereckigen Figur wird, wenn man ihr eine dreieckige ansetzt, eine fünfeckige; ebenso in Zahlen, nur mit der Beschränkung, daß die Seite der dreieckigen Zahl um 1 kleiner sein muß, als die Seite der viereckigen, zu der sie addirt wird, z. B. 4 -j- 1 — 5, 9 -j- 3 — 12, 16 -j- 6 — 22 u. s. w. Ebenso werden sechseckige Zahlen als Summen einer fünfeckigen und einer dreieckigen Zahl dargestellt, und so fort. Der Übersicht wegen schreibe man sich die Polygonalzahlcn jeder Ordnung in Pa- rallclrcihcn unter einander, 45 De Numeris Polyg. prop. 8. pag. 18. Ed. Buchet. — S. 3'29. der Vchulzsche» Übersetzung. 205 1 3 6 10 15 2k 28 36 45 55 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 sechseckige 1 siebeneckige 1 . u. s. w., so finden hier folgende Beziehungen Statt 1 Jedes Polygon ist gleich der Summe des zunächst über ihm stehenden und des Dreiecks der um 1 kleineren Seite, z. B. das Siebeneck 148 ist gleich dem Sechseck 120 plus dem SDrClCcE 28. "ivu έκαο πολύγνο ύημα, 'jj ού ε vxlg αυν ομοαγοϋ πολυγώνου χα'ι rou ανώαου tqi. γώ>νου ού μονάδι ελάονο δμοαγού. 2 Die Vcrticalrcihcn sind arithmetische Progressionen, deren con- stantc Differenz das vorhergehende Dreieck ist. Kap. 13. „Hierauf nun ist leicht einzusehen, was eine körperliche Zahl ερε aQi^uoq ist und wie eine solche gleichseitig wird." Nach einer kleinen Digrcssion über Dimensionen unb über die Natur der Pyramide, als des einfachsten unter den Körpern, fährt er so fort „Wie nun die Polygonalzahlen durch Summa- tion der einfachen arithmetischen Reihen entstanden, auf dieselbe Weise entstehen, wenn man die ebenen Polygonalzahlcn zu einander addirt und sie gleichsam über einander schichtet, die einer jeden Klasse gleichnamigen Pyramiden, die mit dreieckiger Basis von den dreieckigen Zahlen, die mit viereckiger Basis von den viereckigen u. s. w. Es ist natürlich, daß nian die größere Zahl sich zu untcrst denkt; denn sie stellt die Basis vor; die zemächst kleinere über ihr und so fort, bis die Einheit auf der Spitze erscheint und gleichsam in einem Punct die Vollendung der Pyramide abschwänzt. *Ε αν ή μονα ύπι rij κορυφί] Φ^ίΐ ώανεϊ ει ψιεΐον άπομειου>ίιι ην ελειιν η πυ^αμίδο.“ Söcnii man den Ban einer arithnictischeu Pyramide von unten, das heißt, von dem größten Polygon beginnt, aber nicht bis zur Einheit fortsetzt, sondern eher abbricht, so entsteht eine abgestumpfte Pyramide, welche Nikomachus, wenn bloß die Einheit fehlt, xo/ouooi,., wenn die Einheit und die nächstfolgende Polygonal- zahl fehlt, ö, ähnlich tqixoAovqol; u. s- w. nennt. Kap. ist. b giebt noch andere Körperzahlcn als Pyramiden, 206 nämlich Kubi, balkcnföriuige δοκίδε, zicgclförmige πλιν^ίδε, keilförmige φψηκοι , kugelförmige ψαιοικοί, Parallelepipeda. Die Quadratzahlen haben in der Ebene zwei gleiche Dimensionen; giebt man ihnen noch eine dritte den vorigen gleiche Dimension, das heißt, mnltiplicirt man jede der Quadratzahlen noch einmal in ihre Seite, so erhält man die Kubikzahlcn. Kap. 16. Dem Kubus, als aus drei gleichen Dimensionen gebildet, stehen entgegen die aus drei nnglciche» Dimensionen gebildeten Zahlen, wie 2 mal 3 mal 4. Solche Körper nennt man einfach schiefe καλιά Einige nennen sie Keile ο-φψΊκον , Andere Pfähle ψηκίκον , noch Andere Stufen- oder Altarzahlcn βμίκον 46 . In der Mitte zwischen beiden Ertremcn stehen die Zahlen, welche Parallelepipeda genannt werden, deren entsprechende ebene Zahlen die ίιοομήκει s. das folg. Kap. sind, gleichwie die den Kubikzahlc» entsprechenden die Quadratzahlen. Kap. 17. Eine Zahl wird εε^ομήκη in den lateinischen Übersetzungen altern I>nrtv lonzsior genannt, wenn ihre Länge und ihre Breite nm die Einheit verschieden sind, οϋ'& δ μήκο r πλάει ϊυον, άλλα παρα μονάδα , das heißt, die Hetcromekes sind die Produkte aus je zwei auf einander folgenden Zahlen, n w-j-1 47 . 46 LT'LtzOL /" + +!, n n - j- 1 + n + l 2 und n + l 2 + n + 1 n + 2 drei auf einander folgende dreieckige Zahlen sein, was sich sogleich als wahr erweist, wenn wir die Formeln so umwandeln + „ „ + o = » 8 3 * - 3 - > »++ c>. + ,> + ä = 3 . +Y *+ 3 ». B Jede Quadratzahl sowohl plus als minus ihrer Wurzel wird ein Hctcromekcs -r 2 + n — n n + 1. f Umgekehrt ist auch jedes Hctcromckes sowohl die Summe als die Differenz eines Quadrats und seiner Wurzel; denn n {n + 1 = »* + n = n + 1- ~ {n + 1]. Den Beschluß dieses Abschnitts macht folgende Betrachtung »Die ravroTrfi hat ihren Ursprung in dem Ungeraden, die in dem Geraden; die Quadrate entstehen aus den ungeraden Zahlen durch Addition, die Hctcromckes aus den geraden; in jeder von der Einheit ansaugenden geometrischen Progression sind die Glieder an den ungeraden Stellen Quadrate fnirofirixets, aber kein Glied an I. \A 210 einer geraden Stelle wenn nicht schon das erste selbst ein Quadrat ist. Selbst die Ιάκι ufoi ίάχι, das ist die Kubikzahlen, die drei Dimensionen und dadurch noch mehr Antheil an der αν^ haben als die Qnadratzahlen, sind ein Erzeugnis; der ungeraden Zahlen, nicht der geraden. Denn schreibt man sich von der Einheit an alle ungeraden Zahlen nach der Reihe hin, so ist die erste ein Kubus δυνάμει s. oben, die beiden folgenden zusammen bilden den zweite» Kubus, die drei nächstfolgenden den dritten, die folgende» vier den vierten und so fort." Dieser hübsche Satz scheint Nikomachus eigenthümlich anzugehören. Um die allgemeine Formel zu entwickeln, setzen wir n? gleicb der Summe von n ungeraden Zahlen; die erste sei - 1, so ist die n te - 2 n — 1, also die Summe derselben n* = 2λ -f- u n , x ~ - - n \ demnach hat man, um zu pro- dueiren, die ungeraden Zahlen von w a — » -f-1 bis id n — 1 zu addiren, deren arithmetisches Mittelist. Hier wäre nun nach den Begriffen der Spätereir die Arithmetik des Nikomachus abgeschlossen; er zieht aber noch in ihren Bereich eine Theorie, welche, obgleich ihrer Natur nach ganz jur Arithmetik gehörig, von den Späteren, selbst schon von Theon von Smvrna, gewöhnlich in der Theorie der Musik abgehandelt wird, wo sie freilich eine vielfältige Anwendung sindet. Es ist dieses die Lehre von den Analogien und Medietäten μεψε, oder, was dasselbe sagen will, die Lehre von den verschiedenen Proportionen ^". Sie -19 ES ist bei den Neuern Sitte, die Worte dvaXoy'a und /iirror^g so }'* imierscheiden, daß dvaXoy'ou die 'Proportion im Allgemeinen, fuaötng dagegen die stetige Proportion bedellte. Ich »»iß geflebe», daß ich diese» den Worte» »w tergclcgic» Sinn bet den Alten nicht habe bestätigt gesunden. Nikomachus de- finirt II. 21. die nbet nicht die Theo» von Smvrna giebt iZItt». eug. 32. p. 132, 133. Hüll. mit gewohnter Geschwätzigkeit den Unterschied an, aber man ersteht aus seinen Worten weiter nichts, als daß der eben erwähutc Sinn in beiden Terminis nicht liegt >, heißt ti' dvaXoylug filöolffi kwklö d fdv tu uvaXoy'a, foiito f ,.taati]g d tu ficcroftig, oux f u^'U5 dvaKoyta' ty%c,iqtu y ,ig 7 -1 % aftt 7'iiliv fiftrov V’l %%zif dvcuX ergo? tu ixagrt., sog tu XQoq ά Öuo, er cp ά δυο itqog ά Lcov' ά ovya, και μία αν ηη * oTov er, ßf Ö* αναλογία. ε yaq Ιιν ^ rou trog *al iav ftaaaQw. Es scheint, als wenn Thron den Ausdruck μιη ganj attgcmciu von teilt Dazwischenliegen gebraucht wissen will. — Pappus III, 5. p. 121 sagt ganz kurz 11 istcrt uutoin mcdictas μιεη ab analogia, liam si quid est analogia, Iioc ct mcdictas est; sed non contra. Medie- tates caim tres suiit, aritluactica, geometriea ot barmonica. etc. Demnach ist μιη der allgemeinere, αναλογία der speciellere Begriff, wie es auch aus den ersten Worten Thcon's einleuchtet; und aus dem Zusatz des tpappus ,»rdietatc8 cnim tres saut, kommt man in Versuchung des Gegensatzes halber zu ergänzen aber es giebt nur eine Analogie. Und baS scheint wirklich das Nich- tigc zu sein. Denn hären wir, was Iamblichu cd. Tcmiul. p. 141 p 1;?t ΙΙΐιολιΧϊεον ö\ , o'n χυιία άναλογίαν ίχάλο'υν οί ÄuXaiol ίην γιαμι- 5 otvortQov ν η κά πηλ ικο ] α χάο ίχλ/ηλα ποια αχει. 'Αναλογία Ü' ίο''ιν ί ν λαγών μοι η. Auch Jamblichus fügt den von Nikomachus vernachlässigten, aber nothwendigen Begriff der homogenen Großen hinzu p. 138, und ebenso snbstituirt er für die bloße Zusammenstellung o-wStj-o/i, bei Nikomachus den richtigeren Begriff der Gleichstellung ή r/. π’ αναλογία λγν ευ’'ι πλεινυ μοιη και ανη. — i07 f aVTov /. i' a O V PtttQt'icrPcu Tt>oq dX>sq\oxiq rol's IV ct'iVrf oftoxiq. llllfc fast wörtlich ebenso Ia »lbiichns p. 117 Al Sv Sivripa fucdrriq ^ ysouE- TQivy iiox' izzitiir in trilius torminis con- sideratio sit, enntmna pro-portionnlitas b. i. dvaXoyiu dicitur. Sin vor llic iilius dnx ct alins rome, NUc veio utii8 zu dem größer», als Vorderglicd π,λο^ο, bei BocthiuS ilux ju dem kleinern, so heißt eine solche Proportion eine stetige {νυηψμέν>ι. Weil" aber das zu dem kleiner» gestellte Hinterglicd verschieden ist von dem zu dem größer» gestellten Vordcrglicde, so heißt eine solche Mcdictat oder Analogie eine getrennte oiWVe ο'υνημμενη, αλλά διεξενγμειη λέγεαι ή οιαυη μέοη ε » ,! αναλογία 50 . Hier spricht doch wohl der Gebrauch des Worts μεάη in dieser Verbindung ganz deutlich gegen die gewöhnliche Definition, dcrzttsolgc cS ausschließlich die stetige Proportion bezeichn neu soll. Kap. 22. Die ursprünglichen und allen Alte», Ppthagoras, Plato» und Aristoteles bekannten Analogien sind die drei ersten, die arithmetische, die geonictrischc, die harmonische, und die drei diesen entgegengesetzten, welche keine eigenen Namen haben, sonder» gewöhnlich die vierte, fünfte lnrd sechste Mcdictat genannt werden. Nach JainblichliS p. 141. 142. rühre» nur die drei ersten von Ppthagoras her, die drei letzteren dagegen von CudoruS. Zu diesen haben die Netteren snach Iamblichus p. 163. die Pythagoräcr Temuoni- des und Euphrauor t>och vier andere erstntdcn, um die Zahl zehn voll zu machen, weil diese dcit Ppthagoräcrn für die vollkommenste gilt. Kap. 23. Arithmetische Proportion, — b =~ e — d, oder n — b = b — c. Unter den Eigenschaften dieser Proportion führt NikomachuS auch folgende sehr schöne und von den Meisten übersehent γ?.αψυοίύ7αον και ου πολλού λελι^ an, daß ί» der stCti 50 Theon Mus. c. 31. pag. 129. und Pselius p. 10. nennen die stetige Proportion dvaXoyia ts'ovi%!fi, Theo» dagegen die getrennte Pselius SayJit;, Cuklides braucht »o» sietig proporlionirten Zahlen immer den dlusbruet ~ u A i tr .^ aioiooyav. ^aniblichtts p. 110. macht den aber ganz gewiß im Sprachgebrauch nicht gegründeten Unterschied zwischen nv,ix 0 y 0 v und dvaXoyfa, baß ersteres von der getrennte», letzteres von der stetigen Proportion gebraucht werbe . . . öoxrl' to di'a/. 0 s o>v Trsi tlviiAioyiaq Ätaq>et>etr* T'o u 1 ' ai'aXo^ov Iv öifu' oqoiq ylvsTcu’ ^ dvaKo r j!n * ii- stu Tcov rov noivov \%bvTav oo v TikTiiTixt, 214 gm Proportion das Quadrat des Mittelgliedes, wenn man das Produkt der äußern Glieder davon abzieht, gleich wird dem Quadrat der constaiiten Differenz, d. h. b 2 — ac = a — b 2 = 4 — c 2 . Kap. 24. Geometrische Proportion, a b = c d oder a b — b c. Eigenthümlichkeiten der stetigen Proportion sind folgende 1 Die Differenzen der Glieder verhalten sich wie die Glieder selbst. Dieser im Griechischen nicht ganz deutlich ausgedruckte Satz ’Ίδ/ον δε εχει η γεμερική μεάη, ο μηδεμία ν λοιπών, δ ά ν ορών δια φορά προ α?-ληλ b — c = a b = b . c. Der Satz läßt sich aber, ohne Rücksicht auf die Stetigkeit der Proportion, allgemeiner so ausdrücken Wenn n \ b — c . d, so verhält sich a — b c — d — u c = b d. 2 Wenn der Erponent der stetigen Proportion n ist, so ist die Differenz der großem Glieder das n — 1 fache des Mittelgliedes, und der Überschuß der Differenz der größern Glieder über die Differenz der kleinern das n — 1 fache des kleinsten Gliedes. 3 πλανικν ρεριψα. Zwischen zwei Quadratzahlen giebt es nur ein, zwischen zwei Kubikzahlen nur zwei geometrische Mittel. Eukl. VIH, 11. 12. Kap. 25. Harmonische Proportion^', a \ c — a — h b — c. Wenn die drei Größen a, b, c in dieser Reihenfolge von dem größer» zum kleinern fortschreiten, so ist in der arithmetischen Proportion a b b c, in dcr Mitte zwischen beiden steht die geometrische, in welcher a b = 51 Nach Iauiblichns p. 141. fließ diese Proportion früher ^ -LjtEmj" rla, die entgegengesetzte, nnd erhielt erst von Archvtas und Hippasns ihre» jetzigen Namen. Movae if. To ZaXaiov fquq ^aav fuaofTiftg £* 1 Hu^aiyo^ou va\ Tav ct'oi'ov /laPrjfiaTinav , Tl xal yicj- fuTQixri, xal 7, Ko-n fxkv xsXivavTui Myo/ntvi] rjj Toigu ’uTo Ös rrZv *£1>1 Tor 'AqXurav ai>p-ig xal 'iMaffov uq/i ovixi 0 T 1 j'o'WJ b c ist. Außerdem wird als eine besondere Eigenschaft der harmonischen Proportion angefahrt, daß +1 c5 e SuXZrfattau. 216 die siebente a c — a — c b — e, z. B. 9, 8, 6 die achte a c = a — c \ a — b - 9, 7, 6 die neunte b c = a — c b — c - 7, 6, 4 die zehnte b c = a — c a — b - 8, 5, 3 Kap. 29. „Es ist noch übrig auch die vollkommenste, drei Dimensionen begreifende, und alle übrigen umfassende Mcdietät kurz zu erklären, da sie sehr viele Anwendung in der Musik und Naturkunde findet." Diese Mcdietät, welche Nikomachus die vollkommenste Ve- Afioran], Iamblichus die musikalische 1 uovoW nennt, ist nach der Erzählung des Letzteren von den Babylonicrn erfunden und von Pythagoras zuerst nach Griechenland gebracht worden 52 . Die Sache ist folgende Wenn man zu zwei Tcrminis zwei mittlere sucht, so daß der eine von ihnen mit den beide» äußeren eine arithmetische, der andere mit denselben eine harmonische stetige Proportion bildet, so bilden alle vier Zahlen eine geometrische Proportion. Z. B. zwischen 12 und 6 ist das arithmetische Mittel 9, das harmonische 8 , demnach bilden die vier Zahlen 12 , 9, 8 , 6 eine geometrische Proportion. Noch allgemeiner läßt der Satz sich so fassen, daß, wenn zwei der genannten Bedingungen stattfinden, allemal auch die dritte stattfindet. Seien die gegebenen äußern Glieder a und b, so ist ihr arithmetisches Mittel ihr harmonisches Mittel —j— 7 , nnd es ist offenbar, daß die Zahlen l - f- U a - f- b 2 ab eine geometrische Proportion bilden. Wenn man aber zwischen a und b zwei Zahlen x, y so sucht, daß a, x, y, b eine geometrische, a, x, b eine stetige arithmetische Proportion bilden, so wird x — b , V — ^+6' ^lich bilden dann u, y, b eine harmonische Proportion. Und eben so leuchtet der dritte Fall ein. Ich beschließe diesen Gegenstand mit der Bemerkung, daß Pap- 52 Iambl. p. 168. Eug'i/Iia 5' arV-iJr . I. variar. epist. 45. Exstant- qnc atlliuc libri duo Arithmetices Boethii, quae pro liberiore versioue Ni- comaclii haberi possunt, quem nominctenus Inudat png. 1323 et 1341 quamquam non hanc isagogen solum, sed et alterum mnjus Nicomaehi opus Arithmeticum, quod temporum injuria amisimus, simul consuluisse ct in compendium misisse videtur. Ea, inquit in praes., quae de numeris a Nicomacho diffusius disputata sunt, moderata brevitate collegi, et quae transcursa velocius angustiorem intelligentiae praestabant aditum, mediocri adjectione reseravi, ut aliquando ad evidentiam rerum nostris etiam formulis ac descriptionibus uteremur. Aus diesen Worten folgt aber wohl weder, was Fabricius behauptet, die Existenz tiucs ausführlicheren Werks von Nikomachus, noch auch die Verschiedenheit der vorhandenen Arithmetik dieses Kirchenvaters von seiner Bearbeitung des Werkes von Nikomachus, worauf Fabriciits ebenfalls hinzudeuten scheint. — Daß Nito- 218 hcitcn bekannt machen, nnd ja bicscni Zwecke ist es ihm hinreichend , an einem oder etlichen Zahlenbeispielcii die Richtigkeit seiner Aussagen darzuthun, so daß der Mangel derselbe» in dieser Einleitung uns nicht zu dem Schlüsse berechtigt, Nikomachus habe selbst keine gründliche wissenschaftliche Beweise gehabt; er hatte ja doch für eine große Anzahl seiner Lehren die Euklidischen Beweise und hatte, wenn Mittheilung derselben in seinem Plane gelegen hatte, ja doch diese gewiß geben können. Und macht cS Diophant, wie wir später sehen werden, nicht ebenso? Wenn er am Schlüsse scincr Auflösung, nachdem er irgend welche Zahlen gefunden, die der Aufgabe ein Genüge leisten, sagt xai r\ d-xoÖEt^iq cpavt-qä, heißt das etwas Anderes, als versuche, und du wirst finden, daß diese Zahlen daS leisten, was verlangt wurde? Ebenso zeigt Nikomachus an Zahlenbeispielcii, daß seine Sätze wahr find. Fragen wir endlich, welche Fortschritte die Arithmetik von Euklid es bis anf NikomachnS gemacht hat, so dürften sich etwa folgende Resultate ergeben 1 Bei Nikomachils erscheint die Arithmetik zum erstenmal frei von den Fesseln gcomctrischcr Vorstellungen, mit denen sie bei Eukli- dcs noch behaftet ist. Nikomachus erläutert Zahlcnlchrcn an Zahle», nicht an Linien, ein Fortschritt, der bei der weitem Ausbildung machus auch eine praktische Arithmetik, d. h. eine Rechenkunst, unter dem Titel έχνη ,Ι^μηιχη, wie Montucla 1,319, Reimer in Boffut's Geschichte d. Math. I, 43, Klügcl Math. Wörtcrb. I, 174 it. Andere behaupte», ist ein bloßes Mißbcrstandniß. Denn erstens würde der Titel έχνη άψΡμηίχή das nicht bedeute», was man hineinlegt, und zweitens beruht, wie es scheint, die Angabe bei Monlucla, die Reimer und Klügcl wahrscheinlich bloß nachgesprochen, wenn nicht oieimehr alle die genannten Auctorc» aus Fabricius s. uiilc» abgeschrieben habe», auf einer Stelle bei Iamblichus 3., wo er sagt „Ich beabsichtige eine wiffcitscheisniche Arithmetik zu schreiben; da finde ich aber, daß Nikomachus alles dicsts nach dem Shstcm des stchthagcras bereits in scincr έχνη abgehandelt hat. Weil nun dieses Buch so vorzüglich ist dieser Gedanke ist etwas weit ausgeführt, dann heißt es am Ende der >>. 4. weiter, so will ich, ohne etwas wtgzunchiiicn oder hinzuzusetzen, die Nikomachischc Arbeit selbst αύη ην Νιχυμάχπον έχνην meiner Schrift zu Grunde legen." Demnach ist diese έχνη nichts Anderes, als eben die ειαγγή, die Iamblichus commcnlirt hat und die uns zu Handen ist. Danach ist auch die Angabe bei Fabricius Ktl. Ilarles. V, 038 zu berichtigen; denn die it, den T'l„-,>I,»K»MI-I>i>j 33. 43 bei Ast >>. 32. 42 cilirtc 'Άι>ιρ>ιηνχ,ή ist ganz sicher das dem Nikomachus zugeschriebene Werk £soXoyav, eis άιρμηιχη. bei Arithmetik nicht ohne bedeutenden Einfluß geblieben ist, der vielmehr, wie die späteren Werke zeigen, der ganzen Griechischen Arith- nietik eine andere Riehtnng gegeben Hut. 2 AIS neu ist bei Nikomachns hinzugekommen die ganze Theorie der Polygonalzahleu, selbst die allgemeine Regel ihrer Bildung, wonach sie alS die Summenreihen arithmetischer Progressionen erscheinen. 3 Zum erstenmal schriftlich behandelt, wenn auch eingestandener Maaßen nicht von ihm herrührend, ist hier die Theorie der Medietä- te», während Euklides nur die geometrische Proportion kennt. 4 Nikomachns giebt zuweilen strengere Desinitionen und Unterschiede, die Euklides übersehen hat, z. B. die Eintheilung der geraden Zahlen in {pojtio/cro’oi, jrso/ru'griOi, Nlld doruxxiq cxq-iqi I, 8. Die Eintheilung der Flächenzahlen in und heo o- fiiiKnq II, 17, ttiib die darauf gegründeten Sätze über die Beziehungen der letztgenannten zu den Quadratzahlen. Dagegen vernachlässigt Nikomachns die mathematische Präcision des Ausdrucks, wenn er Sachen anführt, die er aus Euklides als bekannt voraussetzt und annimmt. Vergl. II, 21 die Desinitionen von Xöyoq und avaXoylu, 5 Hin und wieder, und nicht eben selten giebt Nikomachns einzelne interessante, treffende Bemerkungen, in welcher Beziehung ich auf die oben gegebene Analyse verweise und die Kapitel 4. 12. 19. 20. 23. 24 des zweiten Buchs zu vergleichen bitte z. B. die Zusammensetzung der Kubikzahlen durch die Summation einer Reihe ungerader Zahlen n. a.. Es ist indeß nicht zu leugne», daß Nikomachns in dem Bestreben, Merkwürdigkeiten zu entdecken, nicht immer glücklich ist, und daß er manchmal als sehr wunderbar etwas hervorhebt, was sich ganz von selbst versteht. Obgleich, wie ich oben erwähnt habe, zwischen Euklides und Nikomachns uns kein arithmetischer Schriftsteller bekannt ist, so rühren doch gewiß nicht alle Zuwüchse, welche die Arithmetik in diesen, Zeitraume erfahren hat, von Nikomachns selbst her. Er selbst deutet zuweilen, aber freilich ohne Namen zu nennen, auf frühere Au- toreu hin, z. B. II, 14. fra ös />j dvt\Kooi cöfisv xoXavocov xui Öiko?mvqcov Scott tqixoXovqoiv , ibv rotq ovo/iuo'tv ivrev^öa^a l v f oTq Qr\fixTi xoTq etc. „Dci- wit wir aber nicht die Kolureu, Dikoluren und Trikoluren ungenannt lassen, deren Namen wir besonders in den theoretischen Schriften antreffen u. s. w." Ferner Die Körperzahlen, welche er II, 16 220 crxuArjr nennt, nennen, sagt er, Einige o'gn, 1 - 60 x 01 , Andere o-q»;- xnfKoi, noch Andere j3. 358. Jamblichus, aus Chaleis in Cblesprien, der berühmte Pvlha- goräcr, hat im vierten Jahrhundert die Einleitung des Nikomachus bearbeitet; diese Bearbeitung bildet den vierten Theil seines nmfang- 5i S. in Fnbricii Hibl. grncca V, 635. reichen Werkes über die Pythagoräische Philosophie, und führt den Titel ’ΐα,αβλ,χον Χαλχιδε riju κοίλη Ζυοία, Mol ί N/xo- > bis 132 n. Chr. vorgenommen hat S8 . Demnach können wir mit 1 einem > - , 58 Die vier Stellen bei Ptolemäus in seiner Μεγάλη χύνα&. sind foi- 1 flcntc 1. IX. c. 9. p. 234. Ed. Uns. über Merkur φ μ\ν yaq 5 ’ίει * Άδηιανού, κα' Αιγυπίου μεοιΑ ιη εχεηα, ώ εν fa~q Χαα Θε- ^ νο εΐλημμίναι Ttq ιγε ciiv ευομεν, ο χΧεΐον, ψηιν, άχεη ού ήλιου ' χιΧολειχμενο ου επ η xaqöiaq ου Χεονο μοίρα oTt Tio iß ’hzi d ’ASqiavov etc. — bildlich X, 2. p. 239 Iv / itr 7 . Über geradcmal Ungerade άοιοπ^κηοι. . 10. Über »ngcradcmal Gerade uqtwi. 11. ιΐίοί ιάκι d. h. über vcrgl. 15. 21. 2’ 28. 12. Πίρί άνιιϊάχι άν'ιΰν. 13. Über ein specieller Fall des folgenden. 14. Über Parallclogrammzahlcn. tata est >z„ain saoculo p. Chr. eloeimo soptimo !!!, quo Albertus Girat- »lus et Cartcsius, invento Arithmetices universalis Algcbrnm vocant auxilia, floruerunt, et hinc reeentiores Mathematici aliam ratiocinandi viam ingressi sunt. Wenn dic Mehrten sich streiten, cb Siom i»i Jahre 75'1 ober 753 ober 754 erbaut sei, so bat das seinen guten Grund. Wenn aber ei» Gelehrter ? in der Geschichte der letzten Jahrhunderte einen Anachronismus ve» mehr als vierhundert Jahren macht, so ist das eine Unwissenheit, für die ei» Schüler, wenn er sie an den Tag legte, offenbar wegen Faulheit bestraft werde» würde. Wart»» nicht lieber erst lernen, und dann lehren? Auf diese Stelle $ nicht einmal anwendbar, was Schiller von jenem kurzen Gedärm sagt. 227 15. Über Quadratzahlen s. o. 16. Daß die Qnadratzahlcn die HctcromckcS als geometrische Mittel haben. 17. Über die go μίξει, einerlei mit 14. 18. über ebene Zahlen, der allgemeine Begriff, von welchem alle von 11 bis 28 genannten specielle Fälle sind. 19. Über dreieckige und die folgenden Polvgonalzahlcn; ihre Ent- stchnng. 20. Über die folgenden Polygonalzahlcn. 21. liege Ιάκι ίν s. 11. 15. και άν ιάκι αν ίν s. 12.. 22. Über ähnliche Zahlen. 23. Über dreieckige Zahlen, s. 19. 24. Über kreis- und kugelförmige, und wiederkehrende Zahlen. 25. Über Qnadratzahlcn noch einmal. 26. Über fünfeckige Zahlen. 27. Über sechseckige Zahlen. 28. Daß eine Quadratzahl aus zwei dreieckigen Zahlen besteht. 29. Über Körpcrzahlen. 30. Über Pyramidalzahlen. 31. Über Seiten- und Diagonalzahlcn. 32. Über vollständige, unvollständige lind übervollständige Zahlen. Das ist eilt wahres Labyrinth, und mit dem Inhalt steht cS nicht besser. Der Satz z. B., daß die Qnadratzahlcn durch die Summation der tmgcradcn Zahlen entstehen, kommt viermal vor, am Anfange des 15., in der Mitte des 19., a», Anfange des 20. und in dem 25. Kapitel, welches letztere weiter nichts enthält, als diesen zum viertenmal wiederholten Satz. Ich übergehe indeß alles Übrige und begnüge mich hier damit, zwei Stellen herauszuheben, welche Wahrheiten enthalten, die ich bei NikomachuS nicht gefunden habe. Zunächst Kap. 20 p. 55 eine Bemerkung über die Qnadratzahlcn. Thcon sagt Jede Qnadratzahl ist entweder durch 3 thcil- S kr ' »der sie ist, wenn man 1 snblrahirt, durch 3 thcilbar d. h. "ll eine Quadratzahl kann nicht die Form 3» + 2 haben; ferner ist ein sie entweder durch 4 thcilbar, oder die um 1 verminderte Zahl ist vo» durch 4 thcilbar d. h. eine Qnadratzahl kann weder die Form ci» An -}_ 2 noch An -f- 3 haben; und diejenige, welche nach Sub- traction der Einheit durch 3 thcilbar ist, ist immer auch durch 4 thcilbar, oder wenn sie nach Subtraktion der Einheit durch 4 thcil- 15° 228 bar ist, ist sie selbst durch 3 theilbar, oder sie ist selbst durch 3 uud durch 4, oder weder durch 3 »och durch 4 theilbar; da»» ist sie aber »ach Subtractio» der Einheit durch 3 uud durch 4 theilbar. Die vier letzte» Bestimmungen sind sehr schlecht ausgedruckt, auch ist der Tert an dieser Stelle fehlerhaft; diese Bestimmungen, welche übrigens unmittelbar aus den beiden erste» folge», sagcit so viel es sind im- nier zugleich .. m s m s — 1 entweder 1 —- uud — ; — 3 4 oder 2 —— und 4 nr — 1 3 oder 3 und 9il* "T oder 4 — I 3 Mtd ganze Zahle». No. 1 begreift die Zahlen bn - f- 3, No. 2 die Zahle» bn + 2, No. 3 die Zahle» b n und No. 4 die Zahle» bn-^r h wodurch allerdings alle Zahlen erschöpft sind. Besser siude» wir die ganze Sache bei Iamblichus >>. 126 ausgedrückt πΰ εράγ wo? ψοι ανδρεν ρίον εχει, η /ιη εχει., πάν γε έαρον, η εΐ ιιή χαι 7ονο ^ μονάδα άφαιρερείη εχ μεν ρίον εχονο έαρον εχονα. άποελε'ιει, εχ ε έαρον εχονο ρίον εχονα, εχ δε / ι,’ εερον, άμψερα. Εϊ ε ε'χοι άμφερα, εο'ιν ο ε ή άφαίρευΊ η μονάδα άμψοερν ερ!αχεί. Die Ausdrückt ρίον, έαρον sind von Tcmiulius, der an dieser Stelle gar nicht weiß, wovon die Rede ist, sonderbar falsch verstanden, indem er sie das dritte, das vierte Quadrat wiedergiebt °°. Eine zweite, aber auch die letzte Erweiterung der Lehre des Ni- komachus enthält daö Kap. Zl. ES heißt Griechisch περί πλενρι- χν χαι διαμεριχν άριΡμν. Der Inhalt ist folgender „So wie die Zahlen die Eigenschaften der Dreiecke, Quadrate, Fünfecke tt. s. w. in sich tragen, so finden wir auch das Verhältniß der Seite und Diagonale des Quadrats in ihnen ausgedrückt." Die folgende Darstellung ist nun bei Theo» nicht sehr lichtvoll, wenigstens trägt sie nicht dazu bei, das Bild zu inotiviren. Der Sinn ist der in dem gcomctrischeit Quadrate ist das Quadrat der Diagonale dop- i l 1 1 d g h sl d a li di F A lii A G u> gc "f m ge eil f in 3/ 62 Notae in .Tnmbl. p. 188. pclt so groß, als das Quadrat dcr Scitc. Das laßt sich allerdings in Zahlen nicht darstellen. Wohl aber kann man immer Paare von Zahlen finden, so daß das Quadrat dcr einen abwechselnd um 1 großer und um 1 kleiner ist als das doppelte Quadrat dcr andern. Solche Zahlen nun hat Theo» im Sinne, indem er lehrt, man soll von zwei Einheiten ausgehen, eine als Scitc, die andere als Diagonale betrachtend, und damt immer die Sumnic dcr Seite und Diagonale gleich einer ncucii Seite, die Summe dcr doppelten Seile und dcr Diagonale gleich einer netten Diagonale setzen. In der. That erhält man auf dem Wege immer Zahlcnpaare, welche die Ei- gcitschaft haben, daß das einfache Quadrat dcr einen von dem doppelten Quadrate dcr andern um 1 verschieden ist, und zwar stets abwechselnd großer und klciitcr. Von zwei Einheiten ist das klar, also sind sie die Anfangspunctc dcr Operation; und zwar ist das doppelte Quadrat der Seite um 1 größer als das Quadrat dcr Diagonale. NtM bilde man nach dcr vorgeschriebenen Regel die neue Seite — 1 -j- 1 — 2, die neue Diagonale — 2.. 1 -f-1 — 3, so ist — 8 ltm 1 kleiner als 3* — 3. Fährt man nun in dcr Anwendung dcr Regel fort, so wird die dritte Seite = 2 —f- 3 = 5, die dritte Diagonale — 2 . 2 -s- 3 — 7, ferner 5 -s- 7 — 12, -J- 7 c= 17 u. s. w. Fahrt man so beliebig weit, aber in gerader Anzahl fort, so ist die Summe der Quadrate sämmtlicher Diagonalen gcnalt doppelt so groß als die Sumrne dcr Quadrate sämmtlicher Seiten, und die Analogie mit dcr geometrischen Figur wird dadurch vollkommeit hergestellt. Diese Spielerei mit Analogien wird aber wichtiger, weitn wir sie vo>t ihrer wissenschaftlichen Scitc ins Auge fassen, uitd sie wird dann eine Methode, alle Auflösungen in ganzen rationalen Zahlen ztl finden, dercit die beiden Gleichungen 2/" -ch- 1 — u~ und 2 a 2 — 1. = if fähig find; und zwar sagt dcr Satz wenn m und n respektive für t und u gefitzt der ersten Gleichung genügen, so genügen m - f- n und { i»> + ii rcspcetivc für x und y gesetzt der zweiten Gleichung; und umgekehrt, genügen p und y für x imb y gesetzt der Gleichung -• t ' 2 — 1 = y~, so genügen p - st y und 2 p -}- y für * und // gesetzt dcr Gleichung 2,? 1 — U \ Gesetzt nun, man hätte für eine der beiden Gleichungen versuchsweise die Wurzelt! p und y ge- fmifccii, so hätte man daraus für die andere die Wurzeln p - ,/ tmb 2 p „„ jj ^ slrlu? ; wiederum für die erste die Wurzeln 'V + 2y und 4 p -f- 3y, und NUN abermals für die zweite 230 die Wurzeln lp - f- 6y und 10 p -}- 7,/ und so fort. Nun ergeben sich aber für die Gleichung 2 — 1 y l sofort die Werthe x — 1 und y — 1, daher erhalten wir nach Thcon'S Regel folgende Auflösungen beider Gleichungen X y t u 1 1 2 3 5 7 12 17 29 41 70 99 169 239 408 577 985 1393 2378 3363 u. f. w. Die Wahrheit der Theonfchcn Regel läßt sich sehr leicht beweisen. Denn wenn der vorigen Annahme gemäß p — t und ,/ — u die Gleichung 1 = u 2 lösen, d. h. wenn 2/> 2 - s- 1 = * -f- 4 py - ch- y 2 y — 2 / + 7 - Hat man dagegen gefunden 2w 2 — 1 — -r 2 , und man setzt in der Gleichung 2Ρογνίν ρίγνν, ν μεν Ιοκελών, ν δε καληνών, εν μεν οΐ Ιοχε- λειν ονκ αν ίοΐε ευ%οιμεν άζφμου εφα ιμαι αΐ πλενοι/Ά' 33 c Υπμνημα ει Ε weniger l." Ader keiner der genannten Auroren giebt uns irgend einen Wink darüber, wie man auf diese Auslosung obiger Gleichungen gekonnncu ist, vielmehr steht dieselbe in ihrem Resultate als ganz nackte Wahrheit da. Und nun noch einen kleine» Beitrag zur Geschichte der Geschichte. Thron 64 sagt κεψαλακδη κί ύνομον Λοη]θ’- μφO Cap. 1. p. 2. Eil. Hüll. >5 llist. Iv VAslrmi. ane. T. Π. p. 6U8. 232 Thcou's ouvragc n bciiucoup scrvi a Pscllus, qui s’cn cst tsiit 1’abbvcviateur. Nun wird diese neue Wahrheit auf Dclam- brc's Autorität hin wieder iu manches Buch übergehen, dessen Verfasser weder Theon's noch Pscllus Werk gelesen hat. Ich sagte, Bouillaud's Hypothese habe wenig für sich; denn ein so elendes mageres Werk, wie das von Pscllus sherausgegeben von Wilh. Lylan- dcr, Gricch. u. Lat. Basel 1554. kl. 8. konnte eben so gut aus jedem andcru Autor crccrpirt werden, als gerade aus Thron; es ist so schlecht, daß es die Alitorität, auf die es sich stützt, durchaus gar nicht verräth. Vielleicht fällt in diese oder die nächstfolgende Zeit das Alter eines gewissen ThymaridaS, dem die Mathematik manche» Zuwachs zu verdanken scheint. Wir kennen den Mann aber nur aus einigen Citaten bei Iamblichus 6r ’. Um von dem Unbedeutenderen anzufangen, so erwähne ich, daß Iamblichus zwei Definitionen von ThymaridaS mittheilt; die erste ist die die Einheit ist die tcrmiui- rcnde Große zieoaa’ovmx noamrfi p. 11; die zweite ist die, daß ThymaridaS die Primzahlen geradlinige, genannt habe p. 36, weil nur diese Zahlen allein sich nicht als Flächen, d. h. als Prodncte darstellen lassen. Wichtiger aber ist eine Regel des ThymaridaS, welche in die Algebra einschlägt, inid die Jambli- chus unter dem sonderbaren Namen des r-r äv^st\ daS Daran- blühcu, das Anhaften von Tcunulius florida scntcnlia übersetzt einführt. Es war nämlich vorher p. 87 gesagt worden „Bei der bildlichcit Darstellung der Polygonalzahlcn bleiben immer zwei Seiten dieselben, indem jede nach einer Seite hin verlängert wird /.irixwoftzvai jca£r’ ixamov die aber um diese liegen, werden durch das Hcrumsctzcn der Guomoucs eingeschlossen, indem sie sich immer ändern, eine im Dreieck, zwei im Viereck, drei im Fünfeck und so bis ins Unendliche fort, indem die Benennung der Polygone von der Anzahl der veränderten Seiten immer tim 2 diffcrirt." Und da heißt es denn nun p. 88 weiter „Daher ist auch die Methode des Epanthcma von ThymaridaS entnommen. Wenn nämlich gegebene und uubckanntc Grüßen sich in eine gegebene theilen sd. h. zusammengenommen dieser gleich sind, und eine von ihnen mit jeder 66 Oommvut. i» Nicom. p. 11. 36. 88. 91. 95. Vita Fytliag. c. 23. 28. Rcceiis. l’j'tliag. c. 33. 36. 233 andern zu einer Summe verbunden wird, so wird die Summe alter dieser Paare nach Snbtractiow der ursprünglichen Summe, bei drei Zahlen, der zu den übrigen addirtcn ganz zuerkannt gleich gesetzt, bei vieren deren Halste, bei fünfcn deren Drittel, bei scchscn deren Viertel, und so fort." — TcnnulinS hat, wie aus seiner völlig sinnlosen Übersetzung hervorgeht, den an dieser Stelle sehr verstümmelten Text nicht verstanden, und auch sein sonst ausführlicher Commentar ist nicht im Stande ihn an dieser Stelle gegen den gemachten Vor- wnrf zu vertheidigen 67 Um meinen Lesern ein Exempel zu statui- rcit, wie dieser Herausgeber seinen Autor behandelt, schreibe ich die kurze Regel des Epanthcma, die ich so eben deutsch gegeben habe, nach des Tcnnulius Text und Übersetzung hier ab η έφοδο Λΰ Θυ- μαζίδίου εΛανΡιμαο εληψΡη. ' μενών γαο η άαοίο'ν με. οια. μενών οιμενον ι, καί εν ούινοονν οΓ λοιίοΐ w,?’ έκαον ννερενο, ο εκ, ζΑν- ν dp-QoiuPtv πλίθο, έπί μεν Qi ν μεά ην εξ άοχη δοιρεΐαν Λοηα ολον Ζ νγχ^ιρέν ι ι^οανεμει, άψ ον ο λοιπν χαρ' έκαον ν λοιίν αφαι- ^εΡηεαι, επί. δε εάον ο η.ΐιο"υ, καί επί πένε ο tq>- ον, καί επί εξ έαρον, καί αεί ακολούθ. Hätte Tcnnulius zum Besten Ilinc ctinni cognoscitur ratio floridae sententiae, quam tra- didit Thymaridas. uni enim, ait, linita vel indefinita dividunt aliquid definitum, et unum quodlibet singulis reliquis apponitur, cumulata ex omnibus multitudo, in tribus quidem post priorem definitam quantitatem, totum attribuit concreto, a quo reliquum secundum singula reliqua auferetur, in quatuor vero dimidiam, in quinque tertiam, iu sex quartam partem, et ad eandem sequentium in omnibus proceditur. dcrcr, wclchc uicht Gricchisch vcr- 67 Der ganze Commentar, den er zu dieser Stelle giebt, die nianchc llele- gcnhcit zu Erlänterungen darbot, ist folgender p. 171. 'Sigio/Avar auctor liic usque ad pag. 06 . demonstrat proportionem enjusque polygoni ct laterum lutandorum. — ’Exl f u,v tquSv \ in tribus est illiquid definitum. — ’ to TsraqTov quia sexanguli gnomon continet quatuor latera. Diese tui Notizen sind ein wahres Muster von Commentar, besonders die zweite; Tcn- uulius hat wieder nicht einmal von ferne gewittert, wovon die Rede ist. stehen, die Griechischen Wörter mit Lateinischen Buchstaben geschrieben, so wären dieselben eben so gut daran gewesen, wie jetzt mit seiner Lateinischen Übersetzung. Was nun den Tert anlangt, so muss es zlniächst iivevpev statt irraZpev heißen; die aber in der Mitte ausgezeichnete Stelle ist nach einigen Änderungen und Umstellungen so JU lesen /i£7 xcxp' ekomtov 7Zv konuZv cruyxo;- P^wi TtQocrvej-iercu, litt 6s 7 E, x -f- y — //, so ist x — b -J- b' — u 68 ; werden vier Größe» gesucht, also + y + y + y — , x + y — b, x + y = b', h 4- // 4- b' bei fünseil x x - y' — b", so ist X — h + />' + h" + 11" und so fort. Daß dieser Sinn, den ich dem Epanthema untergelegt habe, der einzig ricbtige ist, beweist Iam- blichus selbst, indem er die Regel gleich hinterher an zwei Beispielen erläutert, von denen ich eines mittheilen will. „Daß aber dieses Epanthcma nicht müßig dasteht sondern auch auf eine arithmetische Regel Bezug hat, und tlns zu einer sehr zierlichen Methode der Auffindung führt, wollen wir so darthun. Es sei uns zlnn Beispiel ausgegeben, vier Zahlen ju finden, so daß die erste sammt der zweiten doppelt so groß sei, als die dritte und vierte zusannncu, 68 Addirt um» nämlich die beiben lelzlc» Gleich»,,gen, so wird x + .t 4 - y y — h 4 " //, oder x 4 " V 4 " !/' — a > also x 4 - u — b 4 " b und x = b 4- h' — . Ähnlich bei den folgenden. 235 die erste und dritte dreimal so groß als die zweite und vierte, und auf ähnliche Weise, die erste und vierte viermal so groß als die beiden mittlern, nämlich die zweite imb dritte zusammengenommen, alle zusammen aber fünfmal so groß, als eben diese beiden mittlern was unmittelbar aus der vorigen Bedingung folgt." Jamblichus wird bei der Ausführung dieser Aufgabe etwas wcitläuftig; ich will kurz den Inhalt angeben, ohne an dem Wesentlichen seiner Methode etwas zu ändern. Da hier ein Doppeltes, ein Dreifaches, ein Vierfaches und ein Fünffaches gebraucht wird, so setze ich die Summe der vier Zahlen gleich — 120. Da nun die Summe der beiden ersten Zahlen gleich der doppelten Summe der beiden letzten ist, also die dreifache Summe der ersten beiden gleich der doppelten Summe aller vier Zahlen wenn man nämlich zu beiden Seiten die doppelte Summe der ersten beiden addirt, so multiplicirc ich die 120 mit 2, und dividire das Product durch 3, so habe ich den Quotienten 80 als Summe der ersten beiden Zählen. Weil ferner die erste und dritte gleich dem der dreifachen Summe der zweiten und vierten, also die vierfache Summe der ersten und dritten gleich der dreifachen Summe aller vier Zahlen ist, so multiplicirc ich 120 mit 3, und dividire das Product durch 4, so ist der Quotient 90 die Summe der ersten und dritten. Auf dieselbe Weise erhalte ich, wenn ich 120 mit 4 multiplicirc und das Product durch 5 dividire, den Quotienten 96 gleich der Slnumc der ersten und vierten Zahl. „Da nun," fährt Jamblichus fort, „die vier Zahlen in ihrer Verbindung gefunden, aber noch nicht einzeln geschieden sind, so giebt uns den Weg zu ihrer Absonderung von einander das Epanthcma des Thymaridas an die Hand. Wen» wir nämlich die drei Summen ad- dircn, das heißt 80, 90, 96, und von dieser Gcsammtsumme, 266, die anfangs gegebene „in die vier Zahlen getheilte" Summe 120 subtrahircn, so erhalten wir den Rest 146, und dieses Restes Hälfte, weil nämlich vier Zahlen gegeben waren, giebt die zu den übrigen addirtc; diese Hälfte °° aber ist 73, und das ist die erste Zahl, ihr Rest von 80, nämlich 7, wird also die zweite, ihr Rest von 90, nämlich 17, die dritte, und ihr Rest von 96, nämlich 23, die vierte 69 Der Schluß von hier e>» ist im Griechische» Tcrlc p. 92. wieder sehr verstümmelt,- da die Hauptsache aber heisst, und das Übrige mir als ein Anhang 1» betrachte» ist, so mag ich mich bei der Cerrcclur nicht anfhallcii. Zahl sci». Dieses sind die kleinsten Werthe i» ganzen Zahlen, welche die gegebenen Verhältnisse beobachten; wen» man sie durch eine beliebige Zahl dividirt oder mit einer solchen mnltiplicirt, so werden die dadurch entstandene» Zahlen ebenfalls der Aufgabe genügen. " Diese Auslosung ist so einfach und leicht, daß ich es nicht für nöthig halte, unsern modernen Augen ;» Gefallen die gegebenen Worte in algebraische Zeichen zn übersetzen. Es ist hinreichend, wenn ich durch Mittheilung dieser Auflösung die Richtigkeit meiner Deutung des Epanthcma nachgewiesen habe. Wichtiger aber noch als der Inhalt dieser Regel ist deren Form, weil darin bereits von bekannten und unbekannten Größen die Rede ist. ’ Aoqiotoder begrenzte» oder gegebenen Zahl. Also hat man vor Diophant reine algebraische Operationen gekannt, das heißt, man hat mit einem allgemeinen Ausdrucke für die Unbekannte umzugehen gewußt — wenigstens in Worten. ES folgt aber aus dem Epanthcma nicht als durchaus nothwendig, daß man die Unbekannte auch durch ein allgemeines Zeichen ausgedrückt habe, wie Diophant es thut. Jedenfalls aber ist dieses Epanthcma ein herrlicher Fund für die Geschichte der Algebra. Außer dieser interessanten Mittheilung über Thymaridas enthält der Commentar des Iamblichus wenig Neues, einige einzelne Bemerkungen abgerechnet, die ich kurz erwähnen will. Jede Zahl mit einer der beiden ihr zunächst liegenden gleichartigen d. h. gerade mit geraden, ungerade mit ungeraden mnltiplicirt, giebt, wenn man zu dem Producte 1 addirt, ein Quadrat, und zwar geben ungerade Zahlen gerade Quadrate und gerade Zahlen ungerade Quadrate 70 . Das heißt, a a + 2 -s- 1 — + l 2 . 70 I’ag 127. Diese Stellt sieht bei Tcnilulius ganz und gar wunderbar aus. Sie schließt sich nämlich immlitelbar an die oben bei Gelegenheit Thcon's über die Thellbarkelt der Quadrate durch 3 und 4 mitgetheilte Stelle an, daher ich hier deren letzten Satz wiederhole. Ei 6t a/upoi'fga, taiiv oVs atpaij£fftg ? uOl'aöos’ ilfi cpoJ'eQCOv G'i'ZdfsyZi , y al arfag i/inp-uu^ tov 6/sit" tfisyoi’j'a. ta ixafsQix. c O>o j'eq ov ouv oiioytvij MoXXaxXaaidaai jiiQvdSai XEj'tidycnvov rf ottt, Äf^tcrcrol 7 2...3...4...5..' Es ist dieses eine ;n weite AuSspinnung des ganz angenehmen Witzes über die Quadratzahlcn, um die sich allerdings schon Mancher müde gejagt und gerechnet hat, ohne gerade immer bis an die vvurffa zu gelangen. 239 Pag. 124 — 126 enthalten Bemerkungen, welche eine etwas tiefere Einsicht in das Dccimalspsicm verrathen, indem hier die Potenzen von 10 als ebenso viele Einheiten höherer Ordnungen erschci- ncn. Ich will die Stelle, obgleich sie nach Jamblichus Manier in ihrer Wcitlänftigkcit manchen unnützen Zusatz enthält, wörtlich übersetzen „Eine bedeutende Auszeichnung bringt der Dekas die nach dem eben beschriebenen Doppcllauf Slavloq ist eben jener Circus angestellte Bildung der Quadratzahlcn, wenn man in der ersten Zah- lcnsiufc, welche die Zahl begrenzt, von der Einheit bis zu dieser fortschreitet, und wiederum von ihr, als einer Zahl, welche die Einer von den Zehnern absondert, zurück, gleichsam von einer Einheit zu einer andern. Es entsteht nämlich aus der Dekas, gleichsam durch Zusanimcnrcihlnig 71 , die Quadratzahl 100, die ebenfalls ein Grenz- glicd ist zwischen den Zehnern und Hunderten, und von den Py- thagoraern die Einheit des dritten Ganges /.iovou; rgm- genannt wird, gleich wie die Zehn die Einheit des zweiten Ganges SevTEgcoSovfuvri . Die Seite des Quadrats 100 wird eben die 10 sein, und ihr Quadrat die Summe, welche entsteht, wenn man zu ihr alle vorhergehenden Zahlen, doppelt gc- nomme», addirt »ct Svva/.u; ocOrrjy ro crri^x>-gaXcc>i/t rrji, ixi ruvT'n 7Zv hvo; avjvi; doi^-iuZiv Si; . etmv . So nämlich gleicht, wie ich gesagt habe, diese Aneinanderreihung der Zahlen dem Wcttlanf auf der Rennbahn, sowohl hinsichts des Auslaufens von dem Anfange, gleichsam aus der Schranke, als auch hinsichts der Rückkehr von der Säule, gleichsam von dem Wende- pfeiler. Wenn wir aber die DckaS nicht mehr als Wcndepfeilcr, sondern als Schranke gebrauchen, und der Ansang des Auslaufs von ihr bis zur Hckontas geschieht, von welcher wir wiederum bis zur Dekas zurückgehen, so geht aus der Addition als erste Zahl 6 *81e * 'w> ^ T SvÄSos H, ", Wrltncht ist zu lesen Vag Tennulius auch so slclcfcn, “*° S MQayavot aw° s ^ stwt Äbersetzung unzu- dst abdruckt, Werte atso nur riet, nn,nor»8 gun^. , nt " n jX denartn dum _ c j ncm Komma geworden, »>is UM. ii-s wäre tfinuact mit tut Drucke J uud die Worte ck-rä a-uvpeacca? in eins zusummcngcluuscu. 240 dcn Hunderten und Tausenden ist im Tcrte fivgidSaw fehlerhaft fi'ir aber die Quadratwurzel der Zahl 1000 ist nicht 100; denn 1000 ist gar keine Quadratzahl, sondern ein Kubus von der Seite 10. Um sie aber in der Ebene als Parallelogramm rrmvi^xixcx, darzustellen, werden ihre Seiten 100 und 10 feilt, so daß es klar ist, daß die Hundert noch der Zehn bedarf, um eine Seite zu werden, mystisch. Wenn wir wiederum von der Hundert als Schranke ausgehen und die nach ihr folgenden Hunderter addircnd bis zu 1000 fortschreiten und von da als Wcndcpunrt ebenso wieder bis zu 100 als Ziel zurückgehen, so ist die Summe 10000 eine Einheit des fünften Ganges iwmoSou/uVi'] die als Quadrat die Seite 100, als Parallelogramm die Seiten 1000 und 10 hat. So bedarf die Zehn, um in dieser Nachahmung des Wcttlanfs Seitenzahl zu werden, keiner der übrigen Grcnzglicdcr, ich meine der Hundert oder der Tausend; diese dagegen, damit ihnen dasselbe zu Theil werde damit sie Seitenzahlen werden, bedürfen durchaus der Zehn; daher ertheilen wir gerade ihr dieses Lob." Es ist also bildlich dargestellt 1—2—3—4—5—6—7—8 — 9-^ 10 = 100 = 10-10 1—2—3 — 4—5—6—7—8—9—^ 10-20-30-40-50-60-70-80-90 100 = 1000 = 100 - 10 10-20-30-40-50-60-70-80-90^ 100-200-300-400-500-600-700-800-900^ 1000 = 10000 = 100-100 I00-200-300-400-500-600-700-S00-900 J = 1000-10. Jamblichus scheint nicht bemerkt zu haben, daß dieselbe Erscheinung sich bei jeder andern Zahl zeigt, und daß sie nur insofern ein eigenthümliches eyx&Vuou der Zehn ist, als deren Potenzen die Grenzen in der Reihe der gewöhnlichen Zahlensysteme abgeben. Dcn» da die Summe der Zahlen von 1 bis und von da zurück bis 1 gleich 2 ist, so ist nothwendig dieselbe Summe, wenn man jedes Glied mit a multiplicirt, das heißt, tvcim mau von a die Vielfachen durchlaufend bis 2 und von da bis zurückgeht, gleich 3 u. s. iv- 241 u. s. w. So ist z. B. der Kubus 125 aus der Summation folgender Rennbahn entstanden 5 ... 10 .. . 15 ... 2» ,. ,,, l,; ’ 25 5 ... 10 ... 15 ... 20' was ganz dasselbe ist, als wenn ich die Summe der Rennbahn 1 ... 2 ... 3 ... 4 . . 5 1 ... 2 ... 3 ... 4 . . ' welche gleich 25 ist, mit 5 multiplici. Indeß wird Iamblichus durch diese Darstellung der Zehn und ihrer Potenzen als Einheiten höherer Ordnungen auf folgenden hübschen Satz geführt p. 145. 146 Wenn man die drei Zahle» 1, 2, 3 zu einander bbirt, so erhält man die Summe 6. Dieselbe Summe erhält man durch die Addition jeder folgenden Copulatio von drei Zahlen, ohne eine jll überspringen oder doppelt zu nehmen, wenn man immer statt der Zehner ihre entsprechenden Einer setzt, oder die Zehn als eine Einheit höherer Ordnung betrachtet, was Pythagoras, wie oben erwähnt, gethan hat. Επε δε ί^άδο απο ελεαική ίαιν ή rtgoinj παρ’ ουδ εν αχ μονάδα αχ ιξυγία, ή Λζάη u. β. γ είδοχοιήαει ά ε^ αυή, μηδεν ορού κοινού λαμβανομενου , μηδε μην παχαλλειπο/.ιενον , άλλα μεά, ην α. β. γ λαμβανομευη η δ. ε. ? , εία ξ, η, ϊ καί ε^ άχολούβ. ΙΙάαι γάο ανο,ι ιάδε γενίμοναι , μεαλαμβα- νονη ον μονάχο πον άει η δεκάδα , ονεάιν, ει μονάδα αναγμενη. Wir würden bcii Satz so ausdrücken Wenn man drei aufeinander folgende Zahlen, deren größte durch 3 thcilbar ist, zu einander addirt, von der Silinme die Ziffcrnstunme, von dic- scr Ziffcrnsumme abermals die Ziffcrnsummc nimmt, und so fort, so kommt man endlich immer einmal auf eine Ziffcrnsummc, welche 6 'st- Z. B. 907 -j- 998 -s- 999 — 2991 2 -j. 9 -_ 9 + 4 = 24 2 -f 4 = 6 I. 16 242 Solche Vorstellungen waren für die Griechen umständlicher und schwieriger, als für uns, weil sie das Bild unserer Ziffern nicht vor dem Auge und im Sinne hatten, sondern wirklich erst eine Umgestaltung der Zchit zu einer Einheit vornehmen mußten, indem sie statt 7, μ statt 7 u. s. w. setzten. Als Privatansicht des Jamblichus führe ich mir noch an, daß er die Zahl 2 für keine Primzahl hält. Er sagt nämlich 42 / KuVTavSru δε δ Ευκλείδη χοοδηλΰαον χαζίχει, " ,,ν υά'α ν TtQwtiov χοίι hjvvp-ironi αιμενο είναι, επει μιηι μί^ χφραι, εκλελμμίνα, δι ή μεν ον υμίου είδου είυ. „Auch hier legt EuklidcS einen ganz augenscheinlichen Irrthum an den Tag, indem er die Zwei für eine Primzahl hält, weil ihr einziges Maaß die Einheit ist, und übersehen hat, daß sie zu der Klaffe der geraden Zahle» gehört." Nach Nikomachus I, 11 aber gehören, wie wir oben gesehen haben, die Primzahlen zu den ungeraden. Hier niüssen wir denn aber doch den Vater EuklidcS gegen Jamblichus in Schliß nehmen. Aber es ist Zeit, diesen Gegenstand zu verlassen. Wir sind nachgerade in eine Periode gerathen in welcher wichtigere Dinge unsrer warten, nämlich in das muthmaßlichc Zeitalter DiophantS, und ich will nicht länger säumen den Leser in die Darstellung zunächst der äußern Schicksale dieses in jeder Beziehung merkwürdigen Mathematikers und seines berühmten Werkes einzuführen. Aus einem doppelte» Grunde dagegen lasse ich alle späteren Griechischen Arithmcti- kcr alten Stvls hier unberührt, cincstheils, weil seit dem vierten Jahrhundert in Griechenland nichts mehr ist erfunden worden, lind die späteren Werke immer mehr zu bloßen Coiiipilationcn schon bekannter Sachen aus älteren Werken hcrabsinken, andrerseits aber, weil ich überhaupt die Geschichte der Griechischen Arithmetik hier nur aus dem Gesichtspunete aufgefaßt habe, insofern die Diophantischc Algebra auf sie als Vorarbeit sich gründet. Darum jetzt genug davon. Sechstes Kapitel. Historisches über Diophantus mid seine Schriften. des allgemeinen Interesses, dessen das Werk Diophant's seit dem ersten Augenblicke seines Wiedcrcrschcincns in Europa sich bei allen Mathematikern zn erfreuen hatte, ist es bis jetzt weder gelungen, das über dem Zeitalter und den allstem Lcbcnsvcrhältnisscn des Verfassers verbreitete Dunkel zu zerstreuen, noch hat man vermocht, den Inhalt seines Werks, welches von den übrigen mathematischen Schriften der Griechen so gailz abweichend ist, mit den frühern Erzeugnissen dieser Nation in einen innern wissenschaftlichen Zusammenhang zn bringen. So sehr wir indeß den erstgenannten Mangel bedanern, so wenig Grund haben wir uns über dieses Dunkel, in welches die Person des Verfassers gehüllt ist, zu wundern. Aus demselben Errulde nämlich, aus welchem es geschah, daß Diophant gerade der letzte der Griechischen Mathematiker ist, der den Euro- Päcrn nach dem Wiederaufblühcn der Wissenschaft bekannt wurde, aus demselben Gnmde, sage ich, war er der erste, den seine LandS- Icute vergaßen, und ist ihnen eigentlich immer verborgen geblieben, so daß sie uns keine Notiz über ihn hinterlassen haben. Und dieser Grund ist bei den Einen wie bei dm Andern kein anderer als der, daß man sein Werk nicht verstand. Euklid's Elemente haben sich in hundert und abermals hundert Abschriften erhalten, von Apollonius Kegelschnitten sind nicht zufällig gerade die letzten vier Bücher verloren gegangen, sondern darum, weil sie zu schwer waren; und indem wir bedauern, daß das Werk Diophant's in so wenigen noch überdies unvollständigen und uncorrcctcn Exemplaren uf unsere Zeit gekommen ist, können wir uns auf der andern Seite gratulircn, daß wir überhaupt irgend etwas von ihm dem allgemeinen Schiffbruche abgewonnen haben. 16 * 244 Die Zweifel über Diophant beginnen, wie Cossali ' geistreich bemerkt, bereits bei der letzten Sylbe feines Namens. Man weiß nicht recht, ob er Aiocpavroc; oder AKxptivrriq geheimen. Die Ma- nuscriptc zeigen den Namen nur im Genitiv, A/aq>ur>ron, der die Endung des Nominativs unbestimmt läßt. Irr den Ausgaben von SuidaS Wörterbuch steht in dem Artikel 'Tu!/, auf den wir sogleich noch einmal zurückkommen werden, der Accusativ Atofptiivur, aber Dachet 1 2 versichert, daß zwei vorzügliche Pariser Handschriften Aioyawov lesen. Außerdem hat SuidaS den Artikel A/öcpu^np, cwofxa xvotov, nicht aber Atocpavn-fi-, in einem dritten Artikel dagegen, ArSuwoq, wo der Name Diophant auch vorkommt, steht wieder der unglückliche Genitiv. Dazu kommt, daß uns mehre . Männer im Alterthum mit Namen Diophantos bekannt sind, aber kein einziger DiophantcS, wenn auch nicht, wie Dachet am angeführten Orte fälschlich behauptet, AtoyavT^q eine »»griechische Form jst; man braucht gegen diese Behauptung nur an Sitxncpdrrry;, ' isoo- pavrrjt; etc. jit criuncvn. Ich will hier noch folgendes erwähnen. Als Autorität für die Form auf rt^- wird häufig Pococke in seiner Übersetzung der Geschichte der Dynast!cir von Abulfaraj angeführt, wo er allerdings zweimal Dioplmntes schreibt. Man hätte aber statt dessen besser gethan, daö daneben gedruckte Original zu berücksichtige». Abulfaraj erwähnt unsern Autor zweimal, einmal p. 141, wo er uwiaisjjo Ot03SYH schreibt, also die letzte Sylbe in cknl'io läßt, das zwcitcmal p. .888, wo er ganz unzweifelhaft DIEMaVH schreibt. Demnach ist Abulfaraj gerade umgekehrt eine Autorität für die Form Diophantos, und das um so mehr, als auch die Lescart obgleich sie den Vocal der letzten Sylbe nicht ausdrückt, doch immer mehr auf die Griechische Endung oa, als auf die Endung »m* deutet, welche letztere die Araber gern durch ^ is wiedergeben 3 . Der Verfasser der liiblio- 1 Origine dell’ Alg. T. 1. p. 01. Sn la dcsinctiza del nome cia la diversitä tra gli scriltori. 2 Diopb. Alex. Aritlim. Paris. 1621. — Epist. ad Lcct. p. 1. 3 So beißt j. SS. Nikomachus {JM J, U yLß Abulf. p. 94. Casiri I. p. 390 j ebenso Augustus Paulus neues Rrpcrt. I. 1^2. Autolptus jL} s Aristarchus j*o> Garz de interpreti. B uC *' 245 theca pliilosophoi'um ki Casiri * * * 4 5 schreibt, wie Abulfaraj an der ersten Stelle, Unter den alteren Autoritäten ist noch Bomklli zu nennen, der in der Vorrede seiner 1572 herausgegebenen Algebra Italienisch Itiostmto schreibt, also Griechisch A/ocpixvrr^ voraussetzt. Aber Xulandcr schreibt Diophautus, ebenso Dachet, und diese ninthmafilich richtige Form des Namens hat denn anch j„ neuern Zeiten den vollkommensten Sieg über ihre Nebenbuhlerin davongetragen. Wichtiger sind die Uutersuchungcit über Diophant's Zeitalter. Ohne Angabe eines Motivs setzt ihn Abulfaraj in die Negicrungs- zcit des Kaisers Jnlianus Apostata 361—363, eine Annahme über welche wir weiter unten mehr sagen werden. Ebenso willkühr- lich läßt Bombelli ihn umcr Autoninus Pius 138—161 leben, und obgleich man auch das Fundament dieser Annahinc nicht kennt, so haben sich doch Bombelli's Ansicht Jacob de Billy, Biancanus, Vossins, Dcchalcs, Heilbronncr und Andere angeschlossen. Dachet hält unsern Autor für identisch mit einem Astrologen dieses NanicnS untcr TibcriuS 14—37, den Lucillius in einigen Gedichten der Anthologie lächerlich macht,- aber auch diese Annahme ist willkühr- lich, indem sie sich bloß auf die Gleichheit des bei den Griechen nichts weniger als ungewöhnlichen Namens stützt; dagegen ist die Annahme der Indcntität unseres tiefen Mathematikers mit jcncin elenden lächerlichen Astrologen des Ersteren unwürdig . Stcvi» Arab. p. 2. chlpparchus Casiri I. woraus die sonderbare In altern aus Arabische» Quellen gestoßenen astrouoiiiischeii Schriften sich findende Verstümmelung Abraetns entstanden ist. Dagegen heißt Archimcdcs ^ CmpedofteS , Aristoteles Abulf. p. 50. 64. ». s. w. Eine große Conscgucnz muß nia» indeß hierin nicht suchen; Euklides heißt immer ohne 1 oder und so manche andere. Sonderbar entstellt findet man den Namen unsers Autors in Baucr's Übersetzung des Abulf. Th. 1. S. 129., nämlich in Diophantra, ohne daß diese Schreibart in dem zahlreichen Druckfeblerverzeichiiiffc als solcher aufgeführt wäre. Dagegen schreibt Bauer an der zweiten Stelle richtig, dem Arabischen Texte, nicht Pococke, folgend, Diophantus. II, 9-2. 4 T. 1. p. 371. 434. 5 Über alle diese erwähnten Angaben vergleiche Ahulfar. bist. lyn. p. 94. — 11. Bombelli Algebra praef. — J. Biancanus, chron. Matli. p. 51.— G. J. f'ossius dc miivcrs. Mall, mit. ct coust, p. 432. — Backet Diopb. 246 endlich setzt ihn gar nach Mohammed den Musa, dem bekannten Arabischen Algcbristcn im Anfange des nennten Jahrhunderts * * * * * 6 7 Wollen wir es über uns nehmen, in diesen bunten Wirrwarr einiges Licht zu bringen, so müssen wir uns durchaus vorher nach neuen Elmtenten zur Bestimmung des möglichen Zeitalters unseres Autors umsehen, deren wir zum Glücke nicht ganz entblößt sind. Zlmächst kommt uns für den Augenblick sehr willkommen das einzige Citat eines früheren Mathematikers, welches in Diophant's Schriften sich findet, nämlich des Hypsiklcs im achten Satze der Schrift über die Polygonalzahlcn. Leider aber kennen wir auch das Alter des HvpflklcS nicht genau. Er ist jedenfalls jünger als Apollonius, den er in der Vorrede zu seiner Schrift über die regelmäßigen Körper, welche gewöhnlich fälschlich als das vierzehnte und fünfzehnte Buch der Euklidischen Elemente erscheint, citirt. Ferner nennt Hypsiklcs im fünften Satze des zweiten fünfzehnten Buchs seinen Lehrer Jsi- dorus, in Ausdrücken, die auf einen berühmten Mann dieses Namens schließen lassen ', und dieser Umstand macht es nicht unwahrscheinlich, daß der hier genannte Jsidorus einerlei sei mit demjenigen, von dem Suidas unter diesem Artikel sagt 'Ιίδρο φιλοφο ο ίψιλοφιιε μεν υπ οΐ άδιλφ οΓ, είπερ ι άλλο , εν οΐ μαρψιαιν. Was soll die Redensart heißen öl 710 οΐ άδιλ- cpoty? Fabricius 8 macht hier die zwar gewagte, aber nicht ganz verwerfliche Conjcctur, Jsidorus habe unter den beiden gemeinschaftlich Arithmct. cpist. ad Lcctorom. — Cossaii origine T. 1. p. 62— 65. — O. Schulz Dioph. arilhm. Sliifg. Borr. S. V—XV. — Heilbronner bist. matli. p. 338—340. — Montucla liist. des Math. T. 1. p, 320. — Je- c/wlcs curs. Math. T. 1. p. 30. — Frobesii introd. in matli. p. 126. — Chr. Wolfs kurzer Untcrr. v. Math. Schriften S. 34. u. s. w. 6 S. Lcs Oeuvres Malhem. de Sim. Stevin, augm. par Alb. Gi rard. Leyden. 1634. fol. T. 1. p. 62. Stevin nennt hier unter der Überschrift Dos inventenrs de ees rciglcs de trois des juantitcz Mohammed den 2>iusa den Erfinder der quadratischen Gleichungen, und fugt dann hinzu Quant ä Diophant, il scrnhlc qu’en son temps lcs inventions de Muhoinct aycid seulcmeut cst6 cognues, comme sc peult völliger do ses six premiers livres. 7 Er sagt nämlich εΐ’ }νγχανον δε αμ,ψοε^οι επί Θεοδοίου βαιλε ου πεβυεου' εγαψε μαιεά* ’Agi^iijTixoi etc. Ullb UlltCC PappIIs! Ιΐάππο ’Αλίανδευ, φιλυοφο γε γονι vara ον ^κβύ>ον βαΰιΜιΐ Θεοδιον, οε ναι Θεών Ο φιλοφο ηνμα^ιν, γ>άψα ει ον Ιΐολε/χαίου ν,αννα. der Zeit gelebt habe», als die Mathematik der Grieche» bereits ihre» Grabesgang zu gehe» anfing. Nur daraus laßt sich das für die Fortbildung der Grieche» nioralische Nichtvorhandensei» sciucs Werks erkläre». Hätte Diophaut i» einer früher» Periode gelebt, als der wissenschaftliche Geist des Volks »och regbarcr und empfänglicher war, wie hätte da ein Werk, welches der Wissenschaft eine» so ganz neue» Schwung zu gebe» geeignet war, so völlig unbeachtet und einflußlos bleiben können. Denken wir nur an den ungeheucru und fortdauernden Einfluß, den daö viel weniger bedeutende Werk von Nikomachus auf die geistige Thätigkeit der Griechen ausgeübt hat. Setzen wir aber Diophaut in die Mitte, oder gar gegen das Ende des vierten Jahrhunderts, so wird seine isolirtc Stellung zur Griechischen Mathematik dadurch vollkommen erklärt 17 . Nun ist er der letzte scibftständig schaffende Geist in der Reihe der Mathematiker seiner Nation. Er steht bereits in der Zeit der Commcntatorcii und Sammler-, deren Auftreten auf die Bühne im- 17 Vossut würde sich wunder», wenn er diese Stelle meiner Geschichte leise; denn er kennt unzählige Griechische Eommentare »der Diophaut. Er sagt nämlich I, 9 lAuuteur a c» pnrmi les anciens wie foule d'intreprdtes, dont les ouvrages sollt In plupnrt perdus. Noiis regrcttons, ilmis cc nnmhre, le cmmnriitairc de la cdlebrc Hipathia sie!. Schade, das; ich Herrn Vossut nicht fragen kann, 1 woher er die Nachricht hat, und 2 welches denn die noch vorhandenen Eommentare der Alten über Diophaut sind, da doch, wie er sagt, nicht alle, sondern nur der größere Theil derselben verlören gegangen. Die einzige Nachricht, die wir vielleicht von eiiicni alten Eommentator über Diophaut haben, ist die bereits gewürdigte Stelle bei Suidas. Außerdem ist nur eine Arbeit der Art bekannt, nämlich dir Schollen des Mapimns Plann des, die aber erst aus dein vierzehnten Jahrhundert herrühren. Das ist also die foule d'intrc- protes parmi les anciens, nämlich ein einziger unter den Neuern.— Alan verstehe mich übrigens nicht falsch, als wollte ich mit Diophanl's Jsolirung soviel sagen, daß er den Alten nicht bekannt gewesen sei. Ich habe nur seine» Einfluß auf die geistige Richtung des Volks und sein Einwirken auf die Fortbildung der Wiffenichast im Auge. Daß er den Griechen bekannt, und als großer Arithmetikcr bekannt geweicn, beweist eine Stelle, die Vossius de iiniv. inatli. mit. et ooust. p. 432 citirt, und die ich nicht habe nachschlagen können; Vossius sagt nämlich luanti jum olim Imbitus sit Diopbanhis, arguit, quod eum cum l'jtlia- gora conjungat Joannes patriarchn llierusohjmitunus, in vita Jo. Ia- mesccni, ubi, cum Damasceni ct Cosmae in Arillimcticis peritiam vellet cxtollerc, Itunc in inoduin ait p. 683. ed Uns. , Ava%oy'ag . S. IX. 253 ntcv auf bcn wissenschaftlichen Ruin des Volks hindeutet. Die Mathematik wurde überhaupt nach seiner Zeit nicht mehr fortgebildet, darum konnte er auch keinen Einfluß auf die Fortbildung derselben mehr haben. PappuS und Theo» sind die letzten große» Mathematiker der Griechen, und auch diese, für ihre Zeit zwar Heroen, treten weniger selbst schaffend als ordnend und erklärend auf. Dazu kommt noch, daß der falsche Christencifcr des Kaisers ThcodosiuS ein Ercig- niß herbeiführte, welches für die Mathematik, wie für die ganze Wissenschaft aller Zeiten von nie genug zu beklagende», Einflüsse war, nämlich die Zerstörung der Bibliothek zu Alerandrie», wodurch dem bereits immer nichr und mehr zum Alltäglichen sich verflachenden Geiste der Gelehrten auch noch die ällßcrcn Mittel zu ihrer wissenschaftlichen Attsbilduug geraubt wurden. Dieser sonst energische und weise Regent nämlich, umgeben und verleitet durch orthodorc Pfaffen, gab im Jahre 392 den unheilvollen Befehl zur Vernichtung aller heidnischen Tempel in dem ganzen Umfange seiner Herrschaft. Ein Opfer dieses Befehls ward auch der Scrapistcmpcl zu Aleran- dricn, in welchem sich seit der Einäscherung des BruchcionS während der Belagerung Alerandriens durch Julius Cäsar, die große von den Ptolemäcrn gegründete und durch die Freigebigkeit der Römischen Kaiser vielfältig vermehrte Bibliothek befand; die der Wissenschaft unersetzlichei, Schätze wurden ein Raub des fanatischen durch Priester angeführten christlichen Pöbels, desselben Pöbels, welcher drei und zwanzig Jahre später, im Jahre 415, von einem christlichen Bischöfe, Cprillus, angefeuert, die ebenso gelehrte als liebenswürdige, aber noch dem Hcidcnthum anhängende Hypatia auf öffentlicher Straße im eigentlichsten Sinne des Worts in Stücke zerriß und die Fetzen ihres Leichnams in allen Gassen der Stadt herumschleppte. Vergebens sind die Bemühungen gewesen, wenigstens eine dieser Gränelthatcn, die das Christenthum schänden, von demselben abzuwälzen, indem man die Zerstörung der Bibliothek dem Khalifcn Omar, unter dessen Regierung am ersten Wcihnachtstage des Jahres 640 Alcrandria erobert ward, aufgebürdet hat. Denn schon Oro- sins, ein Schriftsteller des fünften Jahrhunderts, bezeugt, daß er die leeren Schränke der zerstörten Bibliothek gesehen habe ". Aber wir kehren zu Diophaut zurück. 18 Orosii Uistorii mlv. pagaiios VI, 15 Extant fjuae rt nos vidi- Wenn ich aus innern wissenschaftlichen Gründen mich dafür entschieden habe, daß Diophant nicht vor der Mitte des vierten Jahrhunderts gelebt hat und daß dadurch die aus unbekannter Quelle geschöpfte Notiz des Abulfaraj Haltung gewinnt, so findet nun auch diese Aitgabe des Arabischen Historikers noch einen bedentenden äußeren Stützpunct in einem Artikel bei SllidaS. Wir lesen nämlich bei Letzterem Λιβάνι ο, ’Αϊ'Γ/οχεα, φ/ο η ον Ιουλι/χνον ου Π αοαβάον χονν, και μεχοι Θεοδοίου roi Eli. Kustcri Γρεο'βου , Φαιγιχνίον πιχοο, μο&ψη Δ/οφά- ον. Was hindert uns, diesen Lehrer des Libanins, ilt völliger Übereinstimmung mit der Angabe bei Abulfaraj, für unsern Diophant zu halten? Etwa der Umstand, daß sich Libanins nicht auch als Mathematiker, sondern vorzüglich als Redner bekannt gemacht hat? Schwerlich wird Jemand einen solchen Einwnrf, den Schulz mit Recht von seiner lächerlichen Seite auffaßt, im Ernste machen. Was für Schlüsse wollte man, mit diesem Grundsätze ausgerüstet, z. D. auf Aristoteles zu Wege bringen, der bekanntlich Lehrer Alexanders des Großen war? Aber ein anderer Einwarf ist dieser Zusammcn- stellnng gemacht worden. Es habcit nämlich Männer, wie Cossali und Colebrookc 19 die Vermuthung ausgesprochen, daß Abulfaraj gerade auf Grund dieser Stelle bei Suidas, durch die Namcnglcich- hcit verleitet, dem Mathematiker Diophant seinen Platz unter den Zeitgenossen Julian's angewiesen habe. Aber mit Recht, wie es mir scheint, macht hier Schttlz 20 die gewiß treffende Gegenbemerkung, daß es nicht abzusehen ist, warum Suidas gerade die einzige Quelle sein soll, aus welcher Abulfaraj geschöpft hat, zumal dieser Geschicht- mus armaria librorum, quibus diruptis exinanita ea a nostris hominibus etc. Vergleiche liber diesen ganzen Gegenstand Scholl Geschichte der Griechischen Litteratur, deutsch von Minder. Berlin. 1828—30. am Anfang des dritten Bandes. 19 Cossali Origine T. I. p. 64. 65. Colebrookc Algebra of the Hindu's. Note M. p. LXIII. „Tbc Armenian Abu’lfuraj places the Algebraist Diopliantus ander the Emperor Julian. Hut it muy be questio- ned, whether he has any autliority for that date, besides the mention by Greek authors of a learned person of the name, the instructor of Liba- nius, who was contemporary with that emperor. Indeß erklärt Colebrookc gleich hinterher Abulfaraj's Angabe für annehmbar. 20 A. a. O. S. XV. 255 schrciber uns noch eine Notiz über Diophant giebt, die sicher aus anderer Quelle herrührt, die nämlich, daß das Werk des Griechischen Anctors von Mohammed Abnlwafa ins Arabische übersetzt worden ist. Wohl mochte diese Übersetzung oder Bearbeitung dem Historiker nicht unbekannt sein, und vielleicht selbst Notizm enthalten, die uns fehlen, zumal, wie wir unten sehen werden, der Verfasser derselbeit vor Suidas lebte. Es ist also nicht nur kein Grund vorhanden, die Zeitbestimmung über Diophant's Alter, welche Abulfaraj darbietet, nicht anzunehmen, sondern wir haben vielmehr im Gegentheil mehrfache Gründe, welche das Zeugniß des Arabischen Geschichtschreibers bestätigen und bekräftigen. Sonderbar benimmt sich hier wieder Bossnt. T. 1. p. 7, wo er von Diophant handelt, setzt er ihn vermöge am Rande beigefügter Jahrzahl, mit unserm Resultat übereinstimmend, auf das Jahr 350 n. Chr., welches Datum der Übersetzer Reimer S. 26 Note mit Unrecht verwirft. Dagegcit in der dem zweiten Bande der Ausgabe von 1810 angehängten chronologischen Tafel finden wir Diophant i» der Mitte des zweiten Jahrhunderts- Zwar ist die Tafel nicht von Bossnt selbst, sondern von seinem Englischen Übersetzer, Bonnycastle, entworfen; aber ich denke, wenn Bossnt sich veranlaßt sah, sie in seine zweite Auflage aufzunehmen, so mußte er sie wenigstens mit seinem Vortrage übereinstimmend machen. Diophantus wird 'AXe^avdQsvg, der Alexandriner, genannt; er war also entweder aus Alcrandria gebürtig, oder was wahrscheinlicher ist, er lebte und lehrte daselbst. Alles, was wir sonst von seinen Schicksalen wissen, ist in folgenden Räthsclversen des Metrodorus enthalte», deren deutsche Übertragung man in Schtilz's Übersetzung S. 276. 277 findet Ου 7oi Αιφανον έχει άφο, J μέγα Ραυμα, Και άφο ίκ έ%ν\ μέρα βίοιο λέγει, r Exrr l v χονρίζειν βιου Ρε παε μοίοην, Δδέκαη »- trllige de harmonicis mimeris, non de scripto quodam masici ί! räumenli. Was hier mit den harmonischen Zahlen gemeint ist, ist doch nicht klar. 22 Des. XI. am Ende ouro γά ευδιυϊα γενηεϊαι yo~g αχομε- votg, κα ϊ η uyayTj αχιν μνημονεορι\είαι, rr[g xqayaaftiag avrav εν ifiiav. αίδε-χ,α βφλ'οι γεγενημενη. 23 Diese Kodices sind I —III. Drei Batieanische unter folgenden Nummern f. Cossali Origine T. I. p. 61. No. 191. Saec. XIII. cliarta boinbyeina. No. 200. Saec. XIV. cliarta pergamciia. No. 304. Saec. XV. cliarta. IV. Einer auf der Königlichen Bibliothek zu Paris, den Wachet seiner Ausgabe zu Grunde gelegt hat. S. Ep. nd Lect. V. Einer auf der palalinifchen Bibliothek, dessen Collalion für Wachet Glaube Saumaife besorgte. S. ib. VI. Ein sechster ist dann vielleicht derjenige, den Mander bei seiner Bearbeitung in Händen halle, und der vorher dem Kaiserlichen Gesandten i» Warschau, Andreas Dudicius s. . angehörte. Indeß hält Eolebroote Note 51. p. LXI die beiden letztgenannten für wahrscheinlich identisch. 257 Bacher der und das in der Mitte abgebrochene Buch über die Polygonalzahlcn, mit der einzigen Abweichung, daß der Vati- canischc Codex Ro. 200. denselben Text der Britin,,ktm>, welchen die übrigen Manuscriptc in sechs Büchern enthalten, auf sieben vertheilt. Ist schon die äußere Übereinstimmung so vieler Handschriften, die an ganz verschiedenen Orten sich bcßndcn und aus verschiedenen Jahrhunderten herrühren, wunderbar, so ist's der Umstand »och mehr, daß alle mit einander in den Lücken, Fehlern und einzelnen Verunstaltungen so unglückseliger Weise zusannnentreffen, daß Buchet, der Herausgeber der Diophantischcn Überreste, für die Kritik des Textes aus der Collation derselben gar nichts gewinnen konnte, was wir mit ihm herzlich bedauern. Und nicht ohne große Wahrscheinlichkeit stellt Dachet die Vermuthung aus, daß alle diese vorhandenen Handschriften Copien von einem und demselben älteren Hauptcodcx seien s4 . Unter solchen ungünstigen Umständen konnte es nicht fehlen, daß Bachct's Recension des Textes, die einzige, die wir bis jetzt haben, an vielen Stellen sehr mangelhaft ausfallen mußte. Indeß ist die Hoffnung, einen wenn nicht wesentlich vollständigeren, so doch vielleicht im Einzelnen reineren Text zu erhalten, uns nicht ganz benommen. Dachet hat nämlich, wie aus der vorigen Note hervorgeht, nur einen der drei Vaticanischcn Codices, und auch den nicht vollständig vergleichen können, und somit wäre immer »och zu erwarten, daß, wenn einmal Jemand sich der gewiß nicht unbclohncndcn Mühe unterzöge, die drei Vaticanischcn Codices gründlich mit der Bachct'schcn Ausgabe zu vergleichen, diese Arbeit für den Text des Diophantischcn Werkes ein erwünschteres Resultat herbeiführen könnte. Alle Nachrichten von beut einstmaligen Vorhandensein der drci- 24 Epist. ad Lcct. „Etenim neque codex Regius, cujus ope Iianc editionem adornavimus, neque is quem prae manibus habuit Xilandcr, 'icquc Palatinus, ut doctissimo viro Claudio Salmasio referente accepimus, neque \ aticanus, quem vir summus Jacobus Sirmondus mihi ex Parte transcribendum curavit, quicqunm amplius continent, quum sex hosce Arithmeticorum libros, et tractatum de numeris multangulis imperfectum. Sed et tam infeliciter hi omnes codices inter se consentiunt, at ab uno fonte manasse et ab eodem exemplari descriptos fuisse non dubitem. Itaque parum auxilii ab his subministratum nobis esse, verissime affirmare possum. I. 17 zehn Bücher sind imsicher und zutu Theil erwiesen falsch. Ich schreibe hier zunächst folgende Stelle aus Bachct's Lpislola ad Lectorem ab Joamien tamen Hcgtomunfttnits fredecim lio- phanti libros s; alicubi vidisse asseverat, et Illustrissimus Cardinalis Pcrron'ntn, /nem nuper oxtinctum maano Christianae et litorariae lteipublicae detrimento Conquerimur, mihi saepe testatus est, se codicem manuseriptuin habuisse, pii trederäm Diophaufi lihros integros contineret, piein cum Gui- Uclmo Gönnet, itio concivi suo, pii in Diophantum Commentaria meditabatur, perhumaniter more suo exhibuisset, paulo post accidit, ut Gosslinus peste correptus interiret, et Dio- phanli codex eodem fato nobis eriperetur. Cum enim precibus imsis motus Cardinalis amplissimus, nullispie sumptibus parcens, apud haeredes Gossclini codicem illum diligenter exquiri mandasset et quovis pretio redimi, nusquam repertus est. Was zuerst bic Nachricht in Betreff Rogiomoiitan's anlangt, so beruht dieselbe, wie ich schon S. 35. vorläufig erwähnte, auf einem Mißverständnisse. Tvlaudcr sagt in der Lpistoln nuueupato- ria von seiner Übersetzung Diopbant's, er habe gehört, daß in der Vaticauischcn Bibliothek die vollständigen dreizehn Bücher von Dio- phant'S Arithmetik vorhanden seien, und wahrscheinlich habe Rcgie- montanus, welcher versichere auf Italienischen Bibliotheken Diopbant's Werk gesehen zu bade», diese drcizeb» Bücher in Händen gehabt Nach damals gebräuchlicher und leider auch später oft noch vorkom- 25 Ütiter habe ich die Fvlandrischc Übersetzung bis jetzt nicht kennen zu lstesichte bekommen; die beiden Stellen, auf welche ich obige Aussage gründe, theilt Srflnfi mit, auf dessen vitale man sich verlassen kann. Die erste steht Oi-iu. T. 1. p. 58, und lautet Invrni tiiiiqnnin oxstuntis in bibliotbccis itnliris sibi vixi Uiupbanti operis mentionpin a Rpgiomontimo fnctiun; die zweite ebcnd. p. k>6 Saue trpdpcim libri nrithineticiie Diopluinti ab nliis pprhiben- tur exstarc in bibliotbcca. Vnticana, quns Hcjiioninntanus viderit. Über die erste dieser Stellen ist zu vergleichen, was ich weiter im Torte sage. Hinsichtlich der zweiten aber ist einleuchtend, das, Xvlander falsch war berichtet worden; denn, wie sich ergeben bat, enthalten die Baticanischen vodices nicht die vollständige» dreizehn Bücher, sondern kündigen sie nur auf dem Titel an. Damit fällt denn aber auch die ganze Nachricht, daß Negiomonta» die dreizehn Bücher gesehen babe, über den Hansen, zumal da es nur eine vombinatien von Xvlandcr ist. daß Regiomontan gerade diese vorgeblich vollständigen Baticanii'chen tsodices gest' ben bade. 2oi inender übler Sitte glaubt Tylandcr genug gethan zu haben, wenn er den Namen Regiomontanus citirt. Es ist in diesem Falle aber, bei den fast unzähligen Werken, welche Regiomontan verfaßt hat, und die zum größten Theil sogar nngcdruckt geblieben sind, ganz besonders schwierig 31 t ermitteln, auf welche Stelle in dieses fruchtbaren Schriftstellers Werke» Tylandcr sich bezicht. Vossius, wie ich oben S. 35 schon erwähnte, giebt uns einen genaueren Fingerzeig, und ich habe auch bis jetzt in Rcgiomontan's Schriften keine andere Stelle gefunden, welche hier gemeint sein könnte, als eben feine erwähnte Oratio habita Patavii in praelectione A 1 fragn 11 i, abgedruckt vor beut Werke Rudimenta astronomica Alfragani. Item Albalcgnins astronomiis peritissimus de motu stellarum, ex observationibus tum propriis tum Ptolemaei, omnia cum demonstrationibus Geometricis et Additionibus Joannis do Hcgiomonte. Itein Oratio introductori» in omnes scientius Mathematicus Joannis de liegiomontc, Patavii habita, cum Alfraganum publice praelegeret. Ejusdem utilissima introductio in elementa Euclidis. Item Epistola P/nlifrpi Mc- lanthoni* nuncupatori», ad Senatum Noribergensem. Omnia jam recens prelis publicata. Norimbergae anno 1537. 4. In der erwähnten Rede, welche auf die Vorrede von Ph. Mclan- thon folgt, heißt es Blatt ß. S. 2 ., nachdem von der Arithmetik des Enklidcs und Jordanus Ncmorianus die Rede gewesen, so Diofanti autem tredeeim libros subtilissimos nemo usquchac ex Graecis Latinos fecit, in ijnibus flos ipse totius Arithmeticae latet, ars videlicet, rei et census, quam hodie vocant Algebram Arabico nomine. Ilujus equidem artis pnlchcrimae multa fragmenta pussiin Latini contrectant, paucissimos autem egregie doctos offendo nostra tempestate post Joanncin de Hlanclnnis virum optimum. Wenn also Rtgiomontanüs, was übrigens atis dieser Stelle auf keine Weise hervorgeht, ein Manu- script von Diophant selbst gesehen hat, noch weniger aber liegt in den Worten, daß er, wie Vossius p. 432 behauptet, Diophant für den Ersindcr der Algebra ausgicbt, so folgt daraus noch nicht, daß bassclbc alle dreizehn Bücher anderswo als auf dem Titel gehabt habe. Gründlich studirt hat Regiomontan es sicher nicht, wie schon seine Inhaltsangabe beweist. Dic ars rei ct census ist, wie wir in unserm zweiten Kapitel gesehen haben, die Auflösung der bestimmten quadratischen Gleichungen, und gerade diese fehlen in unserm 17 * Diophant; aber gesetzt, sie wäre in dem Codcr, den Ncgiomontanus gesehen, vorhanden gewesen, so wäre doch gerade diese Auflösung der quadratische» Gleichungen nicht der Glanzpunkt, der bei Diophant vorzugsweise einer besondern Erwähnung verdiente. Die meisten alten Codices sind aber so eingerichtet, daß Jemand, der einen solchen nicht gründlich durchsiudirt, nicht so leicht übersehen kann, in wie viele Bücher oder Abschnitte das Werk getheilt ist, weil sie hänßg ohne Absätze das ganze Werk in einem Zuge darstellen. Wer dieses mit dem in der vorigen Note Gesagten vergleichen will, wird mir gern die Unzuvcrlässigkcit dieser Nachrichten über Rcgiomontan's Verhältniß zu Diophant's dreizehn Büchern zugeben. Wenn indeß aus den angezogenen Worten weiter auch nichts folgte, als daß Rcgio- montanuS von der Existenz Diophant's Kunde hatte, so ist diese Stelle doch schon immer historisch merkwürdig genug als die früheste Erwähnung Diophant's, die wir bis jetzt bei einem Europäischen Mathematiker gefunden haben. Noch viel unbestimmter ist eine andere Stelle in derselben Rede Blatt ß2, S. 2, welche Tolandcr mit der eben angeführten combinirt zu haben scheint. Regionionta- nus erzählt, er sei nach dem Tode seines Lehrers Georg von Pcnr- bach + 1461 in Begleitung des Cardinalö Bcssarion nach Nom gereist, um den Plan Pcurbach's, die Griechischen Mathematiker im Original kennen zn lernen und bekannt zu machen, auszuführen. Quil i^'itur, sagt er, rcliqmim ernt nisi ut orltitani viri claris- simi sectiirer? coeptum foclix turnn pro virihus exequerer? Duce itaque patrono conuiiuni Hoimuri profeetns more meo litoris exereeor, uli scripfa phirima Graeconmi clarissiinoruin nd Uterus suas discendas wo iiivihuit, quo Latinitas in stu- liis praeserfii» jMatliematicis locuplotior roddcrelur. Wenn wir nun bedenken, daß Regiomontanns nach Italien ging, um vorläußg Griechisch zu lernen, daß er sich ferner nicht gar lange Zeit in Rom aufgehalten und sich da nicht einmal ausschließlich mit mathcma- 26 Wegen tlnzugänglichkeit der Quellen kann ich einige Iahrzahlcn nicht genau angebe»; aber aus der folgende» Zusammenstellung wird dennoch erhellen, daß Regiomontan'S Aufenthalt in Rom von nicht langer Dauer gewesen sein kann. Am 8. April 1461 starb fettrbaeb, also nach diesem Datinn begab Jener stch auf die Reise. Als nach einiger Zeit Beffarion nach Griechenland abreiste, ging Re- giomontan aus Rom weg, hielt sich über ein Jabr lang in Ferrara auf, wo er Griechische Berse machte und den Ptolcniäus verbesserte, darauf nahm er eine» 201 thematischen Schriftsteller», geschweige denn mit Diophant beschäftigt vielmehr wissen wir, baß, al-5 eines Astronomen von Profession, sein Hanptangcnmcrk immer anf Ptolcmäns gerichtet blieb, dessen Bcar- bcitnng nach dem Original er auch bald nach seiner Rückkehr ans Italien bekannt machte, bedenkcii wir ferner, daß Diophant nicht der Art ist, daß ein Mathematiker des fünfzehnten Iahrhnndcrts, dem der Gegenstand ganz neu lmd für seinen mathematischen Gc- sichtskleis viel 31 t hoch und der noch dazu erst Anfänger im Griechischen war, das Studium dieses Werks in einigen Monaten zu vollenden im Stande ist; bedenken wir das Alles, so wird man mir leicht beistimmen, wenn ich sage, daß Regiomoutanus von Diophant nicht viel mehr als den Titel kennen und allenfalls im Allgcmcineit ans dem Durchblättern eines Coder wissen konnte, daß er über Algebra handele. Aber Regiomoutanus erwähnt ja auch Diophant's in der beigebrachten Stelle mit keiner Sylbe, und es ist eine bloße Coujcctur von Lylaudcr und Cossali °', daß unter den Griechischen Mathematikern, deren in obiger Stelle gedacht wird, sich auch Diophant befunden habe. Soviel aber, denke ich, sieht fest, daß das wirkliche Dasein der vollständigen dreizehn Bück er aus der Erwähnung Rcgiomontan's ebenso wenig folgt, als wen» Blancanus in seiner Chronolo^ia j>. 52. von Diophant sagt cxtunt ejus 13 übn i'iicci Arithmeticoruin, 9i»f »ach Padua au, m» daselbst Vorlesungen über Alfraganus zu halte», uud hielt da die Antrittsrede, aus der ich obige Slclle cilirt habe; darauf ging er, nachdem er hier eine Zeitlang gelesen, nach Venedig, um die Rückkehr des Kardinals abzuwarten, 00 » Venedig begab er sich noch einmal auf kurze Zeit nach Rom, ging dann nach Wien zurück, wo er eigentlich angestellt war, und warlclc eine Zeitlang feiner Professur, darauf »ahm er einen Ruf des Königs Matthias von Ungarn an, bei dem er einige Jahre in hohen Gunsten stand, und diese Stellung endlich verließ er im Frühling des Jahres 1471, um seinen bleibenden Wohnsitz in Nürnberg zu nehmen. Welch' eine Menge von Begebenheiten auf kaum zehn Jahre vertheilt! Wieviel kaun davon für den Slufcnlhalt in Rom, und namentlich für den ersten Aufcnlhait, auf welchen seine in Padua erwähnte Bekanntschaft mit Diophant sich doch allein stützen kann, übrig geblieben sein? Und von diesem Wenigen wurde noch ein bedeutender Theil verbraucht, um erst Griechisch z» lernen, wozu er vorher in Wien keine Gelegenheit gehabt hatte. 27 Cossali 1 . 59 . ja tiefer achtunqswcrthe Gelehrte will sogar, daß Re- giomonianus sich eine Copic von einem Diophantischen Codex genommen. Er bringt nämlich eine Stelle aus Gassendo's Leben Sicgiomontan's bei, in der os I 262 Ob nun das andere von Bachct erwähnte Manuscript, welches alle dreizehn Bücher enthalten haben soll, wirklich dem Titel entsprochen — ein Bedenken, was man bei dergleichen Nachrichten immer bereit halten muß, — oder ob es, wie die' übrigen vorhandenen, die dreizehn Bücher mir angekündigt habe, läßt sich aus Mangel an Dalis gar nicht ausmitteln. Ist das erstere der Fall gewesen, so scheint wirklich ein unheilvoller Fluch auf den Werken dieses Auctors zu ruhen, indem alle möglichen Unglücksfälle, selbst die Pest nicht ausgenommen, sich verbündet zu haben scheinen, um dieselben der Nachwelt zu entziehen. Eine ähnliche Nachricht von einem vollständigen Diophant scheint Fcrmat gehabt zu haben. Er schreibt am 15. August 1657 an Digby°° Le nom do cct Aullieur Diopliante nie tlonuc l’occasion de vous faire Souvenir » Händcii gcliabl habt, so dabc ich tiefe Stelle a§ Cossali Origine T, I. p 09, >ro sie »lihzcihcilt izi abgcschricbk». Da wir nun einmal Diophant's Werk unvollständig haben und uns vorläufig darüber beruhigen muffen, so ist die nächste und natürlichste Frage, die noch aufgeworfen werden kann, die an welcher Stelle des Werks hat die Verstümmelung statt gefunden, am Anfange, am Ende, oder in der Mitte? Am Anfange sicherlich nicht. Diophant beginnt ganz ordentlich mit einer Zueignung, der dann eine plane Auseinandersetzung der Grundsätze seiner Methode folgt, und geht von da 31t den einfachsten algebraischen Aufgaben des ersten Grades über. Dagegen sucht die grosse Mehrzahl der Bcnrthci- ler lmd Verehrer Diophant's, von denen übrigens Viele ihn nicht gelesen, wenigstens nicht so gelesen haben, dass sie des Gcsammtcin- druckS des Werks sich bcwnsst über eine Frage der Art urtheilen könnten, den Dcfcct am Ende, und niair erzählt sich von goldenen Bergen und Wunder was für Dingen, welche in den noch fehlenden sechs oder sieben Büchern sollen gesteckt haben. Dieser Ansicht milss ich mich aber durchaus widersetzen. Diophant's Kunst ist in seinem sechsten Buche am Ende. Wen» man die vier letzten Bücher, vom dritten bis zum sechsten, successive mit Aufmerksamkeit durcharbeitet, so findet man, dass sich der Verfasser in einem ganz bestimmten abgeschlossenen Cvclus von Vorstellungen und Methoden bewegt, den er vergebens durch immer neu angehäufte Schwierigkeiten zu überschreiten sich bemüht; er wird immer, so oft er sich den Anschein giebt, als wolle er den einmal um ihn gezogenen Zauberkrcis überspringen, von einer unsichtbaren Hand auf den bereits bekannten alten Bezirk zurückgeworfen; man sieht gleichsam hinter den genialen Ktlnstgriffcn, deren er sich zu seiner Befreiung bedienen will, im Halbdunkel die Fesseln, welche seinen Geist hemmen, man hört ihr Rasseln, wenn er bei gar zu freigebig sich selbst aufgelegten Schwierigkeiten sich nicht anders zu helfen weiss, als daß er den Knoten zerhaut, statt ihn zu lösen. Belege für diese dem Anscheine nach kecken Behauptungen kann ich erst in der Folge geben, wenn die Leser mir in das Wesen der Diophantischcn Aualysis werden gefolgt sein. Hier will ich nur noch daS hinzufügen, dass das sechste Buch auch seiner Form nach einen ganz passenden Schluss des Ganzen bildet, indem der Verfasser hier, nachdem er in toi' vorigen Büchern imitier nur rein arithmetische Aufgaben behandelt hat, den geometrischen Begriff des rechtwinkligen Dreiecks in seine Darstellung hineinzieht, lmd die vorhcrgelehrtcn Kunstgriffe inid Regeln auf die Allst finbiiitij solcher Dreiecke in rationalen Zahlen, unter mannigfachen beschränkenden und erschwerenden Umständen anwendet. Meine Ansicht über die aufgeworfene Frage conccntrirt sich in folgenden Sätzen erstens, daß uns von Diophant viel weniger fehlt, als man gewöhnlich glaubt, wenn man sich an das Zahlcnvcrhältniß von 6 13 hält, zweitens, daß der Dcfcct nicht am Ende, sondern in der Mitte des Werks, und zwar hauptsächlich zwischen dem ersten und zweiten Buche zu suchen ist; endlich drittens, daß diese Verstümmelung des Werks ziemlich frühe, gewiß aber vor dem dreizehnten oder vierzehnten Jahrhundert, und bereits in Griechenland selbst stattgefunden hat. Belege für den ersten Satz kann ich jetzt noch nicht beibringen, sondern ich muß dieselben mir vcrsparen, bis ich über die übrigen Schriften Diophant's werde gesprochen haben. Darum wenden wir uns hier zunächst zu dem zweiten der ausgesprochenen Sätze. Um mit einigem Anschein von Wahrscheinlichkeit bestimmen zu können, wo in Diophant's Werk etwas fehlt, müssen wir uns zuvörderst klar zu machen suchen, was denn eigentlich fehlt. Das wird uns aber eine vorläufige Betrachtung des Inhalts der ciuzclncn Bücher sogleich zeigen. Das erste Buch enthält beftinnnte Aufgaben des ersten Grades, das zweite bis zum sechsten Buche dagegen in successiver Steigerung von dem Einfachen zum Schwierigeren unbestimmte Aufgaben des zweiten Grades. Demnach zeigt sich sofort eine ungeheure Lücke zwischen dem ersten und zweiten Buche, indem hier die bestimmten Gleichungen des zweiten und die unbestimmten Aufgaben des ersten Grades fehlen. Daß Diophant Aufgaben der letztgenannten Art behandelt habe, bevor er sich an die unbestimmten Aufgaben des zweiten Grades gemacht, wird zwar nirgend atisdrücklich erwähnt, ist aber wahrscheinlich und ziemlich sicher anzunehmen. Ganz gewiß wissen wir aber, daß er die in dem Werke, wie es uns vorliegt, fehlende Auflösung der gemischten gtiadratischen Gleichungen gelehrt hat; denn eines Theils verspricht er die Auflösung derselben in der der Einleitung, andern Theils setzt er dieselbe in den folgenden Bü- chcr» voraus, indem er theils, wen» er im Verlauf der Rechnung auf eine solche Gleichung gekommen ist, geradezu den Werth der Unbekannten hinschreibt, theils auch bei der unten naher zu erörternde» Methode der Zurnckrcchnung auf die Form des irrationalen Theils der Wnrzcl einer quadratischen Gleichung als auf eine bekannte Sache sich bezicht, ohne daß er die Wurzel selbst hingeschrieben hat. Beispiele von reinen quadratischen Gleichungen freilich finden sich schon im ersten Buche, z. B. Aufgabe 30. 31. 33. Aber diese rechnet Diophant zu den einfachen Gleichungen, tlnd thut meiner Meinung nach daran besser, als die meisten neuern Lehrbücher und Lehrmeister, welche über diesen Gegenstand lange Kapitel vortragen. Diophant braucht nämlich nicht die Potenz der Unbekannte» als Ein- thcilniigSgrnnd, sondern die Anzahl der in der Normalglcichung übrig bleibenden Glieder; er spricht sich darüber Des. XI. so aus „Wenn man durch die Aufgabe auf eine Gleichung geführt wird, in welcher auf beiden Seiten dieselben Potenzen ί&ι der Unbekannten mit verschiedenen Cocfsicienteit vorkommen, so muß man so lange Gleiches gegen Gleiches wegheben fArab. .ilmukulmlah, und Negatives auf beiden Seiten addircn aljelir, bis man auf jeder Seite nur einen Ausdruck übrig behalt, πεψλοεχνΐρρ δΐ ούο ίν αχ νιοαάύευη ν προαο'εν, ίαν ενδίχψαι^ ε αν εν είδο ίνϊ εϊδει usov κααλειφ^η νυερον δί not δε'ιίρμεν και π δυο ί ίδιον ιον ίνι κααλειψ^ίνν ο οιυνον d. H. ,, Dieses wende man auf den Ansatz der Aufgaben, wenn es möglich ist, so lange an, bis ein Glied einem Gliede also gleichviel von welcher Potenz gleich bleibt d. h. bis man auf eine Gleichung von der Form x — a oder x 2 — gelangt. Späterhin aber will ich dir zeigen, wie man die Aufgabe löst, wenn zuletzt zwei Glieder einem Gliede gleich sind b. h. wenn das Resultat des Wcghebcns die Gleichung x 2 + ux = + b ist." Diese Auflösung der qua- dratischcn Gleichungen nun, welche Diophant hier verspricht und auf welche er sich in den zweiten und den folgenden Büchern mehrfach bezicht, und die ihrer Natur und diesen Beziehungen zufolge nicht füglich anderswo als zwischen dem ersten und zweiten Buche gestanden haben kann, ist in der gegenwärtigen Gestalt seines Werks nirgend zu finden. Aber außerdem, daß ein ivcsentlichcr Theil des Werks, der dem folgenden zur Stütze dient, ausgefallen ist, hat auch das »och Vorhandene mancherlei Vcrstüimncluugcn erlitten. So gehören z. B. 267 dic Allfgabcn 6. 7. 18. 10. dcs zweiten Buchs, welche bestimmte Aufgaben dcs erste» Grades behandeln, sichtbar in das erste. Bei den beiden letztgenannten Aufgaben tritt ferner die sonderbare Erscheinung hervor, das; die neunzehnte gar nicht aufgelöst jst, sondern die ihr angehängte Auflösung bloß eine zweite Auflösung der vorhergehenden Aufgabe ist, ohne auf dic bis zum Ansätze durchgeführte ncun- zchntc Aufgabe irgend wie Bezug zu nehmen. Die Aufgaben 1 bis 5 dcs zweiten Buchs sind, so wie sie gelöst werden, bloß Wiederholungen der Aufgabe» 34. 37. 35. 36. dcs ersten Buchs. Demnach beginnt das eigentliche Sujet dcs zweiten Buchs erst mit der achten Aufgabe desselben, und reicht bis zur siebzehnten. Die Aufgaben 18. und 10. müssen, wie erwähnt, in das erste Buch geschoben werden, und zwar hinter dic Aufg. 25. dieses Buchs, der sie sich genau anschließen. Mit II, 20 beginnt dann eine ganz neue Gattrnig von Aufgaben, welche dergestalt im dritten Buche fortläuft, daß der Anfang des dritten Buchs gar keinen natürlichen Abschnitt bildet. Die beiden letzten Aufgaben dcs zweiten Buchs sind nämlich 35. Man soll drei Zahlen von der Beschaffenheit sindcn, daß das Quadrat einer jeden auch dann noch ein Quadrat bleibt, wenn man dic Summe der drei Zahlen dazu addirt. Man hat also dic drei Gleichungen x 2 - f- x - f- y - j- » = a 1 f + * + y + * = h* z 2 — .* -f y -j- x = c 2 Daran nun schließt sich ganz natürlich die erste Aufgabe des dritten Buchs an, in welcher die drei Gleichungen sich so gestalten .* “I“ y " 1" * — — 2 r- + y + * — y % — *’ “f y * — ** = c ~ mit ebenso die folgende. Es ist also mit Sicherheit anzunehmen, daß hier die natürliche und ursprüngliche Einthciluug verschoben ist. Da ähnliche Erscheinungen sich auch in den folgenden Bücher» zeigen, daß nämlich häufig in der Mitte eines Buchs ein viel merklicherer Abschnitt ist, als am Ende desselben, so ist es kcincswegcs befremdend, daß eines der Vaticanischcn Mannscripte denselben Stoff, den wir haben, anders eintheilt und so aus unsern sechs Büchern sieben macht; und mit derselben Ungezwungenheit könnte ein anderer Codex acht und mehr Bücher zählen. Es kommt dazu, daß viele Aufgaben ganz verstümmelt erscheinen, andere dagegen, auf welche eine spätere sich bezieht, ausgefallen sind; namentlich ist in dieser Hinsicht das fünfte Buch stiefmütterlich von der Mutter Zeit behandelt worden. So sind augenscheinlich zwischen 21. und 22. drei Aufgaben, analog denen in 21. 22. 23. ausgefallen, aus deren eine der Verfasser in 22. verweist; bei 2ä. 25. ist die Auflösung verstümmelt, bei sehr vielen Aufgaben in sämmtlichen Büchern ist die Auflösung nicht zu Ende geführt, und so weiter fort. Schwerlich aber sind wohl alle diese Entstellungen des ursprünglichen Textes bloß der Unachtsamkeit eines Abschreibers zlizuschreiben, sondern wohl, wenigstens zum Theil, der Unwissenheit tmd Ungeschicklichkeit eines vermeintlichen VerbcssercrS zur Last ju legen, wenn ich auch kcincswegcs der Ansicht Bachcl'S bcitretcn mag, welcher annimmt, unsere sechs Bücher seien ein von einem späteren Bearbeiter angefertigter Auszug aus den vollständigen dreizehn Büchern. Doch dem sei wie ihm wolle; für uns stellt sich das historisch nicht un- tvichtige Resultat heraus, daß diese Corrnmpirung des Textes und die Bildung der großen Lücke zwischen dem ersten und zweiten Buche vor Maximus PlanudcS, das heißt, vor dem vierzehnten, und wenn das Datum des Codex lill auf der Vaticanischcn Bibliothek seine Richtigkeit hat, vor dem dreizehnten Jahrhundert statt gefunden haben muß. Marimus Planudcs, unter der Regierung der Byzantinischen Kaiser Andronicus des Zweiten und des Dritten, in der ersten Hälfte des vierzehnten Jahrhunderts, hat außer andern mathematischen Schriften, auf welche wir in einem spätern Theile dieser Geschichte zurückkommen werden, auch Scholicu zu den beide» ersten Büchern von Diophant geschrieben, welche Lylandcr seiner Übersetzung einverleibt hat; und wir ersehen aus denselben, daß Plamidcs Dio- phant's Werk schon in derselben Form, mit denselben Auslassungen, Umstellungen und Eorrumpirungen, wenigstens soweit dieselben diese 269 beide» ersten Bücher betreffe», vor Augen hatte wie wir. Desgleichen enthält der erwähnte Vaticauischc Codcr keinen bessern vollständiger» Tert. Diese traurigen Erscheinlingen benehmen uns denn so ziemlich alle Hoffnung, das so frühzeitig und schon in seinem Va- tcrlande corrumpirte Werk unsers Autors jemals wieder in seiner Vollständigkeit und Reinheit zu besitzen, wenn nicht etwa einmal ein glücklicher Zufall einem Gelehrten die im zehnten Jahrhundert vcr- fafftc Arabische Bearbeitung von Mohammed Abnlwafa in die Hände spielt. Dem Stoffe nach verwandt, aber ganz und gar abweichend in der Form der Behandlung, ist Diophant's Abbandlnng über die Po- lygoiialzahlen. Sie ist nicht, wie das Hauptwerk, analytisch, sondern synthetisch gearbeitet; der Verfasser stellt einzelne Lehrsätze auf und giebt hinter jedem den Beweis; und zwar sind diese Beweise ganz in der Euklidische» Manier des siebenten bis zehnten Buchs der Elemente gehalten, welche man mit Cossaii s. v. die lineäre Arithmetik nennen konnte, weil sie Zahlcnproportionen und Zahlcn- cigcnschaftc» an Linien anschaulich macht. In den Aufgaben bedient sich Diophant nur einmal dieses Hülfsmittels, nämlich V, 13, um zu veranschaulichen, daß wenn .r - j- y — 1 und und y + 6 Quadrate sein solle», die Aufgabe darauf hiuattskommt, die Zahl 9 in zwei Quadratzahlcn zu zerlegen, deren eine grosser als 2 und kleiner als 3 wird. Man ersieht sowohl aus dieser einzelnen Anwendung, als aus der Behandlung der Sätze von den figurirtcn Zahlen, daß die lineäre, der Geometrie verwandte Vorstcllungswcisc noch zu Diophant's Zeit für die Griechen den Vorzug der grösser» Deutlichkeit hatte. Wir nannten aber noch unter Diophant's Werken seine Po- rismata. Wir kennen diesen Titel nur aus drei Citaten, in welchen der Verfasser sich selbst auf dieselben bezicht, nämlich in den Anfga- bcn 3. 5. und 19. des fünften Buchs. An allen drei Stellen führt der Verfasser mit der feststehenden Redensart Ixouev h tone oiapaoiv Sätze aus der Zahlcntheoric als bekannt an. Es ist also nicht zu zweifeln, daß die Porismcn eine Sammlung solcher Sätze über die Natur und die Zusammensetzung der Zahlen aus Quadraten und dergleichen mehr enthielten, und dass eben daratlS auch alle die übrigen Sätze der Art entlehnt sind, welche Diophant gelegentlich entweder ausdrücklich ausspricht, oder deren Bekanntschaft seine De- 270 tcrminationcn voraussetzet, 3 ". Wie wäre cS nun, wenn wir diese Porismcnsanimlung als einen einleitenden Theil in die unbestimmte Analvsis des zweiten Grades, als cincir bei der spater» Verstümmelung hcransgcfallcncn Theil dcS ganzen Werks betrachteten i Natürlich müßte diese Sammlung dann auch vor der Behandlung der unbestimmten Aufgaben des zweiten Grades, das heißt, zwischen dem ersten und zweiten Buche gestanden haben. Wahrscheinlich war die Behandlungsart dieses Buchs, eben weil die Citate aus demselben uns lauter Lehrsätze vorführen, auch synthetisch. Das hindert inis aber nicht, dasselbe sammt der Abhandlung über die Polygonalzahlcn, die dem Wesen nach ebenfalls dem Hauptgcgcnstande so sehr nahe verwandt ist, für intcgrircnde Theile des ganzen Werks zu halten. Wenigstens ist diese Annahme immer noch viel wahrscheinlicher, als wenn man znr Ergänzung der dreizehn Bücher voraussetzt, daß Dio- phant in den Verlornen Büchern noch ganz neue Methoden zur Auflösung von llllbcstimmteit Aufgaben entwickelt habe, wie Schulz thut, oder gar mit Bombclli anzunehmen, Diophaitt habe in den Verlornen Büchern sich bis zu den Gleichungen des dritten und vierten Grades verstiegen, was Bombclli dadurch motivirt, daß Diophant so viele Aufgabelt vorlegt, deren Zweck ist, die Stnnmc eines Quadrats und irgend eines AccidcnS zu einem Quadrat zu machen, was dieser, wie er glaubt, thut, um mit Hilfe dieser Methoden die Gleichung x A - f" P x = '1 5 U lesen 31 Bombclli hat sich sehr viel, ja fast sein ganzes Leben hindurch, mit der Verbcsserling tmd Vervollständigung der zu seiner Zeit ganz neuen Anflösiingen der Gleichungen des dritten und vierten Grades beschäftigt, bei deren lctztcrn es nach der damals üblichen Auflösung allerdings darauf ankam, einen Ausdruck in der Form Ax* - f- Itx - f- C, dessen Cocfstcicn- tcn eine zweite in die Gleichung eingeführte Unbekannte in sich schlössen, zu einem Quadrate zu machen. Wir dürfen uns also nicht wundern, wenn cr in Diophant's davon ganz unabhängige Untersuchungen seine eigene Licblingsidcc hinciutrtig. Diophant crllärt ja aber, Des. XI. ausdrücklich, daß er bei dem Vortrage und der Ausarbeitung dieser Aufgaben kciiicn andern Zweck gehabt habe, als eben den Schüler in der Methode zu üben, daß also diese Aufgaben 30 Z. B. IIF, 22. V, 12. 14. VI, 15. Siehe umrn Kap. X. 31 Schulz Vorr. S. XXI. Cossuli Originc I, 76. sich selbst Zweck seien; und in der That hätte der so scharfsinnige und sinnreiche Divphant, wenn er mit seinen Aufgaben den von Bombclli ihm snbstitnirten Zweck zu verfolgen beabsichtigt hätte, eben nicht den kürzesten Weg gewählt, der zum Ziele führte. Aber auch in Betreff der Schulischen Hypothese gilt, was ich oben schon sagte. Wir finden in dem Vorhandenen durchaus nicht die geringste Andeutung, daß noch etwas Anderes, Höheres folgen solle. Dio- phant's System und Idccnkrcis erscheint so ganz in sich selbst abgeschlossen und seine Methoden kehren so regelmäßig in einen und denselben Kreis mathematischer Vorstellungen zurück, daß sowohl die Schulische, als noch vielmehr die Bombelli'sche Annahme ganz ohne Haltung erscheint 3 ". Was aber vielmehr, wenn auch nur als äußeres Zeugniß, für meine Hvpothcse zu sprechen scheint, für die nämlich, daß die drei uns bekannten Werke Diophant's nur ein Ganzes bildeten, ist auf der einen Seite der Umstand, daß wir nirgend eine Erwähnung von niehr als einem Werke Diophant's finden 33 , auf der andern Seite aber der ganz unbestimmte Titel " 32 Man bat noch einen Grund für die verloren gegangene Behandlung der höheren Glelchungen bei Diophant davon bergenonnnen, daß er Des. II. die Potenzen der Unbekannten und deren Zeichen bis jttm sechste» Grade erklärt. Warum das, sagt man, wenn er sie nicht brauchen, und warum nicht noch mehr, wen» er sie blos; nennen wolltet Aber er braucht sie wirklich und zwar gerade bis zur sechsten Potenz. Nur folgt daraus, daß man in einem Buche den Ausdruck 37 ° sindct, noch nicht, taß dieses Buch die Gleichungen des sechsten KradcS losen lehrt. Diophant kommt zuweilen durch seine Annahme auf eine Gleichung, welche Höhere Potenzen der Unbekannte», jedoch nie über die sechste hinaus, enthalten, die sich dann aber allemal im Lause der Rechnung auf irgend eine Weise rcduci- ren läßt. Man vergleiche zu diesem Ende IV, 19. V, 21. 24. 25. VI, 23. 33 Da die beiden einzige» Stellen in Griechischen Autoren, welche mit völliger Evidenz von unserm Diopbantus reden, nämlich die oben beigebrachten Stellen von Theo» Alerandrinus und Johannes von Jerusalem bloß den Rainen ohne das Werk nennen, so können hier nur die Arabischen Auctore» in Betracht kommen; und da ist wirklich an beiden Stellen in Abulfaraj's Geschichte der Dvna- stien >>. 141 und p. 338, und ebenso i» den beiden Stellen in Easiri's Itiblintli. Von!,. Itisp. Kscur. T. I. p. 371 und p. 434 immer nur von dem Buche Diophant's die Rede. Woher anders ist das zu erklären da doch, wie sämmtliche jetzt vorhandene Handschriften beweise», wenigstens das Buch über die Polv- stonalzablen mit der Arithmetik verbunden zu fein pflegte, als daraus, daß man >">r ein Werk Diophant's, "’A^tP/L^ kannte, welches Alles enthielt, waS der Autor geschrieben hat. Arithmetisches. Dieses Pluralncutrum scheint mir geradezu auf ein Conglomcrat arithmetischer Abhandlungen verschiedenen Inhalts hinzudeuten, und ich halte es nicht für unmöglich, daß dasselbe noch einen oder den andern Aussatz, ähnlich dem über die Polvgonalzah- len, der überdies mitten in einem Satze abgebrochen ist, mit in sich begriff. Im Allgemeinen ist diese Hypothese nicht ganz neu; schon Colebrooke hat sie als möglich ausgesprochen, und daraus und aus der vielleicht früher abweichenden Abtheilung der einzelnen Bücher, wofür der Vaticanischc Codex No. 200. spricht, den sehr probablen von mir oben ausgesprochenen Schluß gezogen, daß uns nämlich von Diophaitt viel weniger verloren gegangen sein mag, als man in der Regel zu glauben geneigt ist 34 . Unter dem Verlorenen dürften die Porismcu am Meisten zu bedauern sein, da Diophant in diesen Sätzen, soviel sich aus den wenigen Citaten schließen läßt, seiner Zeit bedeutend vorausgeeilt zu sein scheint, und da viele derselben erst spät wieder bewiesen worden sind. Obgleich ich nun im Vorigen meine feste silbjcctive Überzeugung, hervorgegangen aus dem anhaltenden und gewissenhaften Studium des interessanten Mathematikers, ausgesprochen und mit den mir zu Gebote stehenden Mitteln und Gründen derselben Objektivität zu geben versucht habe, so bin ich doch weit davon entfernt, diese meine Ansicht als allein und fest dastehende Wahrheit geltend machen zu wollen; vielmehr gestehe ich gern ein, daß es bei der Dürftigkeit aller 34 Algebra of tlic Ili»,Iu' Note M. p. LXi In trufli tlie division of manuscript books is very uncertain and it is by no means improbable, tbat tbc remains of Diopbantus, as wc possess tliem, may be less incomplete and constitute a largcr portion of tbe tbirteen books announced by bim cf. 11, tlian is commonly reckoned. His treatisc on polvgon numbers, vbich is surmised to bc one and tliat tbe last of tbe tbirteen, follows, as it secms, tbe six or seven books in tbe cxcmplars of tbe work, as if tbe prccceding portion were complete. It is itsclf iinpcrfect but tbe liinnner is essentially different from tbat of tbc foregoing books and tbc solution of problcms by equations is no longcr tbe objcct, but ratber tbe demonstration of propositions. Tbcrc appears no ground, beyond bare surmise, to presume, tbat tbc autbor, in tbe rest of tbe tracts relative to numbres whicb fultillcd bis promise of tbirteen books, resumed tbc Algebraic manner or in sbort, tbat tbc Algebraic part of liis performance is at ali mutilutcd in tbe copies extant, vvliich are consideret! to be all transcripta of singlc impcrfcct exemplar. aller äußer» Zeugnisse völlig unmöglich ist, in Bezug auf Diophant's Werk zu einem ganz sichern Resultat zu gelangen. Aber »vic ich selbst Tadel verdiente und selbst der Erste sein würde, der ihn aussprächc, wenn ich mir in Betreff dieses dunkeln und schwierigen Gegenstandes irgend eine kategorische Behauptung erlaubt hätte, eben so sehe ich mich genöthigt, meinerseits jeder absprechenden Äußerung mit rücksichtloscr Strenge entgegenzutreten. Ich sehe zum Beispiel nicht ein, wie Reimer in seiner Übersetzung der Bossut'schen Geschichte der Mathematik 35 bei den Worten seines Auctors „11 avoit ecrit trcize livi-cs d’aritlunetiquc Jcs six pmnicrs ? sont, arm es jusqu’a noas; tous les autres sont perdus, si, lieannioins , uu seplieine, qu’on trouvo dans quclques ! edi- lions dc Diopliante, n’est pas dc Iui,” ich sehe nicht ein, sage ich, wie Reimer hier zu der apodiktisch ausgesprochenen Anmerkung kommt Dieses Buch dc numerls inultangnlis ist eine für sich bestehende Schrift und gehört kcinesweges in die Sammlung der Arillnneticoruin Diophant's." Solcher Guosticismen muß sich jeder Historiker bei noch so wenig aufgeklarten Sujets, wie das vorliegende, enthalten. Ich habe absichtlich Bossut'S Worte hiehcr gesetzt, weil auch an ihnen manches zu erinnern ist. Über die six Premiers livres will ich nicht weiter sprechen; zweitens bcsindtt sich die Schrift über die Polygonalzahlcn nicht bei einigen, sondern bei allen Ausgaben und Übersetzungen Diophant's, von A'plandcr bis Schulz; drittens aber ist bis jetzt Bossut der Einzige, der die Echtheit dieser Schrift als einer Diophautischcu in Zweifel zieht, wozu doch wohl gar kein Grund vorhanden ist. Wenn wir aus den oben auseinandergesetzten Gründen den oft angeführten Commentar der Hypatia über Diophant müssen fallen lassen, so bleibt uns nur ein Grieche übrig, der über diesen Auctor geschrieben hat, nämlich der schon erwähnte Mönch Maxi- mus Planudcs, dessen Schollen zu dem ersten und zweiten Buche der ’AyPpyixä, sich bei einigen Handschriften, und Lateinisch in Xylandcr's Übersetzung des Diophant bcsinden. Wenn wir bedenken, wie mannigfach das in wissenschaftlicher Hinsicht viel weniger bedeutende Werk von Nikomachlls paraphrasirt und erläutert worden >si, so zeigt diese Armuth an einer Diophautischcn Literatur bei den 35 rl'. 1. S. 28. Die Stelle des Sriginals steht T. I. p. 9. ' 18 274 Griechen, verbunden mit dein »ekligen Anssterben der Diepbantiscbcn Methode, recht deutlich, wie wenig dieser Schriftsteller von seinen Lniidslenten beachtet und verstanden worden, wie wenig er auf das geistige Leben der spätern Mathematiker eingewirkt hat. Erst tausend Jahre nach dem Erscheinen seines Werkes wagte sich ein für feine Zeit allerdings sehr gelehrter, namentlich als Kenner der Arabischen Mathematiker rühmlichst bekannter Mönch an eine Bearbeitung des Werks seines großen Landsmanncs, aber auch er blieb bei den beiden Elemcntarabschnittcn des Auctors stehen. Aber bedeutend früher hat Diophant das glückliche Loos gehabt, den Arabern in die Hände zu fallen. Unter den Schriften des Mohammed Abnlwafa ^°, der zn Bnzjan fpr. Jüiz-dschiin bei Nischapur in Pcrsicn im Jahre 940 328 II. geboren, 959 348 II. nach Bagdad ging, um sich in der Arithmetik und Geometrie auszubilden, späterhin daselbst als Lehrer auftrat lind im Jahre 998 388 II. zu Bagdad starb, findet sich nach Abulfaraj und dem Tharikh-al-Hokma liibliotli. pliilosopliomm bei Casiri, wörtlich Chronik der Gelehrten ein Connncntar über das Werk Diophant'S 37 , der also etwa um das Jahr 970 verfaßt sein mag. 36 Sein vollständiger Name ist Mohammed ibn Mohammed ihn Valiyil ihn Ismail ihn AI-nhbAs AbnTnufil Al-JtiV/.jstni, ^ , y , >. 434 ausdrücklich Mohammed Abulwafa als Übersetzer »cn»t, ohne einer früheren Bearbeitung zu gedenken, so ist, i» Übereinstimmn»;; dieser Nachricht mit Abulfaraj, der auch an keine andere Arbeit über Diophant denkt, nicht zu zweifeln, daß der Ler- faffcr des Tharikh-al-Hokma auch an der beigebrachten Stelle die Übersetzung von Abulwafa im Sinne hat. 39 Casiri I. p. 434 *JL*X*-! U .2. LjLüsä!! v_jLXJ xjlXS' ,Z bicfcn Sluctor ganz unbestimmt. Beinahe hundert Jahre »ach Re- giomontan erwähnt Joachim CamerariuS des Diophantischen Werks als in der Valieanischen Bibliothek vorhanden, und ist sehr begierig es ju sehen, hat aber, wie es scheint, darüber die verkehrte Ansicht, dast es die Logistik, das heißt, die praktische Rechenknnst lehre 40 . Um dieselbe Zeit spricht Jacob Peletarius von einem gewissen Griechen Diophant 41 Wunderbar bleibt es indeß, daß nachdem deutsche Mathematiker seit 1470 und vielleicht früher von dem Daseiit des Diophantischen Codcr in Rom gesprochen hatten, diese Entdeckung den Italienern selbst ganz entgangen ztt sein scheint. In der Reihe ihrer großen Mathematiker, Luea Pacioli bc Burgo, Tartaglia, Cardan, findet sich keiner, der nur Diophant'S Namen nennte. Der erste Italiener, dem Diophant bekannt geworden zu sein scheiitt, und der zugleich ernstlich an eine Bearbeitung desselben gedacht hat, war R a p h a e l B o m b e l l i. Er hatte, wie aus seinen oben G. 263. mitgetheilten Worten hervorgeht, bisher von Diophant nichts gewußt. „Es hat sich," so sagt er im Jahre 1672, „in den jüngst verflossenen Jahren ein Griechisches Werk über Algebra in der Vaticanischen 40 Do Graecis Latinisque numerorum notis et praeterea Saraceni- ris seu Indicis etc. cte. studio Joacliinii Camerarii Papcbcrg. 155G. s. ebeu Kap. V . ©. 222. in ter gitcratnr bce Nitenmchus. Hicr bclftt ti !» bcr Kpistolu ad Zasium se Venit milii in mentem eorum quae et de hac et aliis liberalibus artibus dicta fuere, in eo convivio cujus iu tuis aedibus me et 1’cueerum nostrum participes esse, suavissima tua invitatio voluit. Cum autem dc autoribus Logisticos veri a fierent, et a me Diophmitus Graecus nominaretur, qui extaret in llibliotbeca Vaticana, ostendebatur tum spes quaedam, posse nobis copiam libri illius. Ibi ego cupiditate videndi incensus, fortasse audacias non tamen infeliciter, te quasi procuratorem constitui negotii gerendi, mandato voluntario, cum quidem et tu libenter susciperes quod imponebatur, et fides solenni festivitate firmaretur, de illo tuo et poculo elegante et vino optimo. Neque tu igitur oblivisceris ejus rei, cujus explicationem tua benignitas tibi commisit, neque ego non neminisse potero, non modo excellentis virtutis et sapientiae, sed singularis comitatis et incredibilis suavitatis tuae. 41 Arithmeticae practicac methodus facilis, per lemtnai» Fnsntm rtc. lluc acc. Jacohi Vvletnrn annotationes. Coloniae. 1571. Dic SPorrrbc beti ^pclctariiis Hat cibcr bttS Datum Lutetiae. 1558. S. p. 72. /V/, 07 sich ausdrückt t'oiueou st»»stu Sbardt'Ilsito; mit ebcnd. p. 30 kehrt V'ossali taS ganze Per l'äHnifi um, ant nennt ihn nobilr pulacro jucsso l’iuipcrial cortc oratore. * 280 ches entstellt 3 . B. Des. 7. 8 ., zwar ist seine Übersetzung rauh und nnlatcmisch, indem er sich aus Furcht zu fehlen gar zu ängstlich an den Buchstaben des Originals halt; aber das Resultat war darum nicht weniger glänzend. Das mathematische Publicum hatte Diophant's Werk, und wie einflußreich sofort das Erscheinen dieser Übersetzung auf die Entwickelung und Gestaltung der Algebra einwirkte, werden wir zu beobachten Gelegenheit haben, wenn wir an diesem Puncte unserer Geschichte werden angelangt sein. Man findet zuweilen 44 die falsche Angabe, daß Kalander auch das Griechische Original herausgegeben habe. Es scheint das aber auf einem Mißverständnisse zu bcrlihcn, indem Tvlandcr an manchen Stellen des Commcntars auf das Original hindeutet, welches er wahrscheinlich herauszugeben beabsichtigte. Übrigens war schon Dachet über diesen Punct in Zweifel, er schreibt in seiner oft von mir citirtcn Epistola ad Lectorem An vero ct Graeco a Xi- lanclro editus sit D'iopluiutus, nondum certo comperire potui. Vitietur sane in inultis suorum Commentariorum locis, do Graeco Dioplianto tamjuam a se edito, vel mox edendo, verba facere. Sed hanc editionem, neque milii vidisse, neque aliquem qui viderit hactenus audivisse contigit. Vielleicht wurde Lylander an der Edition des Textes durch seinen frühen Tod, der schon am 10. Februar des folgenden Jahres, 1576, erfolgte, verhindert. Vielleicht gleichzeitig, oder etwas später, aber noch im scchszchn- tcn Jahrhundert, scheint der Neapolitanische Mathematiker Joseph Anria Diophant's Schriften ins Lateinische übersetzt, aber nicht durch den Druck bekannt gemacht zu haben. Nach Schulz 45 ist der Titel der Schrift Diophanti libri sex, cum scholiis graecis Maximi Planudae, atque liber de numeris polygonis, colluti 44 Z. B. Monnich II. 472. „ Xplanbcr hat ihn, nach einer ihm' so» Dubilius sie, Kaiserlichen Gesandte» am Polnischen Host, mitgetheilte» Handschrift, nebst einer Übersetzung davon, mit Konnncntarien 1575 herausgegeben. Aber diese Ausgabe ist von denen, welche Buchet de Megiriac sie 1G11 sie und Zcrmat 1670 veranstalteten, weit übertreffen worden. 45 Aorr. S. XLHi. „Noch erwähnen die Litteratorcn, baß sich in der Bibliothek eines Carl von Montchall eine Bearbeitung des Diophaulu von dem berühmten Mathematiker Joseph Anria von Neapel vermuthlich doch nur handschriftlich befunden habe, welche den Titel fuhrt u. s. w." s. o. 281 cum Vaticanis codicibus, ct latiuc versi a Joseph» Anritt. Bei Hcilbronncr finde ich unter den Handschriften der Ambrosischen Bibliothek zu Mailand 46 Dioplianti arltlimct. libri ct dc juan. polygonis, Joscpbo Anria intcrpretc. Nach Föchcr 4T hat er, waS lniwahrschcinlich ist, nur die Schrift über die Polygo- nalzahlcn übersetzt. Sonst habe ich über diese Arbeit keine Nachrichten finden können; selbst Cossali erwähnt ihrer nicht. Ich übergehe hier solche Arbeiten über Diophant, welche nicht ihn als Auctor, sondern nur die von ihm behandelten Sachen als Gegenstand mathematischer Untersuchungen angehen. Der Art sind die Arbeiten von Victa in seinen Zetcticis, ferner von Stcvi», Oughtrcd, Billy, Ozanam und Andern, von denen in der Geschichte ihrer Zeit die Rede sein wird. Demnach haben wir hier nur noch folgende Ausgaben und Übersetzungen zu nennen. Dioplianti Alexandrini Aritlimcticonim libri sex, ct dc numevis limltangulis Über unus. Nnnc priimun Graece ct Latiue editi, atque absolutissiiuis Coniniciitariis illustrali. Auctorc Claudia Caspare liacheto Mcziriaco Sebusiano. Lutetiae Parisiorum, sumptihus Sebastiani Crainois} r . 1621. fol. Es ist dieses die erste, oder eigentlich einzige Ausgabe des Griechischen Originals, die ihrem Bearbeiter alle Ehre macht. Mit unermüdlichem Flcis?c, inmitten eines langwierigen Fiebers 4Ä , hat Bachct die niannigfachcn Hindernisse, welche die Schwierigkeit des Auctors auf einer, die Verdcrbthcit lnid Uncorrcetheit der Mann? 46 Hist. matli. univ. p. 503. §. 90. 47 Oielehrteii-Lepieon „AL’RIA Joseph, ein berühnitcr Malhemalikus ve» Neapolis, war „in das Jahr 1590 bekannt,.übersetzte Diophantis sie Alexandrini Merck ,c lauroit jamais uehevd sans l’opimatrctd mclancoliquc que sa maludic lu> inspiroif. scriptc auf der andern Seite ihm in den Weg legten, überwunden; lind sein gelehrter, nur manchmal zu wcitläuftigcr Commentar beweist nicht nur, wie tief er sich in seinen Auctor hineingearbeitet, sondern hat auch nicht wenig zu den; allgemeinen Verständnisse und zur nähern Bekanntschaft der Mathematiker mit den Eigenthümlich- kcitcn Diophant's beigetragen. Zumal gilt dieses auch von den drei Büchern Porismatum, welche er dem Tcrtc vorausgeschickt hat, und die Manches enthalten, was zu jener Zeit neu war, ebenso wie die am Ende angehängten Appendicis ad librum de numeris polygonis libri duo, in welchen er die Diophantischc Theorie weiter fortführt. Dachet hat, wie oben Note 24 erwähnt ist, die Ausgabe nach einem Codec der Königlichen Bibliothek zu Paris veranstaltet, den er mit dem Palatinischcn und einem Vaticanischc», sowie mit der Tylandcrschcn Übersetzung verglichen hat, welche alle aber wunderbar in allen Lücken und Fehlern übereinstimmten, so daß er oft zu Conjccturcn hat seine Zuflucht nehmen müsse». Indeß ist er dabei sehr gewissenhaft zu Werke gegangen, und hat jede Einschaltung, ju der er sich, m» einen Sinn in den Tcrt zu bringen, genöthigt sah, durch Klammern, s j, und solche Worte, die ihm corrumpirt oder überflüssig schienen, durch Sternchen eingeschlossen, so daß man seine Conjccturen von dem Tcrtc immer genau unterscheiden kann. Wo es nöthig war, hat er sich über diese Vcr- bcsscrtlngen oder über Vorschläge zu solchen, auch in den Anmerkungen ausgesprochen. Die Mangel, welche diese Ausgabe noch behalten hat, sind nicht Schuld dcS Herausgebers, sondern leider bedingt durch die schlechte Beschaffenheit der Hilfsmittel, und so haben wir denn auch vorläusig noch keine genügendere Ausgabe dieses Mathematikers zu erwarten. Die Bachct'sche Ausgabe ist die einzige, welche sich auf die Autorität von Handschriften stützt. Ein bloßer Abdruck derselben ist folgender Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex et de numeris multangulis liber unus. Cum Commentariis *. Buchet i et observationibus 1. /*. de Fcrmal Senatoris Tolosani. Accessit doctrinae Analyticac inventum novum, collectum ex variis ejusdem 1. de Fermat Epistolis. Tolosae. 1>7. l'ol. Unter der Vorrede nennt sich N. Format f Samuel, der Sohn des auf dem Titel genannten berühmten Mathematikers, als Herausgeber. Was dieser Abdrrick an äußerer Eleganz gewonnen hat denn die Bachct'schc Ausgabe ist mit äußerst unangenehme», namentlich Griechischen Lettern gedruckt, das bat sie an inncrm Werthe in Bezug auf den Tcrt verloren. Sie ist nicht bloß voller Druckfehler in einzelnen Worten und Zeichen sz. B. dnrchgchendS -r statt 900 sondern auch ganze Zeilen sind ausgelassen oder doppelt gedruckt, z. B. III, 12 eine Zeile doppelt, IV, 25 eine doppelt und gleich hinterher eine ausgelassen, IV", 52 eine doppelt, V, 11 eine ausgelassen, desgleichen V, 14. 25. 33, VI, 8. 13 u. s. w., die Zahlen verstümmelt, was aber das Ärgste ist, die Bachet'schcn kritischen Zeichen sind fast überall, die Klammern durchgängig weggefallen, so daß diese Ausgabe als Tcrt des Diophant völlig unbrauchbar geworden ist. Dagegen erhält sie mathematischen Werth durch die sehr geschätzten OOserviitiones von Format, von denen zu ihrer Zeit die Rede sein wird. I» dem Zeitraum von 1070 bis 1810 ist dircet für Diophant nichts gethan worden. I» dem lctzgcnanntcn Jahre erschien DiophantnS von Alcrandrien über die Polvgon-Zahlen. Übersetzt mit Zusätzen von F. Th. Poselgcr. Leipzig. 1810. 8. mit sebr schätzbaren Anmerkungen und Mittheilungen über den vom Auetor behandelten Gegenstand. Noch mehr Ancrkcmunig aber verdient die Bemühemg des rühmlichst bekannten Professor Otto Schulz in Berlin, welcher uns in einer sehr vorzüglichen Übersetzung endlich den ganzen Diophant deutsch gegeben hat unter dem Titel Di ophantus von Alcrandria arithmetische Aufgaben nebst dessen Schrift über die Pologon-Zahlen. Aus dem Griechischen übersetzt und mit Anmerkungen begleitet von Otto Schulz. Bcr- liu. 1822. 8. Das eben erwähnte Werk von Poselgcr ist mit Genehmigung des Letzten, in diese Gcsammtnbcrsctzung aufgenommen, wofür jeder Liebhaber des Diophant beiden Männern Dank wissen wird. Die Übersetzung des Ganzen ist trat, ohne durch zu ängstliche Nachahmung des Originals in unwesentlichen Dingen ungenießbar zu werden. Die erläuternden Anmerkungen, welche einen bedeutenden Theil des ziemlich starken Octavbandcö cinnchmcn, beziehen sich der großen Mehrzahl nach auf den Inhalt, und geben nur selten Andeutungen >>bcr ctwanigc Verbesserungen im Tcrtc. Der Übersetzer ist nicht 284 Mathematiker von Profession, dcßnngcachtct werden seine Aiimcrkun- gcn Manchem das Verständniß des Schriftstellers erleichtern, und ihn auf den richtigen Etandpunet zur Beurtheilung desselben stellen 49 . Es wäre in der That wi'mschcnSwerth, daß wir erst von allen Griechischen Mathematikern, wenigstens von den wichtiger», solche Übersetzungen hatten, wie von Diophant, Archimedes und Eu- klid'S Elementen. Ich will hier noch eine Frage vorausnehmen, welche eigentlich erst aufgeworfen und beantwortet werden sollte, nachdem wir unS in einer übersichtlichen Darstellung mit dem Inhalte der Dwphanti- schcn Schriften bekannt gemacht haben, die ich aber theils darum hier anticipirc, weil sie ihrer Natur nach in diesem rein historischen Abschnitte einen Platz sucht, theils, weil ich fürchte, daß sie am Ende des Ganzen sich zu sehr vereinzeln könnte. Es ist nämlich die Frage, ob Diophant der Erfinder der algebraischen Methode bei den Griechen sei. ES ist kaum mehr der Muhe werth einen oft widerlegten AnSspruch Bombclli'S noch einmal zu widerlegen, den nämlich, daß Diophant >>n Verlaufe seines Werks Indische Auctorcn ci- tirc. Bombclli hat den Tort des Diophantns nicht hinlänglich sorgsam von den Schollen des Planudcs gesondert; in letzteren werden allerdings die Inder genannt, und zwar ihre Multiplicationsme- thode iü ; diese Erwähnung darf uns auch bei cincm Schriftsteller nicht Wunder nehmen, welcher selbst ein leider noch nicht cdirtcS Werk geschrieben unter dem Titel ijjTiepocpog/a x ut ! 'lv iSou, r] /ie- 49 Ich weiß nur ein Beispiel anzuslihre», in welche»! der gelehrte Ver- fasser, durch eine Übereilung selbst verteilet, den Leser irre führt, was er gewiß längst schon selbst bemerkt hat; es ist eine Anmerkung zu V, 14. S. 524 525. Diophaul'S Determination ist da in der Thal nicht ausreichend, und einem Manne wie Schulz sieht man's gerne nach, wenn er aus Versehen in der Formel in - j- 2 die Bedingung einer ungeraden Zahl sieht. 50 S. die Übers. v. Mander, Des. IX Ut ostendntiir, qno pneto peil uria in penurium duetu, copiam; in copiam ducla pcnui'ium procrccl, » γάλη λεγάμενη. Kein Citat bcr Art stt'cr findet sich in irgend einer Stelle des Diophautifcheii Textes, da dieser Auetor im Allgemeinen das Citiren nicht liebt. Überhaupt ist jedenfalls die Annahme irgend eines von auswärts ausgegangenen Einflusses auf Diophant's Werk unstatthaft, und die Frage kann hier nur fein, ob Diophant unter den Griechen direele Vorgänger gehabt habe, welche durch fein hervorragendes Genie verdunkelt und verdrängt lvordeu sind * * 5 ' Diejenigen, welche Diophant für den ersten und alleinigen Erfinder der Algebra zu halten geneigt sind, stützen sich besonders auf eine Stelle seiner Vorrede, welche die in dem folgenden Werke vorgetragenen Sachen als neu bezeichnet. Um diese Stelle in ihrem vollständigen Zusammenhange beurtheilen zu können, gebe ich hier die ganp Vorrede ή» εΐ^ειν ν h> οΐ άρφμοΐ wo ο- [Ίλημάν, ιμιώαέ μοι Αιοννιε, γινιοκν ε πονδαί χονα μα^εΐν, δογανο'αι ην μέθοδον επειρά^ην, άρξάμενο αφ’ cov υνάηκε α, πράγμαα θεμελίν, υποηαι ην ευ οΐ άρφμολ ψνιν ε καί δύναμη', ί μεν οΖν δ οχ,εΐ ο πράγμα δυ- χερει ερον, επειδή μ μ π ο> γνώριμν ει , δνελπιοι γάρ ει καάρΡίν εϊιν αΐ ιον άρχομεψν ψυχ,αί , μ ’ οι γενηεαι διά ην ην προθυμίαν καί ην non sndienm liic multiplicnmli ratlonem, qnae invevsam Graecniiici lmiris ordinem sequitar, seil aostrum tenebiinns. S. Schatz Vorrede S. XXIX. 8t Solche spurlos- Verdrängungen ftül'erer Werke darch spätere, welche dieselbe» sehr überragen, liegen ganz in der Ordnung der Dinge, so lange Bücher nur noch als Manuseripte cristiren. Wir haben Aristäus und Anderer Werke über die Kegelschnitte nicht erhalten, weil sie von Apollonius übcrtroffcn wurden, und man »achgchcnds nur dieses vollständigere, vorzüglichere Werk abzuschreiben sich die Müde nahm. Eben darum sind die astronomischen Arbeiten von Hippar- chus durch die vollständigeren des Ptolemäus verdrängt worden, und es heißt allen natürlichen Zusammenhang historischer Thatsachen umkehren, wenn Scholl Geschichte der griechischen Literatur, deutsch von Pinder. Bd. II. S. 702 sagt „Überhaupt verdankt Ptolcmäus einen Theil der übertriebenen Verehrung, welche il'm gezollt worden ist, der Seltenheit der hipparchischen Schriften, welche unmit- lelbar nach seinen Lebzeiten verloren gegangen sind." — Die Hipparchischen Schriften sind vielmehr umgekehrt darum verloren gegangen, weil man dem >>plo- lemäus eine so große und allgemeine, und wen» man will, äberlriebcnc Verehrung zollte. 280 ι o'jT ΧΛοδί/^ίΐ’ αχεΐα γά ει μΰρψιΐ’ επιθυμία ποολι/.βεινο rx ötSuyJpK d. h. „Da ich sehe, daß Du, mein gcchrtcstcr Dionv- silis, eifrig bemüht bist, die Auflösung der arithmetischen Probleme zu erlernen, so habe ich die Methode systematisch darzustellen l oo>’- vtotrai versucht, indem ich mit den Grundlage» beginnt, auf wcl- chcn die Operationen beruhe», nämlich mit der Entwickelung der den Zahle» cigenthümlichen Natnr und Eigenschaft δΰναμι. Vielleicht nun erscheint die Sache etwas schwierig, da sie noch nicht bekannt ist, denn die Gemüther der Anfänger haben auf das Gelingen wenig Hoffnung. Aber es wird Dir doch leicht faßlich werden durch deinen Eifer und durch meine Darstellung; denn Eifer, der die Unterweisung zu Hilfe nimmt, führt schnell jur Wissenschaft." — Nun fragt sich, giebt Diophaut hier seine vorzutragende Lehre so geradezu und unzweifelhaft für etwas ganz Neues, noch gar nicht vorhanden Gewesenes aus? Ich denke vielmehr, die Worte επειδή μν,π γν$ηιάν km stehen ganz subjektiv da, nur in Bezug auf den Schüler, den der Verfasser vor sich hat. Es wird, sagt Diophant, dem Schüler immer schwer etwas zu lernen, das seinem Wesen nach ihm noch neu ist. Dieser Sinn der in Rede stchcndeit Worte wird »icincr Meinung nach ganz unzweideutig bestätigt dtwch den Zusatz δυε?.πιοι γάο ει χαύοΡίν εΐιν αι ν άοχομενν ψυχ,/. Dem Anfänger, sollte ich meinen, wird die Erlernung einer Sache nicht dadurch erschwert, daß diese wirklich noch objectiv neu ist, sondern die Schwierigkeit für ihn entsteht nur aus der Neuheit, welche die Sache für ihn hat. Ja, der Anfang der Vorrede sagt ja ganz dclitlich, daß Dionysius schon von Aufga- bcn der Art gehört hatte; Diophant führt ihn ja nicht aus eigenem Lchrertricbc, sondern von Jenem dazu aufgefordert in das Gebiet der arithmetischen Aufgaben ein. Und waS hat denn nun, als die Aufforderung an ihn ergangen war, Diophant gethan? '0 QyuvS- μίοδον έπειοάρ-ιιν „ich habe versucht die Methode systematisch darzustellen, zu ordnen." Darin liegt doch ganz klar, daß der Stoff wenigstens zum Theil, daß einzelne Methoden zur Auflösung solcher Probleme bereits vorhanden waren; er hat ja nur organisirt, systematisch angeordnet, was factisch hie und da zerstreut vorhanden war; er hat, wie es weiterhin heißt, die Sache so geordnet, wie er glaubt, daß sie für Anfänger am faßlichsten sei. Dieses schließt indeß kcincswcges die Möglichkeit aus, daß Diophant 287 auch au dcm Inhalt sciucs Werks, an bcn vorgetragene» Sachen unb Mcthodcit, einen bedeutenden eigenen Antheil habe, und ein großer Tbeil des Gegebenen von ihm selbst herrühre. So folgt denn wohl schon aus dieser Stelle, auf welche gewöhnlich die Hypothese basirt wird, daß Diophant der Erfinder der Algebra gewesen, gerade das Gegentheil. Und diese auf die Deutung der Vorrede in obigem Sinne gestützte Ansicht, in der ich übrigens von sehr achtbaren Alltoritätcn unterstützt werde M , erhält noch mehr Wahrscheinlichkeit durch die Art und Weise, wie Diophant die Fundamente seiner Ncchmmgcn auseinandersetzt. Das Werk beginnt näm- 52 ganz die von mir entwickelte Ansicht bat Schul, Borr. XXII — XXIV ausgesprochen „Es ist aber nichts als MIßvcrständniß eines flüchtigen Lesers, wen» man hinzusetzt, Diophantus eigne sich selbst die Erfindung der Ana- ivsis zu s. w.". Eossali ist auch der Meinung, daß Diophant nicht der Erfinder der Algebra sei; was aber so eigentlich seine Meinung ist, geht aus seinem Räsonnement V. 1. p. 82. 83 nicht so recht hervor. Erst sagt er L» parola fnhricuri Bachet's Übersetzung von oqyaväaai, 1’ asserzion ignotum atfhttc dimostrano a tanto luce, die Diofanto va a fare qualclie cosa üi nuovn, die bisognerebbc non avcr occhi per non vcderlo; wo er also das fLy*ei yvätJi./iov in dem Sinne von etwas absolut Neuem nimmt. Nachdem er nun eine Weile mit Montucla gezankt, fährt er so fort A me par troppo il dirc, die da quelle cspressioni liou nc csca alcun lume; mi pure troppo il restingere la liovitä, die annunziano, nl nictodo, dic nell’ opera di Diofanto regnar si mira; mn parini anelie troppo il dcilariic exuere stato Diofanto in nssoluto senso inventor doli’ analisi. Es tomillt am Ende weiterhin darauf hinaus, daß er die Algebra der bestimmte», selbst der guadratischen Gleichungen als vor Diophant vorhanden auninnnt. Und ungefähr in demselben Sinne spricht sich Eolebrooke Note M. p. LXII aus lt is ratber to bo inferred, as Cossali does, froin bc compcndious \v;ij in wbiclt tbe prineiplcs of Algebra arc delivered, or allnded to, bv bim, that tbe determinate analysis was previously not nnknown to tbe Grecks, wheresoever tbey got it; and that Diopbnntas, treating of it cnrsorily as a matter alrcady understood, gives all bis attention to cases of indeterminate analysis in wliidi perbaps be bad no Grcek precursor Coss. Orig. dell’ Alg. I. 4. 10. He certainly intimatos, that some part of wliat bc proposes to teadi is new rag fiev olv to qäir/fut ö'wXSQtGtiQov fL'ii r utK. - jvc.'iQitiov lati, wbitc in otlier places Des DI be expects tbe stndent to bc previously exereised in tbe algoritbm of Algebra. Tbe sceming contradiction is reconeiled by conceyving tbe principies to bave been known, but tbe ujiplication of thein to a certain dass of prolilems coueerning numbers to liuve beeil new. 288 lich mit elf Sätzen, die zniii Theil Erklärungen, zum Theil die einfachen Lehrsätze für die algebraischen Operationen, den AgorithmnS enthalten wiewohl sie in den Ausgaben sämmtlich Defiuitioiies überschrieben sind, und die Kürze und Bciläusigkcit, welche aus diesen Erklärungen und Erläuterungen der Elemente spricht, deutet jedem Unbefangenen ganz klar an, daß Diophant hier nichts Neues lehre, sondern nur Bekanntes ins Gedächtniß rufe. Nachdem er in Des. I über die Potenzen gesprochen, fährt er Des. II. fort K- λεΐαι ovv ο μεν εράγνο δνναμι, κα'ι ειν oaVrj ημεΐον ο δ επίημον ε%ον ν, und ebenso bei den folgenden. Das war also doch ganz gewiß schon zu seiner Zeit gebräuchlich. Ja selbst die Bezeichnung der Unbekannten fi'chrt er nicht anders ein 6 δε μηδέν ούν ν ιδιμάν κηαάμεν ο, εχ,ν δε εν εαυ πλΐρο μονάδν άλογον bei Blichet unrichtig άλογο ,οφμο καλείαι, και ειν ανον υ’ημεΐον ο ', wo πλίθο μονάδν άλογον nicht, wie Dachet im Euklidischen Sinne des άλογο übersetzt, multitudo unitahiin rationis expers, sondern eine unbekannte Menge von Einheiten bedeutet. In Des IX. hält Diophant cs nicht für nöthig, einen Satz, der selbst spätern Mathematikern so viel Kopfl'rechcn verursachte, den nämlich, daß Negatives mit Negativem multiplicirt Positives gebe, auch nur mit einer Sylbe zu erläutern, sondern er sagt, als spräche er von einer Sache, die sich langst von selbst versteht ΛεΓψ, επ» λεΐφιν πολλαπλαιαρεΐα ποιεί ύπαρξιν λεΐψι δε επ'ι νπαρξιν ποιεί λεη\ιιν. Die Divisions- rcgcln in allgemeinen Ausdrücken giebt er gar nicht, weil sie, wie er meint, dem Schüler schon aus den Des. 1Y. bis IX vorgetragenen Multiplicationsrcgcln klar sein müssen. Nachdem er nun in der zehnten Dcsinition ermähnt hat, in den Ncchnungcn mit algebraischen Ausdrücken sich fleißig zu üben, namentlich in Operationen mit mchr- glicdrigcn Größen, von denen er vorher gar nichts gesagt hat κα - λ ovv εχει εναρχμενον η πραγμαεία, υνδέει και άψαι- ρέει και πολλαπλαιαμοΐ οΐ περί ά είδη γεγνμναΡαί" και π είδη υπάρχονά κα'ι λεποί α, μη μοπλη^η, προκήει εε- ροι ε’ίδεαιν ηοι καί ανοΐ υπάοχουιν, ί και ομοί νπάρχονι κα'ι λείπονι’ X! π άπδ υπαρχνν ειδών και εεροον λει- πνν άφαιρηει εερα ήοι νπάρχονα η και ομοί νπάρ- γονα κα'ι λείπονα , llllb sich dann erst an die Aufiösung von Aufgaben zu machen, so lehrt er eben so kurz und gleichfalls nur wie 289 wie eine Nebensache in der elften Definition, wie man eine gegebene Gleichung auf die einfachste Form bringen könne. Man ersieht aus dem Allen, daß Diophant die Elemente der Algebra nicht lehrt, sondern voraussetzt und nur im Vorbeigehen daran erinnert um den Schüler zu veranlassen, daß er sich in denselben recht festsetze, weil er in seinem Werke sich derselben als Hilfsmittel der Untersuchung bediene. Nicht ebenso setzt er die Bekanntschaft mit den quadratischen Gleichungen voraus; die Auflösung dieser verspricht er, am Ende der I-e>f. XI., zu lcbren, wie wir oben gesehen haben. Demnach stellt sich in Bezug auf die aufgeworfene Frage ungefähr folgendes Resultat heraus. Die algebraische Methode war vor Diophant erfunden, und er durfte, als er davon Gebrauch machen wollte, an die Hauptrcgcln derselben, so wie an die Auflösung der Gleichungen des ersten und der reinen Gleichungen des zweiten Grades nur kurz erinnern. Ob die Auflösung der gemischten quadratischen Gleichungen seine Ersindung war, können wir nicht bestimmen, wenigstens glaubt er sie nicht ebenso uncrläutcrt voraussetzen zu dürfen. Die Behandlung der unbestimmten Gleichungen des zweiten Grades sind der Hauptzweck seines Werks; cS fehlen uns aber auch hier die historischen Elcincnte und Mittelglieder, um entscheiden zll können, wieviel davon ihm selbst angehört, lind was er etwa schon als Stoff vorgefunden hat. Zu diesen aus der Betrachtung des Diophantischen Werks her- vorgegangcncn Resultaten nun noch einige Zusätze voir außen her. Was zunächst den ersten von mir ausgesprochenen Satz anbelangt, so ist wohl an dessen Wahrheit auch aus äußeren Gründen nicht zu zweifeln. Algebra ist, wie ich oben schon einmal berührte, weiter nichts, als die Anwendung der den Griechen seit Platon's Zeit bereits bekannten Methode der geometrischen Analysis auf die Rechnung 53 Das Princip der Algebra war also in seiner Anwendung 53 Ban; richtig fast diese Beziehung Dcchalr Cursus Math. T. I. P 8. 29. auf, dessen Theorie überhaupt viel besser ist, als seine Geschichte. An der erste» Stelle heißt es von ssUato Modurnque demonstrandi aualyticum ln 'euit, nempe supponendo quod quaeritur factum esse et dari, quae me- Niodns dici potest Algebra quaedam naturalis, et Algebrac artificialis seminarium fuit. Und p. 29. Plato Socratis auditor modum demonstrandi 0 ialylicum invenit, nempe prima Algebrac fundamenta jecit. Und fbfilb. i. 19 290 Uif die Geometrie den Griechen längst gegeben. Die Schwierigkeit, dasselbe auf Zahlmopkrationrn anzuwenden, lag mir darin, daß man nicht so leicht, wie in der Geometrie, auf ein Mittel verfiel, eine von allen unwesentlichen Aeeidcntien befreite Zahl darzustellen, wie man es in der Geometrie durch Hinzeichnung einer willkührlichcn von allen beschränkenden Voraussetzungen befreiten Figur vermochte. Man zeichnete z. B. willknhrlich ein Dreieck, lind sagte gesetzt dieses sei das gesuchte Dreieck; an dem so beliebig angenommenen Dreiecke operirte man alsdann rückwärts, indem man von dem als bereits vorliegend gedachten Gesuchten, vermöge der gegebenen Bcdin- giingcn der Aufgabe, aus das Verhältniß der Abhängigkeit des Gesuchten von dem Gegebenen durch fortgesetzte Schlüsse zu gelangen sich bemühte. Wie sollte man dagegen ebenso allgemein eine Zahl darstellen, ohne ihr gleich bei der Annahme einen bcstimmteil Werth brizulegm? Die Buchstaben des Alphabets, als geläufige Schrift- züge, lagen hier am nächsten; aber an jeden Buchstaben knüpfte die Einbildungskraft aus. Gewohnheit einen bestimmten Zahlbcgriff. Es blieb nichts Anderes übrig, als entweder ein willkührlich gewähltes Zeichen sich zu schaffen, oder den einzigen Buchstaben des Griechischen Alphabets, dessen Zug keinen conventioncllcn Zahlenwcrth in ! sich begriff, zu diesem Zwecke zu verwenden, nämlich das Finalsigma, vorher Algebra quae analytica dici potest, co quod per Analysin procedat, nempe id quod quaeritur jam quasi cognitum et datum supponat etc. ctc. — Minist hig, feie es febrint, ist der Unterschied, den Bezoiit Cours de Math. T. III. 1768. Prdf. p. III. IV. zwischen Analvsis und Algebra macht La methode qu on appelle Analyse, est ceile qui enseigne ii trnuver ces rrglcs, et 1’instrumont qu elle cmploic pour y parvenir, s’appelle VAl- gehre. — ' ianj falsch dagegen ist dic Definition von Analvsis In .ftlügct's Machcm. Wörterbuch Tb. 1. S. 77. „Analvsis, als wiffenschastliches Svstem, ist die aitgcmcinc Darstellung und Entwickelung der Zusammcnsetzungsarlen der Großen durch Rechnung. Sie behandelt alle Größen wie Zahle», aber als unbestimmte In Abzicht auf die Einlicit und die Menge der Einheiten. Dadurch unterscheidet sie sich von der Geometrie, welche die ausgedehnte» Größen u. s. w. mit einander vergleicht, ohne sie als Vielheit von irgend einer Einheit und Theilen der Einheit zu betrachten." — Die Analvsts gehört weder ausschließlich der Rechnung, noch ausschließlich der Geometrie an, sondern sie ist eine Methode, die in allen mathematischen, ja selbst In den philosophischen Disciplincn ihre Anwendung findet. *291 ?. Und man hat das Letztere wirklich gethan. Wann aber dieser Schritt geschehen ist, und von Wem, das laßt sich jetzt aus gänzlichem Mangel an vorhandenen Quellen nicht mehr bestimmen. Nur soviel laßt sich mit ziemlicher Gewißheit behaupten, daß diese so nahe liegende Anwendung so weit hinallsgcschobcn wurde wegen des erwähnten für diesen Zweck ungünstigen Verhältnisses des Griechischen Alphabets zu den Zahlen. Eine Spur von Unterscheidung unbekannter und gegebener Zahlen finden wir in dem alis Jamblichus oben mitgetheilten Epanthcma des Thymaridas, welches gleich so anfängt oqiiffievotv »/ dnQiurroiv /.leQiirt/fievav u>Qiir/.itvav 71 etc. „Wenn gegebene oder unbekannte Zahlen zusammen einer gegebenen gleich sind"." Ja, die ganze Regel des sogenannten Epaiuhema beruht auf der Anschauung algebraischer Zahlmaus- drücke, z>l welchem Ende ich zu vergleichen bitte, was ich im vorigen Kapitel über dasselbe gesagt habe. Jamblichus giebt uns ferner, wie wir gleichfalls gesehen haben, die Auflösung zweier Aufgaben, deren jede ailf drei Gleichungen des ersten Grades mit vier Unbekannten fuhrt, aber freilich ohne algebraische Bezeichnung, bloß in Worten, jedoch ganz im Sinne der Diophantischcn Algebra. Somit ist denn, wenn wir diese Thatsachen mit dem zusammenstellen, was wir eben über Diophant's Definitionen gesagt haben, nicht daran zu zweifeln, daß die Anwendung der analytischen Methode auf die Rechnung vor Diophant in Gebrauch gewesen, mit andern Worten, daß Diophant nicht der Erfinder der Algebra ist. Woher es nun gekommen, daß die vor ihm vielleicht vorhandenen Werke selbst bis auf den Namen untergegangen sind, als das vollständigere und glänzendere Diophant's sich erhob, lind warum deshalb auch die Araber keines der Art nennen, habe ich oben angedeutet. Daß aber Diophant keinen seiner ctwanigcn Vorgänger bi S. siOiHOYsil, UCfOg O Also * propone c scioglie nun eiln lnni vorn» nltro inateina- ticn^cbfiin’nbbia eercata In 116 vedesi da’ greei posteriori ci- tatoaltro scrittore cli tale scicnza unteriore a Diofnnto; ich gli Arabi, clii in jueHttt partc pnssono aver tanto peso di untorita, pianto gli stessi xroci, j;hi .ci sono rimasti, pnrlano di altro grcco algebrista ehe di Dia- fanto, tosnli Owg. I. p. 86 . das völlige Schweigen der Alten über irgend eine andere Arbeit der Art, woraus, wenn auch nicht zu viel, doch so viel gefolgert werden kann, daß die vorhandenen Bruchstücke, von denen Diophant ausgegangen ist, nicht von großer Bedeutung gewesen sein können. tu. ! ;! >>' t Siebentes Kapitel. S'orm der Diophaiitischeu Algebra. Erste, worauf wir bei der Darstellung der Diophanlischc» Analosis zu rücksichtigcn habe», ist seine Bczcichnungsmcthodc, welche gewissermaßen als das Gewand angesehen werde» muß, in welches er seine Kunst gekleidet hat. Ich will von derselben, weil von dieser Form so unendlich Vieles im Wesen abhängt, ein möglichst vollständiges und treues Bild geben, tnid werde ich dadurch auch gezwungen Manches ju wiederholen, was schon oft gesagt worden ist, so kann ich doch eine ansführlichc Auseinandersetzung des hichcr Gehörigen um so weniger übergehen, als man gerade auch im Betreff dieses Punctes in früheren Werken so viel Mangelhaftes und selbst Unwahres findet. Möge» also die Loser nur noch in diesem für Manchen unter ihnen vielleicht weniger anziehenden Kapitel mit mir Geduld haben und bedenken-, das; der Gegenstand desselben ein nothwendiger Übergang zu der Darstellung der sehr interessanten Methoden ist, deren unser Auctor sich bedient. Sind schon die algebraischen Werke des Qccidcnts bis znr Mitte des siebzehnten Jahrhunderts in Vergleich mit den modernen arm an algebraischen Zeichen, so trifft das bei Diophant'S Werk in noch viel höherem Grade zu. Diophant hat überhaupt mir drei Arten von Zeichen, erstens für die Unbekannte und ihre Potenzen, zweitens für das absolute Glied der Gleichung und drittens für die siibtractivc Bedingung eines Gliedes. Die Unbekannte bezeichnet er, wie ich schon in dem vorigen Kapitel andeutete, durch den Buchstaben mit dem Aecent, - xvfiog, und ihre entsprechende» Zeichen sind . 195. 196. macht bic sonderbare Bemerkung, baß die Italiener »nd ihre Lehrer, die Araber, die Potcnzenseala nicht von der '-polen; 1, der Wurzel, sonder» von der Potenz 0, der bekannten Zahl, anfangen. Seine Worte laute» so Wallis nun Im rillcttuto a due altre differenze lra Ic scaic medesime nämlich der Diophantische» und der Italienisch-Arabiscben, deren erster Unterschied der ist, daß die Letzter» die höher» Potenzen als Potenzen von Potenzen darstellen, während Diophant stc als Producte der niedrigeren Po- ze» betrachtet. La prima ci e, die liiddove Riofauto denomina con siu- golnritu Numero il numero ignoto, denominando Monade il numero dato di eompnrazione; gli nnticlii Italiuni degli Arabi seguaci denominuuo questo il Numero, e Radice, o Luto, o Cosa il numero sconosciuto. I,a seconda e die Diosnnto comincia Ia scala dal numero ignoto, e Fra Luca, Tarlaglia, Cardauo la incominciauu dal munero noto. Da;,, er folgende Tabelle Scala Diofantca Scala Araba 1. Numero , . . il noto ac 1. Numero . . v l'ignoto 2. Cosa, radice, lato Λ’ 3 2. l’odesta 3. Censo 3. Cubo 4. Cubo .r 4 4. I’odestä-podesta 5. Censo di censo 5. Podesta-cubo 6. Relato primo 6. Cubo - cubo 7. Censo di cubo, o cubo di censo u. s. w. 298 Ich habe oben im dritten Kapitel bereits davon gesprochen, wie die Grieche» überhaupt lind zumal auch Diophant Bruche zu bezeichnen pflegen. Dagegen muß ich als hichcr gehörig eine besondere Art von Brüchen erwähne», solche nämlich, deren Nenner die Unbekannte in irgend einer Form in sich schließt. Die einfachste Art dieser Brüche ist die, wenn der Nenner die Unbekannte selbst oder irgend eine nicht weiter complicirtc Potenz derselben ist. Wir finden darüber in Diophant's dritter Definition die nöthigen Aufschlüsse. „Wie die den Zahlen gleichnamigen Theile, sagt Diophant, den Namen der Zahlcir entsprechend benannt werden, so das; man von drei den Namen ein Drittel, von vier den Namen ein Viertel bildet, so werden auch die den eben beschriebenen Zahlen άοι'ρμ, δίναμι, κύβο u. s. w. gleichnamigen Theile nach den Namen dieser Zahlen bc- iianut werden, und man bildet von άΦμ den Namen ο agi- Ρμυν, von δνικμιι dM SRsllllCtl TU δνΐ’ίχμον, V0N κύβο 70 κίβοοου und so fort 70 δυναμοδνι/μο, δ δυιν/.μοχν'ίουον, ο κυβοκιβουΐ’. Jeder von ihnen wird seine Bczcichitung nach der gleichnamigen Zahl erhalten und eine Linie die Species abson- dMl δε ϊααο'ον uv~Zv έπί 7οΰ ομώνυμου άοφμου ι/η- S'icfc Tabelle ist insoweit ganz richtig, nur hätte ssossali, wie i» der zweiten Spalte, so auch in der ersten eine Stufe höher, nämlich mit den Diophantische» /aonietg anfaugeu, ober auch mit demselben Rechte in beide» Spalten diese erste Stufe weglassen sollen. Ich sehe gar nicht ein, was dem sonst so besonnene» Manne vier vorgeschwebt bat, und habe auch eben keinen der alten Italienischen Mathematiker bei der Hand, den ich zn diesem Behufe nachschlagen konnte. Vielleicht daß daselbst sich eine Stelle, wie folgende aus der Algebra ihres Lehrers, Mohammed den Musa, vorfand, aus welcher öoffali wider seine Gewohnheit einen Schluß gezogen hat, zu dem die Sache nicht berechtigt. Hier heißt es nämlich S, 3, der Rosen'schen Ausgabe j, UJ! ülX>. ^ „Ich fand, daß die Zahlen, deren man sich in der Rechnung Aljebr und Almukabalah bedient, dreierlei Art sind, und zwar Wurzeln und Luadrate und absolute Zahl, welche weder auf die Wurzel noch auf das Quadrat Bezug hat." Schwerlich aber dürste eine Darstellung der Art einen Schriftsteller bewege» zu sagen, der Arabische Auctor fange die Po- tenzenscala der Unbckannlr» mit der bekannte» Zahl an. Und daß die ältesten Italiener ungefähr dasselbe gesagt haben, läßt sich aus ihrcill sonstigen Zusammen- hange mit Mohammed den Musa schließe». 29ί ftuov γοάμμηυ εχον διαΰελλουΰαν ο είδο" 3 . Aus btcfcil legten Worte» scheint hervorzugehen,.daß Diophant seine Brüche ursprünglich anders, als gewöhnlich geschieht, bezeichnet habe. In dem gedruckten Torte aber werden diese mit unbestimmtem Nenner bei» gewöhnlichen ganz analog ausgedrückt,gülden, das Ncmi erzelch en dem Zähler alv_Erponmt angesetzt wird, z. B. und noch vollständiger indem er W>, die Endsylbe von ρ/ϊμουου, nebst dem zugehörigen Coefsiciente» oben ansetzt, 0^ “, 0C . Ist dagegen der Zähler selbst schon ein Zahlenbruch, so finden wir die Formel in der Regel ausgeschrieben, z. B. άφμοον u. uß , d. h. -ii-, δεναμοοον lmd ebenso bei algebraischen Nennern, z. B. μ° η μορίου S" 0 -. , d. h. -; 6' u u . 0 υ u. /i° η μορίου δ' υ a oc das heißt X* + X δ' υ ξ λίίψεί χδ μορίου δ υ α, μ°~ ιβ λείψει ξ, 3 Diese ganze Dkfinilio», sowie die siebente, welche die Mnltiplicationsregel snr solche Brüche von der Forni ~ enthält, hat Wachet falsch verstanden und so aufgefaßt, als hätte Diophant Ausdrucke von der Form -x im Sinne. Während n des Drucks bat der Herausgeber jedoch seinen Irrthum eingesehen und am Ende des sechsten Buchs, S. 451, verbessert. 4 Bergt. 111, 12. IV, 40, V, 30. VI, 3, 4. 5. 5 L. IV, 37. 300 d. x J + 12—7a ' 2a“ -f- 2 - f- -f- 1 und dergleichen mehr 6 . a 2 - j- 2a -j- 1 [3 . ö " L . gig° ö . £ i> fioQuo S “ . 4-/ n x ’ w °' u,^ z„„, Beispiel im Contcrtc für λιπών oder λεί^α , sogar in den Worten der Aufgabe 10 . Ferner wird oft das Wort sowohl als seine Abbreviatur von dem zugehörigen Zahlcncocsficicnten durch Partikeln getrennt"; ganz besonders aber deutet auch auf den Charakter bloßer Abbreviaturen der Umstand hin, daß den Zeichen 4 und μ°~ der den Worten ά^φμ und μονά nach der jedesmaligen Verbindung angemessene Artikel vorgesetzt, ferner daß dem Zeichen 4 statt des einfachen Accents in der Regel noch oben die Casusendung angehängt wird, ο-5, cö , ol, ο ΰ , οΐ , und so auch mit den für den Artikel gebräuchlichen Abbreviaturen " für άρφμον, für άοιρμν, gleichwie man r" für ον und f für v schreibt. Fast alle diese erwähnten Eigenthümlichkeiten finden wir in einer Formel vereinigt, welche wir in den letzten Zeilen des ersten Buchs lesen -» g , μ°~ λ ίοι ε'ί'ιυ οΐ , μονάχη , ε. Die letztgenannten Erscheinungen kommen indeß so oft vor, daß es nicht nöthig ist, Beispiele als Belege anzuführen; jede Seite bietet deren mehrere. Um den Standpunct, welchen Diophant in der Geschichte der Algebra in dieser Hinsicht einnimmt, richtiger beurtheilen zu können, bemerken wir Folgendes. Wir können, was die formelle Darstellung der algebraischen Operationen und Gleichungen anlangt, drei histo- 9 §. B. II, 12. 19. III^ 19. zweimal IV, IN. 25. V, 12. VI, 10. und öftre. 5 III, 19. ινα ούν ο πλΐίϊϊο ν άφΡμν χρα ο *λι>ο ν = v, so ist y = = 'imn Wenn x a = y 2 , m 2 it — / , — n 2 2 mn i/nn welches sowohl bei Diophant als bei allen genannten Mathematikern bis auf Vieta hin die Stelle eines wissenschaftlichen Beweises vertritt, Diophant kennt keinen andern Beweis als die Probe, das heißt, er beweist nicht die Zutafsigkeit der Methode, sondern er schließt auf deren Richtigkeit aus der Richtigkeit des speciellen Resultates, welches sie geliefert hat. Wir kommen endlich auf die Form der Wurzeln i» den Dio- phantischen Gleichungen. Wenn wir von den Auflösungen der unbestimmten quadratischen Gleichungen sprechen, so verstehen wir darunter nie die allgemeine Auflösung, dcrzufolgc eine der beiden Unbe- kanntcn durch die andere und durch die gegebenen Zahlen ausgedrückt wird; in diesem Sinne wurde die Behandlung der unbestimmten Gleichungen sich von der der bestimmten Gleichungen in gar nichts unterscheiden; nichts ist leichter als, wenn die Gleichung + 2y — 2 xy = b - j~ ux — 2 gegeben wäre, zu sogen also ist y — x — a + - b — ux — λ — \ x*. Sondern die Sache ist hier immer die, für eine der beiden Unbekannten einen solchen Werth oder solche Werthe in rationalen Zahle» zu finden, daß auch der Werth der zweiten Unbekannten rational werde; in dem angeführten Beispiele würde es also darauf ankommen, für x solche Werthe zu bestimmen, daß die Größe hinter dem Wurzelzeichen ein wirkliches Quadrat würde, damit wir den Ausdruck für y in rationaler Form erhielten. Diese Bedingung drückt der Grieche einfach aus durch sein ρφ/ι; die irrationale Größe ist ihm keine Zahl; daher sagt schon Ettklides 2 ' α υνμμεοα μεγεΡη προ αλληλα λγον ε%ει, ου αψΡμο ποο άφμν, „symmetrische d. h. Nach unsrer Redeweise, wie wir oben gesehen haben, rationale Größen verhalten sich zu einander wie Zahlen." Wenn also Diophant in seinen Aufgaben sagt εύοεΐν άο>ρμν oder aotp -μον, so versteht sich seiner Mcimnig nach von selbst, ohne daß er nöthig hätte einen weiter» Zusatz zu machen, daß er rationale Zahlen meine. Und dieses gilt nicht nur von seinen unbestimmten, sondern auch von seinen bestimmten Aufgaben, So stellt er z. B. I, 30. die Forderung, man soll zlvci Zahlen sindcn, deren Summe und deren Pro- duct gegebenen Zahlen gleich sind. Nennt man hier die Summe der Zahlen *, ihr Produkt p, so werden bekanntlich die beiden Zah- 311 len im Allgemeinen is - s- Vt*' 2 — P "> id — V4 2 — Pi Ausdrückt, welche für die gesuchten Zahlen irrationale Werthe gebe», wenn nicht f 2 — p eine Quadratzahl ist. Darum fügt Dio- -phant hier, und ebenso in allen ähnlichen Fällen, als nothwendige Bedingung der Auflösung hinzu δέΐ örj ν είψχομένν ον ΰπο ον ύμΐοο οϋ_ ϊνναμφοε'^ον εοάγνον ου νπ αύν νπεοεχειν ε^αγν, „Es muß das Quadrat der halben Summe der Zahlen deren Product um ein Quadrat übertreffen" das heißt eben, 4-* a — p muß ein Quadrat fein. Dadurch erklärt Diophant auch in bestimmten Aufgaben jede irrationale Auflösung für nnzu- lässig. Tulandcr hatte sich nicht wenig auf seine Gewandtheit in der Behandlung der von EuklidcS gelehrten Jrrationalgrößcn eingebildet und hielt gerade das für eine Berechtigung sich an die Bearbeitung des großen Arithmctikcrs Diophant zu wagen; er sah sich daher sehr überrascht, als er fand, daß dieser Auctor jene Größen gerade geflissentlich vermeiden lehrte. Ferner betrachtet Diopdautus die negative Form der Wurzel als unstatthaft, wie die meisten Determinationen des ersten Buchs beweisen. Diese Vernachlässigung negativer Wurzeln darf uns bei Diophant um so weniger wundern, da überhaupt aufgeklärte Ansichten über die Bedeutung derselben sich erst im siebzehnten Jahrhundert entwickelten. Nur die Bemerkung will ich hier noch machen, daß die Begriffe von negativen, irrationalen und imaginären Zahlen bei Diophant ganz gleichbedeutend sind, das heißt, in negativer oder irrationaler Gestalt diesem Mathematiker für eine Wurzel in unmöglicher Gestalt gilt; er erklärt die Auflösung von Gleichungen, die aus eine negative oder irrationale Wurzel führen, für αδύναο. Darum erklärt er IV, 28. die Asflndung von x so daß die Formel a — x" 1 - j- — 1 ein Kubus werde, für αδύναον., weil die nach seinen Mitteln einzig mögliche Art, diese Formel zu bchaudeln, indem man nämlich, tun 3 und — 1 verschwinden zu lassen, die Wurzel des Kubus gleich — 1 setzt, ein negatives Resultat giebt, nämlich x — _ T 2 T . Ähnlich nennt er V, 2. die Gleichung 4 — 4 x - J- 20 αο-χο, weil sie das Rc- sutat x — — 4 geben würde. In den meisten Fällen, wenn eine Aufgabe auf eine dieser drei Unstatthaftigkciten führen könnte, filgt Diophant derselben eine Determination, προδιοριμ, hinzu. Diese Determinationen, auf welche als die hauptsächlichsten Fundgruben seiner Kenntniß der Zahlcnthcorie wir noch einmal zurückkomme» werden, haben demnach bei Diophant einen dreifachen Zweck 1. Verhütung eines negativen Resultats; in diese Rubrik gehöre» die Determinationen zu den Aufgaben I, 5. 6. 8. 9. 14. 16. 17. 20. 23. 24. II, 6. 2. Verhütung eines irrationalen Resultats; hichcr gehören I, 30. 31. 33. IV, 38. 40. von denen aber die beiden letzte» zu enge sind- 3. Verhütung der Unmöglichkeit der Ausführung; es ist hier nicht von imaginären Formen im modernen Sinne des Worts, das heißt, nicht von Quadratwurzeln aus negativen Größen die Rede, welche schon durch die zweite Klasse von Determinationen zugleich mit verhütet werden, sondern die beiden hichcr gehörigen Determinationen zu V, 12. und 14. beziehen sich auf die Zcrlcgbarkcit einer Zahl in zwei oder drei Quadratzahlcn, gehören aber insofern nicht unter die zweite Rubrik, weil man das Quadrat einer Irrationalzahl, \n, nicht füglich eine Quadratzahl nennen kaun; die Unmöglichkeit steckt also nicht in der Form der Wurzel, sondern in dem Sinne, den die Worte der Aufgabe in sich schließen. Ähnliche Determinationen zu den Sätzen V, 13. 15. 16. hat Diophant vernachlässigt, obgleich sie eben so nöthig gewesen wären. Schließlich bemerke ich noch, daß Diophant Brüche von sciiieu Auflösungen nicht ausschließt, wie man aus Boffut's Worten zu folgern geneigt sein könnte 22 . Die Beschränkung der Auflösung der unbestimmten quadratischen Gleichungen auf ganze Zahlen ist ein Verdienst Fcrmat's und einiger seiner Zeitgenossen; von den dazll nöthigen Hülfsmitteln und Methoden scheint Diophant keine Ahnung gehabt zu haben; ja er macht diese Beschränkung nicht einmal bei 22 H>8t. T. I. p. 8. 9. Qu’on propose, par excniplc, Ics qucslions suivantes Partuger vn nnmhre curri en deux aulres nomhres Carres etc. etc.; ricn n’est plus facilc a risoudie que ccs qtiestions, si I’on permct d’employcr des nombrcs quelconques; mais si Tim impose la condition que les nombrcs chcrcliis scront rutionels; si, Von veutaussi exclure les nomhres fractionnaires alors la solution dcinandc g^ au xQ O 0 pe~vai Ta Xtlxovtci tläij iv cuupo. ityots Xo*? U-tyeo-tv, tut av rüv fuquv ia. eiöij ivvxdi>%ovta. 316 ncn, ist jede ungemischte Gleichung auf die Form m — 6 redn- civt und als aufgelöst zu betrachten. Diesen Gleichungen nun, oder vielmehr dcil Aufgaben, welche auf Gleichungen dieser Art führen, scheint nach Diophant's eigener Andeutung am Ende der Einleitung das erste Buch ursprünglich gewidmet gewesen zu sein. Auch noch in der jetzigen Gestalt des Werks führen die meisten Aufgaben dieses Buchs auf bestimmte Gleichungen des ersten Grades, einige 29. 34—41. in der Form x 2 — ax, drei 30. 31. 33. auf die reine quadratische Gleichung, was Alles ganz in der Ordnung ist. Vielleicht nur scheinbar ist die Abweichung von dieser vorgesetzten Ordnung, daß die Aufgaben 24 — 28 unbestimmt sind; denn sie werden dadurch, daß eine der gesuchten Zahlen gleich von vorne herein willkührlich angenommen wird, sogleich auf bestimmte Gleichungen reducirt. Dagegen haben sich Aufgaben, welche auf bestimmte reine Gleichungen führen und die also in das erste Buch gcbörten, in die folgenden Bücher verirrt, z. D- die Aufgabe II, 18. 19., welche ihrem Inhalte nach unmittelbar hinter I, 25. stehen sollte; ferner die Aufgaben IV, 1. 2. 16. 38. 40., welche auf die Gleichung Ax l — B führen; und IV, 42., welche, obgleich mit Hilfe zusammengesetzter quadratischer Ausdrücke, doch auf die Endgleichung — Jix zurückgeführt wird. Endlich gehören in ihrer jetzigen, aber ganz gewiß verstümmelten Gestalt hichcr die Aufgaben II, 1 — 5. Die große Mehrzahl der Aufgaben des ersten Buchs ist aber der Art, daß darin mehr als eine Unbekannte gesucht wird, und es sind davon nur sieben Aufgaben 7—11. 29. 43. ausgenommen. Es hat nun, wenn nur zwei Zahlen aus zwei Datis gesucht werden, in der Regel keine Schwierigkeit, mit Hilfe einer der gcgcbcncil Bedingungen beide Unbekannte durch dasselbe Symbol auszudrücken. Werden aber mehr als zwei Unbekannte gesucht, so legt Diophant einen ganz eigenthümlichen Scharfsinn an den Tag durch die Gewandtheit, mit welcher er sämmtliche Unbekannte auf die einfachste afi-i"'.?tx?tpt,/.of?X'i ; rt'~o du loulo fv fit?; ’oafo- cfj'aa'etfi rcov Xqoiucrtcov, sav trStJCi/rut, av t,v eiöo q gvt t’idti icfov otaia'M.0?$. Die Tautologie, welche der letzte Satz enthält, beruht vielleicht auf einer fehlerhafte» Lcscart, u»d auf einem Ihcilwciscn Zusatnmcnschmclzcn desselben mit dem vorletzten. 317 Weise als Functionon des einzigen ibm 51 t Gebote siebende» Symbols darstellt. Indes; gehört die Erläuterung dieser seiner Methode», so wie der Art, wie er gemischte quadratische Gleichungen durch eine geschickte Annahme zu vermeide» weiß, i» das folgende Kapitel. In Betreff des letzter-, Punctes füge ich nur hinzu, das; es begreiflicher Weise nicht immer möglich ist, das Rcsnltircn einer gemischte» quadratischen Gleichung zu vermeide», und das; es grundfalsch ist, wenn von einigen fluchtigen Leser» oder Nachbetern bchanptct wird, Diophant löse keine andern als reine quadratische Gleichungen 2 . Das; er die Anflösung der gemischte» quadratische» Gleichungen gekannt habe, davon wollen wir uns sogleich vollkommen überzeugen. 2. Gemischte quadratische Gleichungen. Da einerseits, wie ich schon oben erwähnt habe, Diophant nirgend die in der elften Dcsinition versprochene Auflösung der gemischten quadratischen Gleichungen lehrt, andrerseits er aber in seinem Vortrage durchweg die Eigenthümlichkeit befolgt, zu der Gleichung, auf welche ihn die Annahme geführt hat, allemal sogleich und ohne weitere Dcduction die Wurzel anzugeben, so würden wir nicht im Stande sein zu beurtheilen, ob er die geregelte Formel für die Wurzeln dieser Gleichungen gekannt habe, oder ob seine Auflösung bloß auf Versuchen beruhe, wenn nicht ein anderer Umstand, den wir 2 So schreibt Reimer Boffttt's Gcfth. d. Mathen,. I. S. „Aber Diophant vermeidet tiefe dir gemischten quadrat. Gleich. mit absichtlicher Kunst und weiß hier immer reine quadratische Gleichungen zu erhalten. Was ihm also von der Auslösung zusammengesetzterer Gleichungen bekannt gewesen ist, läßt sich nicht angeben; zumal da die letzten sieben Bücher seines Werks, die wahrscheinlich die vcrwickcUsten Aufgaben rnlhiellen, perlohren gegangen sind." — Ähnlich Klngel Mathe,,,. Worte-bl-ch Hh. I. 31 „Da er aber die unbekanntcn Größen so wählt, und die Auslösung so einrichtet, daß er alle Bedingungen in Gleichungen von, ersten Grade oder höchstens einfache quadratische Gleichungen bringt, so kann man nicht wahrnehmen, was ihm von der Auslösung zusammengesetzter Gleichungen, der cigeullichen Algebra, bekannt gewesen sei." Indeß widerspricht Klügcl sich selbst, indem er cbcnd. S. 177. 1^. lagt „Sein großes Werk, wovon nur die erste Hälfte vorhanden ist, enlhält die Lehre von den Gleichungen de ersten und zweiten Grades." Ein Ausspruch ist so unwahr, wie der andere. Diophant'» Werk trägt nicht die Lehre von den Gleichungen vor. 318 sogleich erwähne» wollen, uns hier zu Hilfe käme. Zuvor aber einige Beispiele der ersten Art. In der Aufgabe IV, 23. lesen wir als Resultat einer Operation δνναμι g α Ιη ο~ α λε/ψεί μ\° ö, και γίνεαι b ° ß; das heißt, in unsere Sprache übersetzt „cS ist also .- v 2 — 4x — 4 und x wird — 2." Ähnlich schreibt er VI, 6. και γίνεαι ... δ ä π0 ο\ ξ. ανα ία μ ο ξ } οΡεν b uQipubt; ευοίκεαι α ο ’ε δ ο α. /η εογίν ι^ η και ά^ιΡμψ ιν'ι ελάονι μ° 4> ρεν δει ον " εΰοί 'κεΡαι μη μείξονα μ ο t[i. Das heißt kurz Da X 2 — 60 > oder x 2 > 5 -s- 60, so ist x nicht kleiner 11. Da ferner 3 Ich werbe hier »nd im Folgende», sobald es sich nicht „m die DIophant eigenchiimiiche Darstellungswcisc, sondern nur um die Sache handelt, der bessern Anschaulichkeit wegen die Gleichungen und Formeln Immer in der uns geläufige» Welse bezeichnen, und mich der Diophantischen Zeiche» nur bediene», wenn es darauf ankommt, seine eigenthümliche Denk- und Borstellungsweise wiederzugeben. x z — 60 - - - ober x > 10,6304, atls der zweiten x ''76 ober x > q , f D ist x = \p — \* /> 2 — q oder auch x — ip — Vi/' 2 — q. Et sic si non solvetur quaestio eum diminitioue, solvetur cum additione, alle ©lieber positiv darstellt. So haben wir oben in dem Beispiel V, 33. gesehen, daß er die Gleichungen oder vielmehr die Ungleichheiten x 2 — 60 > 5λ und x 2 — 60 s,.r -f- 60, . 4-2 8 . 4 - -j- 60 reducirt. Daß diese Form der Gleichung diejenige gewesen, für welche er die Regel der Auflösung in einem der verlorenen Bücher gegeben hat, dafür sprechen nicht bloß die schon erwähnten lind noch anzuführenden Beispiele, sondern auch der Ausdruck in der elften Definition, wo von den quadratischen Gleichungen die Rede ist. Nachdem er gesagt hat, man solle die negativen Glieder auf beiden Seiten addiren und Gleiches von Gleichem sub- trahiren bis man dahin gekommen ist, daß ein Glied einem Gliede gleich wird, fährt er so fort νι/εον δε αοι δείζομεν xai Λ δυο ε'ιδίον ίν ίνι χααλειφΡενιον ο οιοΰον λύεαι, „späterhin werde ich dir zeigen, wie der Fall aufzulösen ist, wenn zwei Species gleich einer Species übrig bleiben." Offenbar setzt der Ausdruck χααλειφρενν , der auch in der vorhergehenden Regel gebraucht war, voraus, daß von einer Gleichung die Rede ist, aus welcher auf dem eben gelehrten Wege die negativen Glieder entfernt sind. Demnach ergiebt sich, daß wir auch bei Diophant, da er ebenfalls den Fall x 2 - j- px - j- y = o vernachlässigt, drei Normalformen der quadratischen Gleichung zu unterscheiden haben; und wirklich finden sich die Auflösungen jedes dieser Fälle, jedoch für den ersten nicht ganz vollständig, in seinem Werke gelegentlich zerstreut angegeben. Wir wollen sie nach der Reihe durchnehmen. Erster Fall. mx 2 - j- px = x = iP + + . m Seifpici II, 6 . Es wird in der Aufgabe gefordert, ein rechtwinkliges Dreieck zu suchen, so daß die Summe des Inhalts und emer Kachete Alles natürlich bloß als Zahl gedacht einer gegebenen ^ahl gleich sei. Diophant nimmt an, die gegebene Zahl sei 7, und das Dreieck sei der Form nach gegeben, und habe die Seiten 3x, i° 'st stin Inhalt 6x 2 , also führt die Aufgabe auf die Gleichung 6x 2 - j- 3 . r — 7 , Wollte Diophant nun diese Glei- chung auflösen, so würde er für x einen irrationalen, also dem Sinne » Aufgabe nach unstatthafte» Werth erhalten, darum untersucht er, wie er statt der Coefficienten 3 , 4, 5, welche die Form des * 01 322 Dreiecks von vorne herein als gegeben darstellen, andere hätten an- nchnicn müssen, damit diese Gleichung eine rationale Wurzel gäbe. Er fährt darum so fort Wenn man nun den halben Coefsicicntcn von x ins Quadrat erhebt p — 3, \p 2 = lind dazu das Produkt der Zahl 7 und dcS Cocfficicntcn von x 2 addirt [tn// — 42, so müßte die Summe ein Quadrat werden. Das trifft aber nicht zu. fx! δει ν ά^φμν ημίει εψ ίιχνο itQoopsivai ά δυνάμει εΛάκ/ γενομένα" ttul λο ιεΐυ εράγνον' ού Ίίοι'άαι δε]. In diesen Worten nun ist UNS die Gestalt des Theils der Wrirzel, der sich hinter dem Wurzelzeichen befindet, vollkommen gegeben. Zweiter Fall. mx 2 = px - j- x = Beispiel IY, 45. giebt uns zunächst eine Ungleichheit, die auf diesen Fall führt. Es soll nämlich 2 > s>.r 18 sein. Dio- phant dividirt diese Gleichung nicht durch 2, weil dann der Cocfsi- cimt von x, dessen Hälfte er braucht, ungerade werden würde. Er sagt „Um nun hier eine Vcrglcichung anzustellen, so erheben wir den halben Cocfficicnten von x ins Quadrat, und wir erhalten 9; nun Mttltiplicirttt wir den Corfficicntcn von x 2 mit der bestimmten Zahl 18, das giebt 36; dazu addircn wir 9, giebt 45, und davon ist die Wurzel nicht kleiner als 7 das heißt, wie ich oben erwähnt habe, 6 ist zu klein. Dazu addircn wir den halben Cocfsi- cicnten von x giebt 10, und dividiren durch den Coeffi- cicntcn von x 2 , so finden wir, daß x nicht kleiner als 5 sein dürfe." Hier ist uns also die vollständige Form der Wurzel gegeben, aus welcher Diophant'S Verfahren unzweifelhaft einleuchtet. Wir können aber auch für diesen Fall eine wirkliche Gleichung beibringen. In der Aufgabe IY, 33. sagt Diophant über die Gleichung -f- 18 — 5x 2 „und es findet keine Auflösung in rationalen Zahlen statt; aber 5 ist eine mit t vermehrte Quadratzahl; diese muß, mit 18 multiplicirt und um daS Quadrat des halben Cocfficientcn von x, oder um 2 vergrößert, ein Quadrat geben." Dieses Naisonliciucnt giebt uns wieder nur Licht über die Größe unter dem Wurzelzeichen. Dritter Fall. mx 2 - f- y = px\ x — - μ/ 323 Beispiel VI, 24. ± - f 196a 2 — 336 A — ^ -s- 172 s= 196 a 2 -s- „Man addirc an beiden Seiten die fehlenden Größen, ziehe Gleiches von Gleichem ab, und multiplicirc Alles mit x, so erhält man 336a* - f- 24 — 172 a. Diese Gleichung aber läßt sich nicht auflöse», wenn nicht das Quadrat des halben Cocfsi- eicntc» von a dp* — 7396, nachdem man das Produkt der 24 Einheiten und des Cocfficicntcn von a 2 24-336 =8064 davon abgezogen hat, ein Quadrat wird." Diophant nimmt hier keine Rücksicht darauf, daß die Wurzel nicht nur nicht rational, sondern sogar imaginär wird; genug daß sie nicht rational ausfällt, um die Gleichung als unstatthaft zu verwerfen. Auch für diesen Fall sind wir im Stande, ein an einer Ungleichheit vollständig durchgeführtes Beispiel beizubringen. V, 13. handelt es sich darum, x so anzunehmen, daß größer als also 17a 2 17 kleiner als 72a wird. „Man erhebe den halben Coefsicicntcn von a ins Quadrat, dieses giebt 1296, davon ziehe man das Prodnct der bestimmten Zahl 17 und des Cocfficicn- ten von a 2 ab, also 289, so bleibt 1007. Davon ist die Quadratwurzel nicht größer als 31 das heißt, wie oben, die nächste ganze Zahl, 32 wäre zu groß; dazu addirc man den halben Cocfficicntcn von x, so erhält man die gesuchte Zahl nicht größer als 67; endlich dividirc man mit dcn> Cocfficientcn von a 2 , so wird x nicht größer als Auch dieses Beispiel giebt eine unzweifelhafte Gewähr für die oben aufgestellte Form der Wurzel. In formeller Dezichnng bemerke ich nur noch, daß Diophant den Begriff, den wir durch das Wort Coefficicut bezeichnen, entweder durch ηλ'ΐρο, Anzahl, oder gar nicht ausdrückt; so sagt er IV, 45. ποιονμιν ν ο μυ εφ εαυ, das heißt „ wir erheben den halben Coefficienteu von x wörtlich die Hälfte der Wahlen auf das Quadrat;" χαϊ ά ö"^ επί ά μ° "i, und wultiplicircu den Cocfficicntcn von a 2 , 2, in die 18 Einheiten," wörtlich und multiplicirc» die 2 Quadrate in die 18 Einheiten. Dagegen heißt es III, 18. s-o πλίθο ν ξ 7 ^> v μονάδν. Die angeführten Beispiele stellen also die Thatsache fest, daß Diophant die allgemeine Atiflösung der quadratischen Eleichtingen 21 » gekannt habe. Es ist nun mehrfach bic Frage aufgeworfen worden, wie Man zu dieser Auflösung gelangt sei. Montucla und Cos- sali leiten die Erfindung aus Betrachtung geometrischer Construc- tioncn her. Allerdings läßt sich nicht leugnen, daß die Alten feit EuklidcS und vielleicht früher schon die Formeln .v 1 + px — q, — x 2 — q, geometrisch betrachtet, auflösen konnten. Der erste Fall, x* —— px — q, so dargestellt x .* - j- p = q würde geometrisch heißen eine gegebene gerade Linie p um ein Stück x zu verlängern, so daß das Rechteck aus der ganzen vcrlängertcir Linie p-j-x und dem angesetzten Stücke x einem gegebenen Raume q gleich werde. Der zweite Fall xx — p unterscheidet sich von dem ersten blos darin, daß hier nicht die Verlängerung, sondern die zusammengesetzte Linie gleich x gesetzt ist. Der dritte Fall dagegen px — x* oder xp — x = q befiehlt eine gegebene gerade Linie p in zwei Abschnitte x, p — x zu theilen, so daß das Rechteck derselben einem gegebenen Raume q gleich sei. Alle diese Aufgaben waren den alten Gcomctern bekannt und werden mehrfach von ihnen angewendet. Ganz direct schon findet sich die geometrische Auflösung derselben in der noch allgemeineren Gestalt mx 2 + px — q, px — mx 2 = q in Euklid'S Elementen VI, 28. 29., wo diese Aufgaben, geometrisch ausgedrückt, so lauten „An einer gegebenen geraden Linie, p, ein einer gegebenen geradlinigen Figur, q, gleiches Parallelogramm zu entwerfen, dessen Überschuß in dem ersten oder Ergänzung in dem zweiten Falle einem gegebenen Parallelogramm ähnlich ist." Dieses letzterwähnte Parallelogramm wird ein Quadrat, wenn der Cocfficicnt m in obiger Formel 1 ist. Der geometrische Sinn der Aufgabe ist folgender a _ c n c' ii 1 T . "k An der gegebenen Linie AB = p soll man ein Rechteck AE, AE' so anlegen, daß AE = BE c/o mx 2 , oder CB = m 1 werde. Nennt man also AI x, so ist BC = n>x, AC = p — mx, ACf = p-\-mx, demnach das Rechteck = xp — mx, AE' — x{j» -j- mx\ und es ist klar, daß aus diesen beiden Euklidischen Aufgaben sich unmittelbar die geometrische Auslosung der quadratischen Gleichungen ergiebt. Auf diese Aufgaben nun will Montucla die algebraische Auflösung dieser Gleichungen zurückgeführt wissen. Dieselbe geometrische Wahrheit nur etwas anders dargestellt, finden wir noch an einer andern Stelle der Euklidischen Werke wieder, nämlich Data 58. 50., welche den Lehrsatz aussprechen „Wenn ein gegebener Raum AE an eine gegebene Linie AB angefügt wird, aber um eine der Gestalt nach gegebene Figur BE hcrüberragt oder zurückbleibt, so sind die Seiten BC, BE t>c$ Überschusses oder der Ergänzung gegeben." Das heißt, wenn x p -j_ ,„. r — ,j t so ist x und mx gegeben. Fast noch dircctcr wird uns die Hinweisung auf die quadratischen Gleichungen gegeben in den Sätzen 84. 85. der Data „Wenn zwei gerade Linien einen gegebenen Raum unter einem gegebenen Winkel einschließe», und ihr Unterschied oder ihre Summe gegeben ist, so sind die Linien selbst gegeben." Das heißt, wenn xy — , /, .v + y so sind x und y gegeben. Diese Satze der Data macht Cossali? als Fundament für die Erfindung der algebraischen Auflösung der quadratischen Gleichungen geltend. Der zuletzt angeführte Satz würde sogar beide Wurzeln der 6 Hist. 0. Matii. T. I. p. 413. Lorsquc j’al l sein. Wir finden wenigstens in dem Vorhandenen nirgend eine Spur, daß er sich diese Bcdinglnig gestellt habe. Ich will indeß eins diesen Schluß, der leicht das Gepräge eines logischen Cirkcls an sich tragen könnte, feinen weiteren Werth legen. Wir betrachten deshalb sogleich 1. die unbestimmten Gleichungen des ersten Grades. Diese Glcichnngen erscheinen bei Diophant immer in der Ge- stalt, daß irgend eine oder zwei, nie mehre Funktionen der Unbe- 330 saunten von der Form Ax 1 - f- Bx C zu einem rationalen Quadrat gemacht werden sollen. Demnach haben wir hier mit der Gleichung Ax 2 Bx -\- C — y*, oder mit zwei Gleichungen derselben Form zu thun. Es unterscheiden sich hier also ganz natürlich zwei Falle, die einfache nnd die doppelte Gleichung. u> Ei II fache Gleichung, neqnatio Simplex. Je nachdem einer oder mehre der Coesficienten A, B, C entweder verschwinden oder besonderit Bedingungen unterliegen, gewinnt die Gleichung Ax*BxCy" 1 specielle Gestalten, die ich hier, so weit sich bei Diophant Beispiele davon sinden, der Reihe nach durchgehen will. Zuvor bemerke ich nur noch, daß Diophant die rechte Seite der Gleichung, = y 2 , immer in Worten ausdrückt, itsov ’iu'oi etc. 7£7oaytövp. 1. Gleichngen, deren rationale Auflösung immer möglieh ist. Dieser Fall tritt ein, wenn entweder A, oder C, oder beide zugleich o sind; demnach haben wir hier folgende drei Formeln zu betrachten Bx — y 2 . Diophant setzt in dem Beispiel III, 5. y 2 irgend einer Quadratzahl gleich; sein Beispiel ist 2,r- —y 2 ; er fetzt y 2 — 16, so wird x— 8. Man könnte auch y = mx setzen, so würde n Bx - f- C — y 2 . Für y 2 wird irgend eine bestimmte Quadratzahl, »r 2 , substituirt; dann wird . Beispiele III, 7. 8. 10. 11. 19. Die rationale Auflösung dieser Gleichung wird im Allgemeinen immer möglich sei»; daß aber x in vielen Fällen, z. B. -j- 2 — y 2 u. a, keine ganze Zahl sein kann, deutet Diophant nirgend an, weil ganze Zahlen nicht das sind, was er sucht. Seine einzige Fürsorge bei dieser Gleichung ist die, daß x positiv werde, was in jedem bestimmten Zahlenbeispiel und nach den verschiedenen Vorzeichen von B und c sich immer leicht bewerkstelligen läßt, Ax 1 + Bx — y 2 > Für y setzt Diophant x mit irgend einem Zahleneoesfieienten, ~x, so erhält er Ax-j-B — ^. r, also x— - Auf dasselbe Resultat führt die Leslie'sche Zerlegungsmethode, nach welcher mau x= ^ y, Ax - j- B = sttzO 331 eine Methode, die in vielen Fällen die Auflösung der unbestimmten quadratischen Gleichungen sehr vereinfacht, von der sich aber bei Dio» phant keine Spuren finden. Beispiele für diesen Fall siehe II, 22. 34. IV, 23. 34. 2. Gleichnngen, deren rationale Auflösung nur unter gewissen Bedingungen möglich ist. Es kann hier nicht meine Absicht fein, alle Fälle und Bedingungen zu untersuchen, in und unter welchen die Gleichung Ax* * - - f- C = y 2 möglich oder unmöglich ist. Diese Untersuchungen gehören in eilt Lehrbuch über die unbestimmte Algebra, nicht in einen historischen Bericht über DiophantuS. Indem ich also den Leser, welcher sich über den jetzigen Standpunkt dieser Methoden unterrichten will, an die neueren Lehrbücher und in historischer Beziehung namentlich an die Schriften von Euler, Seilte, Lagrange, Legendre u. A. verweise^, begnüge ich mich hier dasjenige aufzustellen, was bei Diophant sich vorfindet. Wenn wir also die Form Ax 2 = y' 2 , welche nur möglich ist, wenn A Quadratzahl ist, übergehen, bleiben uns noch zwei Formen der Gleichung zu betrachten übrig. Ax 2 - f- C — y\ Die rationale Auflösung dieser Gleichung ist nach Diophant in folgenden Fällen möglich. I Wenn A positiv und Quadratzahl, also fx 2 C = y 2 ist. Diophant setzt y — + m, woraus sich ergiebt x = + — 2 ~”- Beispiele für A= 1 finden sich II, 12. 13. 14. 29. 30. III, 12. 13. Für andere quadratische Werthe von A II, 29. III, 13. 29. IV, 17. 18. 46. — 2 Wenn , als auf Cm 2 -\-D reduciern. Da cS aber nicht in meinem Plane liegt, diese Theorie weiter zu führen als Diophant gethan hat, so sei das Gesagte genug. 335 1» Doppelte Gleichung, acquntio dupUcatn. Unter dem Namen doppelte Gleichung'" versteht Dio- phant die Aufgabe, für die Unbekannte x einen solche» Werth zu finden, daß zwei Funktionen derselben zugleich Quadrate werden. Demnach haben wir zwei Gleichlmgen Jx'+Bx+C— y 1 , A^-^-B^x+Cy—y? in rationalen Zahlen zu losen. Dio- phant's Unterricht über die Behandlung dieser Gleichtmgen ist nicht vollständig und wir müssen uns die einzelnen Winke tmd Vorschriften, welche er hie ilud da giebt, aus den einzelnen Orten, an denen sie sich zerstreut befinden, zusammensuchen. Die erste Bedinglmg ist natürlich die, daß jede der beiden Funktionen an und für sich ein Quadrat werden könne. Wir haben gesehen, daß das immer der Fall ist, wenn das erste Glied, welches x 1 enthält, in der Funktion fehlt. Für diesen Fall giebt Diophant eine allgemeine Regel, nebst den nöthigen Beschränkungen. Die Regel findet man in der Aufgabe II, 12.; die Bedingungen, von denen die Möglichkeit ihrer Anwendung abhängt, in den Sätzen III, 18. IV, 35. 45. zerstreut. Wir wollen das daselbst Vereinzelte hier kurz ztlsammenfaffen. Damit die gleichzeitige rationale Altflösimg der Gleichlmgen Bx-\-C = ByX-\-Cy =y,- möglich sei, ist nothwendig, entweder 1. daß B und B v sich zu einander verhalten, wie zwei Quadrat- zahlen, oder mit einem aildern Ausdrucke, daß B und ähnliche Flächenzahlen seien. III, 18. IV, 35. Ein specieller Fall ist, wenn B=B t , z. B. II, 12. 14. III, 14. 18. IV, 35. Oder 2. daß C sowohl als C t jedes für sich schon Qlladratzahl sei. IV, 45. Der Zweck der einen wie der andern Bedingung ist der, daß man durch Multiplication mit einem quadratischen Faetor entweder die Coefficienten von x, oder die absoluten Glieder in beiden Fmietionen einander gleich machen könne, damit sie bei der Eub- traetion sich gegenseitig wegheben. Trifft nun eine dieser beiden Bedingungen zu und hat man durch Multiplication mit quadratischen 1° Es finde» sich im Griechische» Texte dafür drei Ausdrücke iai,,; II, 12. in, 14. 18. 20. IV, 24. 35. 45., und ölx^ U> III, 15. 17. 336 Factorcn entweder die Cocfsicicntcn von x oder die absoluten Glieder einander gleich gemacht, so ist Diophant's Regel II, 12. folgende Nimm die Differenz beider Ausdrücke und suche zwei Zahlen, deren Produkt dieser Differenz gleich ist, so ist das Quadrat der halben Summe derselben gleich dem größer Ausdrucke, das Quadrat der halben Differenz gleich dem kleineren. Wir ivollen diese Regel an den einzelnen Fallen erläutern, mit besonderer Berücksichtigung die von Diophant gegebenen Beispiele. Erster Fall. Wenn ß und ß v sich wie zwei Quadratzah- lcn zu einander verhalten. Sie also ß- hm' 1 , ß L — bmY, so haben wir die beiden Gleichungen - j- C—y' 1 , - J- C\ = yf. Multiplicircn wir die erste Gleichung mit die zweite mit »**, so erhalten wir -s- CmY zn^-y' 1 , und lmYmYx-\- Cjzi 1 = zrYyY Die Differenz ist Cmf — C^zY = zziYy 1 — rtryY = m i y-\-zzty l zn l y — zziy t . Zerlegt man also den Ausdruck Crn , 2 — Cj/i 1 in zwei Faktoren, P, Q, und setzt m,y-\-my l — P, m l y — my l = Q, so wird m i y-^\P-\-l l my i = z^{P—Q. Substituiren wir nun einen dieser Werthe für my oder für w?y, in die betreffenden Gleichungen, so erhalten wir die Werthe für x. Es wird also sein bzzYmYx-\-C>ziY — \{P-\-QY — iP*-\-?PQ. Aber PQ^Cm*—C\ziY f folglich x — ^ P ~^ ~ » 1 ^ * > und dasselbe Resultat hätten wir erhalten, wenn wir in die Gleichung hrfmfx-^Cjri 1 ~zzYyY für die letzte Grüße ihren Werth \{P — QY substituirt hätten. Da Diophant Brüche nicht ausschließt, so läßt sich die Grüße Vm* — jjrY allemal auf unzählige Weise in zwei Faktoren zerlegen, und er hat nur darauf zu achten, daß nicht */*'-}- QY kleiner als CmY oder \P—Qf kleiner als C,ttY werde, um negative Werthe von x zu vermeiden. Sind die Cocfsicientcn ß und /?, beide negativ, so macht das in der Behandlung keinen Unterschied; ist aber einer von ihnen positiv und der andere negativ, so können sie sich natürlich nie wie Quadratzahlcn verhalten, und die Auflösung ist dann wenigstens auf diesem Wege nicht möglich. Sind ß und ß t nicht bloß ähnliche Zahlen, sondern schon beide selbst 337 selbst Qnadratzahlcn, so macht das weiter keinen Unterschied, als daß man in der Formel b — 1 zn setzen hat. Ist dagegen schon von Hause aus B~B lt so ist weiter keine Veränderung mit den gegebenen Gleichungen nöthig. Die Snbtraction ergiebt dann geradezu — Ist hier wieder C— C = PQ, so wird y , = HP — {// also Ä*-+tf= */>-{- 2 , x = ¥ p °+^-i y t —Zx —dann wird x=-rA- Dem ganz ähnlich ist das Beispiel III, 21-, wo 4x*-\-3x— i 1- E. Euter unbejl. Sinai. AVop. 5., >rv bewiesen wird, daß diese Bcdin- die cigcnNich nur Sinn hat, wenn P eine ganze Zahl ist, auch für Brüche gin. 342 =y 2 , kx 2 — x — i= y 2 . Die Differenz ist y 2 —y I 2 = und muß IN die Faktoren 4x und 1 zerlegt werden; daraus ergiebt sich T Ax 2 -\-Bx-\-C—y 2 , yl i x 2 -\-C l =y l 2 . Ein Beispiel mit denselben Zufälligkeiten behaftet, wie die in dem vorigen Falle, ist Alles, was Diophant uns bietet. Wir finden IV, 24. x 2 -\-x —1 =y 2 , x 2 —1 — y*> also y 2 — y*—x die Zerlegung muß so ge» schehcn, daß y und y, das Glied x enthalten; demnach ist y-f-y, — y — y L = i, y = x-\-\, und ^ — V- Ax 2 -\-C= y 2 ; ByX-^C^y 2 . In alle» drei Beispielen dieser Form ist A=i und C=C\, so daß die Differenz immer ohne weitere Zurüstung die Form x 2 +ByX erhält. V, 1. x 2 — 12 = y 2 , V 3 *— 12=y, 2 , y 2 — y 2 = x 2 — '^x~x{x— K?x. Diophant setzt y-s-y, — y—y.— χ— V/ also y=.r— Λ 3 , y. — V/ also X — j. Ähnlich V, 2., wo /r- 2 -j-20—y 2 , \ 9 x +2 0-yr, also y 2 — y? —.»- — V 2 , y+y, = *, y—y t =*—V/ y — '~i / yi = V e , ••=tVV Und ebenso VI, 6. .v 2 -s-l—y 2 , l 2 j y 2 —y l 2 —x{x— 14, y—x — 7, y 1 = 7, χ— 2 γ. Ax 2 -\-Bx-\-C—y 2 f ByX-\- Cy —y 2 . In dem einzigen Beispiel dieser Form sind Λ, C, Quadratzahlcn; es steht VI, 24., und die mit ziemlich großen Zahlen behafteten Gleichungen sind X 2 — 6144.—f—1048576 =y 2 , .r-f-64— y, 2 . Diophant führt die Auflösung nicht zu Ende, sondern giebt nur den Weg an, den man einzuschlagen hat; es heißt nämlich am Ende ziemlich lakonisch κ,αι εξιρ οι 13 aoipiio'i, και ή t -πίροχή, και ή /.ΐίρη/, και 7α λοιπά δηλ; d. h. I1UUI Macht die Zahlt» einander gleich, nehme die Differenz, zerlege sie in Factorcn, und das Übrige ist klar. Thut man das, so erhält man λ 2 —6144λ- 1048576—y-, -j-104857 6 = 16384 y 2 , y 2 — 16384y t 2 — §- 2 — also y+i2Sy t =x f y — 128y, y — x —11264, 128y t = 11264, y^ — 88, demnach —88 2 — 64 — 7680. 13 Hier ist die Bachcl'sche Lescart wahrscheinlich zu verbissen. In i.....L ci r» ^ ^ > >. .. demnach muß 2/s—also - —und 2/,e-s-,/^— /1^2Ls — 7u' stst 2^st 2/e, also .r ^ / st e// der Gleichung genügen, sind ^2-^2,s— das heißt, die beiden W> t„st,/-—e// das heißt, die beiden Werthe vonwelche 4 Man setzt /—-st ^-st -h-?, und bestimmt so, daß außer dem ersten und letzten auch das vierte Glied 346 wegfällt, also k — Wen» man dann den Rest durch ' divi» dirt, so bleibt lix '4- C~ - f~2w/ -t- 2e -f-X a , also x ~b i lne~\-k 3 — /? J + 4e ? +-2e-0 AeeB+aD = D 'ttif^aU C 1 > auch auch * = ; daS heißt, es ist 2 >» — ke'Vae+O AeeB-\-aB Wir haben also durch diese vier Methoden sechs von einander verschiedene Werthe von x erhalte», von denen aber in der Ausführung in der Regel mehrere negativ ausfallen. Von diesen vier Methoden nun, die ich der Vollständigkeit und Übersicht wegen mitgetheilt habe, und von denen die beiden letzten ausschließlich auf die hier vorausgesetzte Form anwendbar sind, die beiden ersten dagegen allgemeiner auch den Fällen angehören, wenn nur eine der beiden Größen A oder E Quadratzahl ist, braucht Diophant mu° die beiden letzten. Von seinen beiden hichcr gehörigen Beispielen ist daS erste I V, 20. folgendes 9x* — Ax 3 - j- 6x n ' — l = y s . Ax~ + Bx -\-C—y 3 . Wir haben für diesen Fall nur zwei sehr einfache Beispiele. In dem erstem, VI, 1-, ist die Formel Ax 2 -\~Bx-[~ C ein vollständiges Quadrat, und zwar x* — bst setzt Diophant, was am natürlichste» ist, die Wurzel x —2 gleich einer bestimmten Knbikzahl, z. B. 8, so wird .v—10, y=8 350 Das zweite Beispiel, VI, 19., ist ganz eigenthümlicher Art, und oben schon erwähnt worden. ES soll eine Kubikzahl gefunden werden, die um 2 großer als eine Quadratzahl sei. Diophant setzt die Wurzel der Kubikzahl x —1, die Wurzel der Quadratzahl woraus sich die Gcichung crgicbt x 3 — 3x 2 -\-3x —1 = .=—-2^* -j-3, oder x 3 -\~x = 2 -f-4 und x — 4. Wir haben diese Gleichung als bestimmte kubische Gleichung schon besprochen. Hichcr aber gehört die Frage ist es Zufall, daß diese Gleichung so einfach ausfällt, oder liegt in der Annahme von x — 1 und x — 1 für die Wurzeln der gesuchten Zahlen irgend eine die Einfachheit des Resultats herbeiführende Kunst? Diophant sagt keine Sylbe über daS Motiv, welches ihn bestimmt, die Differenz der Wurzeln als gegeben zu betrachten. Der Umstand aber, daß die Zahlen 27 und 25, welche das Verlangte leisten, so nahe liegen, und die einzigen ganzen Zahlen sind, welche der Gleichung y 3 — z 2 -j-2 genügen ", läßt vermuthen, daß Diophant feine Annahme x — x-j-1, y = x —l aus diesem schon vorher gekannten Falle hergeleitet habe, um dann durch eine scheinbar kunstvolle Rechnung auf denselben zurückgeführt zu werden. Zu dieser Vermuthung sind wir um so mehr berechtigt, als Diophant nicht unterlassen hätte, uns vorher auf einen falschen Weg zu führen, hätte eS in seinen Kräften gestanden, uns hinterher den richtigen zu zeigen. Demnach sind beide Beispiele der Gleichung Ax 2 -\-llx-\~C-~y 3 nicht geeignet, bei Diophant in dieser Theorie uns viel voraussetzen zu lassen. Ax 3 -s- lix 2 + Cx-\-JJ = y 3 . Diese Gleichung laßt sich auf directcm Wege nur behandeln, wenn A oder D Kubikzahl ist. Haben wir nämlich a 3 x 3 -\-Bx 2 -\-Cx-\-JJ — y 3 , so ist y — ax -J- zu setzen, so daß das kubische und das quadratische Glied aus der Gleichung verschwindet; ist dagegen Ax 3 -\-Bx 2 -\~Cx 14 Diese Bemerkung rührt von Fcrmat her. S. Obsprv. in Iioph, VI, 19. Vermutn opera math. p. 192. Wnllis opern T. II. Commerc. epist. p. 770. In Brüchen erleidet die Gleichung allerdings unendlich viele Auflösungen; setzt man z. B. in der Gleichung y 5 — 2=* a , y = 3+y, *=5±f' ?/ ', 129 so erhalt man zwei zusammengehörige Werthe für y und *, nämlich y-— , 383 x 1000 * u. s. w. 351 _j -d 3 = y 3 , so setzen wir y — ^ - f- d, so daß die beiden niedrigsten Glieder aus der Endgleichung ausfallen. Beide Methoden lassen sich anwenden, wenn sowohl A als D Kubikzahl ist, wenn also die Gleichung die Form hat a 3 x 3 -\-Iix' l -\-Cx-\-jp — y 3 , auch kann man hier außerdem noch y = ax-\-d setzen, welche Annahme das erste lind letzte Glied ausfallen läßt; demnach sind wir in diesem Falle im Stande, auf directem Wege drei Werthe für x anzugeben, von denen sich dann im Allgemeinen beliebig viele wieder ableiten lassen. In dieser Gestalt erscheint Diophant's Beispiel IV, 27., und wir können mit Gewißheit behaupten, daß er von den drei Formen, die man dem y geben kann, nämlich a,v-\-~, 2^-?, und ax —n = 4, also x = ^ r y~\, as = $. Im Allgemeinen hätte man, wenn die Gleichungen Ax 3 -{-Bx z x 3 , B l x l -s- C\x ~ y 2 gegeben wären, erhalten x AC ,' , BC X 5 , CCt demnach r und wenn man diesen Ausdruck auf gleiche Benennung brächte, bliebe CCjn* — und Ax"* -f- -f- C~ y"* in mancher Beziehung beschränkt. 5. Für die doppelte Gleichung des zweiten Grades hat er nur dann eine bestimmte Regel, wenn in beiden Formeln das quadratische Glied fehlt; doch ist auch da seine Auflösung nicht allgemein. Für complicirtere Formeln kommen nur Beispiele unter besonders begünstigenden Umständen vor. 6. Die Auflösung der höhen, unbestimmten Gleichungen haftet fast ganz an den Eigenthümlichkeiten einzelner günstiger Zahlcnbei- spiele, und seine Methoden sind mangelhaft. Aus diesen Sätzen, deren Wahrheit aus den eben ausgeführten Thatsachen sich vollkommen bethätigt, ersehen wir, daß Diophant'S algebraische Technik nichts weniger als vollendet ist. Aber die Auflösung der Gleichungen ist auch gerade nicht dasjenige, was wir an ihm bewundern und was ihn noch heute so hoch stellt, sondern im Gegentheil die bis zur Virtuosität ausgebildete Kunst, solche Gleichungen zu vermeiden, die er technisch nicht lösen kann. Mit Erstaunen betrachten wir seine Operationen, wenn er die schwierigsten Aufgaben durch irgend eine überraschende Wendung auf eine ganz einfache Gleichung zurückführt. Wir bewundern in ihm nicht sowohl die gigantische Kraft, die jedes Hinderniß, das sich ihr entgegenstellt, besiegt, als vielmehr die ausgebildete Klugheit, die meistens gerade in dem Augenblicke, wenn man den Beginn des KampfeS erwartet, still, aber sicher dem Hinderniß aus dem Wege geht, und so zwar auf Umwegen, aber doch oft schneller als jene ans Ziel gelangt. Die Äußerungen und Erfolge dieser Klugheit soll u»S das nächste Kapitel zeigen. Neuntes Kapitel. Diophant'S AuflofungSmethobe». Viophant's Meihodcn in ihrer ganzen Mannigfaltigkeit vollständig darstellen, hieße nichts andres, als sein Buch abschreiben. Die individuelle Beschaffenheit fast jeder Aufgabe giebt ihm Gelegenheit, ihr ein eigenthümliches Verfahren anzupassen oder auf sie eine Wendung zu begründen, die sich auf kein zweites Beispiel anwenden läßt. Seine Größe beruht nicht, um dem Vergleiche am Ende des vorigen Kapitels einen neuen hinzuzufügen, auf einer im hohen Grade sich angeeigneten Kunstfertigkeit im Gebrauch einer oder einiger Waffen, sondern auf der unnachahmbaren Gewandtheit bei jeder sich darbietenden Gelegenheit vermöge eines augenblicklichen coup d’esprit gerade die Waffe zu ergreifen, mit welcher die momentane feindliche Blöße am leichtesten verwundbar ist. Ist cö indeß auch nicht möglich, in einiger Kürze alle feine Methoden darzustellen, so will ich doch versuchen, einige häufiger wiederkehrende oder durch ihre Eleganz sich besonders auszeichnende Operationen hervorzuheben und wo möglich ihr wissenschaftliches Princip durch eine allgemeine Darstellung und durch eine zweckmäßige Zusammenfassung des Gleichartigen unter gemeinschaftliche Gesichtspuncte zu veranschaulichen. Kann es mir gleich auf diesem Wege nicht gelingen, die Fundgrube dieses überreichen Genius zu erschöpfen, so tragt doch vielleicht eine solche Darstellung etwas dazu bei, in Andern den Trieb fernerer Forschungen zu erwecken und die Begierde der eignen Anschauung rege zu machen, auf welche ich nicht angelegentlich genug zurückweisen kann. Unter allen hier zu erörternden Kunstgriffen steht oben an 356 1. die geschickte Annahme der Unbekannten. Jedem Mathematiker ist bekannt, wie wichtig dieser Theil der AnalysiS ist, der sich einzig und allein anf eine gewandte Benutzung der jedesmaligen besondern Umstände gründet und auf keine allgemeine Regeln zurückgeführt werden kann, und wie sehr die leichte und elegante Expedition einer Aufgabe von der zweckmäßigen Annahme der Unbekannten abhängt. In dieser Kunst nun steht Dio- phant bis auf den heutigen Tag als unerreichtes Muster da. Es ist unmöglich, in einer übersichtlichen Darstellung in dieser Hinsicht den ganzen Reichthum dieses großen Geistes zu erschöpfen. Ich bin zufrieden, wenn es mir gelingt, die wesentlichsten Puncte, auf die es hier ankommt, einigermaßen aufzuklären. Der erste und einfachste Gebrauch, den Diophant von seinem Talent zu einer geschickten Annahme der Unbekannten macht, besteht in der Vermeidung gemischter quadratischer Glcichltngcn. Hiehcr gehört zunächst seine Behandlung der Aufgaben 30. 31. 33. des ersten Buchs, die ich oben schon berührt habe, und in denen respcctive Summe und Product, Summe und Summe der Quadrate, Differenz und Product zweier Zahlen gegeben sind. Nennen wir die Summe s, die Differenz d, das Product p, die Summe der Quadrate so würde» alle drei Aufgaben, wenn man die eine der gesuchten Zahlen x , die andere also s — .% oder d-\-x setzen wollte, anf gemischte quadratische Gleichungen führen. Was thut dagegen Diophant? Er setzt in den ersten beiden Aufgaben nicht eine der Zahlen selbst, sondern ihre halbe Differenz, in der dritten Aufgabe dagegen ihre halbe Summe als die in die Rcchimng einzuführende Unbekannte und gelangt dadurch auf eine reine quadratische Gleichung. Indem nun nämlich z. D. i» der ersten Aufgabe die eine Zahl die andere >— x ist, so wird ihr Product i 2 —.r 5 also x = ^y> — p\ es bleibt also weiter nichts zu thun übrig, als aus dieser gefundenen halben Differenz und der gegebenen Summe die Zahlen selbst zu finden. Ein äbnlichcS Verfahren finden wir auch in einigen bestimmten Aufgaben des vierten Buchs angewandt, z. B. gleich in den ersten beiden Aufgaben desselben, welche verlangen, zwei Zahlen zu finden deren Summe und Summe der Kubcn, oder deren Differenz und Differenz der Kuben gegeben ist. Wollte man in der ersten Aufgabe dir eine Zahl x, die andere *—x setze», so würde die Summe ihrer Kuben —3^'-s-3».r-2 _ c . llU i ähnlich j,, der zweiten Aufgabe. Dagegen setzt Diophant wieder in der ersten Aufgabe die halbe Diffe? renz, in der zweiten die halbe Summe der Zahlen x, die Zahlen selbst also 1*-}-*'/ I*—x in der ersten, x-\-^d, x—\d in der zweiten; durch diese Annahme gelangt er auf reine quadratische Gleichungen. Als ein Paar hübsche Beispiele dieser Art führe ich noch folgende an IV, 16. Drei Zahlen zu finden, so daß das Produkt aus der Summe von je zweien in die dritte eine gegebene Zahl sei. Nennen wir der Kürze wegen die drei gesuchten Zahlen A, B, C, so soll nach Diopham's Annahme {A-\-IlC=?>b, B-\-CA = 27, {A-\-€B — 32 sein. Die dritte Zahl, C, nennt Dio- o-t 35 phant x, so ist A-\-B = — . Es kommt also darauf an, — so in zwei Theile zu zerlegen, daß die beiden andmi Bedingungen erfüllt werden, Sei einstweilen A=~, B—^, so daß m-\-n = 35 ist. Dann ist B-\-C=x-{-^, A-\-C— jene Summe mit A, diese mit B multiplicirt, giebt die beiden Glcichun- gcn — — 32. Subtrahircn wir beide Gleichungen von einander, so erhalten wir n—m — 5, Es war aber m-\-nz=. 35. Demnach ist m=lb, = 20, also sind die dry Zahlen nun nach der Reihe *4, ™ und x, welche so bcschaffeiz sind, daß wenn von den beiden letzten Gleichungen eine erfüllt wird, auch die andere sich vcrificirt; cS ist also B-\-C= demnach B+ CA = = 27, also .r 2 = ~ = 25, folglich 5; und die drei Zahlen sind 3, 4, 5. Die Art, wie Dio- Phant hie Grüßen m und n bestimmt, da er dieselben nicht durch allgemeine Svmbole ausdrücken kann, wird uns Veranlassung geben, diese Aufgabe bei einer andern Gelegenheit noch einmal vorzunehmen, IV, 38. Drei Zahlen zu finden, so daß, wenn man zu dem Produkte von je zweien die Summe derselben beiden addir,, gegebene Zahlen herauskommen. 358 Diophant nimmt , p; nun setzt Dio- pbant sehr geschickt die Summe der drei Zahle» x, so erhält man jede der Zahlen einzeln, wenn man von dieser Gesammtsummc jede der drei Partialsummcn abzieht; daher werden die einzelnen Zahlen x — n, x — b, x — c dadurch sind die drei Bedingungen der Aufgabe bereits gelöst und es kommt nur noch darauf an, daß die Summe der für die drei Zahlen gefundenen Ausdrücke wirklich x sei, das heißt, es bleibt die Gleichung 3x — a-\~b-\-c — x ju lösen übrig; daraus crgiebt sich x = Ebenso löst Diophant die folgende Aufgabe, in welcher vier Zahlen aus den vier Partialsummcn von je dreien gesucht werden, indem er die Gesammtsumme x setzt. Ich bemerke nur noch, daß diese beiden Aufgaben einige Ähnlichkeit mit dem Exanthema von Thymaridas haben. I, 18. Drei Zahlen zu finden, so daß die Summe von je zweien um eine gegebene Zahl größer ist als die dritte. Bezeichnen wir der Kürze wegen die drei gesuchten Zahlen mit A, / /, C, die drei gegebenen mit 2, 2ö, 2r, so soll A-\-B 362 = C+2e, B+C= A+Vu, A+C=B+2t seht. Die Summe der drei gesuchten Zahlen, also A-\-B-\-C sei =2*'. Nun war A+B—t'^lc, also A-\-B-\-C, d. i. 2* = 2 C -j-2 c, also J—x — c ebenso findet man B = x — b, A — x — a. Es ist also wieder weiter nichts zu thun, als die Ausdrücke für A, B, C zusammen — zu setzen. Dieser ganz analog ist wieder die Aufgabe I, 20. Es sollen von vier Zahlen A-\-B-\-C— D-\-2d, B-\-C-\-D — A-\-2a, C-\-D-\-A — B+M, D-\-A+B — C+2c sein. Diophant setzt A-j-B-j-C-j-Z = 2x, dann wird wie vorher D — x — d, C—x — c, B—x — b, A = x — a] und eS bleibt die Gleichung Ax ~a-\-bc-\-d ~ x zu lösen übrig, welche tt - f- h * 4- c - j- d . x = ——~—— ergiebt. I, 23. Drei Zahlen zu finden, so daß die größte UM einen gegebenen Theil 4 der kleinsten größer sei als die mittclste, die mittelstc um einen gegebenen Theil der größten größer als die kleinste, die kleinste aber um eine gegebene Zahl iö größer sei als ein gegebener Theil 4 der mMeisten. Neunen wir die drei Zahlen, die größte A, die mittlere B, die kleinste C, so setzt Diophant C~x-\-U dann ist x = ±B, also B=3x-, nach der Aufgabe B— C-\-^A, also ^A = B — C— folglich A — bx — 30. Endlich soll A = B 6'sein, also ist \C— A—B — 30-3^- — 3x —30, also C— 9.*—00. Es war aber C~ . r-j-10; folglich x-\-V —90, x — Wir haben hier eine bedeutende Anzahl bestimmter Aufgaben kennen gelernt, die sich in Diophant'S Werk finden, und könncii daraus auf die Gründlichkeit eines Schriftstellers schließen, welcher behauptet, Diophant habe mit den bestimmten Aufgaben sich gar nicht beschäftigt. Piuccnzo Riccati sagt in der Einleitung zu seinen Institutiones analyticao l>e pvoblematibus lotcrininiitis, rjuao resolutis aeqiiaiionibus dignoscuntiir, nihil oiiiniiio Diophan- tus agit. Iiinfaxat, tlo oo probleinatum semideterininatorum gonorc, jiiac respiciunt _ auf cubos iiuiiiororuiu, quae problemata ut rcsolvantiir, qnanlitatcs radicalas de industria sunt vitaiulao. Bei Cossali T. 1. p, 80. lind Riccati ver? stchrrt die Griechen mit großem Eifer gelesen zu habe»! Den weitesten Spielraum aber gewinnt Diophaut's Talent in dieser Annahme der Unbekannten bei den schwierigeren unbestimmten Aufgaben. Hier besteht seine größte Kunst darin, den gesuchten Zahlen, oder wenn deren nur eine vorhanden ist, dieser gleich durch die Annahme eine solche Form zu geben, daß alle Bedingungen der Aufgabe bis auf eine oder höchstens z>vci ohne weitere Rechnung erledigt werden, und nur noch die Erfüllung dieser einen oder zwei dem Calcul anheimfällt. In einem Beispiel V, 21. werden sogar durch die bloße Annahme alle Bedingungen gelöst, und anstatt der bestimmte» Zahlen, welche er suchte, erhält Diophant eine Auflösung in allgemeinen Aussdrücken. Er will nämlich, um den Bedingungen der Hauptaufgabe zu genügen, drei Zahlen suchen, so daß jede ein um 1 vermindertes Quadrat, die Summe aller aber ein Biquadrat werde. Nun setzt er die erste Zahl x* — 2 , die zweite ^ 2 die dritte .r- 2 — 2^-, so ist die Aufgabe mit allen vier Erfordernissen gelöst; denn jeder dieser Ausdrücke wird ein Quadrat, wenn man 1 daztl addirt, und die Summe aller drei ist — x\ also sicher in jedem Falle ein Biquadrat. In den meisten Fällen bleibt indeß eine Bedingung für die Rechnung übrig, seltener zwei, welche dann auf die im vorigen Kapitel erwähnten doppelten Gleichungen führen. Es mögen hier einige Beispiele dieser Methode folgen, welche immer die Sache klarer machen als weitläufige Reflexionen. II, 3^ Drei Zahle» zu finden, so daß das Quadrat einer jeden auch dann noch ein Quadrat bleibt, wenn man die folgende Zahl hinzu addirt. Wollte man hier nach gewöhnlicher Sitte die drei Zahlen .r, »/, * nennen und die drei aus der Aufgabe hervorgehenden Gleichungen x"-\-y — »t 2 , , y 2 -j-~ — - r 2 , x 2 -f-a p* losen, so würde man sich in nicht geringe Schwierigkeiten verwickeln. Diophant bedenkt dagegen, daß, wenn eine Zahl das um 1 vermehrte Doppelte einer andern ist, dann das Qliadrat der kleiner» zu der größer» addirt ein Quadrat giebt. Darum setzt er die erste Zahl x, die zweite so ist das Quadrat der ersten nebst der zweiten gewiß ein Quadrat, nämlich ,r 2 - f- 2^- 1; und somit ist eine von den drei Bedingungen, welche die Aufgabe stellte, gelöst. Aber auf gliche Weise setzt er die dritte tun l größer als die doppelte zweite, also — 2 = so ist das Quadrat der zweiten, wenn man die dritte hinzu addirt, — , also ebenfalls Μ&'*5 >' 5-ρίΓ αοφμοι\; ίου εοιχγών , π ιϊυν δύο λαμβυινμενοι roy λο;ποΰ ΰπερεχί εοαγνφ. Die Summe der drei Zahlen sei .r- 2 -> das Quadrat, um welches die Summe der ersten und zweiten die dritte übertrifft, sei l, so wird die dritte Zahl ^x 2 -\-x sein. Das Quadrat ferner, um welches die Summe der zweiten und dritten die erste übertrifft, sei x 2 , so wird die erste x-j-? sein. Folglich ist die erste und dritte zusammen ^x 2 -\^-^^, also die zweite Es bleibt also nur noch zu erledigen übrig, daß alich die Summe der ersten und drittelt, wenn man die zweite davon abzieht, ein Quadrat werde, das heißt, daß 2x ein Quadrat werde. Um die Operationen zu erläutern und zugleich das Verfahren allgemeiner darzustellen, gebe ich folgende Darstellung. Die Aufgabe verlangt, daß die vier Formeln A-j-ß-j- C, A-\-B—€, Quadrate werden sollen. Nun sei A-\-B-\-C — x 2 ~\- 2 mx - f- m 2 A-\-ß — 6 ' — m 2 also 2 C == x 2 ~\~ 2 mx C — i[X 2 -\-mx fei ferner -A-\-B-\-€=x' i , so erhält man, wenn man diese Gleichung von der ersten subtrahirt und zu der zweiten addirt und die Resultate durch 2 dividirt, A — mx - j- li = \x 2 - s- \m 2 Es bleibt also übrig, daß A — B-\-C ein Quadrat werde; aber A — Ii-\-C ist —2 mx, also 2 mx — y 2 . III, 6. giebt eine andere Auflösung dieser Aufgabe. Diophant sucht zuerst drei Quadratzahlen, deren Summe auch eine Quadratzahl ist. Er findet als solche die Zahlen 4, 9, 36. Nun setzt er jede dieser Quadratzahlen als einen der drei quadratischen Überschüsse, so verwandelt sich die gegebene Aufgabe in eine früher gelöste, drei Zahlen zu finden, so daß die Summe von je zweien UM eine gegebene Zahl größer sei als die dritte. III, 7. Drei Zahlen zu finden, so daß die Summe von allen dreien und auch die Summe von je zweien eine Quabratzahl sei. Diese Aufgabe löst Diophant ungemein einfach auf folgende Weise. Er setzt nämlich die Stimme aller drei Zahlen — x 2 die erste und zweite — x 2 so ist die dritte — Sei ferner die zweite und dritte — x 2 —2-r-j-1 so wird die erste — Lv die zweite — x 2 — ix Es bleibt also nur noch übrig, die Summe der ersten und dritten, das ist die Formel 6-r-f- l zu einem Quadrat zu mache». Ähnlich ist die Auflösung von III, 10. 11. Es ist übrigens leicht einzusehen, wie auch das hier befolgte Verfahren etwas verallgemeinern könne, wenn man die Summe der drei Zahlen x 2 - j -^jhx - s- m 2 fetzt und die übrigen Formeln dieser conform bildet. III, 16. Drei Zahlen zu finden, so daß das Pro- duet von je zweien ein Quadrat wird, wenn man das Quadrat der dritten Zahl dazu addirt. Die erste Zahl sei x, die zweite 4^+4, die dritte 1, so sind wei Bedingungen der Aufgabe erfüllt, es ist nämlich das Prodliet der ersten und zweiten plus dem Quadrat der dritten ein Qua- nämlich 4.^ und ebenfalls das Produkt der zweiten und dritten plus dem Quadrat der ersten, nämlich ^-j-4^-j-4. Es 366 bleibt also nur übrig, daß auch das Produkt der ersten und dritten plus dem Quadrat der zweiten, das heißt, der Ausdruck 16.*-* -J-17^+16 ein Quadrat werde. IV, 14. Zwei Zahle» zu finde», so daß sowohl jede Zahl für sich, als auch die Summe und der Unterschied beider ein Quadrat werde, wenn man 1 dazu addirt. „Wenn ich von irgend einem Quadrate 1 subtrahire, so habe ich die erste Zahl. Ich bilde also ein Quadrat von x mit einem beliebigen Coefstcicnicn und der Zahl 1, z. B. von 3-r-j-l, so ist das Quadrat 9.*-*-j-6^-j-I; ich sehe also die erste Zahl 9^-j-tQ-, Da ferner die Summe beider Zahlen, wenn man 1 dazu addirt, ein Quadrat werden soll, und ebenso die zweite, wenn man 1 dazi addirt; so suche ich irgend ein Quadrat, welches zu 9-r* ad, dirt ein Quadrat giebt. Ich nehme zwei Zahlen, deren Product 9-r?-j-6-r- ist, z. B. und x\ ihr Unterschied ist 8^-f-6 und die Hälfte davon und das Quadrat dieses letzten Ausdrucks wird davon nehme ich 1 weg und setze die zweite Zahl 16^*-j-24^-s-8; so wird jede Zahl für sich und auch die Summe beider ein Quadrat, wenn man 1 addirt. Es ist also mir noch übrig, daß auch der Unterschied beider, wenn man 1 dazu addirt, ein Quadrat werde; es soll also 7L-*-j-l8^-j-9 einem Quadrate gleich sein, u. s. w." Diophant setzt also, um sein Verfahren allgemein zu betrachten, A = w/.r-f- I 5 — 1 — rn l x' 1 -\-'2mx. Da nun auch B sowohl als A-\-B ein um 1 vermindertes Quadrat sein soll, so setzen wir vorläufig B — p -— 1, so wird A-\-B-\-\ = iri i x 1 -\- ? -j- 4 2 .r und x gesetzt hatte, so ist ihre Summe 4 -j-Ä 2 -j-l.r; folglich muß {a?fr \ x = 7a Settereov ovratq. Anstatt die Unbekannte, welche zu 2 und zll 3 addirt in beiden Fällen Quadrate zur Summe gebe, wie setze», setzt er sie x~ —2, wodurch die eine Bedingung bereits erfüllt wird; für die andere bleibt dann nur die Gleichung x-\-l = y 2 übrig. Ähnlich II, 14. u. a. m. 2. Methode der Zurückrcchnuug und Nebenaufgabe. Nicht immer ist die Annahme der Unbekannten in solcher Form, daß dadurch * — 1 oder wenigstens V »- s. w. IV, 25. Eine gegebene Zahl in zwei andere zu zerlegen, so daß das Product beider der Unterschied zwischen einem Kubus und seiner Wurzel werde. Die gegebene Zahl sei 6; die erste der gesuchten Zahlen sei 373 so ist dic andere 6 — .r; ihr Product v 2 soll also die Differenz zwischen einem Kubns lind seiner Wurzel sein. Ich bilde den Kubus von einer Wurzel, welche x mit irgend einem Cocfficientcn weniger 1 ist, z. B. von 1; der Kubus weniger der Wurzel macht a — 2 und soll — 6x — λ 2 sein. Wenn nun die Coefficicnten von x auf beiden Seiten gleich wären, so würde x nur in der zweiten und dritten Potenz übrig bleiben und x würde rational werden κιχί εΐ [αν oe °' εν εχαε>α rij Ιώει ίοι, λοιποί, εγίνεο ϊαι κνβον ’ι'ου δυνάμει, και ° ηι> ηι,. Aber die \χ sind die Differenz von und dreimal 2x; wenn man aber 2x von dreimal 2x abzieht, so bleiben zweimal 2x; die Zahl 6 aber ist nach der Voraussetzung gegeben. Es kommt also darauf an, eine Zahl zu suchen statt der obigen 2x, so daß ihr doppelter Cocfsicicnt 6 ist; eine solche Zahl ist Nun suche ich wieder 6χ—& Λ gleich einem Kubus weniger seiner Wurzel zu machen, und setze dic Wurzel des Kubus —1, so wird der KubuS weniger der Wurzel — 27.* ,2 -f-6^; lind daS ist gleich — x~, und x wird — Demnach sind dic gesuch- teil Zahlen ^ und Hut Diophant's Verfahren zu veranschaulichen, wiederhole ich es hier furz in allgemeinen Ausdrücken. Die gegebene Zahl sei a, die gesuchten seien x und u — x, so ist ihr Product ux —.v 2 . Setzt man nun die Seite des Kubus mx —1 l, damit dieses Glied, welches dem Kubus und der Wurzel gemeinschaftlich bleibt, bei der Subtraction sich weghebe, so wird der Kubus m 3 x A — 3 //Λ* 2 4 3 "/,ν —i, also dic Differenz zwischen Kubus und Wurzel m 3 x 3 — 3 / 2 ,* 2 — ax — x t . Damit hier die ersten Potenzen sich wegheben, muß er so genommen werden, daß 2>n=a wird; und gerade das ist auch das Resultat von Diophant's Untersuchung. IV, 26, Eine gegebene Zahl in drei andere zu zerlegen, so daß das Product aus allen dreien eine Kubik- zahl werde, deren Wurzel gleich ist der Summe der Unterschiede zwischen je zweien. Die gegebene Zahl sei 4, und da das Product aus allen ein Kubus sein soll, so setze ich dasselbe ~8x 3 ; dic Kubikwurzel ist 2x. Wcmi man aber drei ungleiche Zahlen hat, so ist dic Summe der Unterschiede von je zweien gleich dem doppelten Unterschiede der größten und kleinsten. Demnach ist 2.*- der doppelte, also x der einfache Unterschied der größten und kleinsten der drei Zahlen. Die kleinste sei z. D. 2.*-, so ist die größte 3.*-. Und da das Produkt aus allen dreien 8 .*^, daö Produkt aus der größten und kleinsten aber 6 ^ ist, so ist die mittlere 4 .*. Wenn nun diese mittlere größer als die kleinste, und kleiner als die größte wäre, so wäre die Aufgabe gelöst. Aber die mittlere entstand dadurch, daß wir 8 di- vidirtcn durch das Prodnct der größten und kleinsten; diese erste und zweite sind aber nicht beliebig, sondern um l verschiede». Darum bin ich darauf hingeführt, zwei um 1 verschiedene Zahlen zu suchen, so daß der Quotient, der entsteht, wenn ich 8 durch das Produkt beider dividirc, kleiner als die größere und größer als die kleinere von beiden Zahlen werde. Die kleinere Zahl sei x, so ist die größere .r-s-I, also die mittlere Dieser Ausdruck soll also größer als x und kleiner -1 sein. Da der Unterschied bei- der 1 ist, so ist der Unterschied zwischen j "" ö x ^ c ncr 1 ; daher ist p ~ 1 größer 1 , oder -j- k und x 1 - j- x - s -8 x 3 - - 2 .*'' -x oder 8 x’ i -\-x' t . Ich bilde einen Kubus, welcher die Glieder .-r’ cnlhält; seine Wurzel ist x-{-i Da nun 8 größer ist als x^-^-x* und auch .r-fi' 1 größer größer ist als .r 3 so setze ich 8 — .*'+\ so sind auch die Kubikwurzeln einander gleich, und x — 4 . Gehe ich nun anf die Attliahmc zurück, so wild die kleinste Zahl 4 , die größte 4 , die mittlere also 8 dividirt durch V, das ist oder wenn ich alle mit l'> multiplicirc, wird die erste 40, die zweite 27, die dritte 25. Der gemeinschaftliche Divisor 15 ist nämlich weggeworfen, tmd es sind drei Zahlen gefunden worden, so daß das Produkt derselben eine Kubikzahl ist, welches die Summe ihrer Unterschiede zur Wurzel hat. Jetzt setze ich die erste Zahl die zweite 27.*, die dritte so ist auch das Produkt dieser ein Kubus, dessen Wurzel die Summe der drei Unterschiede ist. Die drei Zahlen sollen aber zusammen der gegebenen Zahl 4 gleich sein. Daher bleibt die Gleichung 92.*-^ 4 übrig, und .*- ist — T V Nennen wir die drei Zahlen /, B, C, so daß ./>/?, Ä> C so verlangt die Aufgabe, daß l A-j-Jf-j-C— , 2 s ABC § leid? einem Kubus, z. B. 8.*-', und 3 {A — li-\-B~ C-\-A—O 375 3 - das ist 2 A — ! — y 8 .r a = also A — C=-x sei. Nun setzt Diophant C—mx, also A = {m-\-\x, so wird B— — ; und es kommt also zunächst darauf au, daß größer als m und kleiner als »t-f-1 ist. In der sehr geistreichen Erfüllung dieser Bedingung ist Diopham'S Vortrug nicht ganz vollständig. Zeigst soll 7> m > also sein. Nun bildet Dio- phaut einen Kubus, der die beiden Glieder enthält, dessen Wurzel also m-\-^ ist, so ist dieser Kubus m 3 -\-m' l -\-^m-\-^j, also jedenfalls größer als *» 3 -J-a» a ; da nun auch 8 > r 3 -j-»r 2 sein sollte, so setzt er 8 — /-f-? 3 / also 2 — m -s-Es sollte aber auch —— dieser Ausdruck soll also /r 2 = x* —2/ttlr 2 - tu*, und die Kubikzahl p 3 , so bleibt für die dreieckige Zahl der Ausdruck 2„rV — in* — p 3 übrig; demnach mufi nach dem angeführten Satze l6/w 2 .r 2 —8*w*—8/> 3 -{-l ein Quadrat werde». Da hier in Folge der Annahme für die Quadratzahl der Coefsicient von x* eine Quadratzahl ist, so hat im Allgemeinen die Auflösung dieser Gleichung keine Schwierigkeit; aber nicht jeder Werth von x ist hier brauchbar; sondern die Auflösung muß so genommen werden, daß der Ausdruck für die dreieckige Zahl eine ganze Zahl werde, weil ein Bruch hier keinen Sinn geben würde. Hätten wir also für m und p ganze Zahlen angenommen, so mußte x entweder auch eine ganze Zahl oder ein Bruch sein, dessen Nenner m oder ein Theiler von m ist, damit auch 2/ 2 .* 2 eine ganze Zahl wird. Setzen wir also 16//» 2 . 2 — 8» 3 -j-1 — bnx—q' 1 = 16>V 2 —Stnqx -J- q’ 1 , so wird x — > ^ cu,; "ach sind die Zahlen m, p, q so anzunehmen, daß 8»r 4 -j-8/- 3 -ch-7^1 durch Sq theilbar ist. Hieraus folgt im Allgemeinen, daß q eine ungerade Zahl sei» müsse; dann läßt sich f— 1, folg- 378 sich der ganze Ausdruck für .* durch 8 dividircu; die näheren Bc- stimiiilingcn hängen von der Beschaffenheit der in jedem Falle will- kührlich gewählten Zahlen ab. VI, 6. Ein rechtwinklichcS Dreieck zu finden, so daß die Summe der Fläche und der einen Kathete einer gegebenen Zahl gleich werde. Die gegebene Zahl sei 7. Man nehme an, das Dreieck sei der Form nach gegeben und habe die Seiten so verlangt die Aufgabe, daß 6^ — 7 sei. Wenn man nun zu dem halben Cocfficicntc» von x den siebenfachen Coefßcicnten von .r’ addirt, so muß ein Quadrat herauskommen. Das geschieht aber nicht. Daher muß man ein rcchtwinkliches Dreieck suchen, so daß das Quadrat einer halben Kathete zu dem siebenfachen Inhalt addirt ein Quadrat giebt. Die eine Kathete sei x, die andere 1, so soll ix-\-\, oder ei» Quadrat sein. Damit wir aber das Dreieck in rationalen Zahlen erhalten, muß auch .r^-j-l ein Quadrat sein. Die Differenz beider Ausdrucke ist x t — welche die Faktoren x und .*—14 hat. Die Hälfte ihres Unterschiedes auf das Quadrat erhoben giebt 49, welches dem kleineren Ausdrucke gleich zu setzen ist; und es wird x=%f. Ich setze also die eine Kathete des Dreiecks V 4 , die andere 1, oder da diese Annahme bloß die Form des Dreiecks bestimmen soll die eine die andere Ix ; die Hypotenuse wird dann und die Summe des Inhalts und der zweiten Kathete — 7, woraus .r — ^ gefunden wird. Ähnlich sind die nächstfolgenden Aufgaben. So interessant es wäre, mehre Beispiele der Art aus Dio- phant's Werk zusammenzustellen, weil die große Mannigfaltigkeit seiner Darstellung fast in jedem Beispiele eine ganz ncnc Anwendung dieser Methode zeigt, so sehe ich mich doch genöthigt, den Zweck dieses Werks im Auge haltend, mir hier Schranken zu setzen, in welche das innige Wohlgefallen an den Äußerungen des Gcnie's sich so ungern fügt. Ich muß mich begnügen, hier auf folgende noch besonders ausgezeichnete Aufgaben zu verweisen IV, l9. 46. V, 18. 20. 21. VI, 3. 4. 5. 8. In einigen Beispielen, welche ich Behufs der weiter zu erwähnenden Methoden werde anführen müssen, werden wir noch Gelegenheit haben, auch die hier besprochene zu beobachten. Ich kann aber hier diejenigen Aufgaben nicht ganz stillschweigend übergehen, in welchen diese Methode der Zurückrechnung zweimal und öfter gewissermaßen in einander geschachtelt vorkommt. 379 Hirhcr gehören besonders die Aufgaben IV, 43. 45. V, 33. VI, 13., von denen ich die letzte der Anschaulichkeit wegen hier ausführen will. VI, 13. Ein rechtwinkliges Dreieck zu finde», so daß der Inhalt desselben ein Quadrat wird, wenn man jede der Katheten dazu addirt. „Man nehme das Dreieck als der Gestalt nach gegeben an; cS habe die Seiten 5.*, 1 ix, 13.*; so soll zuerst 30^-j-12.* ein Quadrat sein; es sei —36.**, so wird x— 1. Für denselben Werth von x soll aber auch 30.*-* -j- 5.* ein Quadrat sein; dar geschieht aber nicht. Darum kommt cS darauf an, ein Quadrat zu suchen, so daß, wenn man 30 davoit abzieht und den Rest in 12 dividirt, dann den Quotienten auf das Quadrat erhebt, dieses mit 30 multiplicirt und dazu den fünffachen Quotienten addirt, diese Summe ein Quadrat werde. Das gesuchte Quadrat sei .**. Wenn man davon 30 abzieht, und den Rest in 12 dividirt, wird der Quotient das Quadrat davon ^ dieses mit 30 multiplicirt p ^ ° to! , +9u , und dazu fünfmal addirt, giebt Dieser Ausdruck soll Quadrat werden; der Nenner aber ist ein Quadrat; daher muß auch 60.** -f- 2520 ein Quadrat werden, das heißt, man soll ein Quadrat finden, welches mit 60 multiplicirt, und zu 2520 addirt, ein Quadrat giebt. Hatten wir nun das Dreieck so gebildet, das 60-f-2520 eine Quadrat- zahl geworden wäre, so hätten wir die Aufgabe gelüst. Aber 60 eutstchl aus dem Produkt der beiden Katheten; 2520 aber aus dem Product der größer» Kathete, des Überschusses der beiden Katheten, lind des Inhalts. Wir kommen also darauf hin, ein rechtwinkliges Dreieck zu suchen, so daß das Product der beiden Katheten addirt zu dem Product aus der größer» Kathete, dem Überschüsse der Ka- tbctcn und dem Inhalt, ein Quadrat giebt. Wenn wir nun für die größere Kathete eine Quadratzahl annehmen, und alles durch dieselbe dividircn, so haben wir die Aufgabe, daß die kleinere Kathete addirt zu dem Produetc des Überschusses der Katheten in den Inhalt ein Qtladrat werde. Und dann kommt es nur darauf an, r» zwei gegebenen Zahlen, dem Inhalt und der kleinen Kathete, ein Quadrat zu suchen, welches mit einer der gegebenen Zahle» mul- tipiicirt und zu der andern addirt ein Quadrat giebt. Das ist aber 380 schon oben gezeigt worden, lind das Dreieck hat die Seiten 3, 4, 5. Ich mache diese Zahlen zu Coefficienten von x ά umbv iv w°~ 5 , und es kommt darauf an, die Ausdrücke 6x" - - 4x und 6^ zu Quadraten zu machen. Wenn wir die erste Glci- so wird x 12 *+24 6. 5 -} 12/λ 2 -j-36 I '2/λ 3 -j-36 chung lösen, so wird x Dieses soll ein Quadrat folglich 6.^ — sei». Man hat also ein Quadrat suchen, welches mit der kleinern gegebenen Zahl multiplicirt und zu der größer» addirt ein Quadrat giebt. Ein solches Quadrat ist 25; demnach ist 25, m — 5. Wenn wir also 2 zu einem Quadrat machen wollen, setzen wir es gleich 25^, so wird x = T 4 T ; die Seiten des gesuchten Dreiecks sind also j, i, Wir wollen den Gang, den Diophant genommen hat, Schritt für Schritt verfolgen. Diophant nimmt das gesuchte Dreieck als i» den Seiten der Form nach gegeben an; der Inhalt ist also und die Aufgabe führt auf die doppelte Gleichung 2 -j-12./' — y a , 30.*' s - = y 1 2 . Setzt man y—nx, 4320 . _____ 60 so wird x = i, 1 “ ; also 2 /i 2 — 30 2 ' 5,r— n*— 30 y t a . Es kommt also dar60n 2 - f -2520 auf an, den Zähler dieses Bruchs zu einem Quadrat zu machen. Diophant verwirft die Formel als unauflösbar, weil 60+2520 kein Quadrat ist. Um nun eine andere Form des Dreiecks zu finden, welche auf eine auflösbare Gleichung führt, untersucht er zunächst durch seine Ziirückrechnnng, wie die Zahlen 60 und 2520 entstanden sind. Hätten wir die Katheten äx, k'x, die Hypotenuse hx genannt, so wäre der Inhalt i/rA'x, also ergäbe die Aufgabe die doppelte Gleichung ^kk l x’ l -\-Aw — y' 1 , ^A-A-'x" 1 -f-A-'x- = yi 2 Setzen wir nun y—nx, so erhalten wir aus der ersten Gleichung x — demnach iAA-'x* = ^ kk 1 2 — jk L- ~ M 2 — i 1 3 ' Was also oben 60 war, der ist das Product der beiden Katheten, die obigen Co efficient von n-, 2520 aber, das absolute Glied, ist das Product aus der großem 381 Kathete k, dein Überschüsse der Katheten k —/', und dem Inhalt y6 ist, weil x — ^ ä _g war; darum ist der erste Werth n—i unbrauchbar, ut»b Diophant nimmt ,r —5, also x = T V 4 r? 382 3. Gebrauch deS Symbols für die Unbekannte in verschiedenen Bedeutungen. Schon die vorige Methode führte häufig die Unbequemlichkeit mit sich, daß in zwei in einander gefügten Aufgaben das nämliche Zeichen in ganz verschiedener Bedeutung gebraucht wurde; indeß ballen wir es da doch immer mit zwei zwar in einander geschobenen, aber doch leicht von einander zu trennenden Aufgaben zu thun. Auffallender und unbequemer wird dieser mehrdeutige Gebrauch des Zeichens, wenn dasselbe in der nämlichen Aufgabe, in einer und derselben Operation zwei Bedeutungen hat, die nur in Gedanken von einander können geschieden werden. Es finden sich nämlich Aufgaben, in welchen Diophant die Cinführung zweier Unbekannten nicht hat vermeiden können; weil er nun aber zur Bezeichnung derselben nur ein Symbol hat, so tritt der Übclstand ein, daß beide Unbekannte durch dasselbe Zeichen ausgedrückt erscheinen. Dieses geschieht entweder successive, wo es dann weniger Unbequemlichkeit verursacht, oder implicite, so daß sogar eine Unbekannte als Function der andern, das heißt, x durch x ausgedrückt erscheint. Beide Arten der Anwendung dieser Methoden will ich an Beispielen erläutern. Beispiele der ersten Art. I, 22. Eine gegebene Zahl in drei andere zu zerle, gen, so daß jede der beiden äußersten zu der mittclstci» addirt, ein gegebenes Verhältniß zu der dritten habe. Es sei aufgegeben, die Zahl 100 in drei Zahlen zu zerlegen, so daß die Summe der ersten und zweiten das Dreifache der dritten, die Summe der zweiten und dritten das Vierfache der ersten sei. Die dritte Zahl sei x, so ist die Summe der ersten und zweiten 3x, alle drei zusammen also 4x; die drei Zahlen zusammen sind aber 100; daher ist x, daS ist, die dritte Zahl, —25; die erste und zweite zusammen also 75. Da ferner die Summe der zweiten und dritten das Vierfache der ersten ist, so wird, wenn man die erste x nennt, die Summe der zweiten und dritten 4x fein; die drei Zahlen zusammen also 5x-, sie sind aber auch gleich 100; demnach ist x, die erste Zahl, —20. Es ist also die erste 20, die dritte 25; die zweite also wird 55 sei». 383 Diese Methode mit der vorigen vereinigt, so dos? x oder viel- mehr if in nicht weniger als vier verschiedenen Bedeutungen vorkommt, finden wir in der Aufgabe. IN, 18. Drei Zahlen zu finden, so daß das Product von zc zweien zu der Summe derselben beiden addirt, ein Quadrat giebt. Die erste Zahl sei .*, die zweite 3; so soll, wenn man ihr Produkt zu ihrer Summe addirt, ein Quadrat werden, z. B. — 25; dann wird x — 54. Die erste Zahl ist also 54, die zweite 3, und eine der Bedingungen ist gelöst; denn ihr Product sammt ihrer Summe niacht ein Quadrat. Es soll aber auch das Product sammt der Summe der zweiten und dritten, und ferner das Product sammt der Stimme der ersten und dritten ein Quadrat machen. Sei nun die dritte x, so wird das Product und die Summe der zweiten und dritten wiederum das Product und die Summe der ersten und dritten wird V, und beide Ausdrücke sollen Quadrate werden. Da aber in der einen Formel die Anzahl der Zahlen d. i. der Cocfficicnt von x und der Einheiten größer ist als in der andern, und sie sich auch nicht wie zwei Quadratzahlcn zu einander verhalten, so ist die gemachte Annahme unpassend. Wir sind also darauf hingewiesen, zwei Zahlen zu finden, so daß nicht nur ihr Product zu ihrer Summe addirt ein Quadrat giebt, sondern auch noch die um l verinchrtcn Zahlen sich zu einander wie zwei Quadratzahlcn verhalten. Nennt man nämlich die erste a, die zweite b, die dritte x, so soll erstens ab -\-a-\-b eilt Quadrat fein; ferner aber soll ax-\-a-\-x, d. i. -J-I-]-», und ebenso auch {b -j-1 .*-j -b ein Quadrat fein; damit beide letzteren Bedingungen erfüllt werden können, müssen sich die Zahlen -j-1 und /-s- l wie Quadratzahlen zu einander verhalten. Da nun, wenn eine Zahl um 3 größer als das Vierfache einer andern ist, die nm l vermehrten Zahlen sich wie Quadratzahlcn zu einander verhalten, so setze ich die erste Zahl x, die Zweite 4^r -f- 3; so soll, wenn man das Product dieser Zahlen zu ihrer Summe addirt, ein Quadrat herauskomme». Aber ibr Pro- buct zu ihrer Summe addirt giebt 4-r 3 4- -s- 3; dieses soll also ein Quadrat sein. Ich bilde das Quadrat von ix — 3, so wird ts 3 — l2jr-j-9, und x wird A oder T V Daher wird die erste Zahl A, fcj e zweite 44 oder y sein. Dadurch ist „un eine 384 Forderung der Aufgabe erfüllt. Es sind nun noch die beiden andern übrig. Ich setze jetzt die dritte Zahl .v; so wird Produkt und Summe der zweiten und dritten V 6 - r -f“V> bas soll ein Quadrat sein, z. B. — 25. Ferner ist Product und Summe der ersten und drittelt 44*+-™; das soll ebenfalls ein Quadrat sein, z. B. 100. Ich niultiplicirc den ersten Ausdruck mit 25, so soll J 30^r-f-105 ein Quadrat fein; und den zweiten Ausdruck multiplicire ich mit 100, so soll auch ein Quadrat sein. Die Differenz beider ist 75, und die Auflösung der doppelten Gleichung giebt x = T V Demnach sind die drei Zahlen r 3 v , y, T y Diophant hat nämlich 75 in die Factorcn 3 und 25 zerlegt, und — 196 oder 130-r-j-30 - 121 gesetzt. Diophant setzt also, um einen kurzen Rückblick zu thun, zuerst die erste der gesuchten Zahlen x, die zweite 3, und findet .*= y. Nun setzt er die dritte Zahl x. Da ihn dieses aber zu keinem Resultate führt, so setzt er von Neuem die erste Zahl x, die zweite 4 r __3 allgemeiner hätte er die zweite n'.v+n ' 1 —1 setzen können und findet daraus die erste tV, die zweite V; und nun setzt er abermals die dritte Zahl — x, die sich dann gleich -V crgicbt. Man könnte diese Auflösung vermittelst einer successiven doppelten Annahme des Symbols für die Unbekannte eine Auflösung in zwei Hieben, ü deiix coups, nennen. Die verschiedenen unbekannten Zahlen werden nicht, in einander complieirt, durch ein und dasselbe Verfahren gefunden, sondern aus mehren von einander abgesonderten Operationen gehen sie nach einander einzeln hervor. Übrigens liefie die letzte Aufgabe sich sehr leicht allgcmeiit lösen. Nennt man nämlich die drei Zahlen x, y, x, so hat man die drei Gleichungen ju lösen xy-\-x-\-y — xz-j-x-px — A 2 y*-fy-b 5 — x+i ' Aus den ersten beiden Gleichungen crgiebt sich y = x — Substituirt man diese beiden Werthe in die dritte X-\- 1 Gleichung, so erhält man n— ^ // ä — x — _ „ S+i 2 ^ x + i ~ a — x h*—x + " s + A 3 — .t +1 -FRF ~- b Da oder 385 Da der Nenner ein Quadrat ist, so kommt es mir noch darauf an, den Zähler zu einem Quadrate zn machen. Wenn wir die angedeuteten Rcchnnngcit ausführen, so ergicbt sich die Gleichung a l lr -j- a "- h 5 — 2x — x" — ni 1 lmd nach x aufgelöst .V — — l Nimmt man nun zwei dieser Größen beliebig an, z. B. n und b t so ist es in jedem bestimmten Fall nicht schwer, unendlich viele Werthe für die dritte zu finden, welche x rational machen; es ist dabei nur zu beachten, daß keine der drei gesuchten Zahlen negativ werde. Setzen wir z. B. - 9, A 2 = 16, so wird — 1 4-Vl70 — vi 1 . Hier kann ni 1 allein in ganzen Zahlen die Werthe 1, 49 und 121 haben. Ist nun 1 so ist .r= 12 * — 49 - —121 = 10 = 6 Da nun y so würde für die beiden zuerst gefundenen Werthe für x die Zahl y negativ werden; demnach ist nur der letzte brauchbar; drei Zahlen der Art sind also allster den Diophantischcn noch 6, Beispiele der zweiten Art. Wenn eine Gleichung von der Form Ax”-\-Bx~y' 2 die einzige oder wenigstens die letzte Bcdingllng ist, welche das gesuchte x erfüllen soll, so setzt Diophaiit y gleich irgend einem bestimmten Vielfachen von x, dividirt dann die Gleichung dklrch x und findet x aus einer Gleichung des ersten Grades. Soll er z. B. IV, 23. den Ausdruck x"~-\-ix zu einem Quadrate machen, so setzt er x-\-%x-—hx~, so wird x-\-^ — 4x, also x~^. Wir haben aber bei den vorhergehenden Darstellungen schon mehrmals solche Fälle gefunden, in denen die Auflösung der Gleichung Ax~-\-Bx ~y 2 nicht die letzte Bedingung für x war, sondern es sollte der aus dieser Gleichung gefundene Werth für x noch in eine andere' substitllirt und auch dieser genügt werden. Ich habe mich bisher des Mittels bedient, in dem Falle y — mx, also Ax’ 2 -\-Bx = m^x' 1 J» setzen, woraus sich x~-JL— rrgiebt. ES fragt sich, wie drückt Diophant i» diesem Falle den unbestimmten Coefficicnten m ane, slir den er kein neues Symbol bat? lrr druckt m ebenfalls 386 durch x aus. Da cS aber, wenn beide x als verschiedene Großen betrachtet werden, ihm nicht möglich ist, χ 2 χ 2 auszudrücken, weil υ υ bei ihm x* bedeutet, also die Identität beider x voraussetzen würde, so behält er den unbestimmten Coefsieicntc» so lange im Sinne, bis er aus der Formel den Werth für x entwickelt hat, und subftituirt für denselben erst das Zeichen, nachdem die Entwickelung geschehen ist. Sein Verfahren ist demnach folgendes. Wenn Ax 2 -s -Jix ein Quadrat werden soll, so setze ich es gleich x 2 mit irgend einem quadratischen Cocfficientcu; dann wird x gleich li dividirt durch ein um A vermindertes Quadrat, also x — 111,15 diesen Werth setzt er dann für x in die zweite Gleichung ein, wie folgende Beispiele beweisen mögen. VI, 23. In dieser Aufgabe wird Diophant auf die beiden Gleichungen —y*, λ 3 -2 x 2 -\-x=y* geführt. Nun fährt er fort den Ausdruck zu einem Quadrat zu machen ist ganz leicht; denn wenn ich 2 durch ein um 2 vermindertes Quadrat dividirc, so habe ich x. Aber dieses muß so gefunden werden, daß auch der zweiten Glcichring ein Genüge geschieht. Nun ist x gleich 2 dividirt durch x 2 — 2 das ist x — über diese Art Brüche mit zusammengesetztem Nenner zu bezeichnen, habe ich im siebenten Kapitel gesprochen; also der Kubus ö ει μ° β χΰβφ, und das doppelte Quadrat wird καί οί δίκ> απ’ rtiVoü εοάγνοι γίνοιναι μ°η εν μοοίει μ°β εοαγη,ι , 1 . s. >v. Ich habe dieses Beispiel zuerst gewählt, weil Diophant hier noch am umständlichsten ist, und daS Zusammentreffen beider Zeichen dadurch vermeidet, daß er in der weiteren Entwickelung die erste ursprüngliche Unbekannte durch Worte aus- j drückt. Eben so sage er am Ende, als er das zweite x-\l, also j gefunden hat καί εάν δυάδα /ιεοία'ιιεν εΰε ον rourou δνάδι ελάϋύονα, εύφμομεν 7ον ' φιβ ί $ , „ lind WcilN Wir 2 durch eine um 2 kleinere Zahl, als dieses Quadrat ist, dividirc», finden wir x =In den andern Beispielen ist er weniger ausführlich. IV, 17. 18. In beiden Aufgaben soll x in allgemeinen Aus- druckt» so gefunden werden, daß ein Quadrat wird; er sagt ει > ειαγνικν δ υ gi'b , καί γίνεαι ο ° δ υ ιγ. Das heißt, man setze 13.»' gleich x~ mit einem quadratischen Coefsicieiite», z. B. — so ist x — Um nun im fernern Verlauf der Rechnung Mißverständnisse und Verwirrungen zu vermeiden, setzt er sogleich in die Funktionen für sämmtliche Unbekannte, die durch das erste x ausgedrückt waren, den durch das zweite x ausgedrückte» Werth dafür. Der Anschaulichkeit wegen will ich das Beispiel IV, 17. kürzlich durchführen. Drei Zahlen zu finden, deren Summe eine Quadratzahl ist, und die außerdem die Eigenschaft haben, daß das Quadrat einer jeden zu der folgenden Zahl ad- dirt eine Quadratzahl giebt. Die mittlere Zahl sei x mit irgend einem Coefßcicntcn, z. B. 4x εάχΐηο δ μέο ν δί\ποε, έ δ. Da das Quadrat der ersten Zahl, wenn man die zweite dazu addirt, ein Qtladrat werden soll, so suche ich ein Quadrat, welches zu 4x addirt ein Quadrat giebt. Die erste Zahl ist also x —1. So ist die erste Bedingung erfüllt. Da nun auch das Quadrat der zweiten zu der dritten addirt ein Quadrat geben soll, so werde ich die dritte Zahl haben, wenn ich 2 von irgend einem Quadrat, z. B. von ls,.r'-s-8.»'-s-1, subtrahire; dann ist die dritte Zahl 8»'-s-1. So sind zwei Bedingungen erfüllt. Nun soll auch die Summe der drei Zahlen eine Quadratzahl sein. Die Summe ist aber 13x; das soll ein Quadrat sein. Ich setze 13.»' gleich x- mit irgend einem quadratischen Cocfsicienten, z. B. gleich 109x-, so ist x ~ 1 3 a 2 . Kehre ich nun zu den Annahme» zurück, so würd die erste Zahl 13.»-—1, die zweite 52.»-, die dritte 104.^ 2 — j— l fein. So habe ich in allgemeinen Ausdrücken drei Bedingungen erfüllt λελναί μοι έν r TQia ν επιοιγμάν. Es ist lUtr noch übrig, daß auch das Quadrat der drittelt Zahl, wenn man die erste dazu addirt, ein Quadrat werde. Es soll also 10816.^-^-221.»-', oder durch x 2 dividirt, 108l6^-j-22t ein Quadrat werden, und zwar gleich dem Qtladrate von der Wurzel fv wird x = Diesen Werth nun substituirt er in die Ausdrücke für d>c drei Zahlen 1, 52.**, 104.»' 5 -f-l Oian; ähnlich ist die Aufgabe IV, 18. VI, 13. 14. 15 . Von diesen drei einander ziemlich confor- 23 " inen Aufgaben, deren jede darauf fuhrt, eine doppelte Gleichung von der Form Ax 2 -\-Bx—y 2 , A l x 2 -s- B t x ^ y , 2 zu lösen, haben wir die erste oben weitläufiger behandelt, weshalb ich hier nur das hieher Gehörige kurz wiederholen will. Die aus dem ersten Theile der Rechnung gefundene Annahme des gesuchten rechtwinkligen Dreiecks in der Form 3x, 4 x, 5x führte auf die doppelte Gleichung 6x 2 -j-4x—y 2 und 6x 2 -}-3x—y l 2 . Nun sagt Diophant Und wenn wir die größere das Glied 4x enthaltende Gleichung auflösen, so wird X — y'ivtrcu o /.i°ö iv / logiw 6 U ftfi fi v q. Hier ist das x 2 im Nenner dieselbe Größe, welche wir oben m 2 genannt haben, nämlich der Coefficient von x 2 , welcher für y 2 snb- siitnirt ward. Indem nun Diophant den gefundenen Ausdruck in die zweite Gleichung ßa^-^Zx — y 2 substituier, und dann diese Gleichung auslöst, findet er das zweite x, das heißt, unser m und nun kehrt er zu der ersten Gleichung zurück, und setzt 6x 2 -\-4x = dem Quadrate eines Vielfachen von x, dessen Coefficient das zweite, durch die zweite Gleiehung bestimmte x ist. Die folgende vierzehnte Aufgabe verlangt, Ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, so daß der Inhalt ein Quadrat wird, wenn man jede Kathete da- t von abzieht. , Wie in der vorigen Aufgabe, so wird man auch hier darauf geführt, das gesuchte Dreieck dem Dreiecke st, 4, 5 ähnlich anzurechnen. Seien also die Seiten des gesuchten Dreiecks 3x, 4x, six rfrd%a-c.> oini iv g also wird auch diese Bedingung erledigt. Aber außer 1 kann m auch noch unzählige andere Werthe haben. Um einen solchen zu finden, braucht Diophant dasselbe Symbol noch einmal in einer dritten Bedeutung. Es heißt nämlich „Wenn man aber die Einheit nicht anwenden will, so setze man die Wurzel des Quadrats .r-J-1, so daß das dreifache Quadrat nebst der Zahl 6 wird und dieses ist leicht zu einem Quadrate zu machen; und man findet x nicht großer als y, aber die Wurzel des gesuchten Quadrats, nämlich nicht großer als y*. Das so gefundene Quadrat von 6 abgezogen macht x rational." Diophant hat sich hier einige Sprünge erlaubt, zu deren Erklärung Folgendes hinreichen wird. Es sollte, um das zweite x oder das m zu bestimmen, 12^ 2 -j-24 ei» Quadrat werden, was, da 12-j-24 ein Quadrat, also der Werth x~l sogleich gegeben ist, keine Schwierigkeit hat. Man setzt nämlich x ~ x t -j- 1, so wird 12x Q -j- c 2-i — 2 H—36. So erscheint aber die Formel bei Diophant nicht. Da nämlich der Ausdruck 12x 2 -j-24 durch das Quadrat 4 thcilbar ist, so kommen wir zu demselben Ziel in kleineren Zahlen, wenn wir — 4 T das ist zu einem Quadrate machen. Dann crgiebt die Substitution von x L + 1 für x die Formel dxf+Gx, +9. Nun muß aber x 2 , weil es von 6 abgezogen lvcrden soll, kleiner als 6, also .^ ~ 3 — ,*,", so wird .r, — ; cs ist also n so anzuueh- uic», daß - t'- 1 '' 38 , oder, da 1936 —ü i-, sein müsse. Nehmen wir Beispiels halber n — 6 a», so wird x, — , also das zweite x oder unser m = , r - j- 1 — f f ; wir siude» also eine» Werth für das erste x, welcher den beide» Glei- chnngen 6x 2 — ix—y' und 6x- — — yc genügt, wenn wir y — \\x setzen; nämlich x = , welcher Werth — - 1020 t 4 — OmrT !luu{ ' f 3" dieser Aufgabe hat also das Zeichen x oder das Diophantische drei verschiedene Bedenumgen; erstens bedeutet es den gemeinschaftliche» Faetor, in welche» die Seiten des seiner Form nach aus früheren Betrachtungen gegebenen Dreiecks mnltiplicirt werden müssen, damit es den Fordertmgen gegenwärtiger Attfgaben angepaßt werden könne. Setzt man nun 6x 2 —4.*— m-x-, so bedeutet dasselbe Zeiche» zweitens den Fac- tor m. Dieser Faetor ist so zu bestimmen, daß auch 6x~ — ix ein Quadrat werde; die Sttbstitntion des attS der ersten Gleichtmg geftindenen und durch tu ausgedruckten Werthes für x ergiebt die Bedingung, daß 12/-—— 24 oder 3»^-s-6 ein Quadrat sein mlisse; da hier der Werth m—\ bekannt ist, so erhält man neue Werthe für m, wenn man m = setzt; und so bedeutet Diophant's Zeichen drittens die Große s; und dasselbe Zeichen wäre viertens für die obeit mit n bezeichnete Große verwandt worden, wenn Diophant die Auflösung, die er bloß andeutet, durchgeführt > hätte. "VI, 15. Ein rechtwinkliges Dreieck ztt finden, so daß der Flächeninhalt, sowohl wenn man eine Kathete, als auch, wenn man die Hypotenuse subtrahirt, ein Quadrat giebt. Auch in dieser Aufgabe, welche aus der Annahme der Seiten 3.-, ix, r ox auf die doppelte Gleichung führt 6x 2 —3x~y 2 , >x- — 5x — y 2 , ivird x durch x ausgedrückt, indem wir vorher y gleich einem unbestimmten Vielfachen von x gesetzt wird, als dessen Coefsicieut Diophant »ach der Entwickeltmg x substituirt; mit faßt er sich hier ganz kurz, indem er sagt καί εάν ποιή '^'Γ “ und bp n die Zahl c n , so wird der Forderung genügt, wenn man v — ~ setzt; den» dann ist x n — da nun so ist ~ und da r" i> n , so ist ~ . 392 Sucht man z. B. ein Quadrat, welches zwischen lO und 11 liegen soll, so multiplieire man 10 und 11 successive mit 4, 0, 16 u. s. w. so lange, bis zwischen beide Producte eine Quadratzahl fallt; die Multiplication mit 4 und 9 giebt kein Resultat, denn weder zwischen 40 und 44, noch zwischen 90 und 99 liegt eine Quadratzahl; dagegen giebt die Multiplikation mit 16 die Grenzen 160 und 176 und zwischen beiden liegt die Qliadratzahl 169; demnach liegt x 2 innerhalb der erforderten Grenzen, wenn wir es gleich '-nr, also x~ V setzen. Von diesem einfachsten Falle der Grenzmethoden finden sich bei Diophant folgende Beispiele. IV, 34. Man soll die Zahl 1 in zwei Stucke zerlegen und zu jedem Stücke eine gegebene Zahl addiren, und das Produkt der beiden Summen soll ein Quadrat sein. Die beiden gegebenen Zahlen seien 3 und 5. Da§ eine Stück sei x —3, so ist das andere 4— x. Legt man zu dem ersten 3 hinzu, so erhalt man x, legt man aber zu dem zweiten 5 hinzu, so erhalt man 9—*; demnach soll x 2 ein Quadrat sein. ES sei gleich 4x 2 , so wird .=£. Wenn ich diesen Werth in die obigen Ausdrücke substituiren will, so kann ich 3 von x nicht subtrahier»; x muß also größer als 3 und kleiner als 4 werden, Wir haben aber x gefunden, indem wir 9 durch 5 dividirten, und 5 ist ein um 1 vermehrtes Quadrat; wenn nun 9 durch ein »in 1 vermehrtes Quadrat dividirt einen Quotienten geben soll, welcher größer als 3 ist, so muß der Divisor kleiner als 3 sein; es soll also ein um 1 vermehrtes Qliadrat kleiner als 3, also das Qliadrat kleiner als 2 sein. Ferner soll aber der Quotient auch kleiner als 4 sein; demnach muß der Divisor größer als 2£ sein; aber der Divisor ist ein um 1 vermehrtes Quadrat; folglich muß das Quadrat größer sein als l£; das Quadrat soll aber auch kleiner als 2 sein. Ich muß also ein Quadrat suchen, welches größer als 1{- und kleiner als 2 ist. Ich verwandele beide Ausdrücke in Brüche mit quadratischem Renner άναλΰ ruvfn ει μ ρια εραγΐ’ΐκά, z. D. 64; so werden sie 80 und 128. Das erste ist leicht, und es ist das Quadrat VV »der . Run komme ich zu der ursprünglichen Aufgabe; ich suchte — x 2 zu citiern Quadrat zu machen; ich setze es gleich dem gefundene», nämlich 2 *& 2 , so wird 393 .r=y T 4 . — Um also ein Quadrat zu finde», das zwischen 4 und 2 liegt, multiplicirt Diophant beide Ausdrucke mit 64; er wäre einfacher zu demselben Resultate gelangt, wenn er mit 16 multiplicirt hätte; er hätte die Grenzen 20 und 32 erhalten; da zwischen beiden die Quadratzahl 25 liegt, so ist 44 ein Quadrat, welches größer als 4 und kleiner als 2 ist. Hätte er mit 36 multiplicirt, so hätte er die Grenzcit 45 und 72, und zwischen beiden die Quadratzahlen 49 und 64 gefunden; demnach konnte er 9— x* auch gleich und gleich 2 oder V* 2 setzen. Die von ihm angeordnete Mnltiplication mit 64, welche die Grenzen 80 und 128 gab, gestattete außer yy auch die Werthe 44 und W; '»an ersieht also, wie man unendlich viele Werthe für x finden kann, welche alle innerhalb der vorgeschriebenen Grenzen liegen. VI, 2. sucht Diophant cincit Kubus, der zwischen den Grenzen 2 und 4 liegt; hier crgicbt sogleich die Multiplication mit 8—2» ein erwünschtes Resultat; es liegt nämlich zwischen 16 und 32 die Knbikzahl 27, demnach ist y ein zwischen 2 und 4 liegender Kubus. Die Multiplication mit 27 hätte die Grenzen 54 und 108 gegeben; da zwischen beiden die Kubikzahl 64 liegt, so wäre auch 44 ein brauchbarer Kubus gewesen; ebenso 444 s- w. VI, 23. wird eine sechste Potenz, ein Kttboktlbus, gesucht zwischen den Grenzen 8 und 16, Nim sind die sechste,; Potenzen der ersten natürlichen Zahlen 64, 729, 4096, 15625, 46656 u. s. w. Multiplicirt man also die Grenzen 8 und 16 mit 64, so erhält man 512 und 1024; da zwischen beiden 729 liegt, so ist Y ¥ 9 ein der Forderung entsprechender Kubokubus. Die Multiplication mit 729 ergäbe dagegen kein Resultat; denn 8 mal 729 ist 5832, 16mal 729 ist 11664 und zwischen beiden liegt keine sechste Potenz. Ein complicirteres Beispiel habe ich oben schon gelegentlich erörtert, In der Aufgabe IV, 26. wurde nämlich verlangt, x so zu finden, daß größer als .* und kleiner alS x-\-l werde. Da ich DiophantS Verfahren dort weitläufig auseinandergesetzt habe, so will ich es hier nicht wiederholen, sondern zu einigen andern Beispielen dieser geistreichen Methode übergehen. V, 33. Diese im Original in Versen ausgedrückte Aufgabe lalltet nach Echulz's Übersetzung so 394 Zweierlei Wein, acht Drachme» das Maaß, und schlechter» zu süttf nur Mischte der gütige Herr seinen Bedienten zu». Fest. Was er als Preis für beides bezahlt, war eine Quadratzahl; Legst du zu dem Quadrat aber noch Sechzig hinzu, Siehe so hast du ein zweites Quadrat; nun merke, die Wurzel Zeigt dir, wie viel Maaß jener im Ganzen gekauft. Uud nun sage mir an, wie viel des besseren Weines, Und wie viel zu fünf, wurde zusammen gemischt? * Diophcmt's Auflösung ist wörtlich diese „Der Siuu dieses Epigramms ist folgender. Es hat Jemand zwei Fässer Weiu gekauft; von dem eincil kostet das Maaß 8 Drachmen, von dem andern 5 Drachmen. Der Preis, den er für alles zusammen bezahlt hat, ist eine Quadratzahl; und wenn man dazu 60 addirt, so wird das wieder eine Quadratzahl, deren Wurzel die Anzahl der Maaße augicbt. Wie viel war da zu acht, wie viel zu fünf Drachmen? — Die Anzahl der Maaße fei .*-, so ist der Preis x 2 — 60; und es soll x 2 —60 eine Quadratzahl sein; ihre Wurzel muß man gleich .r weniger einer gewissen Zahl setzen. Aber x 2 — 60 ist zusammengesetzt aus zwei Zahlen, dem Preise des Weins zu 8 Drachme» uud dem Preise des Weins zu 5 Drachmen; und ein Fünftel des letzten, ist die Anzahl der Maaße zu 5 Drachmen, ein Achtel des erster» die Anzahl der Maaße zu 8 Drachmen; und da die Anzahl der Maaße beider Arten x sein soll, so kommt es darauf a», x *—60 in zwei Zahlen zu zerlege», so daß ein Fünftel der einen und ein Achtel der andern zusammengenommen x ausmacht. Das ist aber nicht anders möglich, als wen» x größer als ein Achtel von x 2 —60 uud kleiner als ein Fünftel von x 2 —60 ist; es wird also x 2 —60 größer als 5x und kleiner als 8.* sein. Da nun .*•* — 60 größer als sein soll, so addire man auf beiden Seite» 60, so wird x 2 größer als also x 2 größer als 5.* plus einer Zahl, welche größer als 60 ist; daher wird x größer oder wenigstens nicht kleiner sein müssen als I l. Da ferner x 2 — 60 kleiner als 8 .t ist, so addire man auf beiden Seiten 60, so wird .** gleich sein 8r plus einer Zahl, welche kleiner als 60 ist, woraus folgt, daß .* nicht größer als 12 sein müsse. Es ist aber gezeigt worden, daß eö auch nicht kleiner als l l sei» dürfe. Daher wird größer als 1l und kleiner als 12 werde» müssen. Wen» wir aber .**— 60 zu einem Quadrate machen solle», so bilden wir die Wurzel dieses Quadrats von x weniger einer gewissen Zahl, und 395 es entsteht x, tveini wir zu bcm Quadrate einer Zahl 60 addire», und die Stimme durch das Doppelte derselbe» Zahl dividircu. Wir müssen also eine Zahl suche», so daß, wenn man zu ihrem Quadrate 60 addirt und die Summe durch die doppelte Zahl dividirt, der Quotient größer als l l, aber kleiner als 12 wird. Nennen wir die gesuchte Zahl x, so soll - größer als 11 und kleiner als 12 werden. Zuerst also soll —> 11 werden, also x 2 -j-0ü > ist also gleich x 2 plus einer Zahl, welche kleiner ist als 60; daher darf x nicht kleiner als 19 sein. Ferner soll — + 60 folglich ist x > x 8 b 5 .r, oder x a — 54 >60 sein soll, so muß x > 2bj , oder .*> 10,6394 sein. Die zweite Bedingung x 2 —60 > 84 oder ^ — 84 >60, giebt ^->4-s-f/76, oder 4 -> 12,7178. Ich habe bei einer andern Gelegenheit darauf aufmerksam gemacht, was es bedeute, wenn aus diesen Resultaten Diophant den Schluß zieht also darf x nicht kleiner als 11 und nicht größer als 12 sein. Wenn wir nun x 2 — 60 zu einem Quadrate machen sollen, so setzen wir den Ausdruck = x—p 2 = x 2 — 2 />.r-f-/; 2 ; dann wird x — —. Welchen Werth wir nun auch für p setzen, so wird x immer so beschaffen sei», daß x 2 — 60 ein Quadrat wird. Aber p muß hier so gewählt werden, daß x innerhalb der eben gefundenen Grenzen 11 und 12 liegt. Es darf also zuerst V nicht kleiner als 11 , also p 2 - f- 60 nicht kleiner als 22 /- wcrdcn; demnach p nicht kleiner als 11-s-^61, das heißt, nicht kleiner als 18,81-, oder nach Diophant's Vorstellung nicht kleiner als 19. Ferner darf aber auch nicht größer als 12, also />*4-60 nicht größer als 24/,, folglich p nicht größer als 124-V84, das heißt, nicht größer als 21,165-, oder nach Diophant nicht größer als 21 sein. Wir werde» also einen passenden Werth für x erhalte», wenn wir p innerhalb der gefundenen Grenzen, also etwa gleich 20 annehmen; da wir aber p auch gleich 19 und gleich 21 und gleich jedem Brliche innerhalb dieser Grenzen annehmen können, so erhellt daraus, daß die Aufgabe unzählige Auflösungen zuläßt. Setzen wir nun mit Diophant p — 20, so wird 4004-60 23 x — —— = - j=11t, und das ist der Voraussetzung gemäß die Anzahl der gekauften Maaße. Der dafür bezahlte Preis war aber x 2 —60, Somit haben , 23 m-j-n = -j, Hi lft ™_, = ^ = "’ = 72 4 . wir nur noch m und n aus den beiden Gleichungen 8 ,4-5,* — 4s- Zll bestimmen. Diophant setzt nun 397 n — x, so wird m — — — x, also 8»» j }-fvi = 92— und das >st gleich -j-, lo -*— i2 IV, 45. Drei Zahlen zu finden, so daß der Überschuß der größte» über die mittlere zu dem Überschuß der mittlern über die kleinste ein gegebenes Verhältniß habe, außerdem aber je zwei zusammengenommen ein Quadrat zur Summe geben. Die Auflösung dieser Aufgabe, in welcher fast alle bisher er- - wähnten Methoden sich gegenseitig die Hand bieten, gehört zu den schönsten, aber auch zu den schwierigsten, welche Diophant's Werk uns darbietet, weshalb ich sie in ihrem ganzen Umfange darstellen will. Diophant nimmt an, daß der Überschuß der größten Zahl über die mittclste das Dreifache des Überschusses der mittclsien über die kleinste sein soll. Es soll also, wenn wir die drei gesuchten Zahlen in ihrer Reihenfolge von der größten zur kleinsten A, B, ' nennen, A—B—Ziß—C, außerdem aber sollen die drei Summen A-\-B, B-\-C, ^-s-C, so ist B^> 2, rA + 4-y, 2 . Weil hier die bestimmten Zahle» Quadrate sind, so ist, sagt Diophant, die Auflösung ganz leicht- Es ist nämlich y 5 —y, 2 — Damit man nun sowohl in dem Allsdruck für y 2 als für y , 2 das Glied 4 erhalte, muß man y-f-yi — £.r, y—y, — 4 setzen; dann wird y = ^.r-}-2, y, — —2; also 112. Nun war aber mA r p' > m 2 , so wird m — , und dieser Ausdruck soll kleiner sein als 2. Nachdem Diophant diese Formel >m Kopfe ausgerechnet hat, setzt er p wieder =x die Stelle lautet bei ihm so! γεγονε ovv i / o / - größer als 6p -J-18. Die Art, wie Diophant diese Gleichung auflöst, haben wir gehörigen Orts näher belklichtct, und es sindct sich, daß p größer als 399 also größer als 4, 854, oder wie Diophant sich immer ausdruckt, nicht kleiner als 5 sein darf. Setzen wir nun /-—5, also — 3 — 5 tnf, so wird = Nun war die Wurzel des zweite» Quadrats »r-s-2, also —1, das zweite Quadrat selbst also dieses zweite Quadrat war aber auch 6^+4, folglich haben w,r6^-s-4 —also x — Nun waren die drei Zahlen 7^-s-2, 2— x; sie sind also lUs' -§is' lüs' obcr wcnn ,,,sln bei, Nenner quadratisch e"'rlchtm w , w , w . Das einzige, was bei dieser Darstellung vielleicht dunkel geblieben ist, ist bei der Betrachtung der drei Quadrate Sx - f- 4, 4 die Forderung, diese Quadrate so zu finden, daß der Überschuß des größten über das zweite ein Drittel des Überschusses des zweiten über das kleinste werden müsse, damit das Verhältniß der Überschüsse der ursprünglich gesuchten drei Zahlen A , B, C erhalten werde. Die Sache ist aber ganz einfach, wenn wir bedenken, daß nach der Annahme A—B~3B—C sein sollte, nach der Entwickelung aber — A-\-B, — A-\- C, 4 = B-\- C ist. Ist nun A — li Mt—ZC so ist A-\~B - 5// — 4C r und A-\-C=Ui— iC da nun b\-C= B-\-C so ist A-\-B — A-\-C = B-C {A+ C — {B-\- C = ZB-ZC folglich {A + B — {A+C = ^{A+C-i{B+C. Wird also die eine Bedingung erfüllt, so wird die andere zugleich mit erledigt. Es war also, uni allen Bedingungen der Aufgabe zu genügen, weiter nichts nöthig, als das eine Quadrat 4, das andere kleiner als 16, aber in der Form und das dritte um ein Drittel des Unterschiedes dieser beiden größer als das zweite zu machen. 13. Die Zahl 1 in zwei Stücke zu zerlegen, so 400 daß, wenn man jedem Stücke eine andere gegebene Zahl addirt, die beiden Summen Quadrate werde». Die beide» gegebenen Zahlen seien 2 und 6. Diese Aufgabe gäbe ist die einzige, in welcher Diophant sich einer geometrischen Betrachtung bedient. Man nehme, sagt er, eine Einheit AB, die der Aufgabe gemäß in C geschnitten ist- l \ A . 11 ___ _ ^ dann lege man dem Stücke AC ' c zwei Einheiten AI und dem Stücke CJt sechs Einheiten BE zu, so werden CD und CE Quadrate sein. Da nun AB eine Einheit, AI und BE zusammen aber acht Eiuhcitcn sind, so ist die ganze Linie 1E gleich neun Einheiten. Man hat also die Zahl 9 in zwei Quadrate zu zerlegen; da aber eines dieser Quadrate, nämlich CD großer als AD, aber kleiner als BJ ist, so stellt die Aufgabe sich so die Quadratzahl 9 in zwei Quadrate ju zerlegen, so daß das eine zwischen 2 und 3 fällt. Ist auf diese Weise CD gesunden, so ist auch AC gegeben, da AD— 2 gegeben ist; lind wenn man AC von der Einheit AB abzieht, so hat man das andere Stück CB. Das eine Quadrat, welches zwischen 2 und 3 liegen soll, sei x 2 , so ist das andere 9— x 1 Dieser Ausdruck soll Quadrat sein. Das ist zwar leicht zu bewerkstelligen, aber man soll x so finden, daß x- zwischen 2 und 3 fällt. Wir nehmen zwei Quadrate, deren eines größer als 2, das andere kleiner als 3 ist, r- B. ^ und Wenn wir nun x 2 so finden können, daß es zwischen diesen beiden Quadraten liegt, so haben wir die Aufgabe gelöst. Es muß also auch die Wurzel von x 2 , nämlich x, größer als 14 und kleiner als -4 sein. Wollen wir aber 9—.r 2 zu einem Quadrate machen, so setzen wir die Wurzel dieses Quadrats gleich 3 — mx diese Operation ist bei Diophant auf die gewöhnliche Weise umschriebe», und finden x = 1 Dieser Ausdruck soll größer als n uud kleiner als sein. Es soll also zuerst > tt, also 72,>» 17w, 5 4-17 sein, demnach muß ,„ 36 oder >-, oder 401 oder nicht kleiner als sein. Nun ist ££ = 3^4, 4 = 3 T y, daher nimmt Diophant für m den zwischen beiden Grenzen liegenden liegenden Werth 3^ oder i, dann wird = woraus sich die gesuchten Stücke, in welche 1 zu theilen war, leicht ergeben. Ich will dieser Auflösung nur die Bemerkung hinzufügen, daß das Verfahren, zwei Quadrate wie ^ und ^ zu finden, die zwischen den gegebenen Grenzen 2 und 3 liegen, ganz dasselbe ist, welches ich oben für ein Quadrat angegeben habe. Man multiplicirt die beiden Zahlen 2 und 3 so lange mit der Reihe der Quadrat- zahlen, bis zwischen zwei solcher zusammengehöriger Productc zwei Quadratzahlcn fallen. Die folgende Tabelle wird zeigen, daß Diophant seine Grenzen für x in viel kleinern Zahlen hätte finden können. n 2 2 n 1 3 n 1 Dazwischen liegende Quadrate. 36 72 108 81, 100 49 98 147 100, 121, 144 64 128 192 144, 169 81 162 243 169, 196, 225 100 200 300 225, 256, 289 121 242 363 256, 289, 324, 361 144 288 432 289, 324, 361, 400 Selbst wenn er, wie es scheint, solche Quadrate suchte, die bei gemeinschaftlichen Ncimcrn in den kleinsten Zahlen ausgedrückt sind, so hatte die zweite Reihe ihm die viel kleinern und dcit beiden Grcn- 100 14-1 zen ziemlich nahe liegenden Quadrate und geboten, so daß er also x zwischen y und y hätte zu suchen gehabt, wodurch übcr- dicß die Grenzen für x etwas weiter geworden wären. Von ganz besonderem Interesse aber ist in dieser Methode der Grenzen eine Operation, welche Diophant tfctgio-orw oder gro. rT i 5 '°>’ aycöj-rj, Methode der Beinahegleichhcit, nennt, und die zum Zweck hat, zwei oder drei Quadrate zu finden, deren Summe einer gegebenen Zahl gleich ist, und die alle einer und derselben Zahl, also auch einander möglichst nahe liegen. Ich will diese höchst sin»- l- 26 402 reiche Methode an den beiden auch noch in anderer Beziehung interessanten Beispielen, in denen wir sie dargestellt finden, nämlich V, 12. 14., entwickeln. V, 12. Die Zahl 1 in zwei Stücke zu zerlegen, so daß, wenn man zu jedem Stücke dieselbe gegebene Zahl addirt, beide Summe» Quadrate werden. Ich übergehe bei dieser, wie bei der folgenden Aufgabe die Determination, von der ich bei einer andern Gelegenheit spreche» werde, und stelle gleich Diophant's Auflösung dar. Die gegebene Zahl sei 6 ; nennen wir nun vorläufig die beiden Theile der Zahl 1 A und B, so sollen A -\-6 und B-\-6 Quadrate werden. Sei A-\-6 — ni 1 , B-\-6 — n z , so ist ihre Summe J + Ä+12, das ist, da A+B= 1 ist, l3 = m 2 -\-n 2 . Es kommt also darauf hinaus, die Zahl 13, welche die Summe der Quadrate 9 und 4 ist, in zwei andere Quadrate m 2 und ri l zu zerlegen, deren jedes größer als 6 ist, damit nämlich A-~m 2 —6 B -n 2 — 6 positiv werde». Wenn ich also, sagt Diophant, die Zahl 13 in zwei Quadrate zerlege, deren Differenz kleiner als 1 ist, so habe ich die Aufgabe gelöst. Nun schlägt Diophant folgenden cigenthiimlichcu Weg ein. Er nimmt die Hälfte von 13, nämlich 67 , und untersucht, welchen quadratische» Bruch man zu 6 ^ addireu muffe, damit die Summe ein Quadrat werde. Es ist also die Gleichung ober 2G-f-~j, oder 26.^ -f -1 zu einem Quadrate zu machen gesetzt. Diophant setzt 26 §^-j -1 — 5.*-, -j— l 2 und findet .-!= 10, also .r- —20; demnach wird ^ + —'S — tu’ Die Annahme des o.^-j-l war aber nicht willkührlich, sondern der Cocfficicut von .t\ mußte so genommen werden, daß ein ächter und wo möglich kleiner Bruch wurde. Hätten wir also 1 a -j-l allgemein = /-,-}- Q 1 - /> 1 ' 3 -j- 2 /At , J -l gesetzt, so hätten wir . 3 -, = ^ gefunden. Es mußte also 26— /> J .26, also />>.— 1 -f-V27; demnach ist i» ganzen Zahle» 5 der kleinste Werth, den /> haben konnte. Da wir nun das Quadrat gefunden haben, welches nur um größer ist als 6 ^, so kommt es darauf an, 403 13 in zwei Quadrate zu zerlegen, deren jedes dem Quadrate ^ möglichst nahe kommt; folglich werden die Wurzeln der gesuchten Quadrate der Wurzel des gefundenen, möglichst nahe kommen müssen. Nun sind die Wurzeln der beiden Quadrate, aus welchen 13 von Natur zusammengesetzt ist, 2 und 3; und zwar ist 2 um ^ kleiner und 3 um ^ größer als Wollte man nun die Wur- Sei des einen gesuchten Quadrats 2-j-^, die des andern 3 —~ setzen, so würde die Summe ihrer Quadrate genau - ~ 6 q 01 -, also um größer als 13 wurden. Darum setzt Diophant die Wurzel des einen Quadrats die des zweiten 3—9^, wo x begreiflicher Weise einen Werth haben wird, der nicht genau t 'tt ist, aber diesem Bruche nahe kommt. Nun setzt er die Summe der Quadrate dieser beiden Ausdrücke gleich 13, woraus sich der Werth für x crgicbk. Es ist nämlich 2 -j-1 - 4 -j- Aix -\-121 x-, 3— 2 — 9 — 54also ihre Summe 13— 202a 2 = 13, also x = ^. Demnach sind die Wurzeln der beiden Quadrate, in welche man 13 zu theilen hatte, ^ und ihre Quadrate ^ und und wenn man von ;edcm derselben 6 subtrahirt, so erhalt man die beiden Theile, in welche die Einheit gecheckt werden sollte, nämlich - ^ ut ~ rmd 12u j. Ich glaube in dieser Darstellung die Methode von jeder Un- dcutlichkcit befreit zu haben. Bei Diophant, der sich hier wider seine Gewohnheit an manchen Stellen tingebührlich kurz faßt, ist Manches nicht ganz cinsichtlich dargestellt; so scheint mir die Annahme von 2 -s- l I x und 3— für die Wurzeln der beiden Quadrate bei ihm nicht hinlänglich motivirt zu sein. Er sagt nämlich, nachdem er das zu y zu addircnde Quadrat ~~ = ^ gefunden hat, ganz kurz „Wenn man also 13 in zwei Quadrate zerlegen will, so muß man die Wurzel eines jeden möglichst nahe an ^ nehmen; und ich suche, was von 3 subtrahirt und zu 2 addirt diese Zahl, nämlich giebt. Daher setze ich die Wurzel des ei- 26 * 404 um Quadrats 11.-2, die des andern 3—9., so ist die Summe ihrer Quadrate u. s. w." Dieser Auflösung ganz ähnlich ist V, 14. Die Zahl 1 in drei Stücke zu zerlegen, so daß, wenn man zu jedem Stücke dieselbe gegebene Zahl addirt, die drei Summen Quadrate werden. Die gegebene, zu jedem der Stücke zu addircndc Zahl sei 3. Nennen wir nun wieder die drei Stücke A, B, C, so soll A-\-3 — m% B-\-3=n i t C-\- 3-/>', also ihre Summe A-\-B-\-C -j-9 = sein; aber A-\-B-\-C ist — J, also 10 — Demnach soll man die Zahl 10 in drei Quadrate zerlegen, so jedoch, daß jedes größer als 3 wird, damit die drei gesuchten Zahlen A, B, C positiv ausfallen können. Wir nehmen von 10 ein Drittel, das ist 3^, und untersuchen, welchen quadratischen Bruch wir zu 3£ addircn »ü'isscn, damit die Summe ein Quadrat werde. Wir nehmen Alles neunfach, rmd suchen, welchen quadratischen Bruch wir zu 30 addircn müssen, damit die Summe ein Quadrat werde. Der Bruch sei so soll 30-}-oder 30^ +1 ein Quadrat werden. Diophant setzt 30 ^ -s-1 — 5.-{-l 2 , und findet 6-—2, also Wenn man also zu 30 den Bruch £ zu addiren hat, so hat man zu 3^ den Bruch . 121 zu addiren, und die Summe giebt das Quadrat -7^0-, dessen Wurzel ^ ist. Aber 10 besteht aus den beiden Quadraten 9 und 1, 1 aber aus den Quadraten ^ und r, demnach ist 10 zusam- mengesetzt aus den Quadrateir 9, ^ und bereit Wurzeln 3, -f-, - sind. Nun muß man die Wurzeln der gesuchten drei Qua- drate der Zahl -g- nahe zu bringen suchcit. Diophant bringt also diese Zahlen auf den gleichen Nenner 30, so sind die drei Wurzeln W S' 55' '"'d X wird g. Nun ist 3 oder g um g größer, dagegen ^ um und ^ lim ^ kleiner als Wollte man also die Wurzeln der drei gesuchten Quadrate 3—g, y+g setzen, so würde jedes dieser Quadrate genau ihre 405 Summe also also um & großer als 10 werden. Darum setzt Diophant wieder, wie vorher statt des Nenners 30 das Symbol x, und bildet die drei Wurzeln 3-35^-, ^-j-31^-, -j-37^, wo x also nicht genau, aber beinahe ^ sein wird, und setzt mm wieder die Summe der drei Quadrate gleich 10; diese Summe ist aber 10— — 10, woraus x = gefunden wird, also um xt Vt kleiner als ^-V Die Wurzeln der drei Quadrate sind demnach , 1658944 16512-25 505521 ' 505521 ' 1288 7TT' W' M» °.r i-iimpraie - gÖ 552 l "' Zieht man von jedem dieser Quadrate 3 ab, 1285 , s .. ^ w t 1745041 -fü;, also dre Quadrate so erhalt man die drei gesuchten Stücke der Einheit, nämlich 228478, 142381, 134662, alle drei dividirt durch 505521. Diophant bricht übrigens seine Rechnung ab, nachdem er den Werth für x gefunden hat. Bei dieser Aufgabe, wie bei der vorigen kommt es darauf an, daß, wenn wir 2 -f-l zu einem Quadrat machen, x größer als 1 gefunden werde. Setzen wir nun 2 -j-1 — {px-\-iy, so wird x — 30 ^ . Es muß also 2/>>30— p 1 , also /»*+-P >30, demnach /->—1-s-/31 werden. Demnach ist auch hier 5 die kleinste ganze Zahl, welche für p gesetzt werden darf, nicht aber, wie Schulz in den Anmerkungen zu V, 12. sagt, zugleich die größte. Denn da von x nur das Quadrat gebraucht wird, so ist es von keinem Belange, wenn der Werth für x negativ ausfallt, und es wäre in dem Falle nur px —l 2 statt px- f-1 2 zu denken, und Diophant hätte sicher auch SOx 2 -s-1 — px —l 2 gesetzt, wenn er Grund gehabt hätte, mit dem Werthe p —5 unzufrieden zu sein. Bei der Aufgabe V, 16. 17. führt Diophant die Auflösung auch auf die eben erörterte Operation der?tao/croj-r] — χ ^ ni 1 , q % —y =?*% tf ' 6 X ~P* 3. x-\ ~y \-x=- q' f x—q 6 = y — q 6 = iP, x — q^—p 1 . 4- x+y-\-x = a, a 3 —m\ 3 +y = 2 , o 3 -\-z = p\ 412 n. x-\-y-\-z=a, n 3 — x = nr, a 3 —y ~n 2 , a 3 —z — />- . 6. x-\-yA-z—a, x — a 3 — ni 1 , y — n 3 ~n 2 , z — u 3 = />-. Die erste dieser Aufgaben ist vollständig ausgesprochen und gelost in der Aufgabe 21., die sechste ebenso in der Aufgabe 23. Die zweite ist ausgesprochen in den Worten der Aufgabe 22., aber durch ein Versehen des Abschreibers ist mit Übcrspringung eines Stücks des Tertcs statt ihrer eigenen die Auflösung der fünften beigefügt worden. Uns fehlt also das Stück von der Auflösung der zweiten bis zu den Tcrtcswortcn der fünften inclnsive. Wenn wir das Fehlende durch Einschaltung andeuten, so verhält sich das Vorhandene zu dem Fehlenden folgendermaßen 1. Aufgabe. Auflösung. 2. Aufgabe. Auflösung. 3. Aufgabe. Auflösung. 4. Aufgabe. Auflösung. 5. Aufgabe. Auflösung. 6. Aufgabe. Auflösung. Nehmen wir nun an, daß die zweite und dritte Allfgabc der crstcrn analog durch Algebra gelöst worden seien, und überlassen wir dieselben ihrem Schicksal, daß dagegen die ganz fehlende vierte sich an die folgenden beiden angeschlossen habe, so war ihre Auflösung vielleicht folgender Art Da x-j-y-j-z = a, a 3 -\-x=m 2 , 3 -f-y = 5 / a 3 -\-Z~p 2 , so ist, wenn man die drei letzten Gleichungen addirt, Za 3 -\-x-\-y -s-L, das ist 3 3 -s-tt — m 2 -[- n 2 -{- 2 . Nun ist x — m 2 — 3 , y — n~ — 3 , L />- —st. Nun kommt es darauf an, die gegebene Zahl 3st 3 -s-st in drei Quadrate ni 1 , n 2 , p 2 zu zerlegen, deren jedes größer als a 3 , aber kleiner als st 3 -st ist, weil jede der drei Zahlen x, y, z kleiner als a werden muß. Diophant hat, wie aus der Auflösung der Aufgabe 22. erhellt, st—2 gesetzt. Demnach führt seine Aufgabe darauf hinaus, die Zahl 26 in drei Quadrate zu zerlegen, so daß jedes größer als 8, aber kleiner als 10 ist, was nach den früher gelehrten Methoden sich leicht bewerkstelligen läßt. Die Zahl 26 ist nämlich die Summe der Quadrate 16-j-9-j-1, von denen 9 bereits für diesen Zweck brauchbar ist, weil es zwischen 8 und 10 liegt. Es ist also nur noch übrig, den Rest 17 in zwei Quadrate zu theilen, die innerhalb derselben Grenzen liegen. Lassen wir nun in Gedanken diese Auflösung vorausgehen, so wird die Auflösung der Aufgabe 22., wenn wir ihr als Aufgabe die fünfte der ausgesteiften zutheilen, völlig verständlich. Auch hier ist a ~2 angenommen,- es soll also .*-+y+» = 2, 8—x- = m-, 8—ij=zn~ t 8——/^ fein. Die drei letzten Bedingungen ergeben 3-8—0+y+*/ das ist 22 = wi 5 -f- I +/> 2 . Nm, ist .v = 8— ni 1 , y — 8 — n% x = 8 —/?*, aber x-\-y-\- x — 2. Demnach hat man die Zahl 22 in drei Ausdrücke zu zerlegen, so daß jedes derselben kleiner als 8, aber größer als 6 werde, damit nämlich die Differenzen 8 — ni 1 u. s. w. kleiner als 2 werden. Diesen ganz analog ist dann die Auflösung der Aufgabe 23., in welcher nur statt der Zahl a, welche in drei andere zerlegt werden soll, ein Bruch subsiitnirt ist, weil, wenn x-\-y-\-% = a , und x — 3 , y — a 3 , z — a 3 Quadrate sein sollen, diese lctztcrn Bedingungen nur möglich sind, wenn u, x, y, z Bruche sind. Die Auflösung selbst habe ich oben schon mitgetheilt. Ich muß noch erwähnen, daß schon Dachet die Lücke an dieser Stelle bemerkt und die drei fehlenden Aufgaben in seinem Com- mentar zu V, 22. gelöst hat. Aber er sowohl als Schulz stellt die Sache so dar, als wären zwischen V, 21. und 22. drei vollständige Aufgaben mit ihrer Auflösung ausgefallen. Keinen von Beiden haben die Tcxtcswortc in der Aufgabe 22. auf die Erklärung der Entstehung dieser Lücke hingeführt. Der Fehler ist, wie gesagt, so entstanden, daß der Abschreiber, nachdem er die nach Y, 21. folgende Aufgabe richtig hingeschrieben, aus Versehen dazu die Auslösung einer spätern stellte, und nach dieser wieder regelmäßig weiter schrieb. 6. Auflösung in allgemeinen Ausdrücken. Wir haben oben schon ein Beispiel berührt, in welchem Dio- phant gleich durch die Form, welche er den durch das Symbol der Unbekannten ausgedrückten gesuchten Zahlen gab, alle erforderlichen Bedingungen der Aufgabe löste. Er suchte nämlich V, 2l. drei Zahlen, deren jede eine um 1 verminderte Quadratzahl und deren Summe eine Biguadratzahl sein sollte. Indem er die eine Zahl x* —2.* /! , die zweite Ä- 2 -{-2;r, die dritte x z —2.* setzte, hatte er bereits die ganze Aufgabe gelöst. Denn jede der drei Zahlen ist ein um 1 vermindertes Quadrat, und die Summe von allen dreien ist x*, also eine Biguadratzahl. Eine solche Auflösung nennt Dio- 414 phant eine mibcstmnnte, und er sagt bei diesem Beispiel, in welchem eine Auflösung der Art gar nicht einmal sein Zweck war και h> άοοιοι άοφμοΐ λελυαι ο ξψούμενον. Aber Weder sind die hier gefundenen Ausdrücke die ganz allgemeine Form dreier Zahlen, welche die verlangten Bedingungen erfüllen, noch hat überhaupt Dio- phant eine klare Vorstellung von einer ganz allgemeinen Auflösung, das heißt, von der Auffindung der Unbekannten in einer völlig erschöpfenden, alle mögliche Zahlen in sich schließenden Formel. So wie es ihm bei der gewöhnliche» Auflösung genügt, irgend welche Zahlen gefunden zu habe», die das Verlangte leiste», so ist es ihm bei der Auflösung εν άοοί völlig hinreichend, überhaupt eine Formel gefunden ju haben, welche die Auflösung löst, unbekümmert darum, ob es nicht etwa noch Zahlen gebe, die ebenfalls die Auflösung lösen, ohne die von ihm aufgestellte Form zu haben. Auch liegt der Sinn, den wir mit einer allgemeinen Auflösung verbinden, gar nicht in den Worten, mit denen er die allgemeine Auflösung definirt. Es heißt nämlich IV, 20. am Ende ο γάο αορίν ξψειν stf -ιν iva η υποο αιίι roiuvrr] rj, ινα ο/ου ι ρελει ον αοφμον είναι, έπί 7α νζζοαάαει %οΐΎ\α ο*ο*] επίαγμ α. „Denn das heißt eine Aufgabe unbestimmt lösen, wenn der Ano- druck für die gesuchte Zahl so beschaffen ist, daß, welchen Werth man auch der Unbekannten geben mag, dieser in die allgemeinen Ausdrücke eingesetzt immer die Aufgabe löst." Und IV, 37. am Ende ο diese in den Exponenten niultiplicirt, giebt 3-r-; wenn ich dieses dividirc durch den Überschuß der zweiten Zahl über den Exponenten, nämlich durch x —3, so wird die erste Zahl In allen drei Beispielen ist also die Regel, welche Diophant giebt, ganz allgemein und für jede gegebene Zahl geltend, und es ist nur ein Mangel seiner Symbolik, daß er die Regel in ihrer Allgemeinheit nicht in eine Formel übersetzen kann. Die Regel IV, 37. sagt Wenn die eine Zahl x —1 ist, so ist die andere iLz£Ü, Die Regel IV, 39. Wenn die eine Zahl x-j~l ist, so ist die andere Bei dem dritten Beispiel ist zu bedenken, daß Diophant durchgchcnds unter dem Verhältniß inuncr das Vielfache versteht, das heißt, daß er nur Verhältnisse statuirt, deren Exponenten ganze Zahlen sind. Er nimmt also an, das Produkt der beiden Zahlen verhalte sich zu ihrer Summe, wie m 1; ist dann die eine Zahl x, so ist die andere x ~~ ~ Setzten wir allgemeiner das Verhältniß m n, und die erste Zahl x, so würde die zweite —-werden. 01X — o/l Etwas complicirter, aber darum nicht weniger allgemein gelost ist das Beispiel IV, 20. Drei Zahlen in allgemeinen Ausdrücken zu finden, so daß das Product von je zweie» ein Quadrat wird, wenn man I dazu addirt. „Da ich verlange, daß das Product der ersten und zweiten um 1 vermehrt eine Quadratzahl werde, so werde ich dieses Product haben, wenn ich von irgend einem Quadrate 1 abziehe. Ich bilde das Quadrat von x mit irgend einem Koefficienten rrAauw., 7£7 OOi- 417 εράγνον πο ν δήποε NNd bCr Zahl 1, z. B- .r'-s-l, so ist das Quadrat .^ wenn ich davon 1 abziehe, so wird der Nest ^ das Product der ersten und zweiten Zahl sein. Die zweite Zahl sei x, so ist die erste .r-f-2. Da ich ferner verlange, daß das Product der zweiten und dritten Zahl um 1 vermehrt eine Quadratzahl werde, so werde ich, wenn ich von irgend einer Quadratzahl 1 subtrahire, das Product der zweiten und dritten haben. Ich bilde das Quadrat von 3^-f-l, welches 9^ +1 ist, so wird das Product der zweiten und dritten Zahl 9^ -j-6.*. Die zweite Zahl ist aber x ; also die dritte 9^-s-6. Da ich endlich will, daß auch das Product der ersten und dritten Zahl ein Quadrat werden soll, wenn man 1 addirt, so muß 9.^-s-24r- 4-13 ein Quadrat sein." — Hätte nun Diophant nicht eine allgemeine, sondern eine gewöhnliche Auflösung in bestimmten Zahlen verlangt, so wäre nichts leichter, als diesen Ausdruck zu einem Quadrate zu machen. Nun aber wendet er die Methode der Zurück- rechnung an, um durch eine neue Annahme statt der oben willkühr- lich gewählten Quadrate von .*-1 und von 3x-\-l auf einen Endausdruck zu gelangen, der schon seiner Form nach Quadrat ist. Er fährt also so fort „Nun ist zwar der Coefficient von x* ein Quadrat καί εχ Γα δυνάμει εραγνικ, wenn nun auch die bestimmte Zahl 13 ein Quadrat, und das doppelte Product der Wnrzclir beider Quadratzahlcn des Cocfficicntcn von x l und der bestimmten Zahl dem Cocfsicientcn von x gleich wäre, so wären die drei Bedingungen allgemein gelöst. Aber die 13 sind entstanden aus dem Product der 6 und der 2, zu welchem 1 addirt ist. Die 2 aber rührt her von dem doppelten Product des x in 1, die 6 von dem doppelten Product von Zx in 1. Ich will also, daß der doppelte Cocfßcicnt von x in der einen Wurzel mit dem doppelten Cocfficicntcn von x in der andern Wurzel multipli- cirt und um 1 vermehrt ein Quadrat gebe Ιελ ow δί ου °υ έπι ώί ου ου μεά μ° α ποιεΐν εράγνον. Aber das Doppelte mit dem Doppelten multiplicirt ist das Vierfache. Ich will also, daß das vierfache Product der Coefficiemen um die Einheit vermehrt ein Quadrat gebe. Wenn man aber zu dem vierfachen Produkte irgend zweier Zahlen das Quadrat ihres Unterschiedes addirt, so erhält man ein Quadrat. Wenn ich also das Quadrat des Unterschiedes gleich 1 setze, so wird das vierfache Product der Zahlen, um 1 vermehrt, ein Quadrat sein. Wenn aber das I. 27 418 Quadrat des Unterschiedes 1 ist, so ist der Unterschied selbst I. Darum muß man die obigen Quadrate so bilden, daß die Cocfn- cienten von x in den Wurzeln zwei zunächst auf einander folgende Zahlen sind, z. B. von .r-j-1 und von Das Quadrat von ^*—1—1 ist ^ also das Produkt der ersten und zweiten Zahl x 2 -{~2x, die zweite Zahl sei x, so ist die erste.•-{-2. Ferner da das Quadrat von 2x-{-l gleich 2 -4.* , -j-l ist, so ist das Prodnct der zweiten und dritten Zahl kx % -\-4x\ die zweite ist aber x, also die dritte ES ist also in allgemeinen Ausdrücken erlangt, daß das Produkt von je zweien um die Einheit vermehrt ein Quadrat ist, und man kann x annehmen wie man will. Es hat bei dieser Auflösung den Anschein, als ob Diophant eme der Bedingungen, welche nöthig ist, um die Formel 9.^ —j—13 in eine quadratische Form zu verwandeln, vernachlässigt habe. Es muß nämlich, damit dieser Ausdruck ein allgemeines Quadrat sei, zuerst statt 13 eine Quadratzahl erlangt werden, und sodann muß statt 24 das doppelte Produkt der Wurzeln der statt 9 und und 13 zu substituirendcn Quadrate in die Formel kommen. Von dieser letzten Bedingung spricht Diophant gar nicht, dagegen führt er einen scheinbar willkührlichcn Satz ein, nach welchem die Annahme so zu machen ist, daß man für 13 eine Quadratzahl erhalte. Indeß ist nur sein Vortrug insofern fehlerhaft, als er die Einführung dieses Satzes und die dadurch zugleich bewirkte Erfüllung der zweiten Bedingung nicht gehörig motivirt; die Sache aber ist ganz richtig, wie die Ausführung in allgemeinen Zeichen beweist. Nennen wir die drei gesuchten Zahlen, A, U, C, und setzen Ali 4-1 = mx^ l 2 , liC -\-1 = 1 2 , und 11=x, so wird A=m’ 1 x-\- 2m / n 2 x -j- 2n. Nun soll auch noch xlC-j-l ein Quadrat werden. Aber AC-j- 1 wird =ni i n?x l -\- nn -j-1 = /4, 22 mnm-{-n ~2mnp, also 7ti-\ fei». Demnach muß = also 1 =m 2 — 2mn»i 1 , folglich m — n oder n — m=\, n—m- j-1 fein. Das ist aber eben das Resultat, welches Diophant herausgebracht hat. Setzen wir also B=.v, A=}n' l x-\-2m, so wird l^.r'4^2 w4~ 1. Fragen wir nun, welchen Zweck diese vereinzelten allgemein gelösten Aufgaben habe», so ergicbt sich die Antwort hierauf sofort, 419 wenn wir die Stellung, welche diese Aufgaben einnehmen, berücksichtigen. Alle diese hier erörterten Aufgaben sind als Hilfsaufgabcn für zusammengesetztere in Zahlen zu lösende zu betrachten, welche den Zweck haben, für die folgende Aufgabe die Annahme s§ zu bestimme», daß von den -r Bedingungen n— 1 sogleich durch die Annahme erledigt werden. Die eben betrachtete Aufgabe IV, 20. lehrt in allgemeinen Ausdrücken drei Zahlen finden, so daß das Product vou je zweien um 1 vermehrt ein Quadrat wird. Die nächstfolgende Aufgabe verlangt, vier Zahlen unter derselben Bedingung zu finden. Auf die vorhcrgclöste Aufgabe gestützt nun setzt Diophant AB+l = x+l\ AC-\-l = ix+i\ AD 1 = 3 *- 1 ~ , und A=x, so wird B=x-\- 2, C— 4.-J-4, D =9*6, und es sind außer den drei hingeschriebenen Bedingungen, der vorigen Aufgabe gemäß, auch noch die beiden erledigt, daß und CZJ-j-1 Quadrate sind. Es bleibt also nur noch übrig, daß auch B/-\-l Quadratzahl werde. Aber BU-j-i ist — dx^^-Mx ——13; dieser Ausdruck ist also noch zu einem Quadrate zu machen, wodurch der Werth von x bestimmt wird. Ganz ähnlich verhält es sich mit den drei übrigen Aufgaben dieser Art. Alle drei setzten sich vor, zwei Zahlen unter gewissen Bedingungen zu suchen; die die nächstfolgende Aufgabe verlangt dann drei Zahlen unter denselben Bedingungen. Die sechs Aufgaben IV, 37—42. sind demnach folgende 37. In allgemeinen Ausdrücken AB-\-A-\-B—a-, Resultat B—X— 1 , A—' x ~ . 38. In Zahlen AB-\-A-\-B~a, BC^B-^-C—b, AC -j-A+C=c. mB^x—l t so ist A^ a ~ x+ \ b — x+i und die beiden ersten Bedingungen sind cr- 39. füllt, die dritte bleibt zur Bestimmung des x übrig. In allgemeinen Ausdrücken AB — A-~-B~a\ Resultat In Zahlen AB—A—B=a, BC—B—C=b, AC —A — C ~ c. Sei B = x+ 1, so ist N^j,^„„gen sind erfüllt; die dritte giebt x. 27 » 40 . 420 41. In allgemeinen Ausdrücken AB~mA-\-B. Es wird 42. In Wahlen AB~m{A-\-B, BC=n{B-\-C, AC = P {A+C. Sei B=x, so ist C=£L f und zwei Bedingungen sind erfüllt; die dritte giebt x. Außer diesen vier vollständigen Aufgaben aber finden wir dieselbe Methode häufig innerhalb anderer Aufgaben angewandt, und wir haben in den bisher bei verschiedenen Gelegenheiten mitgetheilten Beispielen bereits Fälle kennen gelernt, in denen Diophant die in den Nebenaufgabcn concret geftindcncn Zahlen in x multiplicirte, wenn die Natur der Aufgabe es mit sich brachte, daß jede Zahlen in dem gefundenen Verhältnisse dasselbe leisteten. Wir haben z. B. oben die Aufgabe IV, 26. betrachtet. Sie befahl, eine gegebene Zahl in drei andere zu zerlegen, so daß das Product aus allen dreien ein Kubus wird, dessen Wurzel der Summe der Unterschiede von je zweien gleich ist. Wenn nun drei Zahlen, a, h, c, die Eigenschaft haben, daß ihr Product abc ein Kubus ist, dessen Wurzel die Summe der Unterschiede —— c oder 2 a — e ist, so haben jede drei Zahlen, die sich wie a, b, c verhalten, dieselbe Eigenschaft. Denn wenn abc = $a — c 3 ist, und man substituirt tna, mb, mc für a, b, c, so ist das Product derselben m 3 abc\ der Kubus der Summe der Unterschiede aber 8*».a— mc 3 — 8m 3 a — c 3 ; da aber abc — 8s — e 3 war, so ist auch m 3 tibc = Sm 3 a —c 3 . Nun findet Diophant, daß die Zahlen Z-, £ und , dieser Forderung genügen; daher auch jedes gleichartige Vielfache derselben. Zuerst nun schafft er die Nenner weg, indem er alle drei Zahlen mit 15 mul- tiplicirt; dann werden noch die Zahlen 40, 27, 25 dieselbe Eigen- sckaft haben. Nun sollen aber die drei Zahlen nicht bloß diese Eigenschaft haben, es soll auch ihre Summe einer gegebenen Zahl, 4, gleich sein. Um noch diese Bedingung erfüllen zu können, betrachtet Diophant die drei gefundenen Zahlen als Coefficientcn von x, und setzt nun die gesuchten Zahlen 40.*-, 27.*-, 25.*, wie wir oben gesehen haben. — Sehr oft findet sich dieses Vcrfabrcn in dem sechsten Buche angewandt, dessen Aufgaben über die rechtwinkligen Dreiecke zum großen Theil der Art sind, daß einen Theil den in der Aufgabe bestimmten Bedingungen alle ähnlichen Dreiecke gemein haben. Es kommt da also zunächst darauf an, die Form des gesuchten Dreiecks zu bestimmen. Ist die gefunden, so sagt Diophant rctcrcr ro i-Qtyüwov sv aQip/uoii ;, d. h. ich Mttltiplicirc die gefundenen Seiten des Dreiecks in x. Ich will von diesem an und für sich einfachen Verfahren keine Beispiele weiter ausführen, sondern begnüge mich auf die Aufgaben VI, 3. 4. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 13. 15. 17. zu verweisen. 7. Willkührliche Bestimmungen und Annahmen. Wenn ich hier von willkührlichen Bestimmungen, deren sich Diophant als Auflösungsmittcl bedient, sprechen will, so habe ich nicht solche Willkührlichkciten im Sinne, welche als unmittelbare und nothwendige Folge seiner unvollkommenen Zeichensprache erscheinen. Wenn er ;. B. den Ausdruck zu einem Quadrate machen will, und nun sagt, ich setze so ist x = 4, so ist das allerdings eine willkührliche Annahme. Aber Jedermann sieht ohne weitere Erklärung sogleich ein, daß er statt 25 jede beliebige Quadratzahl hätte setzen, und so durch allmahlige Substitution beliebig viele Werthe für x hätte herleiten können, daß also Diophant's Verfahren im Grunde ebenso allgemein ist als das un- srigc, mit dem Unterschiede, daß jenes die Zahlcnwerthc für x successive liefert, welche wir in der allgemeinen Formel x-= m ~ — auf einmal vor Augen sehen. Von solchen verzeihlichen Mangeln, die durch die Mangclhaftigkcit seiner Symbolik bedingt sind, spreche ich hier nicht. Vielmehr will ich hier dasjenige Verfahren Diophant's erörtern, vermöge dessen er durch irgend eine willkührliche Voraussetzung neue Bedingungen in die Aufgabe hineinlegt, die den Worten derselben fremd sind. Dieses verzweifelten Hilfsmittels, welches natürlich nur bei unbestimmten Aufgaben anwendbar ist, bedient sich Diophant so häufig und in so mannigfacher Gestalt, daß es mir in der That schwer wird, einige allgemeinere Gcsichtspunctc aufzustellen, unter welche die einzelnen Fälle sich mit Übersichtlichkeit unterordnen laßen. Zwei Klaffen solcher willkührlichen Bestimmungen lassen sich indeß leicht aus der großen Masse herausfinden; die erste begreift den Fall, in welchem von mehren Unbekannten eine von vorn herein als bestimmte gegebene Zahl angenommen wird; die zweite Klasse begreift den Fall, wenn irgend eine Relation zwi- 4 22 schen zwei oder mehren Unbekannten durch die Form, die Diophant denselben giebt, als gegeben vorausgesetzt wird, wodurch den Bedingungen der Aufgabe eine neue hinzugefügt wird. Die Beispiele für beide Klassen sind so häufig, daß es sich nicht der Mühe belohnt, sie alle namhaft zu machen. Zu der ersten Klasse gehört z. B. die Aufgabe ^ I, 14. Zwei Zahlen zu finden, deren Produkt zü ihrer Summe ein gegebenes Verhältniß habe. Diophant nimmt an, daß das Product dreimal so groß als die Summe sein soll. Demnach würden wir, wenn wir die Zahlen x und y setzten, die Gleichung erhalten xy = 3x-\-y, also Zx y — ^Tzj Diophant setzt dagegen die eine Zahl x f die andere 12, woraus die erste sich — 4 crgicbt. Dieser ähnlich nimmt Diophant in den Aufgaben I, 25. 26. 27. 28, II, 19. Y, 7. 30. 31. und andern für eine der gesuchte» Zahlen eine bestimmte Zahl an. Beispiele der zweiten Klasse sind die Aufgaben II, l—5., in welchen zu der Bestimmung der Aufgabe durch die willkührlichc Annahme noch das Verhältniß der beiden gesuchten Zahlen als gegeben angenommen wird. Ähnlich geschieht das in der Aufgabe II, 18. Drei Zahlen zu finden, so daß, wenn jede an die folgende einen bestimmte» Theil ihrer selbst und außerdem eine gegebene Zahl abgicbt, die Resultate nach der gegenseitigen Mittheilung am Ende gleich werden. Die erste Zahl soll an die zweite ein Fünftel und die Zahl 6, die zweite an die Dritte ein Sechstel und die Zahl 7, die dritte an die erste ein Siebentel und die Zahl 8 abgeben. Nennen wir nun, um Brüche zu vermeiden, die erste Zahl bx, die zweite 6y, die dritte Ix, so giebt die erste ^-j-6 ab und empfängt -r-s-8; die zweite giebt y-j-7 und empfängt x-j~6; die dritte giebt z-J-8 und empfängt y-s-7; demnach wird nach dieser Mittheilung die erste 4.-s-L-s-2, die zweite x-j-by —1, die dritte y-s-6—1. Diese drei Ausdrücke sollen einander gleich sein; man erhält also zwei Gleichungen unter den drei Unbekannten, und wenn man daraus y und x durch x ausdrückt, so bleibt die erste Zahl bx, die zweite wird —jj—, die dritte —^— Will man ganze Zah- 423 tcn erhalten, so setze man x— 26-}-10, so wird die erste 130 m —J— 50, die zweite 114 m+ 48, die dritte 119/r-s-49. Dieses ist der allgemeine Ausdruck aller Zahlen, welche der Aufgabe genügen. Was thut aber Diophant? Er setzt die erste Zahl — bx, die zweite = 6-r-, er fügt also der ursprünglichen Aufgabe noch die Bedingung hinzu, daß die beiden ersten Zahlen sich wie 5 zu 6 verhalten, wodurch die unbestimmte Aufgabe in eine bestimmte verwandelt wird. Denn indem nun unter unsern allgemeinen Formeln noch die Bedingung stattfinden soll, daß 130/»-f-501 14 m- 4S = 56 ist, so erhält n einen bestimmten Werth, nämlich —4/ und die drei Zahlen werden y, —, —. Wenn Diophant VI, 19. zwei Zahlen sucht, so daß der Kubus der einen um 2 größer ist als das Quadrat der andern, und dann die erste x —1, die zweite x-\-l setzt, so löst er ja nicht mehr jene Aufgabe, wie sie allgemein gestellt war, sondern er fügt durch diese Annahme die neue Bedingung hinzu, daß die beiden Zahlen die Differenz 2 haben. Die Willkührlichkeit ist gerade an dieser Stelle um so unverantwortlicher, als gerade aus dieser Annahme die Operation eine Wendung erhält, welche auf keinen andern Fall anwendbar ist. Es wäre ein vergebliches Bemühen, auf demselben Wege zwei Zahlen unter den obigen Bedingungen zu suchen, deren Differenz nicht 2 ist. Offenbar ist in einem Falle, wie dieser, die begangene Willkühr von weit mehr Bedeutung, als in den vorher- erwähntcn, in denen immer noch der Vorwurf dadurch abgewehrt werden konnte, daß man sagte es kann ja statt der hier eingeführten Bestimmung irgend eine andere gemacht werden. Indem ich also die beiden erwähnten Klassen von Willkührlichkeiten übergehe, wende ich mich hier zu solchen Beispielen, in welchen durch die will- kührliche Bestimmung entweder, wie in dem angeführten Beispiele VI, 19. eine partielle Auflösung erschlichen wird, die nicht von allgemeiner Anwendbarkeit ist, oder auf der andern Seite der Knoten, um dessen Lösung es sich handelt, eigenmächtig zerhauen wird. Ein merkwürdiges Beispiel von einer erschlichenen Auflösung bietet uns die oben bei Gelegenheit der Grenzmethode ausgeführte Aufgabe V, 13. Diese Aufgabe verlangte, die Zahl 1 in zwei Stücke zu theilen, so daß, wenn man zu jedem derselben eine andere gegebene Zahl addirt, beide Summen Quadrate werden. Nennen wir das eine Stück A, das andere B, und die gegebenen Zah- 424 [eil a und b, so haben wir die drei Gleichungen A-\-B~ I, A-\-a—x 2 , B-\-b = y 2 . Die Addition der beiden letzten Gleichungen giebt A-\-B-\-a-\-b , das ist, +4 + 1 = .r 2 -}-y 2 . Daraus folgt die Determination, die Diophant ausgelassen hat, daß die gegebene» Zahlen so beschaffen sein müssen, daß ihre Summe, wenn man 1 dazu addirt, die Summe von zwei Quadraten sein könne. Diophant setzt — 2 und 4 — 6, so wird a-\-b-\-\~ 9; anstatt nun, um die Auflösung allgemein gültig darzustellen, 9 als eine Zahl zu betrachten, die sich in zwei Quadrate zerlegen läßt, betrachtet er sie als Quadratzahl, so daß sein ganzes folgendes Verfahren nicht mehr anwendbar ist, wenn die Zahl a-{-b-\- 1 bloß als Summe zweier Quadratzahlcn ausfällt; ein Fall, in dem die Auflösung immer noch möglich bleibt. Aber wir wollen weiter gehen und sehen, was Diophant aus folgender Aufgabe macht. IV, 7. Man soll zu einem Kubus und zu einem Quadrate ein anderes Quadrat addircn, und die Summen sollen verwechselt dieselbe Eigenschaft haben. Κυ/ί και εοαγν kqo ’ζεΐναι ον avrbv εράγνον και ίοιεΐν tu ενα.λάξ . Das heißt, man soll drei Zahlen w 3 , y 2 , z 2 suchen, so daß ein Quadrat, dagegen y 2 -j-* 2 ein Kubus werde. Da nun ein Kubus sein soll, so sei, sagt Diophant, diese Summe gleich tv 3 . Durch diese ganz willkührlichc Bestimmung wird aber der Aufgabe eine völlig neue Gestalt gegeben. Nun heißt es Man soll zwei Quadratzahlen finden, so daß ihre Summe ein Kubus, die Summe der ersten und der doppelten zweiten aber ein Quadrat werde; und statt der obigen Gleichungen erhalten wir nun diese y 2 -\-z 2 ~w 3 , y 2 -j-2z 2 ~t 2 . Von dieser Aufgabe, welche ein ganz specieller Fall der ursprünglich gegebenen ist, giebt Diophant zwei verschiedene Auflösungen, die nicht das Ansprechende der sonstigen Diophantischcn Manier haben. Die erste ist diese. Es soll w 3 -\-z 2 ein Quadrat werden. Wenn ich aber irgend zwei Zahlen uchmc, und zu der Summe ihrer Quadrate ihr doppeltes Produkt addirc, so erhalte ich immer wieder ein Quadrat. Wenn ich also irgend zwei Zahlen nehme, so setze ich die Summe ihrer Quadrate gleich w 3 , ihr doppeltes Produkt aber gleich z 2 . Aber z 2 ist ein Quadrat; daher müssen die Zahlen so gewählt werden, daß ihr doppeltes Produkt ein Quadrat ist. Die 425 eine Zahl fei x, die andere 2.*, damit ihr doppeltes Produkt ein Quadrat werde. Darum setze ich die erste Zahl w 3 = 5x 2 , der Summe der Quadrate der angenommenen Zahlen, ihr doppeltes Produet aber, nämlich 4?* — **/ so ist y 2 —w 3 —— So ist die Bedingung erfüllt, daß y- -f- x 2 der ersten Zahl w 3 gleich und zugleich, daß die Summe der ersten und dritten, r^-s-x-, ein Quadrat ist. Es bleibt nur noch übrig, den Ausdruck für w 3 , nämlich 2 , zu einem Kubus zu machen. Sei also 5x 2 =x s , so ist Ä- 5. Der gesuchte Kubus ist also 125, das Quadrat 25, und das zweite Quadrat, welches man zu beiden addiren soll, ist 100; epaveod i] aTiaöe/t/g. — In der zweiten Auflösung sucht Dio- phant zuerst, nm der Gleichung y 2 -}-2z 2 —t 2 zu genügen, zwei Quadrate, so daß die Summe des einen und des doppelten andern ein Quadrat sei. Zu dem Ende setzt er das eine Quadrat — x 2 , das andere =4, so soll 2^- 2 -4 ein Quadrat sein, und zwar bildet er das Quadrat von 2^—2, das ist 4^ 2 — so wird x = 4. Die beiden gesuchten Quadrate werden also 4 und 16 sein. Diese gefundenen Zahlen mm macht er zu Coefsicienken von x 2 , und setzt y 2 — 2 , x 2 =l6x 2 , demnach wird ihre Summe 2 der gesuchte Kubus sein müssen. Damit nun 2 ein Kubus werde, setzt Diophant wieder 20x 2 ~.v 3 , so wird x =20. Die drei gesuchten Zahlen sind also, die Kubikzahl 8000, die erste Qnadratzahl 1600, die zweite Quadratzahl, die addirt werden soll, — 6400. To'Dro 6s an£tga%ux; deixvvrat. Nachdem die Aufgabe einmal durch die willkührliche Annahme, daß die zu einem Kubus zu machende Summe der beiden gesuchten Quadrate dem gesuchten Kubus gleich sein soll, auf diese specielle Form redneirt ist, ist es leicht, beide Diophantische Auflösungen allgemeiner darzustellen. Da sowohl w 3 -\~x 2 als w 3 — ss 2 ein Quadrat werden soll, so setzt Diophant w 3 gleich der Summe zweier Quadrate, z 2 gleich dem doppelten Produkte der Wurzel. Damit aber x 2 ein Quadrat werde, muß, wenn die eine der angenommenen Zahlen m ist, die andere Imp 2 sein. Dann wird w 3 -m 2 l-f-4//, as 2 = 4 m 2 p 2 , also w 3 - j-x 2 — m 2 2/> 2 -f-l s , w 3 —x , daß ist y % ~ m 2 2/> 2 —l 2 , und es bleibt nur noch übrig den Ausdruck für w 3 zu einem Kubus zu machen; das geschieht aber, wenn wir tn 2 ip* 1 = m 3 t/ 3 setzen, so wird m - - - Demnach werden die Wurzeln der drei gesuchten Zahlen w — 426 12/> a — 1 2»4» 4 -fl v, , y — - ~r —- Bci Diophant ist p — di°scs fti =9***, s» wird also = , und die Conformitat dieser y 3 2/ J — l 2 _ » 3 4a»*-f-l _ — l a/ 35 ” y 3 '2//i s —l 3 Formeln mit den vorher gefundenen leuchtet ein, obgleich ihr äußeres Aussehen etwas abweichend ist. Bci Diophant ist n — 2, » = 1 , 7 = 1 . Zu entschuldige» ist die kleine Willknhr in den Aufgaben V, 1. 2., in welchen drei stetig proportionirtc Zahlen gesucht werden, deren jede, wenn man eine gegebene Zahl, 12, davon subtrahirt oder dazu addirt, zum Rest oder zur Summe ein Quadrat giebt. Nun ist der allgemeine Ausdruck dreier stetig proportionirter Zahlen y, xy, x % y, es solle» also in der erste» Aufgabe die Formel» y —12, xy —12, .*>—12 Quadrate werden. Nach sciner Art hätte Diophant nun für y irgend eine Zahl annchmc» können, welche ein Quadrat übrig läßt, wenn man 12 davon abzieht, z. B. 28. Dann blieben noch zwei Bedingungen zu erfüllen, daß nämlich 28.*—12 und 28.* 2 —12 Quadrate werden. Diese doppelte Gleichung kann er aber nicht lösen; darum sucht er für y nicht im Allgemeinen eine Zahl, sondern eine Quadratzahl, welche um ein Quadrat größer ist als 12, z. B. -j-, dann werden die beiden andern Zahlen '^x und x~, und die zu Quadraten zu machenden Ausdrücke sind jetzt \?x — 12 und .* 2 —12, wo der Coefsicient von x“ 1 die Einheit ist, j„ welchem Falle die Auflösung, wie wir in dem vorigen Kapitel gesehen haben, keine Schwierigkeit hat. Wesentlichere Einwürfe aber lassen sich gegen folgende Auflö- -suug machcir, tvcnn auch die Willkührlichkcit daselbst weniger in der Sache, als in der Darstellung liegt. V, 19. Drei Zahlen zu finden, so daß der Kubus 427 ihrer Sum>»e ein Kubus bleibt, wenn man jede der drei Zahlen davon abzieht. Diophant setzt die Summe der drei jede der drei Zahlen aber gleich .* -3 mit einem Cocfficicntcn von der Form ~- J ~, so ist der Kubus der Summe, wenn man die einzelne Zahl davon abzieht, — ~p x3 i also sicher ein Kubus. Es kommt also nur noch darauf an, daß die Summe der drei Zahlen wirklich = .v sei. Wir haben also, wenn wir die drei Zahlen —.r 3 , und setzen, die Gleichung ^1=1 _ L ^ _L PLzl' = . x rbcr 1 ~i+ 1 “i+ 1 ~ p —i oder 3 — s-^+4 + A = 4- V»* 3 1 9t 3 1 f**/ X 2 Es kommt also darauf an, drei Knbikzahlcn zu finden, deren Summe von 3 abgezogen ein Quadrat zum Reste laßt. Wenn aber die oben für die drei Zahlen angenommenen Ausdrücke positiv werde» sollen, so muß jede der drei Zahlen m, n, p größer als 1, also muß auch jede der drei hier gesuchten Knbikzahlcn ~ kleiner als 1 sein. Damit das letztere geschehe, nimmt Diophant ohne weiter» Grund an, daß schon ihre Summe kleiner als 1 sei. Halten wir diese Annahme nun einmal fest, so folgt daraus, daß ~ größer als 2 und kleiner als 3 sein müsse. Unter den unzähligen Quadraten, welche innerhalb dieser Grenzen liegen, nimmt Diophant £ für so stellt sich nun die Aufgabe so die Zabl 3—-J, das ist, ! in drei Kubikzahlcu zu zerlegen. Man gebe dem Bruche f einen kubischen Nenner, z. B. 216, so soll man also. oder mit andern Worten den Zähler 162 in die Summe von drei Kubikzahlen zerlegen. „Nun besteht, sagt Diophant, die Zahl 162 aus dem Kubus 125 und der Differenz der beiden Kubi 64 und 27 nämlich 162 —125-s-3 7. Wir haben aber in den Poris-' mcn den Satz, daß die Differenz zweier Kubi allemal auch die Summe zweier Kubi ist. Wir kehren zu der ursprünglichen Aus- 428 gäbe zurück, und nchmcn für die drei Kubikzahlcu jede der drei gc- fundencn. Für die Summe aber nehmen wir wieder x an; so trifft es zu, daß der Kubus der Summe, wenn man jede der drei Zahlen davon abzieht, einen Kubus zum Rest laßt; es ist also nur noch nöthig, daß die drei Zahlen zusammen gleich x sind; die Summe der drei Zahlen ist aber \x z , also * = §." 1 1 1 Abgesehen von der willkührlichcu Annahme — -f- ^ -f- ^ > 1, 1 1 da doch aus der Natur der Aufgabe nur die Bedingung folgt, da jeder der drei Kubi an und für sich kleiner als 1 sein muß, so scheint die ganze Auslösung, wie sie von Diophant dargestellt ist, auf dem zufälligen Umstände zu beruhen, daß 162 die Summe eines Kubus und der Differenz zweier andern Kubi ist, und es erhellt aus dem Vortrage nicht, wie man sich zu benehmen habe, wenn man statt des willkührlich angenommenen Quadrats £ ein anderes gewählt hätte. Wir können es daher Bacher nicht eben verargen, wenn er gesteht, daß aus dem angeführten Grunde die ganze Auflösung ihm dunkel geblieben sei *. Jedenfalls hätte 1 llacc propositio, scigt er in scinein Commentar, est de numero eorum, quas ut ad nos pervenerunt, fateor me non satis assequi. Uuamvis enim de illius solutione satis milii constet, ut infra patebit, duo tamen sunt, quae totam ejus tractationem valde imperfectam milii videri faciunt. Primum enim licet ingeniose inferat Diophautus inveniendos esse tres cubos, quorum quilibet sit unitate minor, ita ut sumina eorum a ternario sublata, relinquat quadratum; unde concludit curandum esse ut tres cubi simul sint unitate minores, sic enim quilibet inulto magis erit unitate minor, quare sequitur quadratum qui relinquitur, summum cuborum auferendo a ternario, debere esse majorem quam 2 minorem quam 3.; licet inquam haec subtiliter edisserat Diopliantus, non docet tamen quomodo talis inveniendus sit quadratus, et cur 2j, sumat potius quam alium quemlibet ex infinitis qui cadunt inter 1 et 3 fott heiqcit 2 et 3. Certe, ut ex processu apparet, talis deligendus est quadratus, quo a ternario sublato, relinquatur numerus ex tribus cubis compositus. Id ergo qui fieri possit arte certa, docere debuit Diopliantus, neque enim in promptu est si loco quadrati 2^ sumatur quadratus 2£, quomodo residuum de 3, •puta dividi possit in tres cubos, cudcmquc de aliis ratio. Quamobrcm casu lactum videtur, ut sumpserit autlior 2£. quo de 3 sublato relinquitur ex tribus cubis compositus. Deinde porisma, quod hic assumitur, quale sit non est facile divinare, cum Graeca Dioplianti hoc loco mutila Diophant, um fein Auslosung eine wissenschaftliche Form zu geben, zeigen müssen, daß sein Verfahren in jedem Falle anwendbar sei und wie man namentlich die Kubikzahl 125 so zu wählen habe, daß der Rest die Differenz zweier Knbikzahlen werde. Das Verdienst auch über diese an und für sich schöne Aufgabe zuerst das gehörige Licht verbreitet zu haben, hat wiederum der schon oft genannte Fermat sich erworben. Zunächst hat Fermat das von Dio- phant ausgeführte Porisma, daß die Differenz zweier Kubi allemal auch die Summe zweier Kubi sei, allgemein bewiesen", während Dachet es nur für den in der Note erwähnten bestimmten Fall kannte. Sodann aber hat der Erstere gezeigt, daß es immer möglich sei, x so zu finden, daß der Ausdruck 3 —x* sich mit Hilfe dieses Porisma's in die Summe dreier Knbikzahlen zerlegen lasse. Setzt man nämlich % — mx —1, so wird 3—x 2 = 2 -f- 2»*.r—V, und diesen Ausdruck soll man in drei Kubi zerlegen. Es kommt also darauf an, zwei Kubi so anzunehmen, daß, wenn man sie von dem gefundenen Ausdrucke snbtrahirt, für den dritten Kubus eine Formel übrig bleibt, in welcher x nur in der zweiten und dritten Potenz vorkommt, so daß man x rational finden kann, wenn man den Rest gleich einer in x 3 multiplicirten Kubikzahl setzt. Es muß also die Summe der beiden ersten Kubi die Glieder 2-j-2-,?.v em- sint. Es heißt nämlich im Texte ’ίχομεν ϋ\ lv ro~g Λοί-μαιν π χ 3 - f-216/t 2 — f-47 27;'-f54 2 -f2 die Wurzel des ersten Kubus — zweiten drittm 27-' —162 n 5 — 45ra — i;i 27;’ + 54rc 2 -j-2 27/' + 162re' + 45 —13 27;' + 54rc 2 -f-2 l62m 2 -i-45- 27?' +54ra 2 -f-2 3 diesen Formeln bleibt nur übrig, p und n so zu bestimmen, daß L 2 kleiner als 3 und großer als 2 wird. Übrigens dürfte vielleicht der mangelhafte Vertrag dieser Auflösung nicht auf Rcchnling Diophant's, sondern vielmehr auf Rechnung der Zeit oder irgend eines sorglosen Abschreibers zu setzen sein; ebenso wie die unvollkommene Behandlung der Aufgaben II, 1—5. und einiger andern. Analog der zu enge gezogenen Bedingung ist die in der Aufgabe III, 12.; indem hier zwei Zahlen gesucht werden sollen, deren Produkt ein Quadrat ist, sagt Diophant Wenn ich für die beiden Zahlen Quadrate suche, so wird ihr Product gewiß ein Quadrat sein. In III, 17. wird auf ähnliche Weise willkührlich angenommen, daß von drei gesuchten Zahlen zwei Quadratzahlcn seien. Reich an Beispielen von solchen Annahmen, die zwar sichtbar zum Ziele führen, deren Princip und Veranlassung aber von Diophant nicht erläutert wird, ist das sechste Buch. Nehmen wir z. B. die Aufgabe VI, 3. Ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, so daß der durch eine Zahl ausgedrückte Flächeninhalt, wenn mau eine gegebene Zahl dazu addirt, ein Quadrat wird. Die gegebene Zahl sei 5. Gesetzt das Dreieck wäre der Form »ach gegeben und hätte die Seiten 3.*-, 4.*, bx, so wird der Flächeninhalt, wenn man die gegebene Zahl dazu addirt, 6^ 2 -s-5, rmd das soll ein Quadrat sein. Es sei gleich 9*' 2 , so wird 3.* 2 — 5. 432 Es müßten sich also, wenn x rational werden sollte, die Cocfsicicn- tcii wie Quadratzahlen zu einander verhalten. Wir müssen also ein rechtwinkliges Dreieck und ein Quadrat suchen, so daß, wenn man von dem Quadrate den Flächeninhalt des Dreiecks abzieht, diese Differenz der fünfte Theil eines Quadrats wird, weil 5 die gegebene Zahl ist. — Bis hichcr ist das Verfahren ganz verständlich. Setzen wir nämlich die gegebene Zahl a, und die Katheten des Dreiecks mx und nx, so soll mnx 2 - f- a ein Quadrat werden. Dieses Quadrat sei /»V*, so wird x 2 — ρ3 ~„ ιη Es kommt also darauf an, m, n ttnb p so zu bestimmen, daß der Cocfficicnt - ein Quadrat wird. Anstatt daß nun Diophant, wie er sonst zu thun pflegt, auf eine überzeugende Weise dcdncirt, wie die Zahlen p, m, n beschaffen sein müssen, schlägt er hier einen ganz eigenthümlichen Wcg ein, der zwar, wie der Erfolg zeigt, sicher zum Ziele führt, bei dem man aber nicht einsieht, was ihn bewogen habe, gerade diesen und keinen andern Weg einzuschlagen. Er bildet nämlich das gesuchte Dreieck aus den Zahlen x und — ein rechtwinkliges Dreieck aus zwei Zahlen bilden, -χλάειν ρίγνον ooä-o- γνιον απο δύο άοφμν, heißt, die Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate, die eine Kathete gleich der Differenz der Quadrate, und die zweite Kathete gleich dem doppelten Productc der beiden Zahlen setzen; so sind die Katheten x 2 — ~ und 2, also der Inhalt x 2 —Das gesuchte Quadrat bildet er von der Wurzel x-j-^, so ist das Quadrat x 2 -j-4a-j~^, demnach das Qua- drar weniger dem Inhalt des Dreiecks 4a -\—, und dieser Ausdruck soll mit a multiplicirt ein Quadrat werden; wenn wir aber Mit a multjplicircn, so wird er — 4a 2 -\- ' in ^ a , und multi- pliciren wir nun noch mit x 1 , so soll ka 2 x 2 -\-4a 3 -\ a ein Quadrat werden. Wir sehen also, daß die Annahme der Zahlen x und -i für das Dreieck und für die Wurzel des gesuchten Quadrats sehr kunstvoll so gewählt ist, daß in der zuletzt erhaltenen Formel der Coefficient von x 2 ein Quadrat wird. Aber ist darum diese 433 tiefe Annahme überzeugend und stellt sie sich in der Weise, wie sie vorgetragen ist, als nothwendig dar? Keinesweges. Wie übrigens nun die Auflösung zu Ende geführt wird, ist klar nnd bedarf keiner weiter,! Erörterung. Ähnliche unerklärte, ich möchte sagen, dogmatische Verfahrungs- weisen finden wir in den Ausgaben VI, 4. 5. 6. 8. 10. und öfter. Ein Beispiel der Art, welches denselben Fehler noch mit dem einer ganz willkührlich eingeführte» Bestimmung verbindet, werden wir in dem folgenden Kapitel zu betrachten Gelegenheit finden. Über die Art, wie Diophant in der Aufgabe VI, 19. die Nebenaufgabe behandelt, eine Kubikzahl zu finden, welche um 2 größer ist, als eine Quadratzahl, haben wir oben schon gesprochen. Hier wollen wir noch einmal die ganze Aufgabe betrachten. Sie heißt Ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, so daß der Inhalt und die Hypotenuse zusammen eine Quadratzahl, der Umfang aber eine Kubikzahl ausmacht. Der Inhalt sei = .*, die Hypotenuse aber irgend ein Quadrat weniger x, z. B. 16— x. Da wir den Inhalt x gesetzt haben, so ist das Produet der Katheten 2.*; aber 2x ist das Pro- duet von x und 2; setzen wir also eine Kathete 2, so ist die andere x, und der Umfang 18; und das ist keine Kubikzahl. Aber 18 ist entstanden aus der Addition einer Quadratzahl 16 und der Zahl 2. Wir müssen also eine Quadratzahl suchen, welche um 2 vermehrt eine Kubikzahl giebt. Nachdem nun Diophant sein schon erörtertes Verfahren angewendet hat, welches durchaus auf keinen zweiten Fall anwendbar ist, sondern geradezu auf die beiden Zahlen 25 und 27 hinsteuert, substituirt er in der Annahme für die Hypotenuse den Ausdruck 25 —x statt 16 — .*; so wird, wenn die übrigen Voraussetzungen dieselben bleiben, nun der Umfang 27, also eine Kubikzahl, und es bleibt nur noch übrig, daß das aus den Seiten 2, x und 25—x bestehende Dreieck rechtwinklich sei; darum muß x i -\-A=2o—x' 1 sein, woraus man x = findet. 621 629 Demnach sind die Seiten des gesuchten Dreiecks 2, i und Die Aufgabe ist also insofern gelöst, als Diophant ein Dreieck an- giebt, welches die verlangten Eigenschaften hat. Da die Aufgabe aber unbestimmt ist, so gebe man doch einem Schüler auf, auf dem I. 28 434 von Diopbant gelehrten Wege ein zweites Dreieck zu finden, welches ebenfalls den Forderungen der Aufgabe entspricht. Ich wäre in der That neugierig, zu erfahre», wie er das anstellen wollte, vorausgesetzt, daß ihm die, wie es scheint, Diophant selbst unbekannte Methode, aus der gefundenen Auflösung seiner Ncbcnaufgabc andere Auflösungen herzuleiten, unbekannt wäre. Diophant verwandelt wiederum die gestellte Aufgabe in eine ganz andere, indem er gleich von vorne herein die eine Kathete als gegeben betrachtet. Wollten wir uns dieser Willkühr enthalte», und das Geforderte allgemeiner darstellen, so würden wir, wenn wir mit Diophant den Inhalt — x, die Hypotenuse = ri l —.* setzten, und das Produkt der Katheten 2 -r- in die unbestimmten Factore», etwa mx und ^ zerlegen. Dadurch kämen wir auf die zwiefache Forderung, daß »*— x* — »Sx 2 - - ^ a , und außerdem eine Kubikzahl fein sollte. Wenn wir die erste Gleichung nach x auflösen, so fin- —w s +l/ ni i n i — den wir x — -;—;-— . Aber den Ausdruck hinter dem Wurzelzeichen hat Diophant selbst uns auf eine sehr einfache Weise zwiefach rational zu machen gelehrt, indem wir denselben entweder = 7 1 * 11 * oder — ~ setzen. Die erste Annahme würde ergeben m = t, würde uns also auf die Diophantischc Voraussetzung zurückführen; die zweite dagegen giebt m = Dann wird x - 2ra 2 2rc 6 Setzen wir nun die beiden Werthe für x l —- und m in die zweite Formel, n*-\-{7n — lx-\-^, so nimmt diese 2ir*2— n s „ 2 n* in* die Gestalt an 2 n*- 2 n* und n* — 4 n*-j- 2 n*-j- 2' dieser Ausdruck soll Kubikzahl werden; das wird geschehen, wenn sich verhält An* = & l 3 , oder wenn wir für ~ den einfachen Ausdruck p anwenden, wenn 4w 2 w*-j-2 = 1 /» 3 , wenn also 2 4 kn*p 3 = n*A r 1 f also ^ — 4^—1 — 8 y 3 —2 ' Da in diesem Bruche der Zähler bereits Quadratzahl ist, so kommt es nur darauf an, auch den Nenner zu einem Quadrate zu machen, und da sind wir gerade wieder auf die Diophantische Zwischcnatlfgabe gelangt, eine Kubikzahl 8-»^ zu suchen, welche um 2 vermindert Quadratzahl wird. Leider wird, wenn wir hier den bekannten Fall anwenden und 8/; 3 = 27 setzen, wodurch wir n = erhalte», x negativ, also auch die eine durch mx ausgedrückte Kathete negativ, was hier die Bedeutung hat, daß nicht der Umfang, oder die Summe der Hypotenuse und beider Katheten, sondern die Summe der Hypotenuse und der Differenz der Katheten eine Kubikzahl wird. Man muß sich also nach andern Werthen von p umsehen. Übrigens war es hier bloß meine Absicht, zu zeigen, wie die vorliegende Aufgabe ohne die Diophantischc willkührlichc Annahme auf der einen, und ohne eben ungeheuren Kraftaufwand auf der andern Seite sich hätte lösen lassen. Eine ähnliche Willkühr erlaubt sich Diophant in der folgenden Aufgabe VI, 20. Aber genug hiervon. Ich hatte unter den Diophantischcn Auflösungsmtthoden vielleicht noch den 8. Gebrauch des rechtwinkligen Dreiecks anführen sollen. Aber die unter dem Namen des rechtwinkligen Dreiecks in rationalen Zahlen bekannte Theorie hat nichts ihr ausschließlich Eigenthümliches. Die Auffindung eines solchen Dreiecks ist nichts anderes, als eine ganz gewöhnliche Zahlcnaufgabc, welche Diophant, ohne den Namen zu nennen, in den Aufgaben II, 8. 0. 11. unter verschiedener Gestalt löst, und welche, wie wir bei einer andern Gelegenheit gesehen haben, bereits von Pythagoras berührt, von Platon oder Archytas um etwas ergänzt und von Euklid es in einem Lemma zu X, 29. der Elemente vollständig vorgetragen worden ist. Die Redensart, ein rechtwinkliges Dreieck finden, ist in der Arithmetik weiter nichts, als ein abgekürzter Ausdruck für den rein arithmetischen Ausspruch des Satzes, Quadratzahlcn zu finden, deren Summe wieder eine Quadratzahl ist. Diophant bedient sich dieser Theorie unter dem abgekürzten geometrischen Namen sehr oft, und dieselbe ist seitdem, namentlich bei den Mathematikern des siebzehnten Jahrhunderts, sehr beliebt geworden. Außerhalb des sechsten Buchs, dessen Aufgaben sämmtlich den Zweck haben, solche rechtwinklige Dreiecke 28 * 436 unter gewissen Bedingungen zu finden, erwähnt und bedient sich Dio- phant dieser Theorie in den Aufgaben III, 22. V, 8. 9. 11. 24. 30. Hier nun will ich diesen Gegenstand abbrechen. Wohl fühle ich, wie unvollkommen und wenig genügend gerade dieses Kapitel ausgefallen ist; wohl aber darf ich auch hoffen, wenn irgendwo, so hier bei billigen Lesern und Beurtheilern freundliche Nachsicht zu finden. Neben der unendlichen Mannigfaltigkeit der Diopbantischcn Methoden, welche gar keiner erschöpfenden Darstellung fähig ist, dürfte wohl noch der gänzliche Mangel an Vorarbeiten über diesen Gegenstand zu meiner Entschuldigung dienen, wenn es mir hier nicht gelungen ist, das Wesen des großen Mathematikers in seinem wab- rcn Lichte zu zeigen und in seine Elemente zu zergliedern. Die Lcc- ti'trc seines Werkes ist, wie ich schon oben erwähnte, das einzige Mittel, welches zu einem vollständigen und treuen Bilde und j» der richtigen Würdigung dieses Vaters der Algebra führen kann, und schwerlich hat schon irgend Jemanden die darauf verwandte Mühe gereut. Wenn es daher manchem Verehrer dieses Heroen der Wissenschaft scheint, als habe ich demselben des Lobes nicht genug gespendet, wenn Mancher in der Aufdeckung auch der Schwächen des Auctors eine ungebührliche Herabsetzung desselben sehen will, so kann ich darauf nur erwiedern, daß mein Zweck nicht war, unserm Auctor nach Verlanf von anderthalb Jahrtausenden eine Leichenrede zu halten, sondern Geschichte zu schreiben. Zehntes Kapitel. Diophant'S Porismata. iOckauntlich ist oft lind vielfach über den eigentlichen Begriff des etwas dunklen Wortes Porisma, disputirt worden, und es ist so viel klar, daß dieser Ausdruck bei den Griechischen Mathematikern eine zwiefache Bedeutung hat. Zuerst heißt xoqia^a. ein Folgesatz, coi-ollariuin , ein Satz, dessen Wahrheit aus dem Beweise eines andern unmittelbar folgt, der also keines eigenen Beweises mehr bedarf; und er hat, wie Proklns sagt, seinen Namen daher, weil er sich ohne unser Zuthun als Ncbcngcwinn eines wissenschaftlichen Beweises crgiebt. In dieser Bedeutung kommt das Wort sehr oft in den Euklidischen Elementen und in allen spätern Schriften vor. Über die zweite Bedeutung dagegen geben uns die Griechischen Mathematiker nicht so klare Hinwcisungcu, und wir sind hier mehr an ein Errathen, als ein sicheres Dcsinircn gewiesen, zumal die beiden Schriften des Alterthums, welche den Titel rcogio- tiara führten, verloren gegangen sind, nämlich die Porismcn von Euklidcs und von Diophanlus. Proklus begnügt sich anzudeuten, daß der Ausdruck Porisma auch noch in einem andern Sinne gebraucht werde, hält es aber für überflüssig, genau zu erklären, welcher Sinn dieses gewesenDie einzige Auctorität, an die wir 1 Er spricht über diesen Gegenstand an zwei Stellen; i>- 58. 59. all Eucl. I, 1.; ίο δ\ XOQ'.auc/j λε*γ £7ίΛ, μ,εν otou επ' χρϋ ι ί''*' Xt,vav t oTov ία, ίδζι '•μηαμμένα χοίμαχα' λέγϊίορεμί νΜν \ μ £ ν> g δια ίούίο χζιμα χιχ-ληχαι, οίε ίι ερδο ον η Μείηονο^ χάψρον. Und ρ. 80. ad Eucl. I, 15. heißt es %v n ίών γεομ,είρεκών eor'v ονομάίν ίο χ- 438 uns in dieser Hinsicht mit einiger Sicherheit halten kennen, ist Pappus, welcher in der Vorrede zum siebenten Buch seiner Sammlungen bei Gelegenheit der Porismcn Enklid's sich etwa so ausdruckt „Die Porismcn gehören weder zu den Theoremen, noch zu den Problemen, sondern stehen ihrer Form und ihrem Wesen nach zwischen beiden mitten innc, so daß sie sowohl als Theoreme, als auch als Probleme ausgesprochen werden können. Daher kommt es, daß einige Geo- mcter dieselben für Theoreme, andere für Probleme gehalten haben, indem sie sich an die bloße Form des Satzes hielten. Die Alten aber haben den Unterschied dieser drei Gattungen besser aufgefaßt, wie aus ihren Definitionen erhellt. Nach ihnen bezweckt ein Theorem die Beweisführung für das, was der Satz auSspricht; ein Problem die Construction dessen, was vorgelegt ist; ein Porisma dagegen bezweckt die Auffindung und Erforschung des Vorgelegten. Diese Definition des Po- risma's ist von den Neuern geändert worden, welche nicht alles aufsuchen können, sondern auf diese Elemente gestützt nur zeigen, daß das, was gesucht wird, ist, nicht aber dieses selbst aufsuchen/" Lassen wir nun ούο δε ημαίνει διίν' καλούν γαζ χο^ίμαα, καί ocra ρινήμαα υγχαακευαζεαι rat? αΛιλν αχοοειειν } οιον έρμαια καί, κίδη ν ζηοχινν 'uXctqxovTa, καϊ οα ζηεαι ^ εν, ευ^εε δε %%ηαΐΐι καί ο-ΰε γενεε μνη , ούε ptoqlag άχλη, ο ι μεν yaq icSv ιοκελών at η βάει urat, ^o^^crat δε?, καί ονν δη ν χαγμάν εΛν η οια-υη γνι, ην δε γνίαν δίχα εμεΐν π fqiycovov υηαρ at, η αφελεϊν η ρίραι 9 αυα χανα χοιηίν ίνο αχαιεΐ' ον δε δοδεαγο κύκλου ο xsvfqov εύρεν, η δυο δοδενν νμμέρν μεγεθών μίγιον καί κοινν μεον εν^εν, η α ί-αδε, μεαξύ κ χαβΧημαν καί ^ecoH^.aa/cov' ου'ε ρινίει ε\\ν εν ουοι ν ζηουμ Lvcov, αλλ’ ευ>εει 9 ούε ρε^ία ψιλή’ δε ' y“? νχ οψιν a~, εκίθεμαι ουυ δυο εράγνου ν χ,αίχ, ο ί£η u. f. W. „Und da wir in den Porismcn dcn Satz haben, daß, wenn zwei Zahlen so beschaffen sind, daß sowohl jede von ihnen als das Product beider ein Quadrat wird, wenn man dieselbe gegebene Zahl dazu ad- dirt, diese Zahlen dann aus zwei auf einander folgenden Quadraten entstanden sind, so u. s. w." In Formeln ausgedruckt sagt also der Satz wenn x-\-a = w 2 , y-\-a~n 2 und xy-\-a~jr jsi, so ist m—n-j-1. Nun fragt sich, ob der Satz in dieser Gestalt ganz allgemein wahr ist. Allerdings läßt sich mit Umkchrung der Aussage sehr leicht beweisen, daß wenn m und n um 1 verschiedene Zahlen sind, unmittelbar aus dcn ersten beiden Bedingungen die dritte folge. Haben wir nämlich die Gleichungen x-\-a— η 2 , y-\-a—{m~\-\-, so wird x=m~ — a, y = m-{- 1*— a, also xy - f" — m 2 rn-\-\'j 1 —a \m 2 — m —— 1 ^ 5 — 1 ] —j— - — m\m -j- 1 2 — 2 am/n -f- 1 -f- 2 — \mrn- f-1 — u\ 2 Wir haben also auf synthetischem Wege gcfiuidcn, daß, wenn man zwei Zahlen x, y so annimmt, daß man von zwei aufeinanderfolgenden Quadraten dieselbe Zahl a abzieht, dann auch das Product der beiden Zahle», wenn mau hinzu addirt, ein Quadrat wird. Es ist aber die Frage, ob es außer diesem Falle nicht noch andere Weisen gebe, welche x und y bestimmen lehren; zu dem Ende wollen wir den Satz analytisch betrachten. Sei also x—m 2 — u, y—n- — , so wird xy+ a — ni'ii 1 — m 2 a — n 2 a- j- n -j- a 2 = m"jr — a{m 2 -\- n~ — 1 -j- 2 = p 2 Dieser Ausdruck wird Quadrat werden, wenn das Quadrat des Cocfßcicnt von a gleich dem vierfachen ersten Gliede ist, das heißt, wenn wir p~mn — a, pr = m-jr — 1amn-\-a 2 setzen. Dann wird also —l = 2w, oder m 2 —2 mn-\-n = 1, m —»s= + l. Das ist aber gerade der Diophantischc Satz. Betrachten wir nun aber die Gleichung Ttvn" — am 2 — an 2 - j- a -}- a 2 = p 2 als eine unbestimmte Gleichung, in welcher wir einen Werth der Unbekannten m, nämlich +1, gesturden haben, und versuchen wir, aus diesem bekannten Werthe andere herzuleiten, so wcrdcit wir setze,, „ffissen. Dann verwandelt sich unsere Gleichung in folgende V — js* -J- 2m +1 2 — az-\- [nn + 1 — a\ - ~ p z bereu Auflösung ohne Schwierigkeit erlangt werden kaun, da hier das absolute Glied ein Quadrat ist. Wenn wir nun p — /P — Qz — [w±l—] setzen, so erhalten wir nach der Ausführung, die icb dem Leser überlasse, _2 + l»+l-2 n*-nl* — 1 st [ i0 » =-_____ - Nehmen wir Beispiels halber a — 5, wie bei Diophant, und etwa ,r = 4, so müßte nach der Diophantischcn Regel m entweder =3 oder —5 sein. Demnach wäre y=ll, entweder = 4 oder = '20; also xy entweder =44 oder =220, und beide Zahlen werden Quadrate, wenn man 5 dazu addirt. Unsere Formel aber substituirt uns für diese Annahme noch unendlich viele andere Werthe für m, weiln wir dem Q, welches jede beliebige ganze und gebröckelte Zahl sein kann, successive andere Werthe geben. Setzen wir z. B- —1, so wird m = 9, also .r=8l— 5 = 76, .ry=836, ,r//-f-5 = 84t = 29 2 . Es folgt aus dieser Dcduction, daß das Diophantische PoriSma, so wie er es ausgesprochen hat, nicht rick- kig ist, indem m und n nicht nothwendig zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind. In der Aufgabe werden nun aber drei Zahlen gesucht, und es treten zu den drei durch das Porisma erledigten Bedingungen nock drei andere hinzu; es sollen nämlich, wenn die dritte Zahl » ist, auch noch die Ausdrücke xz -f- a, yz-\-a Quadrate werden. Nun werden aber unter der Voraussetzung die beiden letzten Bedingungen erfüllt, wenn man z = 2.r-j-,y —1 = 2//r —j— -j-1 — 4 setzt. Es wird dann nämlich xz-j-a = [ ///2///-j-1 — 2] 2 yz-j-a— ///2/ - 3 — 2 a—1 ] 2 und wahrscheinlich hat das Zutreffen dieser beiden Bedingungen einen entscheidenden Einfluß auf die Gestalt des Porisma's gehabt. Bei der folgenden Aufgabe V, 4., welche die sechs analogen Formeln x — a, y —a, » — xy — u, xz — a, yz —a zu Quadraten zu machen befiehlt, wendet Diophant, ohne ein Porisma oder sonst einen Satz namhaft zu machen, die ganz ähnliche Voraussetzung an, daß nämlich x —a = m i , y — a~trt- j-1 2 , und ebenso die folgende, daß * = 2.'r-j-y—1 sein müsse, wodurch wieder fünf Bedingungen erledigt werden. 443 Bachct's Erweiterung des von Diophant gebrauchten Poris- nia's ist als durchaus verunglückt zu bezeichnen. Sein Satz lauter I*orismatum lil». II. prop. 11. so Si a duobus quadratis auferatur idem numerus sigillutim, et residua per intervallum laterum dividantur, qui lit ex quoticntum mutuo ductu, ad* scito numero qui a quadratis detractus est, quadratus evadit. Der Satz ist zwar ganz wahr, indem er sagt, das? die Formel ——-J -a ein Quadrat wird; wenn wir also x —~—- in_ w 1 ' m -w - ' M- Itll IVUVt »l’lUll ll'll VUIV - , m—n ' ' m—n tu — n m — n n“ — tt — setzen, so wird xy-\-a ein Quadrat fein. Aber nun y wird weder x-\-a, noch y-\-a ein Quadrat. Dachet hat also, indem er von den gesuchten drei Bedingungen eine allgemein löst, die beiden andern aufgegeben. Dasselbe gilt von den folgenden ähnlichen Sätzen 12 —14. Wir gehen zu dem zweiten Porisma über, welches zu der Aufgabe gehört V, 5. Drei Quadratzahlen zu finden, so das? das Product von je ztvcicn, sotvohl wenn man beide Facto- ren, als wenn man die dritte Zahl hinzu addirt, ein Quadrat werde. Καί εχομεν -χάλι v εν Γοϊ ttooto -μιχιν, οι χΰι δυο εοαγνοι οι καα, δ έ^-η χοοενοίχ,εαι εερο αριθμ, Öl,' üjv διπλαυίν βιηκχμφοέρον καί υαί με'ιζν, ρει άρφμον πο/εΐ, ν δ νχδ δύο ποινονν εάν ε προο'λάβ rj ονν- αμφερον, εάν ε λοιπδν χοιε εράγνον, „llllb wir haben abermals in den Porismcn den Satz, daß, wenn man zu zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlcn eine andere Zahl nimmt, welche um zwei größer ist als die doppelte Summe jener beiden, man dann drei Zahlen von der Beschaffenheit hat, daß das Product von je zweien sowohl wenn die Summe der beiden multiplicirtcn, als auch wenn die dritte Zahl dazu addirt wird, ein Quadrat wird." Durch dieses Porisma ist also die Aufgabe schon insoweit gelöst, daß es nur noch darauf ankommt, diese dritte Zahl zu einem Quadrat zu machen. Der Satz sagt also, wenn man die drei Zahlen x-, .r-j-1 2 , 2 hat, so wird das Produkt von je zweien ein Quadrat, sowohl wenn die Summe beider, als auch wenn die dritte dazu addirt wird. In der Bearbeitung lind Verallgemeinerung dieses Porisma's ist Bacher nicht glücklicher gewesen, als bei dem vorigen; er dehnt nämlich den Diopbantischcn Satz in seinem 444 Porisniatum Iib. II. prop. 16. so aus Oiitis duobus quadratis, si sumatur duplum summae illorum, et quadrati intervalli laterum habentur tres numeri, quorum bini quem producunt mutuo ductu, is si adsumat productum ex quadrato intervalli laterum, sive in amborum summam, sive in reliquum, quadratum facit. Das heißt, wenn mau zwei Quadrate m-, n 2 hat, und dazu als dritte Zahl z = t im 2 -\-n 2 -\-%m — n 2 nimmt, so sind folgende sechs Formeln Quadrate nrn 2 - J- m — n'~ m 2 - s- n 2 , m 2 n 2 - j- in — tifx m 2 z - / — n' 2 4- ~j~ s, nsz - j -& — nfn 2 n 2 z ~{-m — n 2 n 2 4"*/ n ' x — nfnr Zwar haben wir hier einen Satz, der allgemeiner ist als das von Diophaut beigebrachte Porisma, der aber zur Auflösung der vorgelegten Aufgabe nur dann geeignet wird, wenn man »i — n= 1 setzt, das beißt, wenn man ihn wieder auf jenes Porisma rcducirt. Indeß muß ich gestehen, daß auch ich mir nicht getraue, den Dio- phantischcn Satz zu verallgemeinern. Eine zweite Anwendting dieses Porisma's macht Diophant bei der folgenden Aufgabe Y, 6. Drei Zahlen zu finde», so daß jede von ihnen um 2 vermindert ein Quadrat wird, außerdem aber das Product von je zweien ein Quadrat wird, sowohl wenn man die Summe beider, als wenn man die dritte Zahl davon subtrahirt. Um dieser Aufgabe zu genügen, darf man nach Diophant nur Zahlen annehmen, deren jede um 2 größer ist als die Zahlen der vorigen Aufgabe; setzt man also die drei gesuchten Zahlen x 2 -\-% .r-f-l J -2, x 2 4“ 4^'-Jr 6, so lehrt die Probe, daß alle Bedingungen der Aufgabe erfüllt werden, und daß nur noch nöthig ist, die letzte Zahl —2, also die Formel ^x 2 -\-Lv-\-i zu einem Quadrate zu machen. Wollte man statt der in der Aufgabe gegebenen Zahl 2 im Allgemeinen a setzen, so läßt sich leicht zeigen, daß keinen andern Werth als eben 2 haben kann. Das dritte Porisma haben wir schon einmal in den Handen gehabt; es steht in der Auflösung der Aufgabe V, 19., und heißt ohne Zweifel so Dic Differenz zweier Kubikzahlcn läßt sich immer auch in die Summe zweier Kubikzahlcn zerlegen. Diophant will, wie wir oben gesehen haben, den Bruch £ oder den gleichgcltendcn -J4- in drei Kubi zerlegen, findet aber statt 445 fressen 5 = + —γ 7 ?/ also frte Summe von einem Kubus und frer Differenz zweier andern Kubi. Und darauf heißt eS in dem Terte εχοιιεν δε εν οΐ ποοία-μαιν, 'ι πάνν δνο κν3ν ή νπεοοχί] π υ Es waltet indeß bei der Ergänzung dieser verstümmelten Stelle durchaus kein Zweifel ob, da der Sinn nur einer sein kann. Da aber Diophant die wirkliche Zerlegung der Differenz /A — Av >» die Summe zweier Kubi nicht ausführt, sondern in dieser Hinsicht sich begnügt, auf die Porismen zu verweisen, so wissen wir nicht, wie sein Verfahren beschaffen und welcher Grad von Allgemeinheit demselben eigen gewesen sei. Unter den Neueren hat zuerst Vieta, einer der ersten Beförderer der Dio- phantischen Analvsis in Europa, wahrscheinlich durch diese Stelle dahin geführt, diese und zwei ähnliche Aufgaben gelöst. Die drei Aufgaben stehen am Ende des vierten Buchs seiner Zetetica, und lauten so 1. Datis du o bis cubis, invenire numero fr. h. in rationalen Zahlen, iv άφμοΐ duos alios eubos, /uorum summa acqualis sit dfferentiae datorum. Wenn a 3 — b 3 ~.r 3 ~\-y 3 sein soll, so sinket er .r= — und,y= Dann folgt die umgekehrte Aufgabe 2. Datis duobus cubis, invenire numero duos alias eubos, /uorum differentia aequet summum datorum. Wenn a 3 -\-b 3 — x 3 — y 3 , so findet er x =- und y — - Diese beiden Ausgaben lösen zugleich in zwei verschiedenen Formeln die Aufgabe, einen gegebenen Kubus auf unzählige Weise in die Summe dreier Kubi zu zerlegen. 3. Datis duobus cubis, invenire numero duos alios eubos, /uorum differentia acqtiet dfferentiam datorum. Wenn a 3 — b 3 — x 3 —y 3 , so ist x = 3 - f "£ 3 ' y ~ ; und dadurch ist zugleich die Aufgabe gelöst, die Summe zweier Kubi in die Summe zweier andern Kubi zu zerlegen. Betrachten wir nun zunächst die erste Aufgabe, so ist klar, daß der Werth für x negativ werden wird, wenn 3 3 sein. Demnach ergänzen die erste und dritte Aufgabe einander vollständig in der Art, daß in jedem Falle, wenn die eine von ihnen ein negatives Resultat giebt, die andere ein positives liefert. Auf diese Bemerkung bat Format sein Verfahren gegründet, die Differenz irgend zweier Kubi in die Summe zweier Kubi zu zerlegen, indem, wenn der größere Kubus kleiner ist als das Doppelte des kleinern, er sich zuerst der drillen Formel bedient und die gegebene Differenz zweier Kubi in die Differenz zweier andern zerlegt; diese zweite Differenz dann zerlegt er nach der ersten Formel in die Summe zweier Kubi. Demnach ist die von Diophant geforderte Zerlegung wirklich in allen Fällen möglich. Die Stellen aus Fcrmar's Schriften, in welchen er diese Theorie berührt, habe ich in der Note 2. des vorigen Kapitels angeführt. Nach Beleuchtung dieser drei als Porismen namhaft gemachten Sätze wenden wir uns zn den übrigen Zahlcnsätzcn, von denen Diophant bei seinen Auflösungen Gebrauch macht. Alle diese Sätze lassen sich in zwei große Klassen theilen, von denen die erste Klaffe solche Sätze enthält, die man identische Formeln nennt, und welche zum Theil algebraische Übertragungen der im zweiten Buche der Euklidischen Elemente geometrisch ausgesprochenen Wahrheiten sind; die zweite Klaffe dagegen solche Sätze in sich begreift, die sich auf die Zerlegung der Zahlen in Quadratzahlen beziehen. Über die Säße der ersten Klasse werden wir zum größcrn Theil flüchtig hinwcgcilcn können, und ich führe die meisten derselben bloß der Vollständigkeit wegen hier an. 1. xi ^+1+^ ist allemal ein Quadrat. II, 27. 28. 2. ist immer ein Quadrat. II, 31. 32. IV, 17. — Eukl. II, 4. 3. ^ 2 +2^-l und **— 1 sind immer Quadrate. II, 33. 34. 447 4. ^-~y-L-af, ist immer ein Quadrat. Ist also eine Zahl A auf verschiedene Weise das Product zweier andern, ab, cd, es, so sind C ~ -i ~ ’ n s ~ u ^ ' l ' lauter Quadrate, die zu A addirt wieder Quadrate zur Summe geben. II, 35. 36. III, 12. 14. IV, 6. 14. 17. V, 30. 31. — Eukl. II, 5. 5. ^Py-ab ist immer ri» ctuobrot. 111,13. IV, 18. 6. Aab-\-a — - 2 ist immer ein Quadrat. Identisch mit 4. IV, 20. 7. 2 K-s-l 2 -j- 2 -s-a!-s-1 2 ist immer ein Quadrat. III, 17. 8. 2 —-j-a-j- 2 —» ist immer ein Kubus. IV, 30. 9. Wenn 2 xy und — .r 2 —y 2 , oder und .t* +y 2 — 1 zugleich Quadrate sein sollen, dann ist x~%j. II, 32. VI, 12. Beide Sätze sind zu enge ausgesprochen. Da in dem letztem Falle die zweite Formel ihrer Natur nach Quadrat ist, so ist weiter nichts nöthig, als das x=IrPy sei, damit auch ein Quadrat werde. Für den ersten Fall haben wir zunächst dieselbe Bedingung,- es soll 2 xy Quadrat werden; also muß x die Form 2w 2 y haben. Es soll aber auch noch 2 —y 2 oder y 2 -s-2§-y — x l , das heißt, wenn man x = 2,?y substituirt, y 2 -f-4/t 2 y 2 —4» 4 y 2 , also auch 1-j-4n 2 —4 n* ein Quadrat werden. Da nun hier der Fall n = 1, welcher die Formel zum Quadrat macht, bekannt ist, so kann man successive andere Werthe für n finden, wenn man z — 1 für n substituirt. Ein solcher Werth ist z. B. » = *} 10. Z — d l -\-ab-\-b' 1 . Dieser Satz spielt bei Dio- phant eine eigenthümliche Rolle. Er ist nirgend geradezu ausgesprochen, obgleich er aus Eukl. Elcm. IX, 35. längst in noch viel allgenicincrcr Gestalt bekannt war. Ja die Art, wie die Aufgaben IV, 12. 13. gelöst sind, scheint sogar anzudeuten, als ob Diophant den Satz nicht gekannt habe. Die Aufgabe 12. lehrt zwei Kubik- zahlen finden, fcmi\ Differenz der Differenz ihrer Wurzeln gleich ist, und Diophant führt diese Aufgabe auf die Bcdingungsaufgabc, zwei Kubikzahlcn zu finden, deren Differenz und Differenz der Wurzeln sich zu einander wie zwei Quadratzahlen verhalten. Nach der Formel wäre also weiter nichts zu thun, als zwei Zahlen zu suchen. 448 so daß die Summe ihrer Quadrate zu ihrem Producte addirt eine Quadratzahl gäbe, eine Aufgabe, die feine Schwierigkeit hat und die Diophant selbst V, 7. löst. Statt dieser allgemeinen Auflösung geht Diophant von dem speciellen Falle anS, daß die Differenz der Wurzeln bereits au und für sich Quadratzahl sei, z. B. 1, nnd sucht nun zwei einander zunächst liegende Kubi, deren Differenz ein Quadrat ist. Ebenso in der folgenden Aufgabe. Nichtsdestoweniger können wir uns überzeugen, daß Diophant die Formel = tr-\-ab-\-b 2 gekannt und gebraucht habe, wenn wir uns die Mühe geben wollen, ein wenig zwischen den Zeilen zu lesen. Wir betrachten zu dem Ende die sehr aphoristisch behandelte Aufgabe V, 8. Drei rechtwinklige Dreiecke zu finden, welche einen gleichen Flächeninhalt haben. Die Auflösung ist wörtlich folgende „Zuerst muß man zwei Zahlen suchen, so daß ihr Pro- duct sammt der Summe ihrer Quadrate ein Quadrat ausmacht. Das ist aber schon V, 7. gezeigt worden, und es sind die Zahlen 3 und 5, deren Product sammt der Summe ihrer Quadrate dem Quadrate von 7 gleich ist. Nun bilde ich drei rechtwinklige Dreiecke, das eine aus den Zahlen 7 und 3, das andere aus den Zahlen 7 und 5, und das dritte aus den Zahlen 7 und der Summe der beiden gefundenen, also aus 7 und 8. Die Dreiecke werden also sein 40, 42, 58, 24, 7», 74, und 15, 112, 113, und alle drei Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt 840." — Allerdings liegt am Tage, daß dieses Verfahren drei solche Dreiecke liefert, wie die Aufgabe verlangte; aber Diophant sagt auch nicht ein Wörtchcn über das Princip, welches seinem Verfahren zum Grunde liegt. Wir wollen versuchen, uns dieses selbst zu entwickeln. Wenn wir aus drei Paaren von Zahlen m, n, p, q-, r, * drei rechtwinklige Dreiecke bilden, so werden die Katheten die uns hier allein angehen, in dem ersten ' 2mn und m 2 — n 2 , in dem zweiten pq und p 2 — f> r{r 2 — m 2 . Es ist also zunächst m 2 n — n 3 = m 2 /— y s also *»* = “Ef- = » , +i r +7 a Da haben wir den Grund der ersten Diophantischen Voraussetzung, warum man nämlich zuerst zwei Zahlen, n und y, suche» müsse, so das; ihr Product sammt der Summe ihrer Quadrate ein Quadrat gebe. Die Wurzel dieses Quadrats ist m , und die beiden ersten Dreiecke werden gebildet aus den Zahlen m,n und m,- d 1 . Nach derselben Methode bildet man aus dem zweiten dar dritte, aus dem dritten das vierte, u. s. w. Mdeß ist auch diese Methode nicht allgemein. 29 450 nommen, daß ihm die Formel a * ~ — 1 und 1, so wird das erste 33-56-65, das zweite 16-63-65. Der Satz, daß das Product zweier Zahlen und sich zweimal in die Summe zweier Quadrate zerlegen lasse, erleidet indeß die Beschränkung, daß sich nicht m n — p Jede Primzahl von der Form 4^-f- i ist die Summe zweier Quadrate. Beide Sätze folgen aus der dieser Aufgabe beigefügten Dcter- nnnation. Man soll die Zahl 1 in zwei Stücke theilen, so daß, wenn man zn jedem Stücke eine gegebene Zahl addirt, beide Summen Quadrate werden. Die gegebene Zahl darf aber weder ungerade sein, noch darf ihr Doppeltes eine um 1 größere Zahl haben, die von einer Primzahl gemessen wird Nennt man die beiden gesuchten Stücke x und y, die gegebene Zahl a, so soll x-j-y - i, y- = * fein. Addirt man die Heiden letzten Gleichungen, so erhält man die Gleichung 2 -— 1 = m' 1 -\-n' 2 . Die gegebene Zahl a muß so beschaffen sein, daß ihr Doppeltes um 1 vermehrt in zwei Quadrate zerlegt werden kann. Nun sagt 4 Leider ist diese Determination in den Handschriften arg entstellt. Wachet giebt sie im Texte so s μ° α. μείζονα εχ] μίο ϋ. η μεεΐαι ιο ού α οΰ. ου j n tem Commcntar giebt er für den zweiten Theil der Lescart des Valicanischen Codex, welche ebenso unglücklich und fast übereinstimmend lautet μήε ο διΧλαίον αυού izqi~uov μονάδα α. μείζονα εχη μίο ίαον, ,' μειαι νο ού tqc/Toi> άιΡμου. Wachet hat hin und her gerathen, und ist zuweilen dem Wahren auf die Spur gekommen; weil er aber den Satz nicht kannte, auf den Diophant hinzielt, so ist es ihm weder gelungen, den Text zu verbessern, noch die richtige Determination der Aufgabe zu geben. Das letztere hat Fcrmat gethan, ohne den Text weiter zu berücksichtigen. Erst Schulz hat sich an diese Correclur gewagt, aber, wie ich glaube, Einiges stehen lassen, was ganz unhaltbar ist. Er sagt S. 518. so „Es ist kaum möglich, in die zweite Hälfte dieses Satzes, so wie sie im Texte steht, einen Sinn zu bringen. Man werfe aber die Worte μίο ίααν, als ein Glossen, eines Abschreibers, aus dein Texte, und lese ίχειν statt εχ[, α statt ή, und ίνο statt des abgekürzten ού, so ist die Übersetzung u. s. w. Die letztere Bedingung hatte allerdings diel kürzer ausgedrückt werden können, aber der Verfasser hätte ein Mal die erste Bedingung durch eine Verncinung ausgedrückt und wurde dadurch veranlaßt, auch die zweite auf dieselbe Weise auszudrücken. Wie das μέρο ίαον in den Text gekommen sei, ist leicht zu erklären denn da die gegebene Zahl eine gerade sein soll, so muß das Doppelte derselben durch 4 thciibar sein, oder μίο ίαον ϊχειν, dies bemerkte ein Leser bei den Worten ο δαλαΰν αυού, und ein Abschreiber, der das ganze nicht faßte, nahm es in den Text auf." Wenu wir nach dieser Correclur der Hauptfehler noch einige Kleinigkeiten berücksichtigen, so dürste der zweite Theil nun so zu lesen sein μήε ον δ ιχλαίονα αυού άιΡμον μονάδι μείζονα ϊχειν, ο μεεΐαι ύχο ίνο Χάου άιΡμού. 454 Diophant zuerst, die gegebene Zahl darf nicht ungerade sein. Setzen wir nämlich a ungerade, etwa — 2/,-j-l, so ist ihr um 1 vermehrtes Doppelte 4/-s-3; bekanntlich kann aber keine Zahl von der Form 4/> —j- 3 die Summe zweier Quadrate sein, ein Satz, der, wie alle negativ ausgesprochenen Sätze dieser Art, sich sehr leicht beweisen läßt. Demnach darf nur gerade oder 2/-, also 2—j-1 = 4// —— l sein, und der zweite Theil der Determination sagt, daß diese Zahl durch keine Primzahl gemessen werden dürfe, das heißt, daß sie selbst Primzahl sein müsse. In der That ist jede Primzahl von der Form 4/> -J— t die Summe zweier Quadratzahlcn, und es ist nicht wenig überraschend, diesen erst von Eulcr bewiesenen, wenngleich schon von Fcrmat mit Bestimmtheit ausgesprochenen Satz bei Diophant als bekannt vorausgesetzt zu finden. Werfen wir aber noch einen Blick auf das Verhältniß der Determination zu der vorliegenden Aufgabe, so zeigt sich bald, daß dieselbe zu enge ist, und in dcm Bestreben, alle unzulässigen Zahlen aus der Aufgabe zu entfernen, zu weit geht. Gegen den ersten Theil ist in dieser Hinsicht nichts einzuwenden, wohl aber gegen den zweiten; denn es giebt eine große Menge von Zahlen, die die Form haben und aus zwei Quadraten zusammengesetzt sind, ohne Primzahlen zu sein. Erstens nämlich hat Diophant in dem vor diesem angeführten Satze die Bemerkung ausgesprochen, daß das Product zweier Zahlen, deren jede die Summe zweier Quadrate ist, zweimal die Samme zweier Quadrate ist, daß also die zusammengesetzte Zahl 4w-f-l4+ 1 / wenn jeder Factor Primzahl ist, gewiß die Summe zweier Quadrate sciu muß; mnltiplicircn wir nun diese Zahl mit einer dritten Primzahl von der Form so ist auch 4?-t-l4+l4/>-l die Summe zweier Quadrate, und so ins Unendliche fort. Zweitens aber ist klar, daß wenn man irgend eine Summe zweier Quadrate mit einer beliebigen Quadratzahl multiplicirt, das Product ebenfalls die Summe zweier Quadrate sein muß. Demnach ist eine Zahl von der Form kn-\ t die Summe zweier Quadrate nicht allein, wenn sie Primzahl ist, sondern auch, wenn sie außer quadratischen Factorcn nur Primfactorc» von der Form 4»-f-1, wenn sie also die Form hat w I 'l4»-f- l4w-l4w ;/ -f 1.] In dieser Allgemeinheit hat schon Fcrmat in seiner 0I»8orvu1ü> zu der vorliegenden Aufgabe die Determination ausgesprochen. Vorn limitatio, sagt er, haec est, generalis nempe et omnes numeros inutiles excludens. Oportet datum numerum non esse imparem, neque duplum ejus unitate auctum per maximum quadratum a quo mensuratur divisum dividi a quovis numero primo unitate minori quam multiplex quaternarii. Bei der desolaten Verfassung des Textes bleibt übrigens Freunden von Con- jccturcn ein weites Feld geöffnet, wie viel von dem hier Angeführten sie etwa in die Diophantischcn Worte noch hineinlegen oder aus denselben herausschneiden wollen. Einer ähnlichen Determination hatte die folgende Aufgabe V, 13. bedurft, welche die Zahl 1 so in zwei Stücke zu theilen verlangt, daß wenn man zu jedem derselben eine andere gegebene Zahl addirt, diese Summen Quadrate werden. Hier kommt es also, wenn a und b die gegebenen Zahlen sind, darauf an, daß a-\-b -J-l sich in zwei Quadrate zerlegen lasse. Über die Willkühr, die Diophant sich erlaubt, indem er a und b so annimmt, daß a-{-b -j-l Quadratzahl wird, und auf diese Particularität gestützt die Auflösung durchführt, habe ich bei einer andern Gelegenheit gesprochen. 2. Zusammensetzung der Zahlen aus drei Quadraten. V, 14. Eine Zahl von der Form 8»-j-7 kann nie die Summe von drei Quadraten sein. Anders als in dieser negativen Gestalt wage ich den Satz im Geiste Diophant's nicht auszusprcchcn, und eigentlich habe ich ihm damit schon etwas zu Liebe gethan, indem ich durch diese negative Auffassung des Satzes einen offenbaren Mangel verdecke, an dem die Determination, welcher derselbe entnommen ist, leidet. Denn strenge genommen spricht Diophant den unwahren Satz aus, daß jede Zahl, welche nicht die Form 8»-j-7 hat, sich in drei Quadrat- zahlen zerlegen lasse. Die Aufgabe lautet nämlich, der zwölften analog Man soll die Zahl 1 in drei Stücke theilen, zu jedem Stücke dieselbe gegebene Zahl addiren, und alle drei Summen sollen Quadrate werden. Sind nun die Stücke *, y> */ bie gegebene Zahl a, so soll 456 or-f-y-J^z = 1, x-\-u~m' 1 y - j- a = n- x-\-a=p z x — j“ y —— z 3 i , ist 3st-f-l = sein. Es kommt also bci dcr Aufgabe darauf an, die Zahl a so zu geben, daß ihr um 1 vermehrtes Dreifache sich in drei Quadrate zerlegen lasse. Nun sagt Diophant's Determination Die gegebene Zahl darf aber weder 2, noch eine aus dcr Reihe dcr um 2 vermehrten Vielfachen von 8 sein. Das heißt also, die gegebene Zahl darf nicht 8 y —— 2 sein. Wenn aber a nicht Sr/ - f- 2 sein darf, so kann 3 -f -1 nicht 24? -j- 7 sein. Demnach hat Diophant den Satz ausgesprochen, daß eine Zahl von der Form 24y-f~7 nicht die Snmmc dreier Quadrate werden könne. Aber dcr Theiler 3, dcr in dcr 24 fleckt, ist hier ohne Bedeutung, weil 24y-j-7 durch 3 dividirt 1 zum Rest läßt, also jene Zahl i» Pczug auf den Divisor 3 nicht nnr die Summe von drei, sondern auch von zwei Quadraten, ja selbst Quadratzahl sein könnte. Demnach bleibt als charactcristischcs Merkmal nur die Form dcr Zahl in Bezug auf den Theiler 8 zu betrachten übrig, und danlt ist sie 8 namentlich die Zahlen von der Form 32,» -f-9 als solche bezeichnet, welche für a nicht angenommen werden dürfen. Die vollständige Beschränkung, welcher die Annahme der Zahl a unterliegt, hat indeß wieder Fcrmat zuerst ausgesprochen, und zwar in folgender Gestalt Er schreibt zwei geometrische Progressionen untereinander, von denen die obere Reihe die von 1 anfangenden successive fortlaufenden Potenzen von 4, die untere Reihe die Achtfachen der darüber stehenden Glieder enthält, also 1 4 16 64 256 1024. 8 32 128 512 2048 8192. und nun sagt er, a dürfe keine Zahl sein, welche entsteht, wenn man ein Glied der obern Reihe verdoppelt und dazu alle vorhergehenden Glieder derselben Reihe addirt, und ferner keine Zahl, welche entsteht, wenn man die so gefundene Zahl zu einem Vielfachen des entsprechenden Gliedes der untern Reihe addirt. Daher dürfe nicht fein 8w+2-l oder 8,r+2 Diophant 32,»+2-4+1 - 32,»+9 Dachet 128^+2-16+4+1 - 128,»+37 512„+2-64+16+4+1 - 512,»+149 u. s. w. Wenn wir den Satz allgemein ausdrücken und bedenken, daß die Summe der Potenzen von 4, von 1 bis 4 /i_1 genommen, ~ ~ 1 ist, so darf a nicht sein 8-4 / ',»+2-4 ; '+ 3 1 , oder 8-4''»» +~ "'~ ' 3 ' ~~, dk"nmch darf 3+1 nicht sein 8-4 / 7»+7-4 /> , das ist 4 ; 'S„+7, und wir erhalten daher den berühmten Satz, daß jede Zahl, welche nicht von der Form 8,»+7 oder ein Producr einer Zahl dieser Form in irgend eine Potenz von 4 ist, sich in die Summe dreier Quadrate zerlegen lasse. Da nun alle diese Zahlen entweder uitgeradc Zahlen von der Form 8^+7, oder gerade Zahlen von der Form 4,» sind, so folgen aus diesem allgemeinen Satze als speciellere die beiden 1 Jede ungerade Zahl, welche nicht die Form 8„+7 hat, und 2 jede gerade Zahl von der Form 4,»+2 ist in drei Quadrate zerlegbar. Wie ich erwähnte, läßt sich aus Diophant's Determination iticht entnehmen, wieviel von diesen 458 Sätzen ihm bekannt gewesen sei, wieviel nicht; und die Bemühung von Schulz, zn zeigen, daß Diophant beide letztgenannten Sätze genau gekannt habe, beruht auf einem Irrthums. Den ersten der beiden letztgenannten Specialsatzc scheint Diophant allerdings gekannt zu haben; für die Annahme seiner Bekanntschaft mit dem letzten Satze haben wir aber gar keine Auctoritat. Bei den Aufgaben V, 15. 16., welche ebenfalls von der Zcr- lcgbarkcit einer gegebenen Zahl in drei Quadratzahlcn abhängen, fehlt die Determination, welche der zu V, 14. gegebenen eben bc=. trachteten ziemlich conform ausfallen mußte. Einer besonderen Betrachtung wollen wir noch die Aufgaben V, 22. 23. unterwerfen. Die erstere verlangt eine gegebene Zahl in drei Stücke x, y, x zu zerlegen, so daß a 3 — x, a 3 — y, a 3 —js Quadrate werden. Addirt man diese drei Formeln, so kommt cS darauf an, die Zahl 3 3 — a in drei Quadrate zu zerlegen. Diophant giebt auch hier keine Determination und scheint also die 5 Schul; bemüht sich nämlich zu zeigen, daß Diophant' Determination erschöpfend sei und alle unbrauchbare» Zahlen ausschließe. Sein Beweis ist folgender „Daß diese Bedingung aber hinreichend sei, laßt sich leicht übersehen. Die „Zahl 3-f-l ist entweder ungerade oder gerade, ersteres wenn a eine gerade, „letzteres wenn a eine ungerade Zahl ist. Wen» nun 3 st-1 ungerade und nicht „zugleich von der Form 5nst-7 ist, so läßt sie sich nach dem angeführten Satze „bei Legendrc gewiß in drei Quadrate theilen. Ist aber 3,/st-1 eine gerade „Zahl, so muß n selbst eine ungerade Zahl, also von der Form 2,rst-1 sein, wo „n eine ungerade Zahl bedeutet ???. Daher wird 3crst-1 — 6mst-4, „also das Doppelte einer Zahl von der Form 3-rst-2, d. b, einer ungeraden „Zahl ???. Nun wird aber bei Legendrc a. a. O. bewiesen, daß jede Zahl, „welche das Doppelte einer ungeraden Zahl ist, ebenfalls die Summe von drei „Quadraten sei. Es ist also einleuchtend, daß die Zalil 3st-1, insofern sie nicht „in die bezeichnete Reibe gehört, sich jedes Mal in drei Quadrate zerstückeln lasse, „und ebenso cinlcuchtcnd ist es, daß Diophanlus sowohl diesen, als den von Enler „bewiesenen Satz, daß jede Primzahl von der Form ä»st- l die Summe zweier „Quadrate sei, genau gekannt haben müsse." — Allerdings wird, wenn wir n — und dann noch n ungerade setzen, der Ausdruck 3,/st-1 das Doppelte einer ungerade» Zahl. Aber wer heißt uns n ungerade, das heißt, = 4/t st-3 setzen? Schulz hat also nur bewiesen, daß die Auflösung immer möglich ist, wenn n gerade und nicht 8/rst- 2, und wenn — 4-j-3 ist. Wie steht es aber mit a = 4-f-l? Unter diesen giebt es zulässige und unzulässige a, die nur durch die Fermat'schc Determination geschieden werden tonnen. Schon das Beispiel von Wachet, daß = 9, also 3+l = 28 nicht zum Ziele führt, hätte den gelehrten Übersetzer ausnierksam machen sollen. 459 Möglichkeit der Ausführung iu allen Fällen vorauszusetzen. In der That ist die Auflösung immer möglich, wenn a ungerade, oder auch wenn a gerade-ungerade, das heißt, von der Form An-\-'l ist. In beiden Fällen erhält 3 a 3 —a die Form An-j-2, welche sich immer in drei Quadrate zerlegen läßt. Unmögliche Fälle sind also nur in der Form a -= - An zu suchen. Um diese aufzufinden, setzen wir 3a 3 — a der Formel gleich, welche die Unmöglichkeit der Zcr- lcgbarkcit in drei Quadrate ausdrückt, so haben wir 3a 3 —, oder a 3a 1 — 1 = 4 , 'S -j- 7 Ohne weiter auf eine Untersuchung aller möglichen Fälle, in welchen diese Gleichung statt haben kann, einzugehen, begnügen wir uns mit dem, was der bloße Augenschein giebt, daß nämlich die Gleichung erfüllt wird, wcnu wir a = A r setzen, weil dann zugleich allemal 3^ — 1 = 8 m +7 wird. Demnach wird die Zerlegung dcS Ausbrucks 3a 3 —a iu drei Quadrate allemal unmöglich sein, wenn a eine Potenz von 4 ist. Ebenso darf a nicht 4 7 '8»-f-l sein, wie eine der folgenden ähnliche Untersuchung leicht ergicbt. In der Aufgabe V, 23. soll x-j-y-j-z = —, und jede der 111 Formeln x — y — z — ^ ein Quadrat werden. Addirt man hier wieder die drei Ausdrücke, so kommt es darauf an, die Formel -—oder was dasselbe ist, a 3 — 3a in drei Quadrate zu zerlegen. Auch diese Operation ist immer möglich, wenn a — 2n + 1 oder — 4,r-s-2 ist. Wir wollen ferner untersuchen, wie eS sieht, wenn a die Form An hat. Zuerst leuchtet ein, daß wenn wir wieder O 5 — 3 = 4 ,, 8»+7 setzen, der Werth a A p dieser Gleichung nicht genügt; denn für diesen Werth von a erhält a" —3 die Form 8-r — 3 oder 8-r-s-ö, welche nicht mit 8-r-s-7 identisch sein kann. Nun kann aber eine Zahl von der Form 8-r-s-7, wenn sie nicht Primzahl ist, nur entstanden sein aus Factorm 8-{-1 8»+ 7, oder aus S/i- 3 8^ -j-5. Setzen wir also zunächst ä — 3 — 4I8-r -s-1 8-r -s- 7 und versuchen, ob a=^A p 3n-\-\ der Gleichung genügen könne; es leuchtet aber ein, daß das nicht möglich sei, da * — 3 in dem 460 Falle ebenfalls wieder die Form 8h —3 erhält. Ebenso wenig kann u = 4 / 'S-{-7 gesetzt werden. Setzen wir also ferner n{/r —3 = 4 ; 'S n - J- 3 8 -f - 5 tnid nehmen — 4 / '8^-j-3 an, so wird n *—3 immer die Form 8-r—3, das ist, 8-j-5, also i fort." — Dieses ist eine kurze Rekapitulation des aus frühern Schriften als bekannt Vorausgesetzten. Es folgt die Angabe des Zwecks dieser Schrift. „Wie es nun von den Qadratzahlcn bekannt ist, daß sie aus der Mliltiplication einer Zahl in sich selbst entstehen, so hat sich es auch bewährt, daß jede Polpgonzahl multiplicirt mit einer von der Zahl ihrer Winkel abhängigen Zahl, und addirt zu cincm Quadrat, das ebenfalls von der Zahl ihrer Winkel abhängt, cind Quadratzahl zum Vorschein bringt. Das nun will ich beweisen und zugleich zeigen, wie man aus der gegebenen Seite die zugehörige Polvgonalzahl, tmd aus der Polvgonalzahl die Seite findet. Vorher aber werde ich einige Hilfssätzc ~u ει αύα λαμίίανμενα beweisen." Hilfssätzc. Erster Satz. Prop. II. „Wenn drei Zahlen von gleichem Unterschiede sind, so ist das achtfache Prodnct der beiden größer», addirt zu dem Quadrate der kleinsten, ein Quadrat, dessen Wurzel ist die Summe der größten und der doppelten mittlern." Über Diophant's Beweise werde ich unten sprechen; hier begnüge ich mich, die Sätze an Formeln zu erläutern. Hat man drei Zahlen von gleichem Unterschiede, a, u-\-b; aA-'ih, so ist S —f- 2 ä — j— —f- — Ö 2 —j—{— 2^ 2 —— a = 9 2 +24^+16ä 2 = 3-}-44 2 = [+24+2+4] 2 Zweiter Satz. Prop. III. „Wenn beliebig viele Zahlen von gleichem Unterschiede sind, so ist der Unterschied der größten und kleinsten gleich dem Producte aus dem beständigen Unterschiede in die um 1 verminderte Anzahl der vorliegenden Zahlen." Hat man nämlich die arithmetische Reihe , a- j-4, u-\-2b und so weiter, so ist deren n ta Glied also der Unterschied zwischen diesem und dem ersten Gliede gleich n —14. Dritter Satz. Prop. IV . V. „Wenn beliebig viele Zahlen von gleichem Unterschiede sind, so ist das Prodnct aus der Summe 465 Summe der größten und kleinsten in die Anzahl der Zahlen gleich der doppelten Summe aller vorliegenden Zahlen." Dieser Satz enthält die bekannte Formel für die Summe einer arithmetischen Progression. Nennt man nämlich die kleinste Zahl a, die größte t, die Anzahl n, die Summe aller S, so ist S~ oder, wie Diophant den Satz ausdrückt, a-\-tn ~ 2 S. Diophant beweist den Satz zuerst für den Fall, daß n gerade Prop. IV., und dann für den Fall, daß n ungerade ist Prop. V. Diese drei Sätze gelten der arithmetischen Progression im Allgemeinen und enthalten kurz die Elcmcntarlchren derselben. Mit dem folgenden Satze rückt der Verfasser dem Ziele um einen Schritt näher, indem er nun speciell diejenige Progression betrachtet, deren erstes Glied 1 ist. Vierter Satz. Prop. VI. „Wenn beliebig viele Zahlen von der Einheit an von gleichem Unterschiede sind, so ist das achtfache Produkt aus der Summe aller in den beständigen Unterschied, addirt zu dem Quadrate des um 2 verminderten Unterschiedes, eine deren um 2 verminderte Wurzel gleich sein wird dem Producte des Unterschiedes in die um 1 verminderte doppelte Anzahl aller vorliegenden Zahlen, die Einheit mitgerechnet." Nennen wir wie vorher die Anzahl n, den beständigen Unterschied b, die Summe aller Glieder S, so soll nach dem Satze 8-V-j-S- 2* = {b&n — l + 2] 2 . Es ist aber S= [ w—1^+2]^; dieses substituirt, giebt MS=Mn[n — 16 + 2] — 4 b^n 1 — ib 2 n-i-$b?i dazu b —2 2 = i 2 —4-j-4, giebt —2 2 = 4/rW 2 — M-n+Mti+b *—4 £+4 — £ 2 4rc 2 — 4»-f-l+4^2rc— 1+ 4 = \bQn— 1 + 2 ] 2 . Zusatz. Prop. VII. Dieser Satz hat ebenso wie die in dem vierten Satze mtf ihn verweisenden Worte, „ e 4w> & £l %- pr\fsrai ganz das Aussehen eines apokrnphischcn Einschiebsels. Sein Inhalt ist kein anderer, als daß er geometrisch beweist, daß b%2n — l 2 = [b2n— I] 1 ist. i. 30 406 Hauptsatz. Fünfter Satz. Prop. VIII. „Nach diesen Vordersätzen nun' behaupte ich, daß, wenn mehre Zahlen von der Einheit an von gleichem Unterschiede sind, die Summe aller eine Polygonzahl sei; und zwar ist die Anzahl ihrer Winkel um zwei größer als der beständige Unterschied, ihre Seite aber ist die Anzahl der vorgelegten Zahlen, die Einheit mitgerechnet." Nachdem Diophant den Beweis dieses Satzes, dcir ich unten mittheilen werde, gegeben hat, fährt er so fort „Es ist also bewiesen, was Hypsikles in der Definition —»—2, S=P, demnach wird 8 — 2 /*+ O — 4 12 = [ — 2 2 » — 1 + 2] !2 und diese Formel enthält die Bedingung, nach welcher die Polygonalzahl und ihre Seite gegenseitig von einander abhängen; es ist nämlich » ^-22m-1-l-2-4- — 8/r — 2 und umgekehrt n~ 1 n-Sff—2/>-H/»-4»-2 T L — Ü Die Übersetzung dieser beiden aus dem fünften und vierten Satze unmittelbar sich ergebenden Formeln in Worte bilden die Bacbet'sche Propositio nona, welche wir, wenn wir sie ja von dem fünften oder Hauptsatze trennen wollen, höchstens als einen Zusatz zu diesem betrachten können. In diesem Satze nun hat Diophant seinen in der Einleitung ausgesprochenen Zweck erreicht. Er . hat nämlich gezeigt, wie man zwei von der Winkclzahl des Polygons abhängige Zahlen finden könne, so daß allemal, wenn man die Polygonzahl mit einer dcrscl- 30 * 468 I bei, multiplicirt und das Quadrat dcr andern hinzu addirt, diese Summe ein Quadrat wird; er hat ferner gezeigt, wie man zu jeder gegebenen Seite oder Wurzel die zugehörige Polvgonzahl irgend einer Ordnung, und umgekehrt zu einer gegebenen Polpgonzahl, ihre Seite finden könne. Mehr hat er sich nicht vorgesetzt. Dcßungc- achtct folgt noch als Anhang eine Aufgabe. Prop. X. „Wenn eine Zahl gegeben ist, zu untersuchen, auf wieviclcrlci Weise sie Polvgonzahl sein könne." Die Asführnng dieser an und für sich interessanten Aufgabe ist in allen Manuscriptcn in dcr Mitte abgebrochen, und es ist aus dem Bruchstücke, obgleich es schon eine bedeutende Länge erreicht hat, noch nicht zu ersehen, wo dcr Verfasser eigentlich hinaus will. Indeß spricht aus dem Verfahren, soweit es vorliegt, ganz Diophant's Manier, wie sie sich uns aus den vorhergehenden Sätzen offenbart, weshalb ich, obgleich ich nicht apodiktisch entscheiden mag, nicht geneigt bin, mit Schulz 2 anzunehmen, diese Aufgabe sei ein fremdartiger Zusatz zu dcr mit Prop. IX. vollendeten Diophantischcn Schrift. Es ist wahr, dem in dcr Einleitung mit bestimmten Worten angegebenen Plane zitfolge könnte man das Werk mit Prop. IX. als vollkommen abgeschlossen betrachten. Bedenken wir aber auch Folgendes, was vielleicht die Annahme dcr Echtheit dieser Aufgabe zu rechtfertigen im Stande ist. In dem fünften Satze Prop. XIII hat Diophant als Merkmal oW, einer Polvgonzahl angegeben, daß dcr Ausdruck 8—2/ , -f-— 4 2 ein Quadrat werde. Die Anwendung dieser Formel konnte und mußte leicht auf die Bemerkung führen, daß es für ein gegebenes P sehr häufig mehre Werthe für n gebe, welche den Ausdruck zu einem Quadrate machen, mit andern Worten, daß dieselbe Zahl P verschiedenen Ordnungen von Polvgonalzahlen angehören könne. So ist, um nur einige nahe liegende Beispiele anzuführen, die Zahl 36 zugleich dreieckige, viereckige und dreizehneckige, und auch sccbslmddrcißigcckige Zahl; 226 ist vier-, acht-, vicrnndzwanzig-, sechSundfiebzig- und zweibun- 2 Amn. 9 dertfünfundzwanzigeckige Zahl; 540 ist Polvgonalzahl vo» 7, 10, 21, 181 und 540 Seiten, 561 von 3, 6, 12, 39 , 188 und 561 Seiten; 616 von 7, 13, 31, 104 und 616 Seiten; und so unzählige andere. Es scheint also ziemlich natürlich, das; der Verfasser, nachdem er die Vieldeutigkeit seiner Formel oder vielmehr seiner Regel erkannt hatte, der dem ursprünglichen Plane zufolge hcrcits abgeschlossenen Abhandlung nun noch die Ausgabe hinzufügte, wie man diese Vieldeutigkeit der Regel Ibsen unb anwenden könne. Auch ist es ja bei andern alten und iicncrn mathematischen Werken nichts Ungewöhnliches, daß dem abgeschlossenen System von Lehrsätzen ein Anhang von Aufgaben, die den Gegenstand betreffen, hinzugefügt wird. Es ist also wohl daraus, daß diese Aufgabe nicht ebenso wie der Inhalt des vorhergehenden Lehrsatzes in der Einleitung angekündigt wird, nicht mit allzu großer Gewißheit deren Uncchthcit zu schließen. Wie Diophant die Aufgabe gelöst habe, läßt sich, wie gesagt, aus dem Bruchstücke nicht ciitnchmcn; wenigstens ist mir es nicht gelungen, in dem Vorhandenen einen sichern Fingerzeig auf das verloren gegangene Ziel des Weges zu entdecken. Buchet hat in seiner Zugabe zu dieser Schrift die Aufgabe mit Hilfe des Satzes von Nikomachus gelöst, daß nämlich jede Polygonzahl von er Seiten die Summe von n —2 dreieckigen Zahlen ist, deren eine dieselbe Seite hat, wie das Polygon, die übrigen aber die um 1 kleinere Seite s. 3 Appendicis ad Librum de Numeris Polygonis Lib. I. Prop, 19. Proposito qualibet numero, investigare quot modis pohjgonus dici possit. Bezeichnen wir eine Polpgonzahl, deren Seite n und deren Winkclan - zahl a ist, mit n a , nach Nikomachus II, 12. k° G» , , , , ’> n — n -f-a —3m — 1 3 Dividire» wir nun durch die dreieckige Zahl » — 1 , st wird 3 _ ~ , n a — 3 Hieraus gründet sich die Regel Bachct's- Man dividirc die gegebene Zahl durch 470 Übrigens erhellt aus dieser Darlegung des Inhalts, daß Dio- phant keineswegs die Absicht hatte, eine vollständige Theorie der Polvgonzahlcn zu schreiben, sondern daß er vielmehr nur bezweckte, eine Eigenschaft derselben allgemein wissenschaftlich zu beweisen. Denn wenn wir auch die abgebrochene Aufgabe Prop. X. als noch zur Sache gehörend anerkennen, so verbietet doch jedenfalls die Fassung der Einleitung die Annahme, daß hinter dieser Aufgabe vielleicht noch bedeutende theoretische Zusätze und Erweiterungen des abgehandelten Stoffes gefolgt seien. Nach dieser Nccognoscirung des Stoffes wollen wir unser Augenmerk auf die Art der Behandlung desselben werfen. Was zunächst das Mittel der Operationen anlangt, so finden wir hier die in Euklid's arithmetischen Büchern begründete Methode der linearen Arithmetik wieder, welche darin besteht, daß allgemeine Zahlcnaus- drückc, als deren Symbole wir die Buchstaben verwenden, durch Linien veranschaulicht werden. Ich habe über diese Methode oben schon einmal gesprochen. Sie ist nicht eigentlich als eine geometrische Operation, als eine Operation mit räumlichen Größen zu betrachten, sondern als eine Vcranschaulichung des unsichtbaren Begriffs der Zahl in Gestalt einer Linie. Es ist darum nicht ganz genau, wenn Schul; in seiner Anmerkung zu dem ersten Satze Prop. II. sagt „Bcmerkcnswcrth ist hier und bei den folgenden Sätzen die unmittelbare Anwendung der von Theilung der Linien geltenden Sätze und geometrischer Constructioncn auf Zahlen, worin Diophantus, dessen Theorie der Polygonzahlcn sich übrigens an die Bücher 7. 8. 9. der Elemente des Euklides anschließt, von der alle vorhergehenden dreieckigen Zahlen; so oft nun diese Division einen Nest läßt, der um 1 größer ist als die Wurzel der dreieckigen Zahl, so ist die gegebene Zahl eine Polvgonzahl, deren Seite der Nest und deren Winkelanzahl der um 2 vermehrte Quotient ist. Locher aber hat man zu untersuchen, ob die gegebene Zahl a selbst dreieckige Zahl ist. Läßt die Division ——- keinen Nest, so hat man l»- 3 + - 34 2 +^ 3 als reine Zahlcnsätzc gekannt und als bekannt vorausgesetzt hat. Wie sehr sich sein Verfahren von einer rein geometrischen Construction unterscheidet, wird ani besten atls einem Beispiel einleuchten. Wählen wir dazu gleich den ersten Satz Wenn drei Zahlen von gleichem Unterschiede sind, so ist das achtfache Produkt der beiden größer», addirt zu dem Quadrate der kleinsten, ein Quadrat, dessen Wurzel ist die Summe der größten und der doppelten mittlern. E A B 1 G -1-1-1—H „Drei Zahlen All, BG, HD habe» gleichen Unterschied, so ist zu zeigen, daß das achtfache Produkt von AH i» BG, addirt zu dem Quadrate von HD ein Quadrat giebt, dessen Wurzel gleich ist der Summe von AH und 2 BG. Da nun AB gleich ist BG-\-GD, so ist 8 AB-HG gleich dem achtfachen Quadrat von llG und dem achtfachen Produkt von BG in GD. Es ist also auch das vierfache Product von AB in BG gleich dem vierfachen Quadrat von BG und dem vierfachen Prodnct von BG in GD. Aber das vierfache Product von BG in GD nebst dem Quadrate von BD ist gleich dem Quadrate von AB. — sNach Eukl. II, 8.; aber auch in den Aufgaben wendet Diophant sehr oft den Satz —Ijf = {n-\-»'s — Es ist also zu untersuchen, wie das Quadrat von AB nebst dem vierfachen Produkte von AB in BG und dem vierfachen Quadrate voit BG ein Quadrat gebe. Wenn wir AE gleich BG setzen, so verwandeln wir das vierfache Produkt von Aß in BG, in das vierfache Produkt von HA in AE. Dieses zugesetzt zu dem vierfachen Quadrate von Gli, das ist, AE, giebt das vierfache Produkt von BE i» EA, und dazu addirt das Quadrat von AB, giebt zur Summe das Quadrat von BE und EA als einer einzigen Linie. Aber BE und EA zusammen genommen sind gleich AB und 2 AE oder 2 BG, und das sollte gezeigt werden." E A B D G I-1-1-1-1 Um das Verfahren mehr zu veranschauliche», will ich es so darstellen. Es soll bewiesen werden, daß 8AB BG+BD 2 = [AB+VBG] 2 Nun ist nach der Voraussetzung AB—ÜG — BG— BI = JG, also AB - ; BG-\- GJ, folglich 8 AB BG = 8BG- +8 BG GD also auch 4A1I-BG — 4BG 2 \-4BG GD addirt man nun was Diophant nicht ausgedrückt hat auf beiden Seiten 4 AB-BG -f- HD 2 , so wird 8 AB. BG+ BI 2 = 4 AB-BG+ 4BG 2 -\-4BG- GI + BI 2 Aber 4 BG GI+HD = BG-\- GI 2 =AB 2 daher 8ABBG-{-BI 2 = AB 2 -\-4ABBG-\-4BG 2 Läßt sich nun beweisen, daß die rechte Seite dieser Gleichung ein Quadrat ist, so wird auch die linke ein Quadrat sein. In dieser Formel ist es nun zwar ganz augenscheinlich, daß die Seite rechts das Quadrat von AB-\~'2BG ist. Diophant aber fährt so fort, daß er AE=BG macht, so wird 4AB-BG= 4ABAE 4BG 2 = 4 AE also 4 Aß. BG+4BG 2 — 4 AEAB-\~AE = 4AE-EB und dazu noch AB 2 addirt giebt 8 AB-BG+BD 2 — 4 AEEB+AB 2 aber AB ist — BE — EA, folglich »ach demselben Satze, der oben schon angewandt ward, 4AE EB-\-ylB 2 — AE-\-EII 2 . Aber AE+EB ist = AB-\-VAE = AB+WG, also ist der Satz bewiesen. Da der Hauptsatz sich ganz auf den vierten Hilfssatz stützt, 473 so möge auch die etwas vcrwickcltcrc Ableitung desselben hier einen Platz finden. AN n R D L i— _ l "" IZ M X //M-4-1 T Seien von der Einheit an diese nicht mitgezählt die Zahlen AB, Gl, EZ von gleichem Unterschiede, und HT die Anzahl aller dieser Zahlen nebst der Einheit, so sagt der Satz, wenn wir die Summe der Zahlen 1, All, Gl, EZ — S setzen, $SAB— i+AB— 3 2 = [AB— i2HT— l+2] 2 Da nach dem zweiten Satze EZ — i—AB —1 I1T —1 ist, so sei AK— DL=HM— 1 ; dann ist also LZ=KBMT. Sei ferner KN— 2 so daß NB—Ali —3 wird, so suchen wir zu beweisen, daß 8 SKB+NIP = \KBHT-\- 7W+21 2 . Nun ist S=iZE+ELTH das ist ZE-\-\IIT, nach Satz 3., aber ZE+EL—ZL+'iEL, also S—\ZL' TlI-\-EL' TH, also auch, da LZ=KBMG, S—^Kli-MT- TU+EL TU. Halbiren wir MT in X, so wird S=KB- TU- TX+ TU weil EL=^ t ist fein. Wir muffen also suchen, ob KB- TH TX-\- TI1, wenn man es mit 8KB multiplicirt und NB 2 dazu addirt, ein Quadrat werde. Es giebt aber SKB-TII TX - f- 8 KB- TH-\-NB- oder iKB- TH Tm\- 8KB- TlI-\- NB 2 Von diesem Ausdrucke ist also zu zeigen, daß er ein Quadrat ist. Aber 8KB TII ist gleich kKB IlM+kKBIIT+ TM »eil ist, so ist auch eine Polvgonalzahl von der Wiukclzahl /v-2; daS heißt, die Summe irgend einer arithmetischen Reihe, die von 1 anfängt, ist eine Polvgonzahl, deren Winkclanzahl um 2 größer ist als die beständige Differenz der Reihe. Es soll mich freuen, wenn es mir gelungen ist, zu zeigen, wie auch in dieser Gattung des arithmetischen Vortrages Diophant seinen ganz eigenthümlichen Weg geht und wie er nicht bloß in der numerischen Auflösung der unbestimmten Aufgabe», sondern auch in der Behandlung solcher allgemeinen Zahlcnlchrcn alle seine uns bekannten Vorgänger bedeutend überragt. Zugleich nehmen wir aus eine geraume Zeit von diesem Schriftsteller Abschied. Wir haben jetzt gezeigt, was er an und für sich geleistet hat, und so viel es sich thun ließ, was aber leider nur sehr unvollkommen geschehen konnte, nachgewiesen, in welchem Zusammenhange das von ihm Geleistete zu seiner Vergangenheit steht. Künftig werden wir noch einmal auf ihn zurückkommen, um zu scheu, wie er auf die geistige Richtung der Folgezeit eingewirkt hat, was, wie wir schon oben berührt haben, in Europa erst sehr spät, erst gegen das Ende des sechzehnten Jahrhunderts zu geschehen anfing. Zwölftes Kapitel. Die arithmetische» Epigramme der Griechen. In DiophautuS hat sich die Algebra der Griechen zuerst in einem klaren Selbstbewußtsein entwickelt, und zugleich hat die ganze Größe der Kunst sich in diesem einzelnen Geiste conccntrirt, so daß das, was wir außerhalb Diophant von Algebra finden, nur sehr spärlich verstreute Brocken sind. Wir haben oben von den ersten Spuren algebraischer Vorstellungen, die sich bei den altern Arithmctikcrn finden, gesprochen. Nicht viel bedeutender sind die wenigen Anklänge an diese Kunst, die wir nach Diophant wahrnehmen. Es ist bis jetzt kein mathematischer Schriftsteller der Griechen auch nur dem Namen nach bekannt geworden, der die Fortbildung oder Anwendung der Diopbantischcn Lehre sich hätte angelegen sein lassen. Dagegen hat die Poesie mit ihren Schwingen das Gebiet dieser Wissenschaft mehrmals berührt. Es befindet sich nämlich in der unter dem Namen der Anthologie bekannten Sammlung kleinerer Griechischen Gedichte, von Konstantin Krcphalas und Marimus Planudes zusammengetragen, eine Anzahl sogenannter Epigramme, welche algebraische Aufgaben in das Gewand irgend einer historischen oder zierlich gestellten Räthsclfragc kleiden. Als ein Beispiel der Art haben wir schon die letzte 33ste Aufgabe des fünften Buchs bei Diophantus kennen gelernt, deren Übersetzung und Auflösung ich oben mitgetheilt habe. Vielleicht daß solche versisicirtc arithmetische Räthsel zu Diophant's Zeit bereits in der Mode waren, und er ein solches nachbildete oder veränderte, um es seiner Methode der unbestimmten Analytik anzupassen. Denn ich bin nicht geneigt, der von Dachet aufgestellten Vermuthung bcizutreten, daß Diophant nur zu einem vorgefundenen Epigramme die Auflösung gegeben habe, da die Auflösung dieses Räthsels der ganzen Gewandtheit dieses Meisters bedarf und sich so genau seinen eigenthümlichen Kunstgrif- 478 fci, anpaßt, daß es sicher mir eben seiner Auflösung zu gute aufgestellt ist; auch finden wir in der ganzen übrigen Sammlung dieser arithmetischen Epigramme kein einziges, welches sich über die Gleichungen des ersten Grades erhübe, und nur eine scheinbare Ausnahme werden wir unten kennen lernen. Bü Gelegenheit dieser Diophantischcn Aufgabe, welche, beiläufig gesagt, das erste war, was von Diophant's Werk im Original erschienen ist, indem Victa sie am Ende seiner Zetctika bereits Griechisch mittheilte, hat Bacher in seinen Commcntar fünfundvierzig solcher arithmetischer Epigramme aus dem damals noch uugcdrucktcn Palatinischcn Heidelberger Codes der Griechischen Anthologie eingerückt', welche von da in Heil- tz ronncrs Geschichte der Mathematik übergegangen sind und sich in den neuern Ausgaben der Anthologie von Brunst und Jacobs Stirn Theil verbessert wiederfinden. Ernc Auswahl aus denselben hat endlich Schulz in metrischer Übersetzung als Anhang zum fünften Buche seines DiophantuS gegeben. Bacher giebt nur ganz unbestimmt Mctrodorus als den Verfasser des größten Theils dieser Gedichte an, indem er an dem angeführten Orte sagt Unum est quod moncuni, intixiinum Iiorum cpigrammatum partem Metrodoro tribui, quibusdam vero alia noinitia esse praefixa, quaedam denique inccrtos habere authores. Die ersten vicrundzwanzig finden sich bei Brunst" ebenfalls unter der unbestimmten Überschrift UgopÄrViar xoip/.irftKai Mh]tqoömoov tu Ttlciarrx dagegen giebt er Bachct's fünfundvicrzigstcs Epigramm unter Euklide's Namens. Die Ausgabe von Jacobs bezeichnet bestimmter die Epigramme 10 — 40 als dem MetrodoruS angchörig; Bachct's erstes schreibt sie einem gewissen Eokratcs zu, ob dem berühmten Philosophen, mag da- 1 p. 349. Quoniam vero argutum epigramma, incertum an ab ipso confictum, vel ab alio quopiam mutuatum, nobis exhibuit Diopliantus, placet hoc loco clegantissima aliquot epigrammata proferre, non injucundas quaestiones de rebus arithmeticis continentia, quae nondum edita fuerunt, quaeque pridem e codice probatissimo Palatino excerpta tradidit nobis vir eruditissimus Claudius Salinasius etc. — Indeß sind tlc fünf letzten scheu vor Buchet in den ältern Ausgaben der Anthologie gedruckt worden. S. Lefsing, Zur Geschichte der Literatur Th. I. S. 421. 2 Analecta vet. poet. Gracc. T. II p. 477 sqq. 3 lind. T. I. p. 168. 479 hingestellt bleiben; die übrigen, bei Bacher 2—9 und 41—44, führen die Überschrift u v. /v = a+ios'+.v = t vs+ä* VI. - = *+* 4-sO =MG+ibg VII. ; tt-K w+uf = i°Tr+\&. Wenn wir nun zunächst die ersten drei Gleichungen, welche bloß die großen Buchstaben enthalten, betrachten, und // ", B, S durcb G ausdrücken, so erhalten wir für die Stiere folgende Resultate 2226 W B 691 1602 691 G G t, _ 1580 * ~ 891 Da aber doch offenbar in der Aufgabe nur von ganzen Stieren die Rede sein kann, so setzen wir, um für alle vier Farben ganze Zahlen zu erhalten, G gleich einem unbestimmten Vielfachen von 891, so wird IV — 2226 m B — 1602;/* S = 1580 m G — 891 m Substituiren wir diese Werthe in die vier folgende» Gleichungen, so ergeben sich daraus folgende Resultate für die Anzahl der Kübe. 485 w b s 7206360 - r , - m 465/ 4S93246 4657 3515S20 4657 m m 5439213 4657 m Nun müssen wir abermals, um auch hier ganze Werthe zu erhalten, m — 4657 n setzen, so erhalten die acht gesuchten Zahlen folgende Werthe W — 10 366 482 W = 7 206 360 Ji = 7 460 514 n h — 4 893 246 S = 7 358 060 6' 3 515 820 G = 4 149 387 u = 5 739 213 Nehmen wir hier nun die kleinsten Werthe, indem wir =1 setzen, so erhalten wir auf Sicilicn eine Gcsannntzahl von 50 389 082 Rindern. Nnn umfaßt Sicilicn gegen 500 Quadratmeilen; es kämen also im Durchschnitt auf jede Qnadratmcile mehr als 100000 Stück Hornvieh, so daß jedes Stück zu seinem jährlichen Unterhalte mir etwa 40 Quadratrnthcn Land behielte, vorausgesetzt, daß ganz Sicilicn Wiese wäre. Aber Sicilicn war auch von jeher ein ergiebiges Korn- und Wcizcnland, und dieser Umstand würde dem Rindvieh noch ein bedeutendes Terrain entziehen. Demnach ist das aus dcir in der Aufgabe gestellten Bedingnngen hervorgehende kleinste mögliche Resultat schon sehr viel zn groß, und der Verfasser hat also nicht, wie es doch ein vernünftiger Rcchenmcisicr immer thun sollte, das Resultat bedacht, bevor er die Aufgabe niederschrieb. Fassen wir diese Erscheinung zusammen mit der nicht sehr klassischen Sprache und den scheinbar poetischen, im Grunde aber nur die metrischen Linken ausfüllenden geschmacklosen Ausschmückungen, so scheinen wir zu dem Schlüsse berechtigt zu sein, daß das vorliegende Epigramm ein Erzcugniß der Zeit des gesunkenen Geschmacks und der urthcilsloscn, unüberlegten Nachahmung ist, welches sich durch den Mißbrauch der großen Namen Archjmcdes und Eratosthc- ncs Auctorität bei seinen Zeitgenossen erzwingen will. Ja vielleicht dürfte der Umstand, daß Krcphalas und Plann des, die doch nach solchen Räthseln und ähnlichen innerlich wcrthloscn Künsteleien eifrig haschten, unser Epigramm in ihre Sammlungen nicht aufgenommen haben, ein noch ungünstigeres Resultat für seine Abfassungszcit liefern und es wohl gar über das vierzehnte Jahrhundert hinausschieben. 486 Aber wir sind noch lange nicht damit fertig. Entweder der Verfasser selbst, oder, was wahrscheinlicher ist, ein späterer Leser, war mit den gewonnenen schon ganz rcspcctablcn Resultaten der Aufgabe noch nicht zufrieden, sondern fügte derselben noch zwei neue Bedingungen hinzu, welche trotz ihrer scheinbaren Anspruchlosigkeil die Rindcrzahl Sicilicns dermaßen vergrößern, daß, wenn man die ganze Erde in einen Kuhstall des Sonnengottes verwandelte, sie doch schwerlich im Stande sein würde, diese Anzahl zu fassen. Nachdem nämlich das Epigramm, wie wir gesehen haben, bereits einen vollständigen rhetorischen Schluß erhalten und ein allen bescheidenen Anforderungen vollkommen genügendes Resultat geliefert hat, hebt es noch einmal von Neuem an, und benutzt teil Umstand, daß in dem zweiten Verse dem Ausrechner Weisheit tl μεέχει οφιη zugcmuthct war, von der nachher in dem Schlußvcrsc nicht die Rede ist, welcher bloß sagt Ο νκ αϊώρ/ κε λέγοι, ού’ άξφμών αδαέ. Da sagt nun der Fortsetzet Ου μην γε οφοΓ εναοίρμιο, αλλ’ ΐρι φράξευ Καί άδε ιάνα j3otou ηελ/οιο πά^η. u. s. w. Der Anhang lautet Deutsch vollständig so Doch zu den Weisen noch zählt man dich nicht; drum komm' noch und sage Auch dies Alles mir an, was bei den Rindern sich fand. VIII. Wenn sich die weißen Stiere verbanden in sämmtlicher Anzahl Mit den blauen, sodann standen geregelt sie da Gleich an Länge und Breite; es füllte dann ihre Menge Ganz Thrinakria's Flur, ziegclgestaltig geformt. IX. Stellte» sich aber zusammen die gelben und scheckigen Stiere, Einer voran, und dazu mehrend die andern gereiht, Bildeten sie vollständig ein Dreieck; und keine von andern Farben kamen hinzu, »och auch fehlten sie dran “. 8 ouj-s XQoaovtwv. ’AMoXqo ov tchjQOV, oLr' exiXuXofievcov. Über diesen letzten müßigen Gegensatz siebe K. L. Struve S. 45. 46. Unter ähnlichen Beispielen solcher Gegensätze, von denen nur der eine Theil in den Sinn paßt, führt Struve die Worte aus Sophokles Antigone an sv. 1108 ’, ii’ öaciowe, o? •y’ovj'is, o? t dxövfsg', »geht, geht, Gesährtcn, wer hier ist und wer nicht hier ist!" 487 Findest dieses du noch, und kannst im Pisten du es fassen, Giebst du die Zahlen mit an jeder der Schaaren, o Freund, Dann geh rkilniiend als Sieger einher, dann sei du bewußt dir, Ei» fruchttragender Baum seist in der Weisheit du jetzt. Es kommen also zu dcu vorigen sieben Bcdingungcn noch folgende beiden hinzu VI1L. JV-\-B soll eine Quadratzahl, und IX. S -\~G soll eine dreieckige Zahl sein. Beide Bcdingungcn treffen für die kleinsten der oben gefundenen Werthe nicht zu. Lassen wir einstweilen die neunte unbeachtet, und fassen allein die achte ins Auge, so ist W+/i = 17 826096» Aber 17 826 996 ist ein Produkt der Factorcn 3-4-11-29-4657, unter denen 4 der einzige quadratische ist; wir müssen also, damit die Bedingung VIII- erfüllt werde, n mindestens —3-11-29-4657, das ist — 4456749 setze», und damit die acht oben gefundenen Zahlen multiplicircn. Weil es nun aber immer noch möglich ist, daß die so gefundcncir Werthe für S und G der neunten Bedingung nicht entsprechen, so müssen wir der Sicherheit wegen diesen Werthen noch einen unbestimmten quadratischen Factor p 2 geben. Somit erhalten wir nun W — 46 200 808 287 018 p 2 H — 33 249 638 308 986 S — 32 793 026 546 940 p 2 G = 18 492 776 362 863 p 2 to = 32 116 937 723 640 p 2 l> = 2f 807 969 217 254 p 2 s — 15 669 127 269 ISO g = 24 241 207 098 537 p 2 Jctzt ist allerdings IVJt eine Quadratzahl, deren Wurzel 8 913 498/- ist; aber es ist auch die Anzahl der Rinder Sicilicns dadurch, selbst wenn wir dem p den kleinsten Werth —1 geben, auf mehr als 224 Billionen angewachsen, so daß wir jetzt etwa 450 Tausend Millionen Stück auf die Quadratmcilc, oder, risum teneatis amici, beinahe 800 Stück auf jeden Quadratstlß erhalten. Und die Rinder des Sonnengottes werden überall als sehr wohl genährt geschildert! Aber der Unsinn wird noch ärger, wenn wir die neunte Bedingung hinzunehmen. Es soll nämlich auch noch S-\-G eine dreieckige Zahl, also das Achtfache, wenn man 1 dazu addirt, eine Qna- 4 88 dratzahl werden. Machen wir nun den Versuch mit den Werthen, wenn p — 1 ist, so ist S-\-G = 51 285 802 909 803, also 8 S+ G - f1 = 410 286 423 278 425 Und das soll ein Quadrat sein. Dividircn wir aber diese letzte Zahl durch den quadratischen Factor 25, so erhalten wir den Quotienten 16 411 456 931 137 welcher nicht Quadratzahl ist, weil keine Quadratzahl auf die Ziffer 7 ausgehen kann. Wir können also nicht p = l setzen, sondern muffen dafür einen andern und zwar größcrn Werth suchen, damit 8-8'-s- 6r-~l c ' n Quadrat werde. Nennen wir nun der Kürze halber die für den Werth p~ 1 gefundene Summe für S~\-G einfach A, so kommt es darauf an, für p einen ganzen Zahlcnwcrth zu finden, welcher der Gleichung 8^/^-j-1 — y 2 entspricht. Da nun glücklicherweise SA keine Quadratzahl ist, so ist die Auflösung dieser Gleichung, theoretisch betrachtet, durchaus möglich, und würde auch unter andern Umständen ohne eben große Schwierigkeit zu bewerkstelligen sein; sie wird aber in dem vorliegenden Falle unausführbar wegen der enormen Größe des Cocffi- cicntcn SA, dessen Quadratwurzel man in einen Kcttcnbruch verwandeln soll. Darum wird wohl, wenn nicht einmal Jemand durch Zufall auf einen passenden Werth von p gereich, die letzte neunte Bedingung des vorliegenden Problems noch einige Zeit unerfüllt bleiben, zumal die Löfimg derselben durchaus kein wissenschaftliches Interesse hat. Soviel nur laßt sich leicht einsehen, daß der kleinste ganze Werth für p sehr groß werden wird. Lessing hat ein in seinem Coder befindliches Scholion zn diesem sogenannten Epigramme mit abdrucken lassen, welches, ohne auf die Art der Ausrechnung und Behandlung der Aufgabe einzugehen, acht Zahlen für die acht unbekannten Größen angiebt. Diese Zahlen des Scholiastcn entsprechen vollkommen den ersten sieben Bedingungen der Aufgabe, und wir würden sie erhalten, wenn wir oben n ~ SO setzten. Seine Versicherung aber, daß durch diese Zahlen auch die achte und neunte Bedingung erledigt werde, ist unwahr; denn die Zahlen passen zu keiner von beiden Bedingungen. 489 Wenn indeß das Stuck der Aufgabe, welches die beiden letzten Forderungen ansspricht, sich schon aus formellen Rücksichten, die ich eben berührt habe, als ein spater hinzugefügter Anhang kund giebt, so wird dieser Verdacht noch bedeutend unterstützt, wenn wir' folgende Puncte bedenken. Erstens ist es auffallend, daß in diesem Theile der Aufgabe die Kühe ganz unberücksichtigt und mir die Stiere Gegenstand der Rechnung bleiben. Zweitens beweist die unvernünftige Größe der Zahlen, welche allein schon aus der achten Bedingung hervorgehen, daß Derjenige, der diese und die folgende Bedingung hinzufügte, gar nicht mehr an die bildliche Einkleidung der Aufgabe, das heißt, an SicilicnS Hornvieh gedacht hat. Es ist ihm ohne alle Rücksichten auf Wahrscheinlichkeit und Möglichkeit bloß darum zu thun, die Rechnung mit neuen Schwierigkeiten zu belasten, die er freilich, wie wir mit der größten Sicherheit behaupten können, selbst nicht gelöst hat. Es scheint in der That, als wenn irgend ein fader Wortklauber sich an dem Ausdrucke οφίη im zweiten Verse gestoßen, und bloß darum noch auf gutes Glück hin zwei Fordciimgen hinzugefügt habe, um auch diese α-ηφ/η dem Ausrcchncr zusprechen zu können. Was nun aber aus dem Resultat werde, und ob es überhaupt noch möglich sei, ein solches zu finden, nach solchen Nebensachen fragte der φιλλογο nicht, war auch wahrscheinlich nicht im Stande, das einzusehen. Drittens aber verrath ein offenbarer Unsinn in den Worten des Anhangs, daß wir es hier mit einem Menschen zu thun haben, der sich um keinen Zusammenhang kümmerte, und dem es bloß galt, ein Paar regelrechte Verse anzuschmieden. Es heißt, wenn die weißen und blauen Stiere sich in ein Quadrat zusammenstellen, so füllen sie die ganze dreieckige, ziegclförmigc Insel. Das Original nämlich lautet Άογψχε ravoot μεν εχει μιξαίαο ? πλφνί' Κνανεοι ΐανζ εμ-πεδον Ιμεοι Ει βάρο ει εύρο ε ά ’αυ πκργίήκεα Λανη Πιμπλίχνο πλινρου Θοιναχ/η -χεδ'κχ. Abgesehen davon, daß hier die Hauptbedingung, daß nämlicb eine Quadratzahl werden soll, ziemlich undeutlich ailsgc- 490 drückt ist und fast errathen werden muß, lassen sich folgende Fragen billig aufwcrfcn. Erstens, wie kann die Insel Thrinakria Thri- nakia, Trinakia, und am genauesten Trinakria, mit drei Vorgebirgen, die dreieckige, zicgclförmig sein? Aber hier ist vielleicht, wie K. L. Struve annimmt 9 , eine falsche Lcscart cinge- drllngcn und statt •xXlvftov irgend etwas anderes zu lesen. Wie kann aber, fragen wir zweitens, das ziemlich dreieckige Sicilicn von einer quadratförmig aufgestellten Rindcrhccrdc ganz bedeckt werden? Wie kann man, wenn wir die Sache rein geometrisch betrachten, in ein Dreieck ein Quadrat beschreiben, welches den ganzen Flächcn- raum jenes einnimmt? Drittens aber, wenn die weißen und blauen Stiere die ganze Insel anfüllen, wo bleiben dann die scheckigen und gelben Stiere und sämmtliche Kühe? Offenbar hat den alten Knasterbart, wie I. Struve ihn nennt, Gedankenlosigkeit und schaler Wortprnnk zu dem vollendetesten Unsinn hingerissen, abgesehen davon, daß er nicht verstanden hat, was er schrieb, und nicht gewußt hat, daß die Erfüllung der ohne Verstand von ihm angc- ssicktcn Bedingungen, wenn sie auch vernünftig ausgesprochen worden wären, mit unüberwindlichen Schwierigkeiten zu kämpfen habe. Da also die verschiedenen Bedingungen, welche die Auflösung dieses Problems erschweren und welche demselben einen Platz unter den Diophantischcn Aufgaben zu beanspruchen scheinen, kcincSwcgcs von dem Verfasser aus Überlegung und Sachkcnntniß zusammengestellt, sondern völlig ins Blaue hinein zusammengewürfelt sind, so wird dadurch diese Erscheinung, die unter andern Umständen höchst interessant hätte sein können, für die Geschichte der Algebra ganz werthlos; ihr Inhalt berechtigt durchaus zu gar keinem Schlüsse in Betreff des Zustandes der Wissenschaft, oder höchstens zu dem snb- jcctiv sehr ungünstigen, daß der Verfasser, wenigstens des Anhangs, es in der Algebra nicht sehr weit gebracht haben könne. Jacobs hat dieses Epigramm in seine Ausgabe der Anthologie aus unbekannten Gründen nicht aufgenommen. Sicher aber könnte ein künftiger Herausgeber dasselbe an der oben bezeichneten Stelle abbrechen, oder wenigstens den Anhang als unecht bcmcrklich machen, wenn wir nämlich unter unecht hier soviel verstehen, daß dieser Anhang von einem andern Verfasser herrührt als der erste 9 S. feine Note n. S. 42. 43. 491 Theil des Gedichts. In andern, Sinne konnte man das ganze Gedicht unecht nennen, den» aus Archimedes Zeitalter rührt auch der erste Theil nicht her. Schwerlich würde Archimedes die einfache Aufgabe, wie der erste Theil sie stellt, für würdig gehalten haben, sie den Alerandrinischcn Gelehrten zur Auflösung zuzuschicken; an , c ii 1c Betrachtung der dreieckigen Zahlen ist aber in jener Zeit wohl noch nicht zu denken; wenigstens haben wir dafür kein anderes vollwichtigeres Zeugniß. * Zusätze und Berichtigungen. Zu S. 3. Note 7. Worte Moucigc's, AI Proclus in IV. primi Euclidis testatur, beißen nicht, wie ich eins Übereilung niedergeschrieben habe, Protlus sage das im vierten Buche seines Kommentars über Euklid's erstes Buch, sondern offenbar Proklus in seinem Commentar zum vierten Satze des ersten Buchs der Elemente. Aber auch so ist das Citat falsch und was ich weiter darüber gesagt habe, hat in voller Kraft feine Nichtigkeit. Die Stellen, in welchen Cudemus von Proklus citirt wird, sind folgende Ad Des. VIII. Lib. II. pag. 35. Ευδι?μο μεν 6 &εμαίαηιχο βιβλίον ycoviag ^άψα, ποιηα αύην είναι, υν- εχ^ηΰεν. Ad Prop. XV, Lib. III. pag. 79. ούο οίννν ^ε^ aa δει, ν,ν i ι δυο άλληλα μνουν al καά κορυφήν νίαι ierat ιΐίν' ε-υρημενον μεν, tpijcriv Ευδ'ημο, υπ Γ^αλο-υ XQCOTOU. Ad Prop. XXIII. Lib. III. ρ. 87. ΙΊβλ^μα fo-uTo ΟίνοΛιδου μεν εΰ^μα μάλλον, φηιν Έ,υδημο. Barocius Problema hoc quoque est, quod Oenopidis quidem potius qwawi EllClulte inventum lucrum est, ut ait Eudemus. Ad Prop. XXVI. Lib. IH. p. 92. Εχίδ^μο δε lv α~ /εμε- Tqlk α~ IffToq'atq ει θαλην οοο avcta ctav/oc tcrotfxs^ovs cu Tktzö? ßacr£i lyoviai iiyat tfftVj etc. Zu S. 7. Note 14. Außer dem Slnfangc des fünften Buchs sind noch folgende einzelne Abschnitte von Pappus Werke im Original gedruckt worden t L,ib. IV. prop. 25 — 29, über die Lnadrarcir des Dinostratus, mit lateinischer Übersetzung in Jos. Torelli Veronensis geometrica. Veronae, 1769. Svo. pag. 89 —104. 2. Ein Stück der Vorrede dcS siebenten Buchs, der Anfang und die Euklid' Data betreffende Stelle, in der Vorrede von Euclidis quae supersunt omnia gr. et lat. Ex rec. D. Gregarii. Oxon. 1703. fol. 3. Die ganze Vorrede und dic ersten einundzwanzig Satze des stcbcntcn Buchs, des Apollonius sectio rationis und sectio spatii betreffend in Apollonii Pergaei de sect. rationis libri duo ex arab. ms. lat. versi. Acc. ejusd. de sect. spatii libri duo restituti. Praemitt. Pappi Alex, praes, ad VII. collect. matli. nunc, primum araece edita, c. lenimnt. Pappi ad bos Apollonii libros. Op. et st. Edm. HaUey. Oxon. 1706. Svo. 4. Die folgenden Satze, 22 — 64, desselben Buchs, die sectio determinata betreffend, in Apollonius Balamts auct. JViUehrodt Snellii, seit resusci- tata Apollonii geometria nsq' Sioqictiivriq s. de sect. deteri». Lugd. Bat. 1608. 4to. 5. Die Sätze 96—118. desselben Buchs über Apollonius Schrift de tactionibus, in Apollonii Pergaei de tactionibus quae supersunt, ac max. lemmata Pappi in hos libros, nunc prim. ed. a J. IV. Camerer. Gotha, 1795. Svo. 6. Die gemmata zu Apollonius Kegelschnitten, lib. VII. prop. 165—234, in Apollonii Pergaei conicorum libri IV. priores cum Pappi Alex, lemmatibus et Eutocii Ascal. Comment, ed. Edm. IhMejus. Oxon. 1710. fol. 7. Einige andere gemmata des siebenten Buchs sollen sich befinden in M. Meihomii de proportionibus dialogus. Hafniac, 1655. fol. pag. 154 sqq. Vergl. Reimer in Boffut Gesch. d. Mach. Bd. 1. S. 389. 390. Schäll, Gesch. d. griech. Literatur, Bd. 2. S- 235 flg. Bd. 3. S. 336. Zu S. 24. Ich habe Gelegenheit gehabt, wahrend des Drucks das Werk von H ollen - berg, freilich nur flüchtig, anzusehen. Die kleine Schrift führt den Namen des Verfasser, den ich oben aus Rogg's Handbuch der mach. Literatur entnommen 494 hatte, nicht auf dem Titel; ihren Inhalt bildet ein numerirtes, alphabetisch geordnetes Verzeichniß von Mathematikern, über welche einige oberflächliche, nicht sehr beträchtliche Nachrichten ertheilt werden, die sich auf fremde ungenannte Auetori- täten stützen. Das Werk ist also ohne wissenschaftliche Bedeutung. Zu S. 51. Note 28. Die in dieser Note gemachte Bemerkung kann ich, da ich inzwischen in den Besitz von Rosen's Ausgabe der Algebra von Mohammed ben Musa gekommen bin, jetzt dahin bestimmen, daß die Leseart sich wirklich in Rosen's Tert befindet, also schon da Druckfehler ist; aus Rosen's Übersetzung geht indeß nicht deutlich hervor, ob er »der q*J**^ gelesen Habe; er übersetzt nämlich die Stelle so Tliis scicncc has therefore been called by tbe uame of these two rules, namely tbe rule of jebr or restoration, and of mo- kühaluh or reduction, on account of tbe frcqucnt asc that is made of tlicm. Ungenau ist hier in der Übersetzung die Trennung der Worte jebr und mokübolali; nur die Verbindung beider Namen, aljebr v’almokäbalab, ist der Name der Wissenschaft, nicht der eine und der andere. Zu S. 73. Beachtenswerth ist ein Beispiel eines Hebräischen Zahlenausdrucks, in welchem sich ohne allen Zweifel ein StellenwertH der Ziffern findet. Es heißt nämlich in der MasoraH hinter dem Pentateuch „die Anzahl der Verse im ganzen Gesetz ist fünftausend achthundert fünf und vierzig," und nun heißt es in der gewöhnlichen Weise sp’va ovaa» nw nonn w wo die Buchstabe» des gesperrt gedruckten Wortes 1N2N71, wenn man ihreZah- lenwerthe addirt, jene Zahl geben sollen. Nun ist aber als Zahl 5, P1=S, JQ = 40; daß das erste N nicht fünf, sondern fünftausend bedeutet, ist nach dem oben Gesagten ganz in der Ordnung; aber auch der zweite Buchstabe, H, kann nicht acht, sondern muß achthundert gelten; es ist also hier die Theorie, vermöge welcher die Tausender wieder durch die Einheitszeichen ausgedrückt werden, noch einen Schritt weiter, nämlich auf die Hunderter ausgedehnt, ein Fortschritt, den die Griechen nicht gemacht haben. In der Zahl HOnn ist nur noch übrig, für 2 den Buchstaben 1 zu substituiren, um eine ganz in unserm heutigen Po- sitionssvstem ausgedruckte Zahl zu erhalten. Zu S. 94. Z. 6 flg. Was ich über die Ausgaben des Boethius gesagt habe, ist dabin zu berichtigen, daß die Gesammtausgabe von Boethius Werken Venedig 1492, welche ich während des Druckes zu Gesichte bekommen Habe, die zu der fraglichen Stelle gehörige Figur gar nicht enthält, sondern nur einen leeren Platz, in welchen dieselbe wahrscheinlich später hat eingedruckt werden sollen. Vergl. 6oom. lih. I. fol. 215. Die Tertesworte sind durch Druckfehler und einige bedeutende Auslassungen ent- 495 stellt. — S. 93. Z. 6. 7. ist das ^punelum hinter cn^novoruut zu streichen, und die Worie .,!> podteriarihus ;tjptlJabatur abacus” in Parenthese ZU setze». 3n S. 102. Nott 61. pr die wahre Bedeutung des Worts Ziffer, der zufolge es nur die Null bezeichnet, kann ich noch eine Auclorilat beibringen, nämlich das Zeugniß eines Jüdischen Matbtiualikers, Eliah bcn Abraham Migrachi, dessen Arith- inekik im Jahre 1533 zu Konstantiiiopel unter folgendem Titel herauSgetom- mcn ist ^mion m b x Tina 'ibxn naniS iaoon iao jxoSiff Tixm Vrun iarw rvip ms?i; OTitr ni?3 ixtruni fnn arv j x a > Sn? ; n^D3 \ -i xd tiYn u ^ rüt?3.... 'oaSah Hier heißt es Fol. X3, nachdem der Verfasser über die nenn ersten Ziffer» und ihren Gebrauch gesprochen bat, also vba in un bibz maia XHL? nwi fa^on obixi i^a im wm »Si'j tvV p^3 xipji SSa maa mio 15?» X13 *> O ^OL"> p5?l31' pXI IV Ö31I?S3 111' IL'X itp ii?» p 1» p' pp^av nvnn hv mit?^ D"j hv p»i Sy p es „ Was aber das zehnte Zeichen anlangt, welches die Gestalt eines Kreise bat, so bezeichnet dieses im Allgemeinen keine Große; es heißt in der fremden Spanischen? Sprache Rulla, und dieses bedeutet daselbst soviel wie Nicht; in der Arabischen Sprache heißt es Siphra, welches ebenfalls Mangel Abwe scnbcit bedeutet; in der Griechischen Sprache heißt es Uden, und auch dieses heißt Nichts." Bemerkenswerth ist, daß der Verfasser, wahrend er ganz richtig nulla und üüötv durch das einfache Wort px, Nichts, ausdrückt, den Arabischen Ausdruck siphra wiedergiebt durch 11J71 Inf. Njpli., das Fehlen, der Mangel ebenfalls ganz angemessen der Arabischen Bedeutung des Worts, dessen Stamm vcrbum, wie wir oben gesehen haben, leer sein bedeutet. Es laßt sich kaum bc zweifeln, daß der gelehrte, in Konstantinopcl lebende Jude Arabisch verstanden und Arabische Mathematiker gekannt habe, und factisch spricht für diese Vermuthung, daß er manche Kunstausdrückc aus dem Arabischen entlehnt, z. B. X0131 auch ,10131 geschrieben, Arab. Geometrie; 3p1JJQ, Ku- h'kzabl, unhebraisch und wahrscheinlich transponirt das Arab. 101, Hipli. v. 103, multlpliciren, übersetzt aus dem Arab. ^jo f welches so wie 1131 schlagen bedeutet, während ungenauere Schriftsteller für multiplicircn 496 tcn Ausdruck b22, verdoppeln, gebrauchen, und andere mehr. Indeß sind Griechische Mathematiker seine Hauptquelle gewesen; er eitirt unzahligcmal Eukli- dcS Lkl^^pX ganz in der Arabischen Form ^, nur einmal, fol. 'V'XD, 2’XTSpX geschrieben, und mehrmals die Arithmetik von Nikoma- chus Gerasenus, z. 23. fol. 21 und [J^piBDniXI 1222 21221p'2 1 7], ebenso yn und X' 2 ; öfters cilirt er die Arithmetik, worunter aber immer Nikomachus zu verstehen ist, z. B. X P ' 2 2 11 XI 1202 2215yX11 11111212112221L7121X1 211X1 \12p X11H7 12X21 {2 112212 „Die Alten haben in dem Buche Arithmetik ungenau die Zahl so dcfinirt, daß sie eine Summe von Einheiten sei." Bei Rikom. 1. 7. fiovdöcov avc^fia,, ähnlich fol. □ I. Ebenso zeigt er mehrmals, daß er Griechisch versteht s. fol. fcf' 3 , >f'*, 3'T, 1'*. Unter diesen Umständen mag es ein verdächtiges Licht auf seine Auctori- tät in Betreff des Worts siplira werfen, daß er von diesem Worte den bei Griechischen Wörtern im Svrischen gebräuchlichen Pluralis auf — as bildet; es findet sich nämlich 1212^2 fo1 2'5 und oft, und ^^ 12^2 f»l. 11 und oft. Indeß ist diese grammatische Form wohl kein entscheidender Grund, der uns zu der Annahme bestimmen könnte, daß der Verfasser das Wort siphra nur aus Griechischen Schriftstellern, etwa aus Mazimus Planudes, kennen gelernt habe. Zu S. 114. 115. Ähnliche Bcrbindungen zweier Brüche kommen bei Diophant öfter vor, ln welchen der zweite Bruch nicht Theile der Einheit, sondern Theile des vorhergehenden Nenners anzeigt. So bedeutet, um nur ein Beispiel anzuführen, in der Ausgabe II, 36. der Ausdruck ,>- *a' ij/ucr-u nicht V+j/ sondern y + is Ein Ausdruck der Art ist als eine Ellipse zu betrachten, indem hinter dem zweiten Bruche noch einmal die vorige Benennung wiederholt werden sollte, hier also va\ %iu c^* C-v^ lJ ^,1^' ji fjr? i3 4 ^ f lNJ-ü „Man zieht von dem Kubus des Durch-nicsscrs ein Siebentel „nd die Hälfte eines Siebentels, danii aber von dem Reste zwei Siebentel und ein Drittel eines Siebentels des Restes ab; den» zwei Siebentel und ein Drittel eines Siebentels bes Restes sind gleich eitlem Drittel des Restes." Danach würde i* = H —& = %$', also * = y. Die hier gebrauchten Brüche wäre» ebenso zu schreiben, wie ich es i i oi S. 115. mit der Diophantischcn gethan habe, y, y. Zum sechsten Kapitel S. 245. Ich hatte, als ich dieses Kapitel niederschrieb, keine Ausgabe der Griechischen Anthologie bei der Hand, weshalb das, was ich dort über die in der Anthologie sich -findenden Erwähnungen Dlophanl's gesagt habe, einiger Erweiterungen und Berichtigungen bedarf. Diophant's Name wird überhaupt in sechs Epigramme» genannt; einnial in dem oben mitgetheilten arithmetischen Epigramme des Metrodvrus, in welchem ohne Zweifel unser Arithmetiker gemeint ist. Als Datum zur Bestimmung von Diophant's Lebensalter ist indeß dieses Argument wenig brauchbar, weil wir über Mctrodorus noch weniger wissen, als über Diophant; und wir können daher über diese Erwähnung unsers Auctors nicht mehr sagen, als Brunck T. III. p. 229. 239. Si de auctore liujus cpi^rummatis constaret, ct comper- tum esset Metrodori esse Scepsii, Dioplianti Alexandrini, de quo liic agitur, actas accuratius dcfliiiri posset. Bon den fünf übrigen Epigrammen, welche den Rainen DiophanlUs nennen, werden in der Ausgabe von Jacobs, Abschnitt XI. Su/iioiwot, »*on toi drei, nämlich Nr. 103. 245. 257. einem gewissen Lukillus, die beiden andern Nr. 111.. und 114., einem gewissen Nikarchus zugeschrieben; in der Ausgabe von Brunck dagegen werden vier derselben dem Ersteren, der hier übrigens Lu- killins heißt, zugetheilt T. II. p. 324 sqq. No. 37. 4l. 62. 113., während das fünfte, bei Jacobs Nr. 111. als anonym, dStexoiov bezeichnet wird T. III, p. 172.. In allen sünfrn ist aber ganz sicher nicht bvn dem großen Arithmeli- ker die Rede; vielmehr ist der Gegenstand derselben ein winziger Astrolog oder Astronom dieses Namens, der mit ausgclaffcncni Muchwiltcn lächerlich gemacht wird, eine Situation, die wir mit dem hohen Genie des Aritlnnetikers schwerlich ideniificircn könne». Schulz hat in der Vorrede seiner Übersetzung des Diophan- tus vier von diesen Epigrammen deutsch mitgetheilt, die ich mir hier abzuschreiben erlaube. I, Alts Atomen bestehe die Welt, so lehrt' Epituriis, Kleineres meinte er wobt, qäb es o Alkimos nicht, ,V2 I. 498 Aus Diophanlen hall' er gesagt, bstfern Diophantus Mil ihm lebte, bet viel kleiner ist als ein Atom. Ober auch so aus Atomen besteht bas übrige Weltall, Aus Diophanten besteht wieberum jedes Atom. Bon Lukillus, Jacobs Nr. 103. II. Als Diophantus bet Winzige sich zu erhängen beschlossen, Nahm er ein Spinnegeweb' sehniirte bie Kehle sich zu. Bon NikarchuS, Jac. Nr. 111. III. Als Diophantus ben Arzt Hermogenes neulich im Traum sah, Schützt' ihn kein Amulet, schlafenb empfing er ben Tob. Bon Lukillus, Jac. Nr. 257. IV. Zu Hermogenes sprach bem Arzt Diophantus bet Sternwart, Nur neun Monden noch sei er zu leben bestimmt. Lachend erwiederte der was doch neun Monden besagen, Grüble du aus, ich selbst gebe dir kurzen Bescheid. Sprach's und berührt' ihn blos mit der Hand, und seht, — Diophantus, Während er Andere schreckt, zappelte selber sich todt. Bon Nikarchus, Jac. Nr. 114. Das fünfte der angeführten Epigramme ist weniger interessant, weshalb auch wahrscheinlich Schulz es nicht übersetzt hat. Sicher ist bei diesen lächerliche» Hyperbeln nicht an den würdigen Arithmeliker zu denken, und fast mochte ich annehmen, daß Dioohamus hier ein bloß angenommener Name sei, an den ein einmal bestimmter Begriff angeknüpft wird, etwa wie Hang in einer großen Anzahl von Epigrammen Wahls lange Nase persiflirt. Schon allein der Umstand, daß Diophant hier auf drei ganz verschiedene Weisen ums Leben kommt, ist hinreichend, an jeder historischen Grundlage zweifeln zu lassen. Es bleibt übrigens der Ansicht eines Jeden anheimgestellt, in wieweit er den hier erwähnten Astronomen mit dem von Hypalia eommenlirten combiniren will. Sind nun diese Epigramme auch nicht, wie Buchet glaubte, als Zeugen für das Zeitalter unsers Diophantus zu gebrauchen, so könne» wir doch eine nützliche Bemerkung daraus entnehmen, die nämlich, daß sowohl in dem Epigramme von Melrodoru, als in denen von Lukillus und Nikarchus der Name durchweg Aio- yavfoi, nicht Aiocpav^s geschrieben wird; und ebenso lautet der Name bei Tbeon Alerandrinus s. . ward. - 137 - 10 v. u. l. totiilcmSexagcnas. - 150 - 8 v. v. I. spatere. - - -12 - - - in rationalen Zahlen. - 159 Satz 31. Jede Primzabl u. s. w. O» q qn — i 1 * 164 b. u. 1 2» -166 - 1 - - - öuvtxTiXL. S. 169 v. o. find dicWertbe von CE und EU vertauscht. - 171 - 3 v. o. ist bloß zu streifen. - 185 - 16 - - l. .Lj. o - 197 - 7 - - - also st. als. - 208 - 15 - - - n- j-1 n. - 218 t 18 v. u. I. geschrieben habe, - 223 - 5 v. u. l. an und für sich. - 228 - v. o. l. 6» st. hn viermal. - - - 19 v. o. l. tl st. ix. - 231 - 23 - - - compcndiosc. - 234 - 2 v. u. l. aber st. oder. - 235 - 17 v. o. ist der wegzustreichen. - 239 - 9 - - l. Zebu st. Zal'l. - 246 - 20 - - - oV, uöeXqchi,-. Ebenso 8 21 . . - 252 - 2 v. u. l. kowvco?. - 255 - 7 - - - Maöswxriiv. s - - 1 - - - Ti° 6d. - 336 - 10 v. o. l. der st. die. - 338 - 11 - - - crballcn. - 341 - 20 - - - y,= fi. I. € 3 9 ' ' ί λ-1 ft. ter fillflt ν — 1. • 35S - 1 p. ii. I. tiefet st. tiefen. - 365 - 3 - - - £.iiatrnt st. Qua 3b7 - 1 v. c. . mir st. nun. - - - - - wie Diophant besonders. 368 - 11 r. e. I. III. st. II. 369 - 6 - - - nur st. »un. - 370 - 3 v. u..l. Zwei solcheLuatrak- zahlen. - 373 - 10 r. u. I. in st, er. - 374 ' 16 r s ist größer einmal zu streichen. • 380 - 6 t'. ii. I. l\.T st. X,;r s . 384 . - - - = 2 . - 38b - 12 - - - 3 - 7 v. d. 1. Quadrate st. Ausdrücke. - 413 - 18 v. o. I. 8 st. 9. - 420 - 14 v. ii. I. m l nbc = - 428 - 7 v. o. I. 1. S. 435 A. b v. ii. I. zwei Quatratzahlen. - 439 - 10 - - - inollu. - - - 14 v. o. I. Potenzen ist immer durch die Differenz ter Wurzeln theil- bar. fs bleibt hier noch übrig, tieDibision wirtlich auszuführen. Darum kann man benfelben Satz auch als Aufgabe stellen Man soll die Differenz zweier gleichnamigen Potenzen burch u. f. w. - 444 - 12 p. u. I. 4 .ϊ 5 Ί"4λ4-6. - 448 - 9 - - - -lix/. - 449 - 12 l'. o. l. r st. p. - 450 - 18 - - - ergeben. - 453 - 10 v. u. l. hatte. - 455 - 10 v. o. l. bätle. - 461 - 6 - - - χάΧιν εχαίεο - 472 - 10 v. u. I. — ΜΕ*. - 477 - 14 - - - Kephalas. - - - >1 - - - ober sonst zierlich. - 485 - 11 - - - Lüeken. - - - 5 - - - Kephalas. - 495 - 7 p. o. I. Mlzrachi. wrr»r WKM LML tam iSt» LME WWW ?*V Ii -*=.' ;5s“ ilfe'; pgp *
Tafacade et ta fierté seront ravalées. [Alpha Wann:] Tu veux faire comme Phaal, tu veux faire comme Nek, tu veux t'faire connaître. Mais t'es plus l'même quand tu t'fais r'connaître, du coup, c'est plus toi qu'est connu, c'est un autre. Don Dada, Seine Zoo : lié comme un nœud, j'étais un vrai, j'avais même pas un an.
03 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Diabi 03 Auteur Alpha Wann - Kaaris - Infinit' / Compositeurs JayJay - Lamaonthebeat 06 Compositeurs Noir - Alpha Wann - Hologram Lo' 11 Auteur Alpha Wann - Nekfeu / Compositeurs Richie Beats - Platinumwav 08 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Diabi 12 Auteur Alpha Wann - Deen Burbigo - Infinit' / Compositeurs Monomite 04 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Thomas Vernet 13 Auteur Alpha Wann - Kalash Criminel / Compositeurs JayJay - Yebū 03 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 04 Compositeurs Alpha Wann - Nekfeu - SHABZ - Rhodes 04 Auteur Alpha Wann - Freeze Corleone / Compositeurs JayJay - Lamaonthebeat - Flem - Congo Bill - 05 Auteur Noir - Alpha Wann - Sneazzy / Compositeurs Biggie Jo 06 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Diabi 19 Auteur Nekfeu - Alpha Wann / Compositeurs Loubensky - Diabi 16 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 01 Auteur 1995 / Compositeurs Juliano / Autres contributeurs 01 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' - VM The Don 07 Auteur Alpha Wann / Compositeurs JAY JAY 12 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' - VM The Don 02 Auteur Alpha Wann / Compositeurs JayJay - Lamaonthebeat 03 Auteur Nemir - Alpha Wann - Mourad Arhouri / Compositeurs En'zoo 07 Auteur Alpha Wann - Sneazzy / Compositeurs VM The Don 10 Compositeurs Dioscures 04 Auteur Alpha Wann / Compositeurs VM The Don 09 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 08 Auteur Nekfeu - Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 10 Auteur Alpha Wann / Compositeurs VM The Don 05 Auteur Alpha Wann - Infinit' / Compositeurs VM The Don 14 Auteur Alpha Wann - Doums / Compositeurs Seezy 02 Auteur Alpha Wann / Compositeurs JayJay 17 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 06 Compositeurs Fordstems 01 Auteur Infinit' / Compositeurs JayJay - LamaOnTheBeat 02 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hugo Fornacciari 01 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 01 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo' 13 Auteur Alpha Wann / Compositeurs JayJay - Lamaonthebeat 03 Auteur Alpha Wann - KSA / Compositeurs JAY JAY 05 Compositeurs Alpha Wann - Thomas Vernet 05 Auteur Alpha Wann / Compositeurs Hologram Lo'

Finalement heureusement que des mecs comme Infinit’ou Alpha Wann continuent à le faire très bien. Sur bien des aspects, Alpha Wann est de loin le meilleur de France dans ce domaine. C’est

Alpha Wann, Nekfeu Watch New Singing Lesson Videos Can Make Anyone A Great Singer À deux pas de là Mmmh, à deux pas de là À deux pas de là Yeah à deux pas de là À deux pas de là Aah J'suis un mélange de principes et d'actions Je ressemble à ma ville Rare que j'passe une journée sans précipitation Au bord du précipice, je n'ressens pas le vide Le sourire crispé, la mauvaise parole s'propage, les écrits s'perdent On roule dans une Chrysler, grise neuve Ça parle rap, biz', entreprise, crise, meurtre Tu l'sais déjà ce soir, les filles elles sont terribles On traverse la ville et son périph' Ouais, la vie et son périple Atmosphère saturée de pollution Qui peut renouveler l'air Malgré la peur on ouvre les lèvres J'ai le souvenir d'un rappeur d'une nouvelle ère Le crime à deux pas Loin du climat de peur Il écrivait de tête, criblé de balles Parce qu'il était criblé de dettes Son corps sur un vieux matelas La vie et son périple L'ironie de Paname Ouais, la ville et son périph' Alors qu'à deux pas d'là À Porte Dauphine On envoie du jeu aux filles Envoie leur profil J'te l'dis d'office Ce soir y'a beaucoup d'idiotes Swag, Fendi, Gucci, Dior Faut qu'elles se méfient des loups qui dorment Faut qu'elles se méfient des loups qui dorment Sous leurs griffes des los-ki d'or C'est l'heure Soit généreux, pas comme tous ces salauds qui donnent les leurs Regarde un peu ce que tu deviens T'es ingrat, tu bicraves ton âme au diable dans un pochon de 21 grammes On pleure ceux dans l'au-delà Mais les morts ne versent pas de larmes J'ai vu le lâche les bras tendus par le poids de l'âme Soirée arrosée dans Paname et à deux pas de là À deux pas de là, tu es à deux pas de là On pleure ceux dans l'au-delà Mais les morts ne versent pas de larmes J'ai vu le lâche, les mains tendues par le poids de l'arme Soirée arrosée dans Paname et à deux pas de là À deux pas de là, tu es à deux pas de là Ah, quand est-c'qu'on assume, hein? J'ai vu autant d'humanité chez les animaux Que d'animosité chez les humains Autour du matelas on attend l'docteur Pendant qu'des hommes naissent, d'autres meurent Ah, quand est-c'qu'on assume, hein? J'ai vu autant d'humanité chez les animaux Que d'animosité chez les humains Autour du matelas on attend l'docteur, à deux pas de là Des hommes naissent et d'autres meurent Sur le périphérique à fond, on fait ça comme dans les films On s'arrête dans une station, on slalome entre les files J'pense encore à cette belle femelle J'reçois un SMS du tieks un jeune est décédé cette semaine Pourquoi ils n'ont pas d'parapluie quand il pleut des balles? Par respect pour sa famille, j'donnerai pas plus de détails Ah, quand est-c'qu'on assume, hein? J'ai vu autant d'humanité chez les animaux Que d'animosité chez les humains Il faut qu'on s'serre les coudes Comme dans mon rêve où les renois Niquent les statistiques et redressent les courbes Niquent les statistiques et redressent les courbes Flingue et feu! On pleure ceux dans l'au-delà Mais les morts ne versent pas de larmes J'ai vu le lâche les bras tendus par le poids de l'âme Soirée arrosée dans Paname et à deux pas de là À deux pas de là, tu es à deux pas de là On pleure ceux dans l'au-delà Mais les morts ne versent pas de larmes J'ai vu le lâche les mains tendues par le poids de l'âme Soirée arrosée dans Paname et à deux pas de là À deux pas de là, tu es à deux pas de là Ah, quand est-c'qu'on assume, hein? J'ai vu autant d'humanité chez les animaux Que d'animosité chez les humains Autour du matelas on attend l'docteur Pendant qu'des hommes naissent, d'autres meurent Ah, quand est-c'qu'on assume, hein? J'ai vu autant d'humanité chez les animaux Que d'animosité chez les humains Autour du matelas on attend l'docteur À deux pas de là, des hommes naissent et d'autres meurent Become A Better Singer In Only 30 Days, With Easy Video Lessons! Written by Alpha Wann, Ken Samaras, Steve-Lilian Rapon Lyrics © BMG Rights Management Lyrics Licensed & Provided by LyricFind Citation Use the citation below to add these lyrics to your bibliography Missing lyrics by Alpha Wann? Know any other songs by Alpha Wann? Don't keep it to yourself! Watch the song video A Deux Pas Browse Quiz Are you a music master? » Spotlights, sirens, rifles firin' But he made it out With a _____________. A. black eye B. gang of convicts C. shank in his side D. bullet in his back Alphawann - A deux pas Overige artiesten: Nekfeu. À deux pas de là Mmmh, à deux pas de là À deux pas de là Yeah à deux pas de là À deux pas de là Aah J'suis un mélange de principes et Publié le vendredi 25 mars 2022 à 12h02 Voici une liste des meilleurs morceaux rap avec changement d'instru, de ces dernières années. De plus en plus populaires, les morceaux à changement d'intrus sont désormais nombreux dans le paysage du rap français. Dernier exemple en date, le featuring entre Disiz et Damso qui nous a donné l'idée de faire une mini sélection de nos meilleures titres à changement de prod, des dernières années. Damso - Mosaïque solitaireOn ne pouvait pas commencer ce classement sans mentionner ce titre. Pas moins de trois changements d'instrus sur ce titre issu du deuxième album studio de Damso, Ipséité, sorti en 2017. Composé par Boumidjal et 2K et masterisé par le grand ce dernier se décompose en trois temps, tant dans la prod que dans les thèmes abordés. On note ainsi une première partie focalisée sur l'isolement de Dems et la vie solitaire qu'il doit mener faute d'être trop sombre. La deuxième partie aborde le plaisir de la solitude et la sensation d'apaisement que peut ressentir le rappeur belge lorsqu'il est seul, très bien représentée par la prod qui devient alors très planante. Enfin, la troisième partie se rapproche du sujet de la première mais de manière plus brutale, cette fois ci Damso expose sa solitude comme une force face aux autres. Pour afficher ce contenu Spotify, vous devez accepter les cookies cookies permettent à nos partenaires de vous proposer des publicités et des contenus personnalisés en fonction de votre navigation, de votre profil et de vos centres d' - Jeux vidéo et débatsOn aurait pu citer Risible Amour, mais celui ci a déjà été assez étudié et est plus daté que celui que Jeux vidéo et débats. Ce morceau de l'expansion de Les étoiles vagabondes et un parfait mélange de technicité et de fond, bien symbolisé par le double sens du titre "je vis des hauts et des bas". Dans la première partie, le Fenek est accompagné d'une instru très mélancolique qui s'accorde parfaitement avec ses paroles. En effet, Nekfeu dénonce le méfaits de la finance, des sites internet ou encore de la célébrité et semble désabusé par le monde qui l'entoure. La deuxième partie quant à elle est beaucoup plus brute, dans l'instru et dans le flow utilisé par Nekfeu. On entrevoit alors le meilleur de la technique du rappeur parisien qui enchaine les allitérations, les assonances et autres rimes riches. Même si il s'agit de l'un des sons les moins streamés du projet, sa qualité mérite d'être mise en avant. Pour afficher ce contenu Spotify, vous devez accepter les cookies cookies permettent à nos partenaires de vous proposer des publicités et des contenus personnalisés en fonction de votre navigation, de votre profil et de vos centres d' - OMRISi Imany avait reçu un fort succès critique, Dinos a réellement commencé à avoir une grande notoriété avec son album Taciturne sorti fin 2019. Dans ce projet, un titre a retenu notre attention pour cette sélection , OMRI. Produit par Twenty9 le morceau est, comme l'indique le rappeur de la Courneuve, "un banger hybride". OMRI, qui signifie "ma vie" en arabe, est un son dans lequel Nosdi commence par s'interroger sur qui il est, d'où il vient et les problèmes qu'il rencontre liés à ses origines. On retrouve dans cette première partie un Dinos à l'intonation énervée, un Dinos qui semble excédé par ses problèmes... Dans la suite du morceau, l'auteur de Stamina pose avec beaucoup plus d'assurance. Il ne semble plus submergé par son émotion et parait près à en découdre. Dinos entre alors dans un mode égotrip et change la mélodie du refrain pour rendre ce dernier encore plus sombre. Pour afficher ce contenu Spotify, vous devez accepter les cookies cookies permettent à nos partenaires de vous proposer des publicités et des contenus personnalisés en fonction de votre navigation, de votre profil et de vos centres d' - LucyTout le monde se souvient du succès rencontré par Lomepal en 2017 avec son album FLIP. Un projet qui lui a permis d'être propulsé en tant que tête d'affiche du rap game en quelques mois. Si FLIP est un album dans lequel Antoine s'adonne à beaucoup de mélodies et oriente son rap vers quelques chose de très musical, il n'en oublie pas son amour des morceaux kickés et il nous le prouve avec Lucy. Produit par Stwo et en feat avec le duo 2Fingz, composé de Doums et Népal, le titre se distingue en deux parties assez distinctes. Un première dans laquelle Lomepal enchaine un long complet dans lequel il aborde les mauvaises pulsions qui habitent les humains. Et une deuxième entièrement dédiée à Doums et Népal qui s'amusent à réaliser un passe-passe plein de sens sur une instru calme, qui dénote parfaitement avec la prestation de Lomepal. Pour afficher ce contenu Spotify, vous devez accepter les cookies cookies permettent à nos partenaires de vous proposer des publicités et des contenus personnalisés en fonction de votre navigation, de votre profil et de vos centres d' ft. Damso - RENCONTREVoici le plus récent morceau de cette liste, RENCONTRE, le featuring entre Disiz et Damso. Le rappeur d'Evry avait annoncé "Si je voulais faire un titre avec Damso, c'est pas pour faire un single qui va rentrer en radio et tout ça, moi, c'est pas ça qui m'intéresse chez Damso. Ce qui m'intéresse, c'est sa proposition artistique très forte, c'est un artiste qui est puissant". Produit par Augustin Charnet, Prinzly et LUCASV, le titre se scinde en trois parties. Un première partie très acoustique dans laquelle les deux rappeurs envoie des couplets planants, une deuxième partie très sombre entièrement dédiée à Damso et une troisième partie dansante et joyeuse interprétée par Disiz. Le featuring marque l'opposition, tant sur la prod que sur les paroles, d'un Dems "haineux" et d'un D-I-S-I-Z "heureux" qui semble enfin libéré d'un poids qu'il portait tout au long de l'album. Et même si l'objectif n'était pas d'en faire un hit, il y a de fortes chances que le morceau fasse beaucoup de bruit cette année. Pour afficher ce contenu Spotify, vous devez accepter les cookies cookies permettent à nos partenaires de vous proposer des publicités et des contenus personnalisés en fonction de votre navigation, de votre profil et de vos centres d' ft. Ninho - MacaroniLeto et Ninho, c'est une longue histoire d'amour. Entre eux deux, on peut compter 10 collaborations qui ont chacune connu le succès. L'une des plus récentes reste Macaroni sortie en 2020 sur l'album du rappeur de PSO, 100 visages. Et si NI est un habitué des changement d'instrus à travers ses freestyles Binks to Binks, Leto s'y essaie pour l'une des premières fois. Produit par Guilty, les rappeurs s'amusent à évoluer sur les deux styles qui leurs scient parfaitement. Une première partie très douce et remplie de mélodie avant d'enchainer, en quelques courtes secondes, sur une partie beaucoup agressive dans laquelle Leto et Ninho reviennent à leur base et découpent sur l'instru. Pour afficher ce contenu Spotify, vous devez accepter les cookies cookies permettent à nos partenaires de vous proposer des publicités et des contenus personnalisés en fonction de votre navigation, de votre profil et de vos centres d' ft. Aya Nakamura - Dale x Love TherapyLorsque la tracklist de Paradise est sortie c'était l'un des sons les plus attendus du projet d'Hamza. Et alors que beaucoup s'attendaient à un gros tube, très orienté club, les deux artistes nous on fait la surprise d'envoyer un titre à ambiance calme, scindé en deux parties. Produit par Prinzly et Ponko, Hamza et Aya nous offrent une première partie chantée, très planante dans laquelle chacun fait étalage de ses meilleures mélodies. La deuxième partie est également très mélodieuse mais comporte certains éléments plus "rap", notamment à travers des flow plus saccadés, le tout en nous plongeant dans une ambiance encore plus chaude que la première. Pour afficher ce contenu Spotify, vous devez accepter les cookies cookies permettent à nos partenaires de vous proposer des publicités et des contenus personnalisés en fonction de votre navigation, de votre profil et de vos centres d' Wann - ÇA VA ENSEMBLEDernier de la liste mais pas des moindres, ÇA VA ENSEMBLE est un modèle du genre. Produit par Hologram Lo', le douzième morceau du premier album d'Alpha Wann est tout d'abord une démonstration de technique de la part de son auteur. Une première partie dans laquelle l'auteur de UMLA s'amuse à associer, avec un flow extrêmement rapide, des éléments qui selon lui "vont ensembles". Une deuxième partie plus aérienne dans l'instru mais qui n'empêche pas le Don de continuer d'imposer son rap et d'enchainer les phases marquantes. La force de ce titre réside dans le fait qu'il ne lasse jamais malgré sa durée de quasiment 7 minutes. Et pour avoir ce résultat, il s'agir forcement d'un morceau de qualité. Pour afficher ce contenu Spotify, vous devez accepter les cookies cookies permettent à nos partenaires de vous proposer des publicités et des contenus personnalisés en fonction de votre navigation, de votre profil et de vos centres d'intérêt. Vous trouvez cet article intéressant ? Faites-le savoir et partagez-le. AlphaWann featuring Nekfeu - À deux pas, sur l'EP d'Alpha Wann Alph Lauren 2; Fixpen Sill featuring Nekfeu - Après moi le déluge, sur l'album de Fixpen Sill Edelweiss; Hugo Délire featuring Ol' Kameez & Nekfeu - C'est pas moi C'est l'autre, sur l'album Grand Délirium; Kohndo featuring Nekfeu - Faut qu'je tienne, sur l'album de Kohndo Tutti Originale Traduzione [Intro - Nekfeu][Intro - Nekfeu]À deux pas de làA pochi passiMmmh, à deux pas de làHmm, a pochi passiÀàà deux pas de làtiro di AAA viaYeaah à deux pas de làYeaah a pochi passiÀ deux pas de làA pochi passiAaaahAaaah[Couplet 1 - Alpha Wann & Nekfeu][Verse 1 - Alpha Wann & Nekfeu]J'suis un mélange de principes et d'actionsSono un mix di principi e le azioniJe ressemble à ma ville Mi piace la mia cittàRare que j'passe une journée sans précipitationTrascorro un raro giorno senza precipitazioniAu bord du précipice, je n'ressens pas le videSul precipizio, non n'ressens vuotoLe sourire crispé, la mauvaise parole s'propage, les écrits s'perdentIl sorriso stretto, brutta parola s'propage, s'perdent scrittaOn roule dans une Chrysler, grise neuveGuidiamo una Chrysler, nuova grigioÇa parle rap, biz', entreprise, crise, meurtreSi tratta di rap biz ', affari, crisi, omicidioTu l'sais déjà ce soir, les filles elles sont terriblesSapete già questa sera, le ragazze sono terribiliOn traverse la ville et son périph'Attraversiamo la città e la tangenzialeOuais, la vie et son péripleSì, la vita e il suo viaggioAtmosphère saturée de pollutioninquinamento atmosfera saturaQui peut renouveler l'air ?Chi può rinnovare l'aria?Malgré la peur, on ouvre les lèvresNonostante la paura, le labbra si apronoJ'ai l'souv'nir d'un rappeur d'une nouvelle èreHo souv'nir un rapper in una nuova eraLe crime à deux pasCrime pochi passiLoin du climat de peurLontano dal clima di pauraIl écrivait de tête, criblé de ballesHa scritto testa crivellato di colpiParce qu'il était criblé de dettesPerché era nel profondo del debitoSon corps sur un vieux matelasIl suo corpo su un vecchio materassoLa vie et son péripleLa vita e il suo viaggioL'ironie de PanameL'ironia di PanamaOuais, la ville et son périph'Sì, la città e la tangenzialeAlors qu'à deux pas d'làConsiderando che non c'è dueÀ Porte DauphineA Porte DauphineOn envoie du jeu aux fillesInviamo il gioco per ragazzeEnvoie leur profilInvia il loro profiloJ'te l'dis d'officeIo vi dico automaticamenteCe soir y'a beaucoup d'idiotesStasera c'è un sacco di stupidoSwag, Fendi, Gucci, DiorSwag, Fendi, Gucci, DiorFaut qu'elles se méfient des loups qui dormentDovrebbero sono diffidenti nei confronti dei lupi sonnoFaut qu'elles se méfient des loups qui dormentDovrebbero sono diffidenti nei confronti dei lupi sonnoSous leurs griffes des los-ki d'orSotto i loro artigli los oro-kiC'est l'heureE 'il momentoSoit généreux, pas comme tous ces salauds qui donnent les leursSiate generosi, non come tutti quei bastardi che danno il loroRegarde un peu ce que tu deviensGuardate cosa si diventaT'es ingrat, tu bicraves ton âme au diable dans un pochon de 21 grammesSei un ingrato, è bicraves l'anima al diavolo in un sacchetto di 21 grammi[Refrain - Nekfeu] x2[Chorus - Nekfeu] x2On pleure ceux dans l'au-delàGridiamo quelli nell'aldilàMais les morts ne versent pas de larmesMa i morti non pagano le lacrimeJ'ai vu le lâche les bras tendus par le poids de l'armeHo visto le braccia sciolte detenute dal peso dell'armaSoirée arrosée dans Paname et à deux pas de làSera innaffiato a Panama e due passi di distanzaÀ deux pas de là, tué à deux pas de làA pochi passi, ucciso a due passi[Pont - Alpha Wann & Nekfeu][Bridge - Alpha Wann & Nekfeu]Ah, quand est-c'qu'on assume, hein ?Oh, quando è c'qu'on assumere, giusto?J'ai vu autant d'humanité chez les animauxHo visto tanta umanità negli animaliQue d'animosité chez les humainsChe animosità negli esseri umaniAutour du matelas on attend l'docteurIntorno al materasso atteso il medicoPendant qu'des hommes naissent, d'autres meurentDurante qu'des uomini nascono, altri muoionoAh, quand est-c'qu'on assume, hein ?Oh, quando è c'qu'on assumere, giusto?J'ai vu autant d'humanité chez les animauxHo visto tanta umanità negli animaliQue d'animosité chez les humainsChe animosità negli esseri umaniAutour du matelas on attend l'docteur, a deux pas de làIntorno al materasso previsto il medico, a due passiDes hommes naissent et d'autres meurentGli uomini nascono e muoiono altri[Couplet 2 - Alpha Wann & Nekfeu][Verse 2 - Alpha Wann & Nekfeu]Sur le périphérique à fond, on fait ça comme dans les filmsNel merito al dispositivo, lo facciamo come nei filmOn s'arrête dans une station, on slalome entre les filesCi fermiamo in una stazione, è slalom tra le righeJ'pense encore à cette belle femelleJ'pense ancora a questa bella femminaJ'reçois un SMS du tieks, un jeune est décédé cette semaineJ'reçois un tieks SMS, un giovane è morto questa settimanaPourquoi ils n'ont pas d'parapluie quand il pleut des balles ?Perché non hanno un ombrello quando piove proiettili?Par respect pour sa famille, j'donnerai pas plus de détailsIn segno di rispetto per la sua famiglia, non j'donnerai dettagliAh, quand est-c'qu'on assume, hein ?Oh, quando è c'qu'on assumere, giusto?J'ai vu autant d'humanité chez les animauxHo visto tanta umanità negli animaliQue d'animosité chez les humainsChe animosità negli esseri umaniIl faut qu'on s'serre les coudesAbbiamo bisogno di gomiti s'serreComme dans mon rêve où les renoisCome nel mio sogno dove RenoisNiquent les statistiques et redressent les courbesstatistiche Cate e raddrizzare le curveNiquent les statistiques et redressent les courbesstatistiche Cate e raddrizzare le curveFlingue et feu !Pistola e fuoco![Refrain - Nekfeu] x2[Chorus - Nekfeu] x2On pleure ceux dans l'au-delàGridiamo quelli nell'aldilàMais les morts ne versent pas de larmesMa i morti non pagano le lacrimeJ'ai vu le lâche les bras tendus par le poids de l'armeHo visto le braccia sciolte detenute dal peso dell'armaSoirée arrosée dans Paname et à deux pas de làSera innaffiato a Panama e due passi di distanzaÀ deux pas de là, tué à deux pas de làA pochi passi, ucciso a due passi[Pont - Alpha Wann & Nekfeu][Bridge - Alpha Wann & Nekfeu]Ah, quand est-c'qu'on assume, hein ?Oh, quando è c'qu'on assumere, giusto?J'ai vu autant d'humanité chez les animauxHo visto tanta umanità negli animaliQue d'animosité chez les humainsChe animosità negli esseri umaniAutour du matelas on attend l'docteurIntorno al materasso atteso il medicoPendant qu'des hommes naissent, d'autres meurentDurante qu'des uomini nascono, altri muoionoAh, quand est-c'qu'on assume, hein ?Oh, quando è c'qu'on assumere, giusto?J'ai vu autant d'humanité chez les animauxHo visto tanta umanità negli animaliQue d'animosité chez les humainsChe animosità negli esseri umaniAutour du matelas on attend l'docteurIntorno al materasso atteso il medicoAutour du matelas on attend l'docteur, a deux pas de làIntorno al materasso previsto il medico, a due passiDes hommes naissent et d'autres meurentGli uomini nascono e muoiono altri Tradotto da Anonimo Aggiungi / modifica traduzione Email

Lirela suite. [Refrain : nekfeu & vanessa paradis] Dans l'Univers, y'a des milliards de vies sur Terre, sept milliards d'êtres humains. Peut-être trois milliards de filles mais c'est toi qu'j'veux. T'es obsédé par le vide et j'déteste ton mode de vie. Et puis t'as ta part de vices mais c'est toi qu'j'veux.

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Gorah la main verte 000434 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Florian Kermann, Lyricist - Gorah La Main Verte, FeaturedArtist - Samuel Serres, Composer, Lyricist - Walter feat. Gorah la main verte, MainArtist Petits meurtres entre amis Walter On s'assagit Walter feat. Skyle 000305 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Skyle, FeaturedArtist - Samuel Serres, Composer, Lyricist - Thibault Fourmond, Lyricist - Walter feat. Skyle, MainArtist Petits meurtres entre amis Walter Mange merde Walter feat. Losee Loss 000348 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Samuel Serres, Composer, Lyricist - Walter feat. Losee Loss, MainArtist - Losee Loss, FeaturedArtist - patrick bastos, Lyricist Petits meurtres entre amis Walter Fidèles au poste Walter feat. Nino Ice, Kéroué, Lemdi, Skyle, Ikar, Nekfeu & Alpha Wann 000826 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Alpha Wann, Lyricist, FeaturedArtist - Nekfeu, Lyricist, FeaturedArtist - Ikar, FeaturedArtist - Nino Ice, FeaturedArtist - Keroué, FeaturedArtist - Julien Peynot, Composer - Skyle, FeaturedArtist - Samuel Serres, Lyricist - Thibault Fourmond, Lyricist - Mathieu Kérouédan, Lyricist - Lemdi, FeaturedArtist - Dimitri Iphicles, Lyricist - Walter feat. Nino Ice, Kéroué, Lemdi, Skyle, Ikar, Nekfeu & Alpha Wann, MainArtist Petits meurtres entre amis Walter J'touche du bois Walter feat. Skyle 000242 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Théo Viquesnel, Composer - Skyle, FeaturedArtist - Samuel Serres, Lyricist - Thibault Fourmond, Lyricist - Walter feat. Skyle, MainArtist Petits meurtres entre amis Walter La science des astres Walter feat. Nekfeu & Alpha Wann 000308 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Alpha Wann, Lyricist, FeaturedArtist - Nekfeu, Lyricist, FeaturedArtist - Samuel Serres, Composer, Lyricist - Walter feat. Nekfeu & Alpha Wann, MainArtist Petits meurtres entre amis Walter Le doute est permis Walter feat. Lemdi 000242 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Théo Viquesnel, Composer - Samuel Serres, Lyricist - Lemdi, FeaturedArtist - Dimitri Iphicles, Lyricist - Walter feat. Lemdi, MainArtist Petits meurtres entre amis Walter Val mobb freestyle Walter feat. Lemdi, Moax, Ryu Mc, Smoof, Mirage, Losee Loss & Dyzberg 000523 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Mirage, FeaturedArtist - Ryu MC, FeaturedArtist - SMOOF, FeaturedArtist - Youri Gargar, Lyricist - Moax, FeaturedArtist - Joel Cesto, Lyricist - Julien Peynot, Composer - Dyzberg, FeaturedArtist - Samuel Serres, Lyricist - Lemdi, FeaturedArtist - Dimitri Iphicles, Lyricist - Losee Loss, FeaturedArtist - patrick bastos, Lyricist - Walter feat. Lemdi, Moax, Ryu Mc, Smoof, Mirage, Losee Loss & Dyzberg, MainArtist - Frédéric Blanchon, Lyricist - Tommy Moisan, Lyricist Petits meurtres entre amis Walter J'garde la distance Walter feat. Lemdi 000418 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Cyril Merlin, Composer - Samuel Serres, Lyricist - Lemdi, FeaturedArtist - Dimitri Iphicles, Lyricist - Walter feat. Lemdi, MainArtist Petits meurtres entre amis Walter On n'est pas compatible Walter feat. Kéroué, Hunam & Lomepal 000354 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Lomepal, Lyricist, FeaturedArtist - Théo Viquesnel, Composer - Keroué, FeaturedArtist - Hunam, FeaturedArtist - Samuel Serres, Lyricist - Mathieu Kérouédan, Lyricist - Walter feat. Kéroué, Hunam & Lomepal, MainArtist Petits meurtres entre amis Walter Le théorème Walter feat. Ikar, Smoof, Moax & Skyle 000244 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Ikar, FeaturedArtist - Théo Viquesnel, Composer - SMOOF, FeaturedArtist - Moax, FeaturedArtist - Joel Cesto, Lyricist - Skyle, FeaturedArtist - Samuel Serres, Lyricist - Thibault Fourmond, Lyricist - Tommy Moisan, Lyricist - Walter feat. Ikar, Smoof, Moax & Skyle, MainArtist - Nicolas Ricci, Lyricist Petits meurtres entre amis Walter La douloureuse Walter feat. Lemdi & Moax 000352 Copyright Control, MusicPublisher - Walter, Artist - Lucas viquesnel, Composer - Moax, FeaturedArtist - Joel Cesto, Lyricist - Samuel Serres, Lyricist - Lemdi, FeaturedArtist - Dimitri Iphicles, Lyricist - Walter feat. Lemdi & Moax, MainArtist Petits meurtres entre amis Walter Your browser does not support theaudio element. Sobre o álbum 1 discos - 14 faixas Duração total 005726 Artista principal walter Compositor Various Composers Gravadora iM Walter Género Rap Qualidade de CD de 16 bits kHz - Stereo Petits meurtres entre amis Walter Melhorar esta página Mais sobre o Qobuz Por walter A short love story walter Haar Mat Maan Don't Give Up walter I'll Suplex You Freestyle feat. NOVO walter Playlists Você também pode gostar... Super Freaky Girl Nicki Minaj Do We Have A Problem? Nicki Minaj Sometimes I Might Be Introvert Little Simz Certified Lover Boy Drake

Groupesde rap composé de 5 emcees (Alpha Wann, Nekfeu, Fonky Flav', Sneazzy West, Areno Jaz) et d'un beatmaker (Hologram Lo'). Le groupe c'est formé entre 2008 et 2009, dans le sud de Paris. Photos de chaque membre du groupe, dans l'ordre suivant : Alpha Wann, Nekfeu, Fonky Flav', Sneazzy West, Areno Jaz, Hologram Lo'.

Wesh enfoiré, ouais ouais, 3-1-0Frérot j'm'en bats les couilles, j'peux rapperSur tout mais sachez surtout que j'suis pas là pour gratter sur vousJ'tiens l'volant à deux mains, sur l'autoroute à 2-20Le garnement à sec, j'regarde mon assietteTa part faut l'hypothéquer, y a les flics au TP La suite des paroles ci-dessous T'as du fric, faut prêter, refaire ma chico pétéePour être bien, faudrait souffrir, faut des lovés pour vivreLes jours où y en avait pas, j'en garde un mauvais souv'nirFrérot, démerde-toi, entre le ciment et les caillouxDans mon répertoire, y a que des clients et des voyousQui vole un œuf peut voler ton bétailJ'ai pas pesé mes mots nan, j'ai pesé mon détailStop refré, on t'étale, on a l'droit à des visitesOn a des visions un peu comme AdebisiFini d'se marrer sisi, faut s'barrer d'iciJ'te parle des villes ciblées par les vils-ciLa night poto, boite auto sans l'embrayageJ'suis cheaté, j'me prends pour CJ dans San AdreasLes rues de ma ville, j'en suis dev'nu l'orateurÀ chaque dos d'âne, j'me crois dans une lowriderLa night poto, boite auto sans l'embrayageJ'suis cheaté, j'me prends pour CJ dans San AdreasÇa fait cent ans j'rêvasse à propos de la maille, de ma lifeT'es au top, té-ma, en fait t'as pas d'travail, un tas d'amendesMon pote, té-ma, on voit l'code pénal comme des hiéroglyphesDonc les frérots glissent pour d'la ou pour un 06Qui vole un œuf, vole aussi les munitions La suite des paroles ci-dessous Mon pote est minutieux, il vend la c mais fait du sonIl part du XIX à la piscine MolitorLa monnaie dort pas du neuf à Issy-les-Moulineaux, ehLe truc est sérieux, ça y est, l'intro est finieÀ tout moment, j'peux serrer comme Troy PhillipsDans GTA V quand j'étais à secJ'disparaissais comme une trottinette qu'on jette à la SeineLe prototype est fiable, ingénieur allemandLe type est fier, petit à p'tit devient un génie oralementGénéralement, les cons sont gênés rarementRésultat hausse de la natalité chez les rats mortsY a les bleus, j'décélère à mort, j'vesqui les radars, j'fonceJoue pas l'généreux quand j'te vois faire c'que les radins fontEt sous l'impulsion du teh, j'ai eu l'impression de deadJ'ai même plus besoin de tel', j'suis devenu solitaireParce qu'ils déforment les faits, parait qu'j'arrête cet étéBien que pourtant je n'ai fait aucune annonce de telOn est qu'un morceau de terre, je ne suis plus jeune et faibleSkyrock pédophile FM, chez nous y a personne qui les aimeÇa fait semblant en attendant d'peser assez pour les baiserJusqu'à l'os, d'un étage, jusqu'à l'aube j'escaladeJ'escalade, je vois les Kbech qui, au moindre geste, galopentLet's get it, feu, let's get it Lesram, j'escalade, j'escalade jusqu'à la finJ'escalade, let's get it, j'escalade, let's get itJ'escaladeLa night poto, boite auto sans l'embrayageJ'suis cheaté, j'me prends pour CJ dans San AdreasÇa fait cent ans j'rêvasse à propos de la maille, de ma lifeWesh enfoiré! Les internautes qui ont aimé "san andreas" aiment aussi IDhoJM.
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